Toán tử hợp thành trên không gian các hàm điều hòa bị chặn

2 Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH MỘT BIẾN VÀ KHÔNG GIAN HARDY TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ .... 32 Chương 2 TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN ..... Ký hiệu H∞ tươngứng h∞ là không

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Trang 2

MỤC LỤC

Mở đầu 2

Chương 1 HÀM CHỈNH HÌNH MỘT BIẾN VÀ KHÔNG GIAN HARDY TRÊN ĐĨA ĐƠN VỊ 4

1.1 Hàm chỉnh hình 4

1.2 Hàm điều hòa 14

1.3 Không gian Lp 17

1.4 Mở rộng điều hòa 19

1.5 Không gian Hardy Hp 21

1.6 Định lý Fatou 23

1.7 Tích Blaschke 27

1.8 Lớp Nevanlinna 32

Chương 2 TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG GIAN CÁC HÀM ĐIỀU HÒA BỊ CHẶN 36

2.1 Toán tử hợp thành trên không gian H∞ 36

2.2 Toán tử hợp thành trên không gian h∞ 42

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

Trang 3

MỞ ĐẦU

Cho đĩa đơn vị mở D := {z ∈ C : |z| < 1} Ký hiệu H∞ ( tươngứng h∞ ) là không gian các hàm điều hòa bị chặn được trang bịchuẩn sup:

1 Điều kiện cần và đủ để Cϕ là điểm cô lập trong C(H∞)

2 Một sự tương tự về cấu trúc tôpô của C(h∞) và C(H∞)

Đây là các kết quả được lấy trong bài báo Composition Operators

on the Space of Bounded Harmonic Functions của Choa, Izuchi vàOhno

Bố cục luận văn gồm có hai chương:

• Chương 1: Trước hết tôi trình bày một số kiến thức cơ sở vềhàm chỉnh hình, hàm điều hòa, không gian Hardy và tính chấtcủa không gian Hardy trên đĩa đơn vị

• Chương 2: Tìm điều kiện để Cϕ là điểm cô lập trong C(h∞).Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TSKH NguyễnQuang Diệu ĐHSP Hà Nội, Người Thầy đã tận tình hướng dẫn,giúp đỡ và nghiêm khắc trong khoa học để Tôi hoàn thành bản luậnvăn Tôi xin trân trọng cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo ĐHSP HàNội, Viện Toán học Việt Nam và các thầy cô giáo trong khoa sauĐại học, ĐHSP Thái Nguyên, Đại Học Thái Nguyên đã tận tìnhdạy bảo Tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu tại khoa Tôixin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo, gia đình và bạn bè đồng

Trang 4

nghiệp đã giúp đỡ rất nhiều để Tôi hoàn thành bản luận văn này.

Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bảnchắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mongnhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luậnvăn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn !

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Học viên

Nguyễn Hùng Cường

Trang 5

Chương 1

Hàm chỉnh hình một biến và

không gian Hardy trên đĩa đơn vị

Trong phần này ta giới thiệu các khái niệm và tính chất cơ bản củakhông gian Hardy Hp (1 ≤ p ≤ ∞) trên đĩa đơn vị Đây là đốitượng chủ yếu để ta nghiên cứu toán tử hợp thành trên không giannày

f0(z) = lim

4z→0

f (z + 4z) − f (z)

4zHàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C-khả vi tại z

Định nghĩa 1.1.2 Hàm giá trị phức f xác định trong miền Ω ⊂ Cgọi là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f là C- Khả vi tại

Trang 6

mọi z ∈ D(z0, r) ⊂ Ω.

Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω

Ta có tính chất đơn giản sau:

Tính chất 1.1.1.1 Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập cáchàm chỉnh hình trên Ω, Khi đó:

(i) H(Ω) là một không gian véctơ trên C

Để hàm f C- khả vi tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là hàm

f R2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy-Riemann được thỏa mãn tại

Giả sử fC− khả vi tại z = x + iy ∈ Ω Khi đó tồn tại giới hạn

f0(z) = ∂u

∂x(x, y) + i

∂v

∂x(x, y) (2)Tương tự bằng cách chọn 4z = i 4 y ta có

f0(z) = −i∂u

∂y(x, y) +

∂v

∂y(x, y). (3)

Trang 7

4z→0

0(4z)4z = 0

Rõ ràng

4f = 4u + i 4 v, 4z = 4x + i 4 yTheo (2) ta có

Trang 8

Theo điều kiện (1) hai đẳng thức này có thể viết thành

4u = ∂u

∂x 4 x −

∂v

∂x 4 y + 0(|4z|) (4)4v = ∂v

Vì vậy

lim

4z→0

4f4z =

∂u

∂x + i

∂v

∂xTức là f C− khả vi tại z = x + iy

Định lý 1.1.4 Giả sử chuỗi lũy thừa P∞

n=0Cnzn có bán kính hội

tụ R > 0 Khi đó tổng f(z) của nó chỉnh hình tại mọi z với |z| < R

và đạo hàm phức của nó là P∞

n=1nCnzn−1.Chứng minh Trước hết chứng tỏ chuỗi P∞

n=1nCnzn−1 cũng có bánkính hội tụ R

|nCn| =

1limn→∞ n

p

|n| lim supn→∞ pn

|Cn|

Trang 9

Lấy z0 tùy ý, |z0| < R Đặt

δ(z0, 4z) = f (z0 + 4z) − f (z0)

4z − S(z0)Trong đó

=Cn

(z0 + 4z)n−1 + (zn+ 4z)n−2z0 + + z0n−1 − nz0n−1

Ta có

|δn(z0, 4z)| ≤ 2n |Cn| rn−1Với > 0 tùy ý, vì chuỗi P∞

n=1n |Cn| rn−1 hội tụ nên tồn tại N =

lim

4z→0

NX−1 n=0

δn(z0, 4z) = 0

Trang 10

Nên với 4z đủ nhỏ ta có

N−1X

n=0

δn(z0, 4z)

NX−1 n=0

δn(z0, 4z)

+

∞

X

n=N

|δ(z0, 4z)| <

1.1.2 Công thức tích phân Cauchy

Định lý 1.1.5 Giả sử f là một hàm chỉnh hình trên miền Ω và

z0 ∈ Ω Khi đó mọi chu tuyến γ ⊂ Ωγ ⊂ Ω ta có công thức tíchphân Cauchy

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

|δ(z0, 4z)| <

1.1.2 Cơng thức tích phân Cauchy

Định lý 1.1.5 Giả sử f hàm chỉnh hình miền Ω

z0 ∈ Ω Khi chu tuyến γ ⊂ Ωγ ⊂ Ω ta có

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	289,17 KB