1)L2[a,b] là không gian định chuẩn vì L[a,b] là không gian định chuẩn (theo định lý 1.2.1 và định lý 1.2.2).
2) L2[a,b] là không gian Banach vì L[a,b] là không gian Banach (theo định lý 1.2.4).
3) L2[a,b] là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự vì L[a,b] là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
4) Không gian
L2[a,b] = Ew0 = {z ∈ L2[a,b] : (∃R > 0)|z(t)| ≤ R h.k.n trên [a, b]}.
5) Tập
Chương 2
Toán tử giả lõm
trong không gian L2
2.1 Toán tử lõm
2.1.1 Các định nghĩa
Trong chương này ta kí hiệu không gian L[a,b] là L. Giả sử không gian
L nửa sắp thứ tự theo nón các hàm số không âm K ⊂ L, u0 ∈ K và
u0 6= θ, w0 = (u0, u0) ∈ K , trong đó K = K ×K.
Định nghĩa 2.1.1. Toán tử A : L → L gọi là đơn điệu trên tập K(u0)
nếu
(∀x, y ∈ K(u0) : x ≤ y)Ax ≤Ay.
Định nghĩa 2.1.2. Toán tử A : L →L gọi là u0 - lõm nếu 1) Toán tử A đơn điệu trên tập K(u0);
2)AK(u0) ⊂ K(u0);
3) ∀x ∈ K(u0),∀t ∈ (0,1),∃c = c(x, t) > 0 sao cho Atx ≥ (1 +c)tAx.
Định nghĩa 2.1.3. Phần tử x ∈ L gọi là điểm bất động của toán tử A
nếu Ax = x.
nếu
(∀z1, z2 ∈ K (w0), z1 ≤ z2 thì Bz1 ≤Bz2)
Định nghĩa 2.1.5. Toán tử B : L2 → L gọi là w0 - lõm nếu 1) Toán tử B đơn điệu trên tập K (w0);
2)BK (w0) ⊂ K(u0);
3)∀z ∈ K (w0),∀t∈ (0,1),∃c = c(z, t) > 0 sao cho Btz ≥ (1 +c)tBz.
Định nghĩa 2.1.6. Phần tử z ∈ L2 gọi là điểm bất động của toán tử B
nếu Bz = z.
2.1.2 Một số tính chất
Định lý 2.1.1. Nếu A : L → L là toán tử u0 - lõm thì toán tử A có không hơn một điểm bất động trong K(u0). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Giả sử ∃x, y ∈ K(u0) ⊂ L, Ax = x, Ay = y, x 6= y. Tìm được các số dương a, b, c, d sao cho au0 ≤ x ≤ bu0, cu0 ≤ y ≤ du0, và không mất tính tổng quát có thể coi x−y /∈ K. Ta có
x ≥au0 = ad−1du0 ≥ ad−1y.
Suy ra x−ad−1y ≥ θ, ad−1 > 0 và ad−1 < 1, vì nếu ad−1 ≥ 1 thì x ≥ y
(mâu thuẫn với giả sử x−y /∈ K).
Xét ánh xạ
f : R −→ L
t 7−→ f(t) =x−ty.
Nhờ tính liên tục của phép cộng hai phần tử, phép nhân một số thực với một phần tử, ánh xạ f liên tục. Từ kết luận đó với tính đóng của nón
K, nên
là tập đóng. Theo lập luận trên ta có 0 < ad−1 < t < 1 ∀t ∈ f−1(K). Suy ra ∃t0 = maxf−1(K) thuộc (ad−1,1).
Hơn nữa ∃c = c(y, t0) > 0 sao cho At0y ≥(1 +c)t0Ay = (1 +c)t0y
⇒x−t0y = Ax−t0Ay ≥Ax− 1
1+cAt0y
≥At0y − 1+1cAt0y
= 1+ccAt0y ≥ ct0y.
Suy ra x−t0(1 +c)y ≥ θ (mâu thuẫn với tính chất cực đại của t0). Vậy toán tử A có không quá một điểm bất động trong K(u0).
Định lý 2.1.2. Nếu F1 : L2 → L, F2 : L2 → L là hai toán tử w0 - lõm thì toán tử F = (F1, F2) : L2 → L có không hơn một điểm bất động trong K (w0).
Chứng minh. Giả sử có z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ K (w0), z1 6= z2 sao cho ( F z1 = (F1z1, F2z1) = z1 F z2 = (F1z2, F2z2) = z2 ⇒ F1z1 = x1 F2z1 = y1 F1z2 = x2 F2z2 = y2 . (2.1)
Vì z1 −z2 6= θL2, trong đó θL2 là ký hiệu phần tử không trong không gian L2, nên một trong hai phần tử z1−z2, z2−z1 không thuộc K , giả sử z1 −z2 ∈/ K .
Tương tự như trong định lý 2.1.1, tồn tại số t lớn nhất sao cho
z1 −tz2 ≥ θL2 và t ∈ (0,1).
Khi đó tồn tại các số dương c1 = c1(z2, t), c2 = c2(z2, t) > 0 sao cho
F1tz2 ≥(1 +c1)tF1z2, F2tz2 ≥ (1 +c2)tF2z2.
Đặt c = min{c1, c2} ta có: c > 0 và
Từ đó dẫn tới z1 −tz2 = F z1 −tF z2 = (F1z1, F2z1)−t(F1z2, F2z2) = (F1z1 −tF1z2, F2z1 −tF2z2) ≥ (F1z1 − 1 1 +cF1tz2, F2z1 − 1 1 +cF2tz2) (do 2.2) ≥ (F1tz2 − 1 1 +cF1tz2, F2tz2 − 1 1 +cF2tz2) (do z1 ≥ tz2) = ( c 1 +cF1tz2, c 1 +cF2tz2) ≥ (ctF1z2, ctF2z2) (do 2.2) = ct(F1z2, F2z2) = ctF z2 = ctz2.
Suy ra z1 −t(1 +c)z2 ≥θL2, mâu thuẫn với tính chất cực đại của t. Vậy toán tử F có không quá một điểm bất động trong K (w0).