Về tính kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng và đường cong trong không gian Lorentz Minkowski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH - - PHẠM THỊ HIỀN VỀ TÍNH KIỂU KHÔNG GIAN, KIỂU THỜI GIAN, KIỂU ÁNH SÁNG VÀ ĐƢỜNG CONG TRONG KHÔNG GIAN LORENTZMINKOWSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN- 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH - - PHẠM THỊ HIỀN VỀ TÍNH KIỂU KHÔNG GIAN, KIỂU THỜI GIAN, KIỂU ÁNH SÁNG VÀ ĐƢỜNG CONG TRONG KHÔNG GIAN LORENTZMINKOWSKI CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ MÃ SỐ: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN DUY BÌNH NGHỆ AN-2013 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học- trường Đại học Vinh giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học luận văn Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình tận tình giúp đỡ, dày công hướng dẫn, đóng góp ý kiến giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ chuyên ngành Hình học- Tôpô dành nhiều tâm huyết truyền đạt kiến thức quý báu, cảm ơn tập thể học viên khóa 19 chuyên ngành Hình học- Tôpô gia đình bạn bè tạo điều kiện giúp tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Nghệ An, tháng 10 năm 2013 Tác giả luận văn MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………….…………… ……… ….1 Chƣơng 1: Về tính kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng không gian Lorentz-Minkowski I Không gian Lorentz-Minkowski 1.1 Định nghĩa không gian Lorentz-Minkowski 1.2 Các loại vectơ không gian Lorentz-Minkowski II Không gian không gian Lorentz-Minkowski 1.3 Đặc trưng không gian 1.4 Không gian trực giao 1.5 Các mệnh đề tương đương không gian 11 III Các hệ thức liên quan môđun, tích Lorentz vectơ không gian Lorentz-Minkowski 12 1.6 Kiến thức nhắc lại: 13 1.7 Bất đẳng thức Cauchy-Scwharz với vectơ kiểu thời gian không gian Lorentz– Minkowski 𝐸1𝑛 13 1.8 Tích Lorentz vectơ 𝐸13 16 Chƣơng 2: Một số tính chất đƣờng cong không gian LorentzMinkowski 21 I Đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng không gian Lorentz-Minkowski………………………………… 21 2.1 Định nghĩa đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng không gian Lor entz-Minkowski …………………………………………….21 2.2 Các tính chất đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng không gian Lorentz-Minkowski 23 II Độ cong độ xoắn đường cong 𝐸13 24 2.3 Nhận xét 25 2.4 Độ cong độ xoắn đường cong trường hợp: kiểu thời gian, kiểu không gian, kiểu ánh sáng 25 2.5 Đường cong phẳng với độ cong không đổi 35 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 LỜI NÓI ĐẦU Về đường cong không gian Ơclit hình học vi phân cổ điển biết rõ, hình học xây dựng dựa tích vô hướng thông thường, bình phương vectơ không âm Khác với hình học Ơclit, hình học không gian Lorentz-Minkowski xây dựng dựa dạng song tuyến tính đối xứng không xác định dương, bình phương vectơ khác dương, âm 0, từ dẫn đến khác hình học không gian Ơclit không gian Lorentz-Minkowski Vì mong muốn tìm hiểu khác biệt hướng dẫn TS Nguyễn Duy Bình chọn đề tài luận văn "Về tính kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng đường cong không gian Lorentz-Minkowski" Luận văn trình bày chương: Chƣơng I: Về tính kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng không gian Lorentz-Minkowski Trong chương trình bày định nghĩa, kiến thức không gian Lorentz-Minkowski, không gian con, không gian trực giao, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz tích Lorentz vectơ không gian Lorentz-Minkowski Chƣơng II: Một số tính chất đƣờng cong không gian LorentzMinkowski Trong chương trình bày khái niệm đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng tính chất đường cong không gian Lorentz-Minkowski, nghiên cứu độ cong độ xoắn trường hợp cụ thể đường cong để khác biệt với không gian Ơclit Vì kiến thức nhiều hạn chế thời gian có hạn nên luận văn có nhiều thiếu sót nội dung lẫn hình thức, mong nhận bảo, góp ý Thầy Cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chúng xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng 10 năm 2013 Học viên Phạm Thị Hiền CHƢƠNG 1: VỀ TÍNH KIỂU KHÔNG GIAN, KIỂU THỜI GIAN, KIỂU ÁNH SÁNG TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI Về tính chất không gian Lorentz-Minkowski, không gian không gian Lorentz-Minkowski bất đẳng thức Cauchy-Scwhart nghiên cứu nhiều tài liệu tài liệu [5], tài liệu [6]…với mong muốn tìm hiểu thêm tính chất cách chi tiết tiếp tục nghiên cứu không gian Lorentz-Minkowski với tính chất mở rộng không gian n-chiều để làm kiến thức sở cho chương sau I Không gian Lorentz-Minkowski 1.1 Định nghĩa không gian Lorentz-Minkowski: 1.1.1 Định nghĩa (xem [6]): Xét không gian afin 𝑅𝑛 với không gian vectơ 𝑅𝑛 Trên không gian vectơ ta trang bị tích vô hướng xác định bởi: 𝑛 𝑥, 𝑦 = −𝑥1 𝑦1 + 𝑥𝑘 𝑦𝑘 𝑘=2 với 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑦 = 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ∈ 𝑅𝑛 Khi đó, không gian 𝑅𝑛 trở thành không gian giả Ơclit số gọi không gian Lorentz – Minkowski Kí hiệu 𝐸1𝑛 với 𝐸1𝑛 = 𝑅𝑛 , , 1.1.2 Định nghĩa (xem [5]): Với 𝑥 ∈ 𝐸1𝑛 ta gọi môđun chuẩn vectơ x số hiệu: 𝑥 = 𝑥, 𝑥 kí 𝑥, 𝑥 Vectơ x gọi vectơ đơn vị có môđun  Nếu x vectơ kiểu không gian ta viết 𝑥 =  Nếu x vectơ kiểu thời gian ta viết 𝑥 = 𝑥, 𝑥 − 𝑥, 𝑥 1.1.3 Định nghĩa (xem [6]): Hai vectơ 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸1𝑛 ; 𝑥, 𝑦 ≠ gọi trực giao với thỏa mãn 𝑥, 𝑦 = 1.1.4 Định nghĩa (xem [5]): Hệ vectơ 𝑎1 , 𝑎2 … , 𝑎𝑛 thỏa mãn 𝑎1 , 𝑎1 = −1; 𝑎𝑖 , 𝑎𝑖 = 1; 𝑖, 𝑗 = 2, 𝑛; 𝑎𝑖 , 𝑎𝑗 = 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗; 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛 gọi sở trực chuẩn không gian Lorentz – Minkowski 𝐸1𝑛 1.1.5 Ví dụ : Hệ vectơ 𝑒1 , … , 𝑒𝑛 với 𝑒1 1,0, ,0 ; 𝑒2 0,1, ,0 ; … ; 𝑒𝑛 0,0, ,1 có ta 𝑒1 , 𝑒1 = −1; 𝑒𝑖 , 𝑒𝑖 = 1; ∀𝑖 = 2, 𝑛; 𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 = 0, ∀𝑖 ≠ 𝑗; 𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛 Khi hệ 𝑒1 , 𝑒2 , … 𝑒𝑛 sở trực chuẩn không gian Lorentz- Minkowski𝐸1𝑛 1.1.6 Nhận xét (xem [6]): Kí hiệu vectơ 𝑥 ∈ 𝑅𝑛−1 với 𝑥 = 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥𝑛 Khi ta có 𝑥, 𝑥 = −𝑥12 + |𝑥 |2 |𝑥 | môđun 𝑥 𝑅𝑛−1 với tích vô hướng tự nhiên 1.2 Các loại vectơ không gian Lorentz-Minkowski 1.2.1 Định nghĩa (xem [5]): Cho vectơ 𝑥 ∈ 𝐸1𝑛 Khi :  𝑥 gọi vectơ kiểu không gian 𝑥, 𝑥 > 𝑥 =  𝑥 gọi vectơ kiểu thời gian 𝑥, 𝑥 <  𝑥 gọi vectơ kiểu ánh sáng 𝑥, 𝑥 = 𝑥 ≠ Trong không gian 𝐸13 tài liệu [5] người ta có ví dụ vectơ kiểu thời gian, kiểu không gian kiểu ánh sáng, xét ví dụ tương tự vectơ kiểu thời gian, kiểu không gian kiểu ánh sáng không gian 𝐸1𝑛 1.2.2 Ví dụ : Trong không gian 𝐸1𝑛 ; ∀𝑛 ≥ với sở trực chuẩn 𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛 , đó:  𝑒1 vectơ kiểu thời gian vì: 𝑒1 , 𝑒1 = −1 <  𝑒2 , … , 𝑒𝑛 vectơ kiểu không gian vì: 𝑒2 , 𝑒2 = > 𝑒𝑛 , 𝑒𝑛 = >  𝑒𝑖 +𝑒𝑗 ; 𝑖, 𝑗 = 2, 𝑛 vectơ kiểu không gian vì: 𝑒𝑖 + 𝑒𝑗 , 𝑒𝑖 + 𝑒𝑗 = 𝑒𝑖2 + 𝑒𝑖 , 𝑒𝑗 + 𝑒𝑗2 = >  𝑒1 + 𝑒2 +… + 𝑒𝑛 vectơ kiểu không gian vì: 𝑒1 + 𝑒2 + ⋯ + 𝑒𝑛 , 𝑒1 + 𝑒2 + ⋯ + 𝑒𝑛 = 𝑒12 + 𝑒22 + ⋯ + 𝑒𝑛2 + 𝑒1 , 𝑒2 + 𝑒2 , 𝑒3 + ⋯ + 𝑒𝑛 , 𝑒1 = −1 + + ⋯ + = 𝑛 − >  𝑒1 +𝑒𝑖 ; ∀𝑖 = 2, 𝑛 vectơ kiểu ánh sáng vì: 𝑒1 + 𝑒𝑖 , 𝑒1 + 𝑒𝑖 = 𝑒12 + 𝑒1 , 𝑒𝑖 + 𝑒𝑖2 = −1 + = Mặt khác: 𝑒1 + 𝑒𝑖 = 1, … 0,1,0 … ,0 ≠ 0, … ,0 (1 vị trí thứ 𝑖; ∀𝑖 = 2, 𝑛) Tương tự 𝑒1 − 𝑒𝑖 ; ∀𝑖 = 2, 𝑛 vectơ kiểu ánh sáng 1.2.3 Mệnh đề (xem [2]): Cho không gian Lorentz – Minkowski 𝐸1𝑛 đó: i) Hai vectơ kiểu ánh sáng phụ thuộc tuyến tính trực giao với ii) Hệ vectơ gồm hai vectơ khác loại độc lập tuyến tính với iii) Với 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸1𝑛 𝑥 ≠ 0, 𝑦, 𝑦 < 0, 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑥 > Nói cách khác, vectơ khác trực giao với vectơ kiểu thời gian vectơ kiểu không gian 1.2.4 Chú ý (xem [2]): Một vectơ trực giao với vectơ kiểu không gian chưa vectơ kiểu thời gian Vectơ trùng pháp tuyến 𝐵 𝑠 : 𝐵 𝑠 = 𝑇 𝑠 ⨂𝑁 𝑠 , vectơ 𝐵 𝑠 vectơ đơn vị kiểu không gian Độ xoắn 𝛼 𝑠 : 𝜏 𝑠 = 𝑁′ 𝑠 , 𝐵 𝑠 Với 𝑠 𝑇, 𝑁, 𝐵 mục tiêu trực chuẩn 𝐸13 ta gọi mục tiêu Frenet 𝛼 Bây ta tìm cách biểu diễn 𝑇′, 𝑁′, 𝐵′ qua mục tiêu trực chuẩn 𝑇, 𝑁, 𝐵 + Trước hết ta có: 𝑁 𝑠 = 𝑇′ 𝑠 /𝑘 𝑠 ⇒ 𝑇′ 𝑠 = 𝑘 𝑠 𝑁 𝑠 (∗) 𝑁 𝑠 ,𝐵 𝑠 = ⇒ 𝑁′ 𝑠 , 𝐵 𝑠 = − 𝐵′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 ⇒ 𝜏 = − 𝐵′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 𝑁 𝑠 ,𝑁 𝑠 = ⇒ 𝑁′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 (1) = ⇒ 𝑁′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 =0 + ∀𝑠, 𝑇, 𝑁, 𝐵 mục tiêu trực chuẩn 𝐸13 nên ta biểu diễn 𝑁 𝑠 dạng: 𝑁′ 𝑠 = 𝜆1 𝑇 𝑠 + 𝜆2 𝑁 𝑠 + 𝜆3 𝐵 𝑠 (2), lấy tích vô hướng hai vế (2) với 𝑁 𝑠 ta được: 𝑁′ 𝑠 , 𝑁(𝑠) = 𝜆2 𝑁 𝑠 , 𝑁(𝑠) = 𝜆2 ⇒ 𝜆2 = Khi 𝑁′ 𝑠 = 𝜆1 𝑇 𝑠 + 𝜆3 𝐵 𝑠 (3) Ta có 𝑇 𝑠 , 𝑁 𝑠 = ⇒ = 𝑇′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 ⇒ = 𝑘𝑁 𝑠 , 𝑁 𝑠 + 𝑇 𝑠 , 𝑁′ 𝑠 + 𝑇 𝑠 , 𝜆1 𝑇 𝑠 + 𝜆3 𝐵 𝑠 ⇒ = 𝑘 + 𝑇 𝑠 , 𝜆1 𝑇 𝑠 + 𝑇 𝑠 , 𝜆3 𝐵 𝑠 ⇒ = 𝑘 + 𝜆1 𝑇 𝑠 , 𝑇 𝑠 + 𝜆3 𝑇 𝑠 , 𝐵 𝑠 ⇒ = 𝑘 − 𝜆1 (vì 𝛼 đường cong kiểu thời gian nên 𝑇 𝑠 , 𝑇 𝑠 = −1) ⇒ 𝜆1 = 𝑘 Lấy tích vô hướng hai vế (3) với 𝐵 𝑠 ta : 𝑁′ 𝑠 , 𝐵(𝑠) = 𝜆3 𝐵 𝑠 , 𝐵(𝑠) = 𝜆3 Mà 𝑁 𝑠 , 𝐵 𝑠 = ⇒ 𝑁′ 𝑠 , 𝐵 𝑠 = − 𝐵′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 26 ⇒ 𝜆3 = 𝜏(theo (1)) Vậy 𝑁′ 𝑠 = 𝑘𝑇 𝑠 + 𝜏𝐵 𝑠 (∗∗) + Do 𝐵 𝑠 , 𝑇 𝑠 = ⇒ 𝐵′ 𝑠 , 𝑇 𝑠 ⇒ 𝐵′ 𝑠 ⊥ 𝑇 𝑠 Khi = − 𝐵 𝑠 , 𝑇′ 𝑠 = − 𝐵 𝑠 , 𝑘𝑁 = 𝐵′ 𝑠 ⊥ 𝐵 𝑠 ; 𝐵′ 𝑠 ⊥ 𝑇 𝑠 (1) , từ (1) (2) suy 𝑁 𝑠 ⊥ 𝐵 𝑠 ; 𝑁 𝑠 ⊥ 𝑇 𝑠 (2) 𝐵′ 𝑠 phương với 𝑁 𝑠 , hay nói cách khác tồn số 𝜆 cho 𝐵′ 𝑠 = 𝜆𝑁 𝑠 (3), lấy tích vô hướng hai vế (3) với −𝑁 𝑠 ta được: − 𝐵′ 𝑠 , 𝑁(𝑠) = −𝜆 𝑁 𝑠 , 𝑁 𝑠 = −𝜆 ⇒ 𝜏 = −𝜆(4) Vậy 𝐵′ 𝑠 = −𝜏𝑁(𝑠) (∗∗∗) Từ (∗)(∗∗)và (∗∗∗) ta có : 𝑇′ 𝑠 = 𝑘 𝑠 𝑁 𝑠 𝑁′ 𝑠 = 𝑘 𝑠 𝑇 𝑠 + 𝜏 𝑠 𝐵 𝑠 𝐵′ 𝑠 = −𝜏 𝑠 𝑁 𝑠 Từ ta thu phương trình Frenet sau : 𝑇′ 𝑁′ = 𝑘 𝐵′ 𝑘 −𝜏 𝜏 𝑇 𝑁 𝐵 2.4.2 Trƣờng hợp kiểu không gian : Ta giả sử 𝛼 đường cong kiểu không gian Khi có khả xảy tùy thuộc vào tính chất 𝑇′ 𝑠 : * Vectơ 𝑻′ 𝒔 kiểu không gian Khi đó: + Độ cong 𝛼 s 𝑘 𝑠 = 𝑇′ 𝑠 + Vectơ pháp tuyến N : 𝑁 𝑠 = 𝑇′ 𝑠 /𝑘 𝑠 + Vectơ trùng pháp tuyến 𝐵 𝑠 : 𝐵 𝑠 = 𝑇 𝑠 ⨂𝑁 𝑠 , + Độ xoắn 𝛼 𝑠 : 𝜏 𝑠 = − 𝑁′ 𝑠 , 𝐵 𝑠 27 Với 𝑠 𝑇, 𝑁, 𝐵 mục tiêu Frenet 𝛼 Bây ta tìm cách biểu diễn 𝑇′, 𝑁′, 𝐵′ qua mục tiêu 𝑇, 𝑁, 𝐵 , tương tự trường hợp đường cong kiểu thời gian ta có : 𝑁 𝑠 = 𝑁 𝑠 ,𝐵 𝑠 𝑇′ 𝑠 ⇒ 𝑇′ 𝑠 = 𝑘 𝑠 𝑁 𝑠 (∗) 𝑘 𝑠 = ⇒ − 𝑁′ 𝑠 , 𝐵 𝑠 𝑁 𝑠 ,𝑁 𝑠 = 𝐵′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 = ⇒ 𝑁′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 ⇒ 𝜏 = 𝐵′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 = ⇒ 𝑁′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 =0 + ∀𝑠 ∈ 𝐼 ta biểu diễn 𝑁 𝑠 dạng: 𝑁′ 𝑠 = 𝜆1 𝑇 𝑠 + 𝜆2 𝑁 𝑠 + 𝜆3 𝐵 𝑠 (2) lấy tích vô hướng hai vế (2) với 𝑁 𝑠 ta được: 𝑁′ 𝑠 , 𝑁(𝑠) = 𝜆2 𝑁 𝑠 , 𝑁(𝑠) = 𝜆2 ⇒ 𝜆2 = Khi 𝑁′ 𝑠 = 𝜆1 𝑇 𝑠 + 𝜆3 𝐵 𝑠 (3) Ta có 𝑇 𝑠 , 𝑁 𝑠 = ⇒ = 𝑇′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 ⇒ = 𝑘𝑁 𝑠 , 𝑁 𝑠 + 𝑇 𝑠 , 𝑁′ 𝑠 + 𝑇 𝑠 , 𝜆1 𝑇 𝑠 + 𝜆3 𝐵 𝑠 ⇒ = 𝑘 + 𝑇 𝑠 , 𝜆1 𝑇 𝑠 + 𝑇 𝑠 , 𝜆3 𝐵 𝑠 ⇒ = 𝑘 + 𝜆1 𝑇 𝑠 , 𝑇 𝑠 + 𝜆3 𝑇 𝑠 , 𝐵 𝑠 ⇒ = 𝑘 + 𝜆1 (vì 𝛼 đường cong kiểu không gian nên 𝑇, 𝑇 = 1) ⇒ 𝜆1 = −𝑘 Lấy tích vô hướng hai vế (3) với 𝐵 𝑠 ta : 𝑁′ 𝑠 , 𝐵(𝑠) = 𝜆3 𝐵 𝑠 , 𝐵(𝑠) = 𝜆3 Mà 𝑁 𝑠 , 𝐵 𝑠 = ⇒ 𝑁′ 𝑠 , 𝐵 𝑠 = − 𝐵′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 (1)) Vậy 𝑁 ′ 𝑠 = −𝑘𝑇 𝑠 − 𝜏𝐵 𝑠 (∗∗) + Do 𝐵 𝑠 , 𝑇 𝑠 =0 28 ⇒ 𝜆3 = −𝜏 (theo (1) ⇒ 𝐵′ 𝑠 , 𝑇 𝑠 = − 𝐵 𝑠 , 𝑇′ 𝑠 = −𝑘 𝐵 𝑠 , 𝑁 𝑠 = ⇒ 𝐵′ 𝑠 ⊥ 𝑇 𝑠 𝐵′ 𝑠 ⊥ 𝐵 𝑠 ; 𝐵′ 𝑠 ⊥ 𝑇 𝑠 (1) , từ (1) (2) suy 𝐵′ 𝑠 𝑁 𝑠 ⊥ 𝐵 𝑠 ; 𝑁 𝑠 ⊥ 𝑇 𝑠 (2) phương với 𝑁 𝑠 , hay nói cách khác tồn số 𝜆 cho 𝐵′ 𝑠 = 𝜆𝑁 𝑠 Khi (3), lấy tích vô hướng hai vế (3) với 𝑁 𝑠 ta được: 𝐵′ 𝑠 , 𝑁(𝑠) = 𝜆 𝑁 𝑠 , 𝑁 𝑠 = 𝜆 ⇒ 𝜏 = 𝜆 Vậy 𝐵′ 𝑠 = 𝜏𝑁(𝑠) (∗∗∗) Từ (∗)(∗∗)và (∗∗∗) ta có : 𝑇′ 𝑠 = 𝑘 𝑠 𝑁 𝑠 𝑁 ′ (𝑠) = −𝑘 𝑠 𝑇 𝑠 − 𝜏 𝑠 𝐵 𝑠 𝐵′ 𝑠 = 𝜏 𝑠 𝑁 𝑠 𝑇′ Khi phương trình Frenet : 𝑁′ = −𝑘 𝐵′ 𝑘 𝜏 −𝜏 𝑇 𝑁 𝐵 * Vectơ 𝑻′ 𝒔 kiểu thời gian Khi 𝑇′ 𝑠 , 𝑇′ 𝑠 < 0, đặt 𝑘 𝑠 = − 𝑇′ 𝑠 , 𝑇′ 𝑠 Khi ta định nghĩa: + 𝑘 𝑠 độ cong 𝛼 s + Vectơ pháp tuyến N : 𝑁 𝑠 = 𝑇′ 𝑠 /𝑘 𝑠 + Vectơ trùng pháp tuyến 𝐵 𝑠 : 𝐵 𝑠 = 𝑇 𝑠 ⨂𝑁 𝑠 vectơ đơn vị kiểu không gian + Độ xoắn 𝛼 : 𝜏 = 𝑁′ 𝑠 , 𝐵 𝑠 Tương tự trường hợp ta có phương trình Frenet : 𝑇′ 𝑁′ = −𝑘 𝐵′ 29 𝑘 𝜏 𝜏 𝑇 𝑁 𝐵 * Vectơ 𝑻′ 𝒔 kiểu ánh sáng Vectơ T′ s kiểu ánh sáng với s (nhớ lại T′ s ≠ không tỷ lệ với T s ) Khi ta định nghĩa vectơ pháp tuyến 𝑁 𝑠 = 𝑇′ 𝑠 độc lập tuyến tính với T s Cho 𝐵 𝑠 vectơ kiểu ánh sáng cho 𝑁 𝑠 , 𝐵 𝑠 =1 𝐵 𝑠 trực giao với 𝑇(𝑠) Vectơ 𝐵 𝑠 gọi vectơ trùng pháp tuyến 𝛼 s 𝑇′ Khi phương trình Frenet : 𝑁′ = 𝜏 −1 𝐵′ 0 −𝜏 𝑇 𝑁 𝐵 Hàm 𝜏 gọi hàm độ xoắn 𝛼 định nghĩa hàm độ cong 𝛼 2.4.3 Trƣờng hợp kiểu ánh sáng : + Đường tham số quy 𝛼 kiểu ánh sáng gọi đường tham số giả độ dài cung 𝛼′′ 𝑠 = 1, ∀𝑠 ∈ 𝐼 𝛼′′ 𝑠 vectơ kiểu không gian + Vectơ tiếp xúc 𝑇 𝑠 = 𝛼′ 𝑠 , ∀𝑠 ∈ 𝐼 + Vectơ pháp tuyến N : 𝑁 𝑠 = 𝑇′ 𝑠 , ∀𝑠 ∈ 𝐼 + Vectơ trùng pháp tuyến 𝐵 𝑠 kiểu ánh sáng trực giao với 𝑁 𝑠 cho 𝑇 𝑠 , 𝐵 𝑠 = 1, ∀𝑠 ∈ 𝐼 𝑇′ Phương trình Frenet : 𝑁′ = 𝜏 𝐵′ −𝜏 −1 𝑇 𝑁 𝐵 hàm 𝜏 hàm độ xoắn 𝛼, trường hợp 𝛼 đường cong kiểu không gian 𝑇 ′ kiểu ánh sáng không xác định độ cong 𝛼 2.4.4 Nhận xét (xem [5]): Tương tự không gian Euclid người ta tìm thấy công thức hàm độ cong độ xoắn đường cong 30 không gian Lorentz-Minkowski trường hợp đường cong không biểu diễn tham số hóa độ dài cung Ví dụ cho đường cong 𝛼 kiểu thời gian, độ cong độ xoắn 𝛼 xác định sau : 𝛼′ 𝑠 ⨂𝛼′′ 𝑠 𝛼′ 𝑠 𝑘𝛼 𝑠 = 𝜏 𝑠 = = 𝛼′ 𝑠 ⨂𝛼′′ 𝑠 − 𝛼′ 𝑠 , 𝛼′ 𝑠 3/2 , 𝑑𝑒𝑡 𝛼′ 𝑠 , 𝛼′′ 𝑠 , 𝛼′′′ 𝑠 𝛼′ 𝑠 ⨂𝛼′′ 𝑠 Có toán trở nên quen thuộc không gian Ơclit tính độ cong, độ xoắn đường cong liệu không gian LorentzMinkowski tính độ cong độ xoắn đường cong hay không ? Sau cúng tìm hiểu câu trả lời qua vi dụ sau : 2.4.5 Ví dụ 1: Tính độ cong, độ xoắn mục tiêu Frenet đường cong cho 𝑠 𝑠 𝑠 𝛼(𝑠) = 𝑏 , 𝑎 𝑐𝑜𝑠 , 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑐 𝑐 𝑐 với 𝑐 = 𝑎2 − 𝑏 ; 𝑎 ≠ 0, 𝑐 ≠ Giải : Ta có 𝑇 𝑠 = 𝛼′ 𝑠 = 𝛼′ 𝑠 , 𝛼′ 𝑠 𝑏 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 , − 𝑠𝑖𝑛 , 𝑐𝑜𝑠 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑏 𝑎2 𝑎2 − 𝑏 𝑐 =− 2+ = = = > ⇒ 𝛼′ 𝑠 𝑐 𝑐 𝑐2 𝑐 =1 suy 𝛼 đường cong kiểu không gian quy với tham số hóa độ dài cung Ta có 𝑇 ′ (𝑠) = 0, − ′ ′ ⇒ 𝑇 𝑠 ,𝑇 𝑠 𝑎 𝑠 𝑎 𝑠 𝑐𝑜𝑠 , − 𝑠𝑖𝑛 𝑐2 𝑐 𝑐2 𝑐 𝑎2 𝑠 𝑎2 𝑠 = 𝑐𝑜𝑠 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 31 ′ ′ ⇒ 𝑇 𝑠 ,𝑇 𝑠 𝑎2 𝑠 𝑠 = 𝑠𝑖𝑛2 + 𝑐𝑜𝑠 ⇒ 𝑇 ′ 𝑠 , 𝑇 ′ 𝑠 𝑐 𝑐 𝑐 𝑎2 = >0 𝑐 suy 𝑇 ′ 𝑠 vectơ kiểu không gian Vậy áp dụng trường hợp đường cong kiểu không gian vectơ 𝑇 ′ 𝑠 kiểu không gian ta tính độ cong độ xoắn đường cong sau: Ta có độ cong đường cong 𝛼 : 𝑘 𝑠 = 𝑇′ 𝑠 = 𝑎 𝑐2 Mặt khác ta có : 𝑇′ 𝑠 𝑠 𝑠 𝑁 𝑠 = = 0, −𝑐𝑜𝑠 , −𝑠𝑖𝑛 ≠ 𝑘 𝑠 𝑐 𝑐 𝑎 𝑏 𝑠 𝑏 𝑠 𝐵 𝑠 = 𝑇 𝑠 ⨂𝑁 𝑠 = − , 𝑠𝑖𝑛 , − 𝑐𝑜𝑠 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝐵′ 𝑠 = 0, 𝑏 𝑠 𝑏 𝑠 𝑐𝑜𝑠 , 𝑠𝑖𝑛 𝑐2 𝑐 𝑐2 𝑐 Vậy độ xoắn đường cong 𝛼 : 𝜏 = − 𝑁 ′ 𝑠 , 𝐵(𝑠) = 𝐵′ 𝑠 , 𝑁(𝑠) = − 𝑏 𝑠 𝑏 𝑠 𝑏 2 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 = − 𝑐2 𝑐 𝑐2 𝑐 𝑐2 Và phương trình Frenet tính theo công thức 𝑇′ 𝑁′ = −𝑘 𝐵′ 𝑘 𝜏 −𝜏 𝑇 𝑁 𝐵 2.4.6 Ví dụ 2: Tính độ cong, độ xoắn mục tiêu Frenet đường cong cho 𝑠2 𝑠2 𝛼 𝑠 = 𝑙𝑛𝑠 − , 2𝑠, 𝑙𝑛𝑠 + ; ∀𝑠 > 2 2 32 Giải : Ta có 𝑇 𝑠 = 𝛼 ′ (𝑠) = ⇒ 𝛼′ 𝑠 − 𝑠2 + 𝑠2 , 2, ⇒ 𝛼′ 𝑠 , 𝛼′ 𝑠 𝑠 𝑠 2 =1>0 = Vậy 𝛼 đường cong kiểu không gian quy với tham số hóa độ dài cung 𝑠2 + 𝑠2 − 𝑇′ 𝑠 = − , 0, ⇒ 𝑇′ 𝑠 , 𝑇′ 𝑠 2 𝑠 𝑠 2 =− 𝑘 𝑠 𝑠 𝑠 − 𝑠2 + 𝑠2 𝐵 𝑠 = 𝑇 𝑠 ⨂𝑁 𝑠 = , −2, 𝑠 𝑠 2 1 + 𝑠2 𝑠2 − 𝐵′ 𝑠 = − , 0, 𝑠2 𝑠2 2 Vậy độ xoắn đường cong 𝛼 : ′ 𝜏 = − 𝐵 𝑠 ,𝑁 𝑠 ⇒𝑘=𝜏= 2𝑠 + 𝑠2 =− − 𝑠3 2 𝑠2 − + 𝑠3 Và phương trình Frenet tính theo công thức 33 = 2𝑠 𝑇′ 𝑁′ = −𝑘 𝐵′ 𝑘 𝜏 𝜏 𝑇 𝑁 𝐵 2.4.7 Ví dụ 3: Tính độ cong, độ xoắn mục tiêu Frenet đường cong cho 𝛼 𝑠 = 𝑠, 𝑐𝑜𝑠𝑠, 𝑠𝑖𝑛𝑠 , ∀𝑠 ∈ 𝐼 Giải : Ta có 𝑇 𝑠 = 𝛼′ 𝑠 = 1, −𝑠𝑖𝑛𝑠, 𝑐𝑜𝑠𝑠 ⇒ 𝛼′ 𝑠 , 𝛼′ 𝑠 = −1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 𝑠 = ⇒ 𝛼′ 𝑠 =0 Do 𝛼 đường cong kiểu ánh sáng Ta có 𝛼′′ 𝑠 = 0, −𝑐𝑜𝑠𝑠, −𝑠𝑖𝑛𝑠 ⇒ 𝛼′′ 𝑠 , 𝛼′′ 𝑠 = 𝑐𝑜𝑠 𝑠 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑠 = > suy 𝛼′′ 𝑠 vectơ đơn vị kiểu không gian 𝛼 tham số hóa giả độ dài cung Vậy áp dụng trường hợp đường cong kiểu ánh sáng với tham số hóa giả độ dài cung ta tính độ xoắn đường cong sau: Vectơ tiếp xúc 𝑇 𝑠 = 𝛼′ 𝑠 = 1, −𝑠𝑖𝑛𝑠, 𝑐𝑜𝑠𝑠 Vectơ pháp tuyến 𝑁 𝑠 = 𝑇 ′ 𝑠 = 0, −𝑐𝑜𝑠𝑠, −𝑠𝑖𝑛𝑠 ≠ Vectơ trùng pháp tuyến vectơ kiểu ánh sáng trực giao với N(s) thỏa mãn 𝑇 𝑠 , 𝐵 𝑠 = 1, ∀𝑠 ∈ 𝐼 Giả sử 𝐵 𝑠 = 𝑥 𝑠 , 𝑦 𝑠 , 𝑧 𝑠 ta có hệ phương trình : −𝑥 𝑠 + 𝑦 𝑠 + 𝑧 𝑠 = 𝐵, 𝐵 = 𝐵, 𝑁 = ⇔ (∗) −𝑦 𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑠 − 𝑧 𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑠 = 𝑇, 𝐵 = −𝑥 𝑠 − 𝑦 𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑠 − 𝑧 𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑠 = 1 1 2 Giải hệ phương trình ta 𝑥 = − ; 𝑦 = − 𝑠𝑖𝑛𝑠; 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑠 Vậy vectơ trùng pháp tuyến là: 𝐵 𝑠 = 1 −1, −𝑠𝑖𝑛𝑠, 𝑐𝑜𝑠𝑠 ⇒ 𝐵′ 𝑠 = 0, −𝑐𝑜𝑠𝑠, −𝑠𝑖𝑛𝑠 2 34 Vậy độ xoắn đường cong 𝛼 𝜏 = − 𝐵′ 𝑠 , 𝑁 𝑠 Và phương trình Frenet 𝑇′ 𝑁′ = 𝜏 0 −𝜏 𝐵′ =− −1 𝑇 𝑁 𝐵 2.4.8 Định lý (xem [5]): Cho 𝑘: 𝐼 ⟶ 𝑅 hàm trơn P mặt phẳng kiểu thời gian Khi tồn đường cong kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian) P với độ cong k 2.5 Đƣờng cong phẳng với độ cong không đổi 2.5.1 Định lý (xem [5]): Cho 𝛼 đường cong kiểu thời gian với tham số hóa độ dài cung chứa mặt phẳng kiểu thời gian Cho 𝑣 vectơ đơn vị cố định mặt phẳng định hướng, cho 𝜃 𝑠 góc hyperbolic 𝑇 𝑠 𝑣 Khi 𝑘 𝑠 = 𝜃′ 𝑠 2.5.2 Mệnh đề (xem [5]): Cho 𝛼 đường cong kiểu thời gian kiểu không gian tham số hóa độ dài cung xác định khác không Khi 𝛼 đường cong phẳng 𝜏 =0 Chứng minh: Giả sử 𝛼 đường cong kiểu thời gian kiểu không gian tham số hóa độ dài cung xác định khác không ⟹ Giả sử 𝜏 =0 theo công thức Frenet ta có 𝐵′ = 0, suy 𝐵 = 𝑐 (𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) với 𝑐 = Do 𝐵 𝑠 𝑇 𝑠 = 0; ∀𝑠 ∈ 𝐼 tức là: 𝑐 𝛼′ 𝑠 = 0; ∀𝑠 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑐 𝛼 𝑠 = 𝜆(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) Chọn 𝑠0 ∈ 𝐼 cố định ta có: 𝑐 𝛼 𝑠 − 𝛼 𝑠0 35 = 0; ∀𝑠 ∈ 𝐼 Do vết 𝛼 nằm mặt phẳng qua điểm 𝑝 = 𝛼 𝑠0 với pháp vectơ 𝑐 Vậy 𝛼 đường cong phẳng ⟸ Ngược lại giả sử vết 𝛼 nằm mặt phẳng qua điểm 𝑝 với pháp vectơ 𝑐 Ta có: 𝑐 𝛼 𝑠 − 𝑝 = 0; ∀𝑠 ∈ 𝐼 (∗) Đạo hàm (∗) ta được: 𝑐 𝛼′ 𝑠 = 𝑐 𝛼′′ 𝑠 = 0; ∀𝑠 ∈ 𝐼 Suy 𝑐(𝑠) phương với 𝐵(𝑠), ∀𝑠 ∈ 𝐼 (vì 𝑇 = 𝛼′ mà 𝑇 𝐵 = 𝑇 𝑐 = 0) Do 𝐵 = nên 𝐵 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, 𝐵′ = 𝜏 = Vậy 𝛼 đường cong phẳng 𝜏 =0 Trong tài liệu [4] có tập nói điều kiện tương đương đường cong phẳng không gian Ơclit, với mong muốn tìm hiểu tính chất tương tự không gian Lorentz-Minkowski nên mở rộng tập từ không gian Ơclit lên không gian Lorentz-Minkowski đến tính chất sau: 2.5.3 Mệnh đề: Nếu đường cong song quy kiểu thời gian kiểu không gian (mà T′ s kiểu thời gian kiểu không gian) E13 mà mặt phẳng mật tiếp thỏa mãn điều kiện: a) Thẳng góc với phương cố định b) Song song với đường thẳng cố định (và tiếp tuyến không song song với đường thẳng đó) c) Đi qua điểm cố định (và tiếp tuyến không qua điểm đó) đường cong phẳng Chứng minh: Giả sử đường cong song quy cần tìm có tham số hóa tự nhiên 𝑟: 𝑠 ⟶ 𝑟(𝑠) ∈ 𝐸13 Ta xét trường hợp đường cong song quy : * Trường hợp đường cong song quy kiểu thời gian Ta có : 36 𝑇 𝑠 = 𝛼′ 𝑠 𝑁 𝑠 = 𝛼′′ 𝑠 𝛼′′ 𝑠 ≠0 𝐵 𝑠 = 𝑇 𝑠 ⨂𝑁 𝑠 ; 𝐵′ 𝑠 = −𝜏 𝑠 𝑁 𝑠 Khi vectơ trùng pháp tuyến 𝐵 vuông góc với mặt phẳng mật tiếp đường cong song quy Do ta có: a) Mặt phẳng mật tiếp vuông góc với phương cố định tương đương với điều kiện vectơ trùng pháp tuyến 𝐵 vectơ hằng, suy : 𝐵′ = ⇒ −𝜏 𝑁 = ⇒ 𝜏 = điểm cung (vì 𝑁 ≠ 0, ∀𝑠 ∈ 𝐼) Vậy đường cong phẳng (theo định lý 2.3.4) b) Giả sử đường thẳng mật tiếp có vectơ phương đơn vị 𝑎, mặt phẳng điểm song song với có nghĩa 𝐵 𝑎 = ⇔ −𝜏 𝑁 𝑎 = mà 𝑁 𝑎 ≠ tiếp tuyến không song song với Suy 𝜏 = điểm Vậy đường cong phẳng c) Chọn hệ tọa độ đề vuông góc Oxyz có gốc O trùng với điểm cố định mà mặt phẳng mật tiếp qua Ta có : 𝑂𝑟 𝐵 = 0, ∀𝑠 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑟 ′ 𝐵 + 𝐵′ 𝑂𝑟 = ⇔ 𝑇 𝐵 + (- 𝜏 𝑁) 𝑂𝑟 = Mà ta có 𝑇 𝐵 = 𝑁 𝑂𝑟 ≠ (vì tiếp tuyến không qua điểm O) Suy 𝜏 = 0, ∀𝑠 ∈ 𝐼 Vậy đường cong phẳng mặt phẳng chứa điểm O * Trường hợp đường cong song quy kiểu không gian với 𝑻′ 𝒔 kiểu thời gian không gian Ta có: 𝑇 𝑠 = 𝛼′ 𝑠 37 𝑁 𝑠 = 𝛼′′ 𝑠 𝛼′′ 𝑠 ≠0 𝐵 𝑠 = 𝑇 𝑠 ⨂𝑁 𝑠 ; 𝐵′ 𝑠 = 𝜏 𝑠 𝑁 𝑠 Khi vectơ trùng pháp tuyến 𝐵 vuông góc với mặt phẳng mật tiếp đường cong song quy Do hoàn toàn tương tự trường hợp đường cong song quy kiểu thời gian, ta có : a) Mặt phẳng mật tiếp vuông góc với phương cố định tương đương với điều kiện vectơ trùng pháp tuyến 𝐵 vectơ hằng, suy 𝐵′ = ⇒ 𝜏 𝑁 = ⇒ 𝜏 = điểm cung (vì 𝑁 ≠ 0, ∀𝑠 ∈ 𝐼) Vậy đường cong phẳng b) Giả sử đường thẳng mật tiếp có vectơ phương đơn vị 𝑎, mặt phẳng điểm song song với có nghĩa 𝐵 𝑎 = ⇔ 𝜏 𝑁 𝑎 = 0,mà 𝑁 𝑎 ≠ tiếp tuyến không song song với Suy 𝜏 = điểm Vậy đường cong phẳng c) Chọn hệ tọa độ đề vuông góc Oxyz có gốc O trùng với điểm cố định mà mặt phẳng mật tiếp qua Ta có : 𝑂𝑟 𝐵 = 0, ∀𝑠 ∈ 𝐼 ⇒ 𝑟 ′ 𝐵 + 𝐵′ 𝑂𝑟 = ⇔ 𝑇 𝐵 + (𝜏 𝑁) 𝑂𝑟 = Mà ta có 𝑇 𝐵 = 𝑁 𝑂𝑟 ≠ (vì tiếp tuyến không qua điểm O) Suy 𝜏 = 0, ∀𝑠 ∈ 𝐼 Vậy đường cong phẳng mặt phẳng chứa điểm O 38 KẾT LUẬN Trong luận văn đạt số kết sau: Trình bày khái niệm đặc trưng không gian LorentzMinkowski minh họa cụ thể ví dụ, mở rộng tính chất không gian trực giao trường hợp tổng quát không gian 𝐸1𝑛 Nghiên cứu bất đẳng thức Cauchy-Scwharz với vectơ kiểu thời gian không gian Lorentz– Minkowski 𝐸1𝑛 (Định lý 1.7.2, Hệ 1.7.3), chứng minh tính chất tích Lorentz vectơ 𝐸13 (Tính chất 1.8.2, Định lý 1.8.3) Nghiên cứu phương trình Frenet độ cong độ xoắn đường cong không gian Lorentz-Minkowski trường hợp đồng thời đưa ví dụ minh họa cụ thể (Ví dụ 2.4.5, Ví dụ 2.4.6, Ví dụ 2.4.7), mở rộng tính chất liên quan đến đường cong phẳng với độ cong không đổi (Mệnh đề 2.5.2, Mệnh đề 2.5.3) 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Đoàn Thế Hiếu (2009), Bài giảng hình học vi phân,Tài liệu nội [2] Trần Văn Lâm (2012), Một số yếu tố hình học không gian LorentzMinkowski, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [3] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [4] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Hữu Quang, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục TIẾNG ANH [5] Rafael Lo’pez (2008), Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski space, Mini-Course taught at the Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica (IME-USP) University of Sao Paulo, Brasil [6] John G Ratcliffe (1994), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics.149, Springer-Verlag, New York 40 [...]... hẳn trong một vùng kiểu thời gian, kiểu không gian hoặc kiểu ánh sáng và chỉ ra những điểm khác biệt giữa không gian Ơclit và không gian Lorentz- Minkowski thông qua các tính chất như ở mục 2.4, 2.5.2, 2.5.3 và các ví dụ mới như ở mục 2.4.5, 2.4.6, 2.4.7 I Đƣờng cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không gian Lorentz- Minkowski 2.1 Định nghĩa đƣờng cong kiểu không gian, kiểu thời gian, . .. gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng trong không gian Lorentz- Minkowski 2.1.1 Định nghĩa (xem [5]) : + Cho 𝛼 là đường cong trong 𝐸1𝑛 , ta nói rằng 𝛼 là đường cong kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) tại 𝑡 nếu 𝛼′ 𝑡 là vectơ kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) + Đường cong 𝛼 được gọi là đường cong kiểu không gian (tương tự kiểu thời gian, kiểu ánh sáng) nếu nó thỏa... không gian nằm trong mặt phẳng kiểu không gian 2) Hypebol 𝛼 𝑡 = 𝑝 + 𝑟 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡, 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑡, 0 là đường cong kiểu không gian trong mặt phẳng kiểu thời gian 3) Hypebol 𝛼 𝑡 = 𝑝 + 𝑟 𝑠𝑖𝑛ℎ𝑡, 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑡, 0 là đường cong kiểu thời gian trong mặt phẳng kiểu ánh sáng 4) Parabol 𝛼 𝑡 = 𝑡 2 , 𝑡 2 , 𝑡 là đường cong kiểu không gian trong mặt phẳng kiểu ánh sáng 22 2.2 Các tính chất của đƣờng cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu. .. một không gian con kiểu thời gian, cho 𝑣 ∈ 𝑈 ⊥ là một vectơ kiểu thời gian Khi đó 𝑈 ⊥ gian kiểu không gian (theo i) nên 𝑈 ⊥ ⊥ ⊥ ⊂ 𝑣 ⊥ Mà 𝑣 ⊥ là không = 𝑈 là không gian kiểu không gian (iii) Giả sử 𝑈 là không gian kiểu ánh sáng, cho 𝑣 ∈ 𝑈 là một vectơ kiểu ánh sáng Suy ra 𝑣 không là vectơ kiểu không gian cũng không phải là vectơ kiểu thời gian  𝑣 ⊥ không phải là không gian kiểu thời gian cũng không. .. phải là không gian kiểu không gian (theo i), do đó 𝑣 sáng Mặt khác 𝑈 ⊥ ⊂ 𝑣 không gian kiểu ánh sáng ⊥ mà 𝑣 ⊥ ⊥ là không gian kiểu ánh là không gian kiểu ánh sáng nên 𝑈 ⊥ là 1.4.4 Mệnh đề (xem [5]): Trong không gian Lorentz- Minkowski 𝐸1𝑛 9 (i) Cho 𝑢 và 𝑣 là hai vectơ kiểu ánh sáng Khi đó chúng là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 𝑢, 𝑣 = 0 (ii) Cho 𝑢 và 𝑣 là hai vectơ kiểu thời gian hoặc ánh sáng với... và y thỏa mãn 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 15 ii) Không gian con V sinh bởi x và y là kiểu ánh sáng Chứng minh: Giả sử 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 khi đó theo định lý 1.7.4 suy ra không gian con V sinh bởi x và y không phải là kiểu không gian và theo định lý 1.7.5 suy ra không gian con V sinh bởi x và y không phải là kiểu thời gian, vậy không gian con V sinh bởi x và y là kiểu ánh sáng Ngược lại, giả sử không gian con V sinh bởi x và. .. của không gian Lorentz- Minkowski 𝐸1𝑛 , khi đó: (+) W được gọi là kiểu không gian nếu nó chỉ chứa các vectơ kiểu không gian hoặc vectơ 0 (+) W được gọi là kiểu thời gian nếu nó có chứa ít nhất một vectơ kiểu thời gian (+) W được gọi là kiểu ánh sáng nếu nó chứa ít nhất một vectơ kiểu ánh sáng và không chứa vectơ kiểu thời gian nào 1.3.2 Định lý (xem [5]): Cho W là không gian vectơ con của không gian Lorentz- Minkowski. .. Tương tự, 𝑣 là vectơ kiểu không gian khi và chỉ khi 𝑣 ⊥ là không gian kiểu thời gian (ii) Cho 𝑈 là không gian con của không gian 𝑉 Khi đó 𝑈 là kiểu không gian khi và chỉ khi 𝑈 ⊥ là kiểu thời gian (iii) Cho 𝑈 là không gian con của không gian 𝑉 Khi đó 𝑈 là kiểu ánh sáng khi và chỉ khi 𝑈 ⊥ là kiểu ánh sáng 8 Chứng minh: (i) Nếu 𝑣 là vectơ kiểu thời gian, bằng cách nhân lên một số nếu cần thiết chúng ta xem... 𝛼, và cũng như trong trường hợp 𝛼 là đường cong kiểu không gian 𝑇 ′ là kiểu ánh sáng chúng ta không xác định được độ cong của 𝛼 2.4.4 Nhận xét (xem [5]): Tương tự như trong không gian Euclid người ta có thể tìm thấy công thức của hàm độ cong và độ xoắn của đường cong trong 30 không gian Lorentz- Minkowski trong trường hợp đường cong đó không được biểu diễn bằng tham số hóa độ dài cung Ví dụ như cho đường. .. kiểu không gian trong các khoảng −∞; − 1 2 1 1 ; +∞ ; đường cong 𝛼 là kiểu thời gian trong khoảng − ; 2 2 1 1 𝛼 là kiểu ánh sáng tại các điểm − ; 2 2 1 2 và ; đường cong 2.1.4 Ví dụ (xem [5]): Sau đây là các ví dụ về đường cong phẳng trong 𝐸13 , nghĩa là đường cong nằm trong một mặt phẳng affine của 𝑅3 Cho 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑅3 và 𝑟 > 0, khi đó: 1) Các đường tròn 𝛼 𝑡 = 𝑝 + 𝑟 0, 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑖𝑛𝑡 là đường cong kiểu không ... nghĩa đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng không gian Lor entz -Minkowski …………………………………………….21 2.2 Các tính chất đường cong kiểu không gian, kiểu thời gian, kiểu ánh sáng không. .. Hiền CHƢƠNG 1: VỀ TÍNH KIỂU KHÔNG GIAN, KIỂU THỜI GIAN, KIỂU ÁNH SÁNG TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ -MINKOWSKI Về tính chất không gian Lorentz- Minkowski, không gian không gian Lorentz- Minkowski bất... kiểu thời gian, kiểu ánh sáng)