Toán tử hợp thành trên không gian các hàm điều hòa bị chặn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN HÙNG CƯỜNG TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Mở đầu Chương HÀM CHỈNH HÌNH MỘT BIẾN VÀ KHÔNG GIAN HARDY TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ 1.1 Hàm chỉnh hình 4 1.2 Hàm điều hòa 14 1.3 Không gian Lp 17 1.4 Mở rộng điều hòa 19 1.5 Không gian Hardy H p 21 1.6 Định lý Fatou 23 1.7 Tích Blaschke 27 1.8 Lớp Nevanlinna 32 Chương TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN 36 2.1 Toán tử hợp thành không gian H ∞ 36 2.2 Toán tử hợp thành không gian h∞ 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Cho đĩa đơn vị mở D := {z ∈ C : |z| < 1} Ký hiệu H ∞ ( tương ứng h∞ ) không gian hàm điều hòa bị chặn trang bị chuẩn sup: f ∞ = sup{|f (z)| : z ∈ D} Ký hiệu S(D) tập ánh xạ chỉnh hình từ D vào D, Với ϕ ∈ S(D) ta thiết lập ánh xạ hợp thành Cϕ : H ∞ → H ∞ (hoặc Cϕ : h∞ → h∞ ) cho Cϕ (f ) := f ◦ ϕ Ta chứng minh Cϕ tuyến tính bị chặn H ∞ h∞ Trong khuôn khổ luận văn có kết sau: Điều kiện cần đủ để Cϕ điểm cô lập C(H ∞) Một tương tự cấu trúc tôpô C(h∞ ) C(H ∞) Đây kết lấy báo Composition Operators on the Space of Bounded Harmonic Functions Choa, Izuchi Ohno Bố cục luận văn gồm có hai chương: • Chương 1: Trước hết trình bày số kiến thức sở hàm chỉnh hình, hàm điều hòa, không gian Hardy tính chất không gian Hardy đĩa đơn vị • Chương 2: Tìm điều kiện để Cϕ điểm cô lập C(h∞ ) Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Nguyễn Quang Diệu ĐHSP Hà Nội, Người Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc khoa học để Tôi hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn toàn thể thầy cô giáo ĐHSP Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam thầy cô giáo khoa sau Đại học, ĐHSP Thái Nguyên, Đại Học Thái Nguyên tận tình dạy bảo Tôi suốt trình học tập, nghiên cứu khoa Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo, gia đình bạn bè đồng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nghiệp giúp đỡ nhiều để Tôi hoàn thành luận văn Trong trình viết luận văn việc xử lý văn chắn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Rất mong nhận góp ý thầy cô, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng năm 2010 Học viên Nguyễn Hùng Cường Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Hàm chỉnh hình biến không gian Hardy đĩa đơn vị Trong phần ta giới thiệu khái niệm tính chất không gian Hardy H p (1 ≤ p ≤ ∞) đĩa đơn vị Đây đối tượng chủ yếu để ta nghiên cứu toán tử hợp thành không gian 1.1 1.1.1 Hàm chỉnh hình Khái niệm hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền Ω ⊂ C Xét giới hạn lim z→0 f (z + z) − f (z) , z (z, z + z ∈ Ω) Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức df f z, ký hiệu f (z) hay dz (z) Như f (z) = lim f (z + z→0 z) − f (z) z Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay Ckhả vi z Định nghĩa 1.1.2 Hàm giá trị phức f xác định miền Ω ⊂ C gọi chỉnh hình z0 ∈ Ω tồn r > để f C- Khả vi Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn z ∈ D(z0 , r) ⊂ Ω Nếu f chỉnh hình z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình Ω Ta có tính chất đơn giản sau: Tính chất 1.1.1.1 Giả sử Ω ⊂ C miền H(Ω) tập hàm chỉnh hình Ω, Khi đó: (i) H(Ω) không gian véctơ C (ii) H(Ω) vành (iii) Nếu f ∈ H(Ω) f (z) = 0, ∀z ∈ Ω f1 ∈ H(Ω) (iv) Nếu f ∈ H(Ω) f nhận giá trị thực f không đổi Định lý 1.1.3 (Điều kiện Cauchy- Riemann) Để hàm f C- khả vi z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần đủ hàm f R2 - khả vi z điều kiện Cauchy-Riemann thỏa mãn z ∂v ∂u ∂x (x, y) = ∂y (x, y) (1) ∂v ∂u (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử f C− khả vi z = x + iy ∈ Ω Khi tồn giới hạn f (z) = lim z) − f (z) , z f (z + z→0 z= x+i y Vì giới hạn tồn không phụ thuộc vào cách tiến đến z nên chọn z = x, ta có: f (z) = lim u(x + z→0 = lim z→0 u(x + x, y) − u(x, y) − iv(x, y) x v(x + x, y) − v(x, y) x, y) − u(x, y) + i lim z→0 x x x, y) + iy(x + Tức u v có đạo hàm riêng theo x (x, y) f (z) = ∂u ∂v (x, y) + i (x, y) ∂x ∂x Tương tự cách chọn f (z) = −i z=i (2) y ta có ∂v ∂u (x, y) + (x, y) ∂y ∂y Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (3) http://www.lrc-tnu.edu.vn So sánh (2) (3) ta được: ∂u ∂v (x, y) = (x, y) ∂x ∂y ∂v ∂u (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x Ta phải chứng tỏ u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) Vì f =f (z + z) − f (z) =f (z) z + 0( z) Với 0( z) vô bé bậc cao z, tức 0( z) =0 z→0 z lim Rõ ràng f= u+i v, z= x+i y Theo (2) ta có u+i v=( ∂u ∂v + i )( x + i ∂x ∂x y) + 0( z) + i0( z) Từ u= ∂u ∂x x− ∂v ∂x y + 0( z) = ∂u ∂x x+ ∂u ∂y y + 0(| z|) v= ∂v ∂x x+ ∂u ∂x y + 0( z) = ∂v ∂x x+ ∂v ∂y y + 0(| z|) Tức u v khả vi (x, y) Điều kiện đủ: Vì u v khả vi (x, y) nên u= ∂u ∂x x+ ∂u ∂y y + 0( x2 + y2) v= ∂v ∂x x+ ∂v ∂y y + 0( x2 + y2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo điều kiện (1) hai đẳng thức viết thành u= ∂u ∂x x− ∂v ∂x y + 0(| z|) (4) v= ∂v ∂x x+ ∂u ∂x y + 0(| z|) (5) Từ (4) (5) ta có f u v = +i z z z ∂u ∂v x − ∂x ∂x = y + 0( z) z +i ∂u ∂x ∂v ∂u x + i ∂x y − ∂x = + z ∂v 0( z) ∂u +i + = ∂x ∂x z Vì ∂v ∂x x+ ∂u ∂x y + 0( z) z x 0( z) + z ∂v y + i ∂x z ∂u ∂v f = +i z ∂x ∂x lim z→0 Tức f C− khả vi z = x + iy n Định lý 1.1.4 Giả sử chuỗi lũy thừa ∞ n=0 Cn z có bán kính hội tụ R > Khi tổng f (z) chỉnh hình z với |z| < R n−1 đạo hàm phức ∞ n=1 nCn z n−1 có bán Chứng minh Trước hết chứng tỏ chuỗi ∞ n=1 nCn z kính hội tụ R n−1 hội tụ z = chuỗi Thật chuỗi ∞ n=1 nCn z ∞ ∞ nCnz n=1 n−1 nCn z n = n=1 hội tụ Do bán kính hội tụ theo công thức CauchyHadamard lim supn→∞ n |nCn | = limn→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên n |n| lim supn→∞ n |Cn| http://www.lrc-tnu.edu.vn Lấy z0 tùy ý, |z0 | < R Đặt δ(z0 , Trong z) − f (z0) − S(z0 ) z f (z0 + z) = ∞ nCnz n−1 S(z) = , |z| < R n=1 Để chứng minh định lý, ta cần chứng minh: lim δ(z0 , z) = →0 Chọn r cho |z0 | < r < R xét z đủ bé cho |z0 | + | z| < r dễ thấy ∞ δ(z0 , z) = δn (z0, z) n=0 với δn (z0 , z) = z)n − Cnz0n − nCn z0n−1 z (z0 + z)n−1 + (zn + z)n−2z0 + + z0n−1 − nz0n−1 Cn(z0 + =Cn Ta có |δn (z0, Với > tùy ý, chuỗi N ( ) cho z)| ≤ 2n |Cn| rn−1 ∞ n−1 n=1 n |Cn | r hội tụ nên tồn N = ∞ 2n |Cn | rn−1 < n=1 N −1 lim z→0 δn (z0 , z) = n=0 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nên với z đủ nhỏ ta có N −1 δn (z0, z) < n=0 Từ z đủ bé ta có N −1 |δ(z0 , z)| ≤ ∞ δn (z0, |δ(z0, z) + n=0 1.1.2 z)| < n=N Công thức tích phân Cauchy Định lý 1.1.5 Giả sử f hàm chỉnh hình miền Ω z0 ∈ Ω Khi chu tuyến γ ⊂ Ωγ ⊂ Ω ta có công thức tích phân Cauchy f (z0) = 2πi γ f (η) dη η − z0 (1) Nếu f liên tục Ω ∂Ω chu tuyến, với z ∈ Ω ta có: f (η) dη (2) f (z) = 2πi γ η − z Chứng minh Giả sử γ chu tuyến tùy ý vây quanh z0 cho Ωγ ⊂ Ω Chọn ρ > đủ bé để hình tròn D(z0 , ρ) ⊂ Ωγ Ký hiệu Cρ biên D(z0 , ρ) đặt Ωγ,ρ = Ωγ \ D(z0 , ρ) Ωγ,ρ miền - liên, nên ta có: γ∪Cρ− f (η) dη = η − z0 Từ có đẳng thức: γ f (η) dη = η − z0 Cρ f (η) dη η − z0 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên (3) http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Nevanlinna 32 Chương TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN 36 2.1 Toán tử hợp thành không gian H ∞ 36 2.2 Toán tử hợp thành không gian h∞ 42 Kết luận ... Chương HÀM CHỈNH HÌNH MỘT BIẾN VÀ KHÔNG GIAN HARDY TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ 1.1 Hàm chỉnh hình 4 1.2 Hàm điều hòa 14 1.3 Không gian Lp 17 1.4 Mở rộng điều hòa 19 1.5 Không gian. .. tương ứng h∞ ) không gian hàm điều hòa bị chặn trang bị chuẩn sup: f ∞ = sup{|f (z)| : z ∈ D} Ký hiệu S(D) tập ánh xạ chỉnh hình từ D vào D, Với ϕ ∈ S(D) ta thiết lập ánh xạ hợp thành Cϕ : H ∞