toán tử hợp thành trên không gian các hàm điều hòa bị chặn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN HÙNG CƯỜNG TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 1 MỤC LỤC Mở đầu 2 Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH MỘT BIẾN VÀ KHÔNG GIAN HARDY TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ 4 1.1 Hàm chỉnh hình 4 1.2 Hàm điều hòa 14 1.3 Không gian L p 17 1.4 Mở rộng điều hòa 19 1.5 Không gian Hardy H p 21 1.6 Định lý Fatou 23 1.7 Tích Blaschke 27 1.8 Lớp Nevanlinna 32 Chương 2 TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN . 36 2.1 Toán tử hợp thành trên không gian H ∞ 36 2.2 Toán tử hợp thành trên không gian h ∞ 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Cho đĩ a đơn vị mở D := {z ∈ C : |z| < 1}. Ký hi ệu H ∞ ( tương ứng h ∞ ) là không gian các hàm điều hòa bị chặn được trang bị chuẩn sup:  f  ∞ = sup{|f(z)| : z ∈ D}. Ký hiệu S(D) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ D vào D, Với mỗi ϕ ∈ S(D) ta thiết lập ánh xạ hợp thành C ϕ : H ∞ → H ∞ (hoặc C ϕ : h ∞ → h ∞ ) cho bởi C ϕ (f) := f ◦ ϕ Ta có thể chứng minh C ϕ là tuyến tính bị chặn trên H ∞ và h ∞ . Trong khuôn khổ luận văn chúng tôi sẽ có các kết quả sau: 1. Điều kiện cần và đủ để C ϕ là điểm cô lập trong C(H ∞ ). 2. Một sự tương tự về cấu trúc tôpô của C(h ∞ ) và C(H ∞ ). Đây là các kết quả được lấy trong bài báo Compos i t ion Operators on the Space of Bounded Harmo nic Functions của Choa, Izuchi và Ohno. Bố cục luận văn gồm có hai chương: • Chương 1: Trước hết tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về hàm chỉnh hình, hàm điều hòa, không gian Hardy và tính chất của không gian Hardy trên đĩa đơn vị. • Chương 2: Tìm điều kiện để C ϕ là điểm cô lập trong C(h ∞ ). Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TSKH. Nguyễn Quang Diệu ĐHSP Hà Nội, Ng ười Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để Tôi hoàn thành bản luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơ n toàn thể các thầy cô giáo ĐHSP Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam và các thầy cô giáo trong khoa sau Đại học, ĐHSP Thái Nguyên, Đại Học Thái Nguyên đã tận tình dạy bảo Tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại khoa. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, gia đình và bạn bè đồng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 nghiệp đã giúp đỡ rất nhiều để Tôi hoàn thành bản luận văn này. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên Nguyễn Hùng Cường Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Hàm chỉnh hình một biến và không gian Hardy trên đĩa đơn vị Trong phần này ta giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ bản của không gian Hardy H p (1 ≤ p ≤ ∞) trên đĩa đơn vị. Đây là đối tượng chủ yếu để ta nghiên cứu toán tử hợp thành trên không gian này. 1.1 Hàm chỉnh hình 1.1.1 Khái niệm hàm chỉnh hìn h Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định t rên miền Ω ⊂ C. Xét giới hạn lim z→0 f(z + z) − f(z) z , (z, z + z ∈ Ω) Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, ký hiệu là f  (z) hay df dz (z). Như vậy f  (z) = lim z→0 f(z + z) − f(z) z Hàm f có đạo hàm phứ c tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi tại z. Định nghĩa 1.1.2. Hà m giá trị phức f xác định trong miền Ω ⊂ C gọi là chỉ nh hình tại z 0 ∈ Ω nếu t ồn tại r > 0 để f là C- Khả vi tại Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 mọi z ∈ D(z 0 , r) ⊂ Ω. Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω. Ta có tính chất đơn giản sau: Tính chất 1.1.1.1. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình trên Ω, Khi đó: (i) H(Ω) là một khôn g gian véctơ trên C. (ii) H(Ω) là một vành. (iii) Nếu f ∈ H(Ω) và f(z) = 0, ∀z ∈ Ω thì 1 f ∈ H(Ω). (iv) Nếu f ∈ H(Ω) và f ch ỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi. Định lý 1.1.3. (Điều kiện Cauchy- Riemann) Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là hàm f R 2 - khả vi tại z và điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn tại z.  ∂u ∂x (x, y) = ∂v ∂y (x, y). ∂u ∂y (x, y) = − ∂v ∂x (x, y) (1) Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử fC− khả vi tại z = x + iy ∈ Ω. Khi đó tồn tại giới hạn f  (z) = lim z→0 f(z + z) − f(z) z , z = x + i  y. Vì giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến 0 của z nên nếu chọn z = x, ta có: f  (z) = lim z→0 u(x + x, y) + iy(x + x, y) − u(x, y) − iv(x, y) x = lim z→0 u(x + x, y) − u(x, y) x + i lim z→0 v(x + x, y) − v(x, y) x Tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x, y) và f  (z) = ∂u ∂x (x, y) + i ∂v ∂x (x, y) (2) Tương tự bằng cách chọn z = i  y ta có f  (z) = −i ∂u ∂y (x, y) + ∂v ∂y (x, y). (3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 So sánh (2) và (3) ta được: ∂u ∂x (x, y) = ∂v ∂y (x, y). ∂u ∂y (x, y) = − ∂v ∂x (x, y). Ta còn phải chứng tỏ u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y). Vì f =f(z + z) − f(z) =f  (z)  z + 0(z) Với 0(z) là vô cùng b é bậc cao hơn z, tức là lim z→0 0(z) z = 0 Rõ ràng f = u + i  v, z = x + i  y Theo (2) ta có u + i  v = ( ∂u ∂x + i ∂v ∂x )(x + i  y) + 0(z) + i0(z) Từ đó u = ∂u ∂x  x − ∂v ∂x  y + 0(z) = ∂u ∂x  x + ∂u ∂y  y + 0(|z|) v = ∂v ∂x  x + ∂u ∂x  y + 0(z) = ∂v ∂x  x + ∂v ∂y  y + 0(|z|) Tức là u và v khả vi tại (x, y). Điều kiện đủ : Vì u và v khả vi tại (x, y) nên u = ∂u ∂x  x + ∂u ∂y  y + 0(  x 2 + y 2 ) và v = ∂v ∂x  x + ∂v ∂y  y + 0(  x 2 + y 2 ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Theo điều kiện (1) hai đẳng thức này có thể viết thành u = ∂u ∂x  x − ∂v ∂x  y + 0(|z|) (4) v = ∂v ∂x  x + ∂u ∂x  y + 0(|z|) (5) Từ (4) và (5) ta có f z = u z + i v z = ∂u ∂x  x − ∂v ∂x  y + 0(z) z + i ∂v ∂x  x + ∂u ∂x  y + 0(z) z = ∂u ∂x  x + i ∂u ∂x  y z + − ∂v ∂x  y + i ∂v ∂x  x z + 0(z) z = ∂u ∂x + i ∂v ∂x + 0(z) z . Vì vậy lim z→0 f z = ∂u ∂x + i ∂v ∂x Tức là f C− khả vi tại z = x + iy. Định lý 1.1.4. Giả sử chuỗi l ũy thừa  ∞ n=0 C n z n có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó tổng f(z) của nó chỉnh hình tại mọ i z với |z| < R và đạo hà m phức của nó là  ∞ n=1 nC n z n−1 . Chứng minh. Trước hết chứng tỏ chuỗi  ∞ n=1 nC n z n−1 cũng có bán kính hội tụ R. Thật vậy chuỗi  ∞ n=1 nC n z n−1 hội tụ tại z = 0 nếu và chỉ nếu chuỗi ∞  n=1 nC n z n−1 = ∞  n=1 nC n z n hội tụ. Do đó bán kính hội tụ của nó theo công thức Cauchy- Hadamard là 1 lim sup n→∞ n  |nC n | = 1 lim n→∞ n  |n| lim sup n→∞ n  |C n | Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Lấy z 0 tùy ý, |z 0 | < R. Đặt δ(z 0 , z) = f(z 0 + z) − f(z 0 ) z − S(z 0 ) Trong đó S(z) = ∞  n=1 nC n z n−1 , |z| < R. Để chứng minh định lý, ta chỉ cần chứng minh: lim →0 δ(z 0 , z) = 0 Chọn r sao cho |z 0 | < r < R. xét z đủ bé sao cho |z 0 | + |z| < r. dễ thấy δ(z 0 , z) = ∞  n=0 δ n (z 0 , z) với δ n (z 0 , z) = C n (z 0 + z) n − C n z n 0 z − nC n z n−1 0 =C n  (z 0 + z) n−1 + (z n + z) n−2 z 0 + + z n−1 0 − nz n−1 0  Ta có |δ n (z 0 , z)| ≤ 2n |C n | r n−1 Với  > 0 tùy ý, vì chuỗi  ∞ n=1 n |C n | r n−1 hội tụ nên tồn tại N = N() sao cho ∞  n=1 2n |C n | r n−1 <  2 vì lim z→0 N−1  n=0 δ n (z 0 , z) = 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Nên với z đủ nhỏ ta có      N−1  n=0 δ n (z 0 , z)      <  2 Từ đó z đủ bé ta có |δ(z 0 , z)| ≤      N−1  n=0 δ n (z 0 , z)      + ∞  n=N |δ(z 0 , z)| < . 1.1.2 Công thức tích phân Cau chy. Định lý 1.1.5. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trên miền Ω và z 0 ∈ Ω. Khi đó mọi chu tuyến γ ⊂ Ω γ ⊂ Ω ta có công thức t í ch phân Cauchy . f(z 0 ) = 1 2πi  γ f(η) η − z 0 dη. (1) Nếu f liên tục trên Ω và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈ Ω ta có: f(z) = 1 2πi  γ f(η) η − z dη. (2 ) Chứng minh. Giả sử γ là một chu tuyến tùy ý vây quanh z 0 sao cho Ω γ ⊂ Ω. Chọn ρ > 0 đủ bé để hình tròn D(z 0 , ρ) ⊂ Ω γ . Ký hiệu C ρ là biên của D(z 0 , ρ) và đặt Ω γ,ρ = Ω γ \ D(z 0 , ρ) Ω γ,ρ là miền 2 - liên, nên ta có:  γ∪C − ρ f(η) η − z 0 dη = 0 Từ đó có đẳng thức:  γ f(η) η − z 0 dη =  C ρ f(η) η − z 0 dη (3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... rằng một hàm điều hòa thuộc lớp h1 có giới hạn bán kính theo hầu hết các hướng Điều tương tự cũng đúng cho hàm giải tích thuộc lớp H 1 Điều trên vẫn đúng cho hàm thuộc H p với p < 1, mặc dù phát biểu tương tự đối với hàm điều hòa là sai Sự tổng quát cho p < 1 thu được một cách đơn giản bởi việc xét trên một lớp hàm rộng hơn Đó là lớp Nevanlinna N Định nghĩa 1.8.1 Một hàm f (z) giải tích trên |z|... có u=4 ∂ 2u ∂z∂z Định lý 1.2.2 Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y) là hàm chỉnh hình trên miền Ω ∈ C Khi đó u(x, y) và v(x, y) là hàm điều hòa trong Ω Hàm v gọi là hàm liên hợp điều của hàm u Chứng minh f chỉnh hình trên Ω nên các hàm u và v khả vi vô hạn trên Ω Theo điều kiện Cauchy-Riemann ta có ∂v ∂u ∂v ∂u = , =− ∂x ∂y ∂y ∂x Lấy đạo hàm đẳng thức thứ nhất theo x, đẳng thức thứ hai theo y rồi cộng lại... đó ∞ [fn] = [k] Vậy L1 là một không gian Banach n=1 Với 1 < p < ∞ ta kí hiệu p L = 2π 1 f ∈L ; 2π 1 |f |p dθ < ∞ và N p = N ∩ L p 0 Khi đó ta sẽ có không gian thương Lp = L p /N Banach với chuẩn [f ] p = 1 2π p là một không gian 1 p 2π |f |p dθ 0 Với trường hợp p = ∞ ta ký hiệu L ∞ là không gian con của L 1 bao gồm các hàm bị chặn cốt yếu f , là các hàm thỏa mãn tập hợp {x ∈ T |f (x)| > M} có độ đo... {tnk , a} và do đó nó phải bị chặn đều trên đó Điều này mâu thuẫn vì |fnk (tnk )| ≥ nk → ∞ 1.2 Hàm điều hòa Định nghĩa 1.2.1 Hàm hai biến thực u(x, y) trên miền Ω ⊂ R2 gọi là điều hòa nếu nó có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa mãn điều kiện: ∂ 2u ∂ 2u u = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 u được gọi là toán tử Laplace ta có u=4 ∂ 2u... tích phân (1) bởi một hàm tùy ý liên tục ϕ(t) với ϕ(0) = ϕ(2π) Thì hàm u(z) vẫn chỉnh hình trên |z| < 1, liên tục trên |z| ≤ 1, và có giá trị biên u(eit) = ϕt Tổng quát ý tưởng trên ta đưa ra khái niệm tích phân Poisson-Stieltjes, là hàm có dạng 2π 1 iθ kr (θ − t)dµ(t) (1.2) u(z) = u(re ) = 2π 0 Ở đó µ(t) là biến phân bị chặn trên [0, 2π] Khi đó mỗi hàm là điều hòa trên |z| < 1 Điều trên được khẳng định... Định lý 1.2.3 Giả sử u là hàm điều hòa trên miền đơn liên Ω Khi đó u là phần thực của hàm chỉnh hình trên Ω Chứng minh Vì u là hàm điều hòa nên ∂ 2u =0 ∂z∂z do đó hàm ∂u chỉnh hình trên Ω Theo giả thiết miền Ω đơn liên, ta ∂z có thể tìm được hàm chỉnh hình f trên Ω sao cho df = ∂u dz ∂z Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Lấy liên hợp hai vế ta được df = ∂u... dθ ≤ 2π + 0 0 Vậy f ∈ N Từ kết quả trên, thay cho việc tìm hiểu các tính chất của không gian Hardy, Chúng ta chỉ cần nghiên cứu lớp N Định lý 1.8.3 (F and R Nevanlinna) Một hàm giải tích trên đĩa đơn vị thuộc vào lớp N nếu và chỉ nếu nó là thương của hai hàm giải tích bị chặn Chứng minh Giả sử f (z) = ϕ(z)/ψ(z), với ϕ và ψ là hàm giải tích và bị chặn trên |z| < 1 Không mất tính tổng quát giả sử |ϕ(z)|... http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 1.6 Định lý Fatou Với hàm f giải tích trong đĩa đơn vị đặt Mp (r, f ) = 1 2π 2π p |f (reiθ )| dθ 1 p 0 M∞ (r, f ) = max |f (reiθ )| 0≤θ 0 tồn tại δ = δ(K, )... 1 Lại có từ định nghĩa của ψρ và log+ |f | bị chặn ta có ψ(z) ≡ 0 Vậy f = ϕ/ψ Nhận xét: (i) N chứa H p với 1 ≤ p ≤ ∞ (ii) Ý nghĩa quan trọng của định lý biểu diễn hàm thuộc lớp N trên là nó cho phép ta nghiên cứu các tính chất của hàm trong lớp N bằng cách suy từ các tính chất tương ứng của hàm bị chặn giải tích Định lý 1.8.4 Với mỗi hàm f ∈ N , giới hạn không tiếp xúc f (eiθ ) tồn tại hầu khắp nơi, . Lớp Nevanlinna 32 Chương 2 TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN . 36 2.1 Toán tử hợp thành trên không gian H ∞ 36 2.2 Toán tử hợp thành trên không gian h ∞ 42 Kết luận 45 Tài. TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 1 MỤC LỤC Mở đầu 2 Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH MỘT BIẾN VÀ KHÔNG. 1 HÀM CHỈNH HÌNH MỘT BIẾN VÀ KHÔNG GIAN HARDY TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ 4 1.1 Hàm chỉnh hình 4 1.2 Hàm điều hòa 14 1.3 Không gian L p 17 1.4 Mở rộng điều hòa 19 1.5 Không gian Hardy H p 21 1.6 Định lý Fatou