Phép đẳng cự trong không gian Lorentz Minkowski

LI M U Khụng gian Lorentz-Minkowski chiu, ú l khụng gian vect trờn ú trang b tớch vụ hng vi ch s 1, l i tng nghiờn cu ca nhiu nh toỏn hc v vt lý trờn th gii, trờn ú lý thuyt tng i c xõy dng Tng quỏt, ngi ta cũn xột cho khụng gian kiu nh th vi chiu bt k v cũn gi l khụng gian Lorentz-Minkowski Trờn c s cỏc kin thc c bn ca hỡnh hc gi clit, chỳng tụi trỡnh by cỏc nghiờn cu bc u v mt trng hp riờng ca hỡnh hc gi clit ú l hỡnh hc trờn khụng gian Lorentz-Minkowski c s hng dn tn tỡnh, chu ỏo ca TS-Nguyn Duy Bỡnh, tụi ó nghiờn cu v hon thnh lun Phộp ng c khụng gian Lorentz-Minkowski Lun c chia lm hai chng: Chng I: Khụng gian gi clit: Trong chng ny chỳng tụi h thng, trỡnh by cỏc khỏi nim, tớnh cht ca khụng gian vect gi clit, ng cu trc giao v khụng gian gi clit, l nn tng cho kin thc chng II Chng II: Khụng gian Lorentz-Minkowski: Trỡnh by nh ngha khụng gian Lorentz-Minkowski v cỏc liờn quan Trong Đ1, trỡnh by n-Khụng gian Lorentz-Minkowski, cỏc c trng ca cỏc vect v cỏc khụng gian khụng gian Lorentz-Minkowski Trong Đ2, trỡnh by cỏc phộp bin i lorentz khụng gian Lorentz-Minkowski v cỏc nhúm Lorentz c bit Trong Đ3, trỡnh by nhúm cỏc phộp ng c khụng gian L2 v L3 Vỡ kin thc cũn nhiu hn ch v thi gian cú hn nờn lun khụng trỏnh thiu sút c ni dung ln hỡnh thc, tụi rt mong nhn c s ch bo, gúp ý ca cỏc Thy Cụ giỏo v cỏc bn c Lun c thc hin v hon thnh ti khoa Toỏn Trng i hc Vinh Qua õy, tụi xin c by t lũng bit n chõn thnh ti TS Nguyn Duy Bỡnh Ngi ó dy cụng hng dn tụi hon thnh lun ny Cui cựng tụi xin chõn thnh cm n Ban ch nhim khoa Toỏn, cỏc Thy Cụ giỏo khoa v t Hỡnh hc, th hc viờn khúa 19 chuyờn ngnh Hỡnh hc ó to mi iu kin giỳp tụi hon thnh lun ny Ngh An, thỏng 10 nm 2013 CHNG I: KHễNG GIAN GI CLIT Đ1 KHễNG GIAN VECT GI CLIT 1.1 nh ngha Khụng gian vect V n-chiu trờn trng s thc c gi l khụng gian vect gi clit n chiu ch s k, kớ hiu E nk , nu vi mi cp cú th t a, b V c t tng ng vi mt s thc xỏc nh gi l tớch vụ hng ca hai vect a, b , kớ hiu a.b cho cỏc tiờn sau c thoó món: E1* a.b b.a E 2* a.(b c ) a.b a.c vi mi a, b, c V E 3* ( a ).b (a.b) vi mi s thc cú n vect vi i 1, n cho: E 4* ai vi i k ai vi i > k a j vi i j Khi k = thỡ khụng gian ú c gi l khụng gian vect clit 1.2 Nhn xột n vect ur {} i= 1, n núi tiờn ( E 4* ) l c s ca E nk ur ur ur ur Tht vy: T ( E 4* ) ta suy 0, " i = 1, n ( Vỡ nu $ i : = thỡ ta cú ai = mõu thun tiờn ( E 4* )) n Xột uur n ur đ ki = suy a j (ồ ki ) = 0, " j = 1, n Hay i= n i= uur ur ki (a j ) = 0, " j = 1, n (*) i= Do a j vi i j nờn t (*) ta cú: _ uur uur uur uur k j (a j a j ) = 0, " j = 1, n ị k j = 0, " j = 1, n (vỡ a j a j ) ur Vy {ai } i= 1, n ur c lp tuyn tớnh E nk nờn {ai } i= 1, n s ca E nk 1.3 Cỏc vớ d 1.3.1 Vớ d núi tiờn ( E 4* ) l c a) Trng cỏc s phc C l mt khụng gian vect gi clit chiu ch s vi ỡù x = a + bi ẻ C tớch vụ hng: x y = (a + bi )(c + di ) = ac - bd ú ùớ ùùợ y = c + di ẻ C b) Khụng gian l mt khụng gian vect gi clit chiu ch s vi tớch vụ hng: xy = xk yk - x1 y1 vi x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , y = ( y1 , y2 , y3 , y4 ) ẻ Ă k= Khi ú Ă c gi l khụng gian Minkowski hay khụng gian Khụng gian thi gian Ngi ta thng dựng mụ hỡnh khụng gian ny nghiờn cu v hỡnh hc v tr c) Khụng gian Ă n l mt khụng gian vect gi clit n chiu ch s k vi tớch vụ k hng: x y = i= n xi yi - x j y j Vi x = ( x1 , x2 , , xn ), y = ( y1 , y2 , , yn ) Ă n j= k + 1.3.2 Vớ d Xột khụng gian vect Vn, gi S : Vn Vn R l mt dng song tuyn tớnh i xng v p( x) S ( x, x ) l dng ton phng tng ng cú hng n ch s k Khi ú, t a.b S (a, b) thỡ t tiờn E1* n E4* c nghim ỳng, suy Vn tr thnh khụng gian vect gi clit Trong khụng gian vect gi clit E nk ta chn mt c s e1 , e2 , , en v t aij ei e j Bõy gi, nu vect x v y cú to ln lt l: x1 , x , , x n v y1 , y , , y n , theo cỏc tiờn E 2* , E3* ta cú: n n n x y xi ei . y j e j xi y j ei e j i j i j y1 n * Vy x.y j xi y j [x ] A[y ] [x1 , x , xn ]A i j yn ú: A l ma trn aij 1.4.Mụun ca vect r Mụun ca vect u l mt s u cho: u u.u nu u.u (1) u i u.u nu u.u < S i l s nờn c hai trng hp ta u kớ hiu u u.u Vect u c gi l vộc t n v nu nú cú mụun bng hoc bng i Nh vy: +) Mụun mt vect cú th l mt s thc dng, bng hoc mt s phc thun o +) u E nk , R thỡ: u ( u ).( u ) (u u ) u 1.5 Trc giao v trc chun 1.5.1.nh ngha Hai vect a , b ca E nk gi l trc giao (vuụng gúc) vi nu tớch vụ hng ca chỳng bng Ta thy rng, cú nhng vect khỏc vect m li vuụng gúc vi chớnh nú Nhng vect nh vy gi l vect ng hng Chng hn nh: Trong Enk , k r v= ur a1 ur ur + - a1.a1 uur ur uur an * uur uur vi vect a1 , an l cỏc vect núi tiờn ( E4 ) ) l mt an an vect ng hng 1.5.2 Mnh (Xem [1]) 2 a) a a vi mi a b) .a a vi mi a v s thc 2 c) Hai vect a , b vuụng gúc vi v ch a b a b Chng minh: Tớnh cht a, b l hin nhiờn ỳng Ta chng minh tớnh cht c) : 2 2 a b (a b) a 2a.b b a 2a.b b 2 2 M a b a b 2ab a vuụng gúc vi b 1.5.3.nh ngha H vộct {bi }i= 1,m gm cỏc vect bi thuc E nk c gi l h trc giao nu bi b j = 0, j i; i, j = 1, m (tc l chỳng tng ụi mt trc giao vi nhau) H trc giao gm cỏc vect n v c gi l h trc chun ur Nhn xột H {ai } i= 1, n núi tiờn ( E 4* ) l mt c s trc giao ca E nk C s e = e1 , e2 , , en ca E nk gi l c s trc chun nu nú l mt h trc chun, to ca mt vect i vi c s trc chun gi l h to trc chun Nh vy, iu kin cn v h e1 , e2 , , en lm thnh c s trc chun ca E nk l: ỡù eur = ùù i vi i j, tc l cỏc vect ca h u l vect n v v vuụng gúc vi ur ur ùù ợù ei e j = 1.5.4.nh lý (Xem [2]) H trc giao vi cỏc vect cú mụun khỏc (núi riờng h trc chun) l mt h c lp tuyn tớnh Chng minh Cho h trc giao a1 , a , , a m , ta xột ng thc: m a i i vi mi j, j m ta cú: i m a j i a j hay j a j j a j theo thit ca h trc giao t ng i i j thc cui suy j ; j Vy h ó cho c lp tuyn tớnh 1.5.5.nh lý (Xem [2]) Trong khụng gian E nk luụn tn ti mt c s trc chun Chng minh ur H {ai } i= 1, n núi tiờn ( E 4* ) l mt c s trc giao ca E nk t: ur ur ur i Ê k - ai ur ur ur i > k ai ỡù ur ùù e = ùù i ùù ùù ur ùù ei = ùù ùợ ú: l cỏc vect núi tiờn ( E 4* ) ur ur ỡù e e = - 1, i Ê k ùù i i ù ur ur Khi ú ta cú : ùớ ei ei = 1, i > k ùù ur ur ùù e e = 0, i j; i, j = 1, n ùợ i j ur Do ú {ei } i= 1, n l mt c s trc chun ca E nk Trong c s trc chun ny cú k vect cho ei v n - k vect cho ei iu ny cng ỳng vi mi c s trc chun khỏc (vỡ suy t nh lý sau) 1.5.6.nh lý (Xem [2]) ur Trong E nk nu ta cú n vect bi vi i 1, n cho bi bi vi mi i v bi b j vi i j thỡ ta s cú ỳng k vect bi cho bi bi < v n k vect b j , cho b j b j > Chng minh Theo gi thit ta suy h {bi }1,n l c s trc giao ca E nk , ú {bi }1,n c lp tuyn tớnh E nk Khụng mt tng quỏt gi s bi bi < vi j t v bi bi > vi ur j t ta cn chng minh t k D thy, t vect b1 , b2 ,, bt c lp tuyn tớnh, bi vy chỳng sinh mt khụng gian vect t chiu V1 Tng t ta gi Vn-k l khụng gian vect sinh bi n k vect c lp tuyn tớnh ak 1, , an núi tiờn E 4* Nu t k thỡ V1 v Vn-k s giao theo mt khụng gian cú s chiu ớt t nht bng t k Ta gi c Vl Vn k v c thỡ: c i bi i l l c c ( i bi ).( j b j ) i j l ( b b ) ( b i j i j i i bi ) n a j j Do ú j k l i , j i (2) n n c c ( a ).( v i i ja j ) i k j k n i j (ai a j ) i , j k n i (ai ) (3) i k (2) v (3) mõu thun nờn l > k l khụng th c Cng tng t nh vy, ta chng minh c t k cng khụng xy Vy t k v nh lý c chng minh Vy i vi mi c s trc chun bt kỡ ta cng cú k vect ei cho ei ei = -1 vi i k v n k vect ei cho ei ei =1 Ta cng cú Enk d dng chn s s trc chun tha iu kin (I) Vi u , v Enk ta cú th biu th u, v qua c s ny v tớch vụ hng ca u, v : u.v n u v e e j i j i j k n ui vi i k c bit: u.u ui ui i u v j j j k n u u j j qua ú cng thy tớch u.u cú th dng, õm hoc j k bng 1.5.7.nh lý (Xem [2]) Mi h trc chun gm m vect ca Enk vi m < n u cú th b sung n-m vect tr thnh mt c s trc chun ca Enk Chng minh: Gi s e1 , e2 , , em l h trc chun ca Enk Ta gi Enk l khụng gian sinh bi h ú, m n v k1 bng tng s cỏc vect ei cho ei (1 i m) Ta cú th chn ln lt cỏc khụng gian m + 1, m + 2,,n - chiu cho: k1 k1 k1 k E m E m E m E m k k1 (4) k k k E m k k1 E m k k1 E n (5) k1 Khi k1 ng vi (4) ta thờm vo c s trc chun e1 , e2 , , em mt vect uk E m h e1 , e2 , , em , uk lm thnh c s ca E m k 1 m Xột vect ak uk 1.ei ( i 1, m ) vi i i uk ei ( i 1, m ) i 1 i k1 v i k1 Vect ak vỡ nu ak thỡ h e1 , e2 , , em , uk ph thuc tuyn tớnh, ngoi ak vuụng gúc vi mi vect ei ( i 1, m ) m Tht vy: ak e j uk e j ( i ei ).e j i uur ur ur ur uur ur uur ur uur ur uur ur = uk e j + l j e j e j = uk e j - e j uk e j e 2j = uk e j - e j uk e j = ak Bõy gi ta t e m uur uur Tht vy: ak = uk + m ak , cỏch t ny l phự hp vỡ ak m ur uur uur uur uur ur uur l i ei ị ak ak = uk ak + (ồ l i ei ).ak i= i= m Vỡ ak vuụng gúc vi mi vect ei , suy ( i ei ).ak = i Gi s ak ak ak Suy uk ak uk ak m ak ei vi mi i Suy ak e1 , e2 , , em , uk suy mõu thun vi gi thit m ak uk ( i ei ) Vy ak i Khi k1 > k ng vi (5) lm hon ton tng t Lỳc ú c s e1, e2 , , em , em l c s trc chun ca E m k 1 k Vy ta cú th b sung n m vect vo m vect to thnh c s ca E n 1.6 Ta trc chun 1.6.1.nh ngha r uur Ta ca vect x ẻ Enk i vi mt c s trc chun c gi l ta trc uur r chun ca x Enk ur Gi s {ei } i= 1, n ur ur ur ur l mt c s trc chun ca E nk tha ei ei < vi i k , ei ei > ur ur vi i > k, ei e j = vi i j Khi ú: uur ỡù " rx = ( x ; x ; ; x ) ẻ E k ùù n n ur uur ùù " y = ( y ; y ; ; y ) ẻ E k n n ùợ r ur n n n Ta cú: x y = (ồ xi ei )(ồ xi ei ) = i= r i= n Do ú : x = ồ n xi y j ei e j = i, j= k xi yi - i= k + xi yi i= k xi2 - i= k + xi2 i= 1.6.2 í ngha ca ta trc chun ur Gi s {ei } i= 1, n r ur r uur l mt c s trc chun ca E nk Vi x = ( x1 ; x2 ; ; xn ) ẻ Enk n ur ur n Ta cú: x.ei = (ồ x j e j )ei = j= n r ur ur ur x.ei = (ồ x j e j )ei = j= ur ur ur ur x j e j ei = xi ei ei = xi Vi i > k j= n ur ur ur ur x j e j ei = xi ei ei = - xi Vi i k j= r ur ỡù x.e = - x , i Ê k ù i i Nh vy: r ur (*) ùù x.e = x , i > k i ùợ i r uur r ur ur uur r Nhn xột: Nu x ẻ Enk : x y = " y ẻ Enk ị x = 1.6.3 Cụng thc i c s trc chun (Xem[1]) k Trong khụng gian E n , cụng thc i to t mt c s trc chun sang mt c s trc chun khỏc cú dng x' Bx , ú: B l mt ma trn trc giao cp n ch s k Ngc li, mi cụng thc cú dng nh vy u l cụng thc i to t c s trc chun sang mt c s trc chun khỏc hon ton xỏc nh 1.7.Cỏc khụng gian gi clit 1.7.1.nh ngha Gi s P l khụng gian vect ca E nk Khi ú P xỏc nh hai phộp toỏn cng cỏc vect v nhõn mt s vi mt vect, ú chớnh l hai phộp toỏn cng v nhõn E nk Ta ly tớch vụ hng * ó nh ngha E nk ỏp dng cho P, ú trờn P ỏnh x * tha tiờn ( E1* ),( E2* ),( E3* ) Nu ỏnh x * tha thờm tiờn ( E 4* ) thỡ trờn P xỏc nh c mt tớch vụ hng, ú P s l mt khụng gian vect gi clit Khi ú ta gi P l khụng gian ca E nk Nhn xột T nh ngha, ta nhn thy khụng phi mi khụng gian vect ca E nk u l khụng gian vect gi clit Chng hn: Khụng gian vect mt r ur ur ur chiu ca E nk sinh bi vect ng hng u = e1 + en ( Vi {ei } l mt c s trc i= 1, n giao ca E nk ) Khi ú P c gi l xỏc nh dng (khụng õm, ng hng, khụng rr rr rr rr rr r r dng, õm) nu x.x > 0( x.x 0; x.x = 0; x.x Ê 0; x.x < 0) vi mi vect x ẻ P; x 1.7.3.nh ngha Cho P l khụng gian vect ca E nk Khi ú P c gi l khụng suy bin nu r r ur ur cú x ẻ P; x y = " y ẻ P thỡ suy c x 1.7.4.nh ngha r uur r Cho P l khụng gian vect ca E nk v x ẻ Enk Ta núi rng x trc giao vi P nu r nh x trc giao vi mi vect ca P 1.7.5.nh ngha k Cho hai khụng gian P v Q ca khụng gian vect gi clit E n P v Q c gi l trc giao (vuụng gúc) vi nu vi mi x P u vuụng gúc vi mi vect y Q , tc l x P v y Q thỡ x y , ú ta kớ hiu : P Q hoc Q ^ P 1.7.6.nh ngha Cho P l khụng gian vect ca E nk Khụng gian Q gi l phn bự trc giao vi r { uur r P nu: Q = x ẻ Enk : x ^ P } Kớ hiu: Q = P^ Nhn xột +) Cú nht mt khụng gian vect Q bự trc giao vi khụng gian vect P ó cho +) Nu P ^ Q ị Q P^ 1.7.7.Cỏc tớnh cht k Trong khụng gian E n , l mt dng song tuyn tớnh khụng suy bin v W l mt k khụng gian ca E n Khi ú: a) dim W + dim W ^ = n b) (W ^ )^ = W c) Khi W l khụng gian khụng suy bin ta cú cỏc mnh sau tng ng: i) W khụng suy bin 10 Do ú x + y l ta ỏnh sỏng nu v ch nu x v y l cỏc vộc t ta ỏnh sỏng ph thuc tuyn tớnh (theo nh lớ 1.2.3.1) H qu Tp tt c cỏc vect ta thi gian dng(õm) ca cỏc vộc t ta thi gian l mt li ca Ln Chng minh Nu x v y cỏc vect ta thi gian dng(õm) ca cỏc vộc t ta thi gian Ă n v < t < , ú (1- t ) x + ty l vect ta thi gian dng(õm) Theo nh lớ 1.2.3.2 tt c cỏc vect ta thi gian dng(õm) ca cỏc vộc t ta thi gian l mt li ca Ln 1.3.4 Mnh Vi x, y ẻ Ln nu x , < y, y > = - c < v < x, y > = thỡ < x, x > > Núi cỏch khỏc, mt vect khỏc khụng trc giao vi mt vect ta thi gian thỡ nú l vect ta khụng gian Chng minh: T gi thit ta cú: < y, y > = - c y22 + y32 + + yn2 = y12 - c (12) < x, y > = x12 y12 = ( x2 y2 + x3 y3 + + xn yn ) T (12) ị y1 nờn ( x2 y2 + x3 y3 + + xn yn )2 x = y12 (13) ( x + x32 + + xn2 )( y22 + y32 + + yn2 ) 2 y1 - c Ê = ( x + x + + x ) n y12 y12 Ta li cú: x, x = x22 + x32 + + xn2 - x12 x22 + x32 + + xn2 - ( x22 + x32 + + xn2 ) = ( x22 + x22 + + xn2 )(1- = ( x22 + x32 + + xn2 ) y12 - c y12 y12 - c ) y12 c y12 Nu x22 + x32 + + xn2 = , t (13) ị x12 = ị x = , vụ lý Vy x22 + x32 + + xn2 - x12 > hay x, x > , mnh c chng minh 22 Chỳ ý: Mt vect trc giao vi mt vect ta khụng gian thỡ cha hn l vect ta thi gian 1.4 Khụng gian khụng gian Lorentz Minkowski 1.4.1 nh ngha Cho W l khụng gian vect ca Ln (+) W c gi l ta khụng gian nu nú ch cha cỏc vect ta khụng gian hoc vect (+) W c gi l ta thi gian nu nú cú cha ớt nht mt vect ta thi gian (+) W c gi l ta ỏnh sỏng nu nú cha ớt nht mt vect ta ỏnh sỏng v khụng cha vect ta thi gian no 1.4.2 nh lý (Xem [5]) Cho W l khụng gian vect ca Ln (i) W l ta khụng gian nu v ch nu < , > | W l xỏc nh dng (ii) W l ta thi gian nu v ch nu < , > | W l khụng suy bin cú ch s (iii) W l ta ỏnh sỏng nu v ch nu < , > | W l suy bin Chng minh (i) W è Ln l ta khụng gian x W thỡ x = hoc < x, x > > x W , x thỡ < x, x > > hay < , > | W l xỏc nh dng Ngc li, < , > | W l xỏc nh dng < x, x > > x , x W W ch cha cỏc vect ta khụng gian hay W l ta khụng gian (ii) W l ta thi gian Gi s < , > | W l suy bin W l ta khụng gian (vụ lý) < , > | W l khụng suy bin ch s Ngc li, < , > | W l khụng suy bin ch s Tn ti khụng gian {0} A W cho /A l xỏc nh õm x A : x, x trờn W W l ta ỏnh sỏng nờn x 0, x W cho = Mt khỏc, W l ta ỏnh sỏng nờn y W thỡ 0, t R < x, y > = , y W 23 < , > | W suy bin Ngc li, < , > | W suy bin x 0, x W cho < x, y > = , y W ị < x, x > = , x W => x l vect ta ỏnh sỏng thuc W Gi s W cha ớt nht mt vect ta thi gian, ngha l y W : x, y < > (mõu thun vi x l vect ta ỏnh sỏng) W khụng cha vect ta thi gian no Vy W l ta ỏnh sỏng 1.4.3 nh ngha Cho p l m - phng Ln p c gi l m - phng ta khụng gian; ta thi gian; ta ỏnh sỏng nu khụng gian ch phng W ca p tng ng l ta khụng gian; ta thi gian; ta ỏnh sỏng 1.4.4 nh ngha Vi q ẻ Ln v c ẻ Ă , HP(q, c) = {x ẻ Ln :< x, q > = c} l siờu phng trc giao vi q Khi ú q c gi l phỏp vect ca siờu phng HP(q, c) 1.4.5 nh lý (Xem [5]) Cho HP(q, c) l mt siờu phng Ln Khi ú, HP(q, c) ln lt l siờu phng ta khụng gian, siờu phng ta thi gian, siờu phng ta ỏnh sỏng nu v ch nu q tng ng ln lt l vect ta thi gian, ta khụng gian, ta ỏnh sỏng Chng minh: Phng trỡnh ca siờu phng HP(q, c) Ln l: n < q, c > = c - q1 x1 + qi xi = c vi q = (q1 , q2 , , qn ) v x = ( x1 , x2 , , xn ) i= Khụng gian ch phng W ca siờu phng HP(q, c) cú phng trỡnh l: n - q1 x1 + qi xi = i= (+) HP(q, c) l siờu phng ta khụng gian ị W l ta khụng gian ị W ch cha cỏc vect ta khụng gian hoc vect Gi s q ẻ W ị - q12 + q22 + + qn2- + qn2 = ị q l vect ta ỏnh sỏng (mõu thun vi W ch cha cỏc vect ta khụng gian) q ẻ W ị - q12 + q22 + + qn2- + qn2 < 24 ị q, q < ị q l vect ta thi gian Ngc li, q l vect ta thi gian Gi s x W ta cú x, q ị x l vect ta khụng gian ị W ch cha cỏc vect ta khụng gian ị W ta khụng gian ị HP(q, c) l siờu phng ta khụng gian (+) HP(q, c) l siờu phng ta thi gian ị W ta thi gian ị x W cho x, x M < q, c > = ị q l vect ta khụng gian Ngc li, q l vect ta khụng gian (+) HP(q, c) l siờu phng ta ỏnh sỏng ị W l ta ỏnh sỏng Gi s, q l vect ta ỏnh sỏng ị q, q = ị q ẻ W Gi s W cha vect ta thi gian ị $ x 0, x ẻ W : x, x < M q, x = ị q l vect ta khụng gian, mõu thun Vy W khụng cha vect ta thi gian no ị W l ta ỏnh sỏng 25 Đ2.PHẫP BIN I LORENTZ-MINKOWSKI 2.1 nh ngha (Xem [4]) Mt hm s f : Ln đ Ln l mt phộp bin i Lorentz Minkowski nu v ch nu < f ( x), f ( x) > = < x, y > vi mi x,y Ln Mt c s {v1 , v2 , , } ca Ln c gi l trc chun Lorentz nu v ch nu ỡù < v , v > = - ùù 1 ù < v , v > = (i j ) i j ùù ùù < vi , v j > = 1(i = j 1) ợ Nhn xột: C s trc chun {v1 , v2 , , } ca Ln l trc chun Lorentz 2.2 nh lớ (Xem [4]) Mt hm s f : Ln đ Ln l mt phộp bin i Lorentz nu v ch nu f l tuyn tớnh v {f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} l mt c s trc chun Lorentz ca Ln Chng minh Gi s f l mt trc chun Lorentz ca Ln Khi ú f (e1 )f (e1 ) = - v f (ei )f (e j ) = ei e j = dij , f (ei ) iu ny dn n f (e1 ), f (e2 ), , f (en ) c lp tuyn tớnh Do ú {f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} l mt c s trc chun Lorentz ca Ln Cho x Ln Khi ú cú cỏc h s c1 , c2 , , cn Ln cho: n f ( x) = cif (ei ) i= Nh {f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} l mt c s trc chun Lorentz ca Ln , ta cú - c1 = f ( x)f (e1 ) = xe1 = - x1 v c j = f ( x )f (e j ) = xe j = x j ( j > 1) Khi ú f tuyn tớnh, vỡ n f (ồ xi ei ) = i= n n f ( xi ei ) = i= xif (ei ) i= Ngc li, gi s rng f l tuyn tớnh v {f (e1 ), f (e2 ), , f (en )} l mt c s trc chun Lorentz ca Ln Khi ú, f l trc chun Lorentz, vỡ 26 n n < f ( x ), f ( y ) > = < f (ồ xi ei ), f ( y j e j ) > i= n =< xif (ei )), (ồ y j f (e j ) > i= n = j= n j= n ồ xi y j < f (ei ), f (e j ) > i= j= = - x1 y1 + x2 y2 + + xn yn = < x, y > 2.3 nh lớ (Xem [5]) Gi s f l phộp ng cu trc giao trờn Ln Khi ú, qua f, cỏc khụng gian ta khụng gian, ta thi gian, ta ỏnh sỏng tng ng bin thnh khụng gian ta khụng gian, ta thi gian, ta ỏnh sỏng Chng minh: Gi s f l phộp ng c trờn Ln W1 ; W2 ; W3 ln lt l cỏc khụng gian ta khụng gian, ta thi gian, ta ỏnh sỏng ca Ln W1' ; W2' ; W3' ln lt l nh ca cỏc khụng gian W1 ; W2 ; W3 qua f (+) W1' f (W1 ) f ( x) x W1 Ta cú: ẻ W1 ị = f (0) ẻ W1' Ly y ẻ W1' ị $ x ẻ W1 : y = f ( x) ị y, y = f ( x ), f ( x ) = x, x > ị y l vect ta khụng gian Vy W1' l ta khụng gian (+) W2' f (W2 ) f ( x) x W2 Ta cú W2 l ta thi gian ị $ x ẻ W2 cho x l ta thi gian ị $ y ẻ W2' : y = f ( x ) Khi ú y , y f ( x), f ( x) x, x ị y l vect ta thi gian ị W2' ta thi gian (+) W3' f (W3 ) f ( x ) x W3 W3 ta ỏnh sỏng ị $ x ẻ W3 cho x l ta ỏnh sỏng ị $ y ẻ W3' : y = f ( x ) ị y, y = f ( x ), f ( x ) = x, x = 27 ị y l vect ta ỏnh sỏng Mt khỏc, gi s W3' cha vect ta thi gian ị $ y ẻ W3' cho y , y ị $ x ẻ W3 cho f(x) = y M x, x f ( x ), f ( x ) y, y ị x l vect ta ỏnh sỏng (mõu thun vi W3 l ta ỏnh sỏng) W3' khụng cha vect ta thi gian no Vy W3' l ta ỏnh sỏng 2.4 Ma trn Lorentz 2.4.1 nh ngha (Xem [4]) Mt ma trn thc n x n c gi l Lorent nu v ch nu phộp bin i tuyn tớnh liờn kt A : Ln đ Ln bi A( x) = Ax l Lorentz Tp tt c cỏc ma trn Lorentz cựng vi cỏc phộp nhõn ma trn to thnh mt nhúm O1 (n) c gi l nhúm Lorentz cỏc ma trn cp n Theo nh lớ 2.2 nhúm O1 (n) ng cu t nhiờn vi nhúm phộp bin i Lorentz ca Ln 2.4.2 nh lớ (Xem [4]) Cho A l mt ma trn thc n x n v J l mt ma trn chộo n x n xỏc nh bi J = I n1 Khi ú cỏc mnh sau tng ng (1) Ma trn A l Lorentz (2) Cỏc ct ca ma trn A l mt c s trc giao Lorentz ca Ln (3) Ma trn A tha phng trỡnh A* JA = J (4) Ma trn A tha phng trỡnh AJA* = J (5) Cỏc dũng ca ma trn A l mt c s trc giao Lorentz ca Ln Cho A l mt ma trn Lorentz T A* JA = J ta cú det ( A) = hay det( A) = Kớ hiu SO1 (n) l hp tt c A O1 (n) cho det A = Khi ú SO1 (n) l mt nhúm ca O1 (n) cú ch s Nhúm SO1 (n) c gi l nhúm Lorentz c bit Theo h qu mc 1.3.3.2, tt c cỏc vộc t ta thi gian Ln cú hai thnh phn c to thnh, hp cỏc vộc t ta thi gian dng v cỏc vộc t 28 ta thi gian õm Mt ma trn Lorentz A c gi dng (tng ng õm ) nu v ch nu A bin i cỏc vộc t ta thi gian dng ( tng ng õm) thnh cỏc vộc t ta thi gian dng ( tng ng õm) Cho O1+ (n) l hp cỏc ma trn dng O1 (n) Khi ú, O1+ (n) l nhúm ca nhúm O1 (n) vi ch s Nhúm cỏc ma trn dng O1+ (n) c gi l nhúm Lorentz dng Tng t cho O1+ + (n) l nhúm ca nhúm SO1 (n) vi ch s Khi ú nhúm O1+ + (n) c gi l nhúm Lorentz dng c bit 2.4.3 nh ngha Ta núi nhúm G tỏc ng trờn X nu cú ỏnh x : G X X , (g, x ) : g.x tha ng thi hai iu kin sau : (i) e x x x X , e l n v ca G (ii) g1.(g2 x ) (g1.g2 ).x , g1 , g2 G v x X 2.4.4.nh ngha Ta núi nhúm G tỏc ng bc cu trờn X nu G tỏc ng trờn X v x, y X u g G cho x gy 2.4.5.nh lớ (Xem [4]) Vi mi m, tỏc ng t nhiờn ca O1+ (n) trờn cỏc khụng gian vộc t ta thi gian m-chiu ca Ln l bc cu Chng minh Cho V l khụng gian vect m- chiu, ta thi gian ca khụng gian vộc t Ln Xỏc nh Lm vi khụng gian ca Ln m rng bi cỏc vộc t e1 , , en Ta cn chng minh cú mt A O1+ (n) cho A( Lm ) V Chn mt c s u1 , u2 , un ca Ln cho u1 l vect ta thi gian dng V v u1 , u2 , um l mt c s cho V t w1 u1 Khi ú ta cú: w1 , w1 Tip theo, t u1 v2 u2 u2 , w1 w1 thỡ v2 v w1 , v2 w1 , u2 u2 , w1 w1 , w1 ú v2 l ta khụng gian Bõy gi ta t w2 v2 , v2 v3 u3 u3 , w1 w1 u3 , w w , 29 w3 v3 , v3 un un , w1 w1 un , w w un , w n w n , wn vn Do ú, ta cú w1 , w , , w n l mt c s trc chun Lorentz ca Ln v w1 , w , , w n l mt c s ca V Cho A l ma trn cú cỏc ct l w1 , w , , w n thỡ A l Lorentz v A( Lm ) V , hn na A dng vỡ Ae1 w1 ta thi gian dng 30 Đ3.NHểM CC PHẫP NG C TRONG KHễNG GIAN L2 V L3 Chỳng ta xột tt c cỏc phộp ng c vộc t ca L3 v kớ hiu bi O1 (3) Nu B v B l hai c s trc giao, ma trn A thay i ta tha A*GA = G Do ú O1 (3) = {A ẻ Gl (3; R); A*GA = G} c bit, det A iu ny cú ngha l O1 (3) cú ớt nht hai thnh phn liờn thụng Ta kớ hiu bi SO1(3) l cỏc phộp ng c vi nh thc bng Tp SO1(3) gi l nhúm Lorentz c bit Nhúm ny liờn quan n khỏi nim cú hng ca Tht vy, Nu chỳng ta c nh hng c a bi c s thụng thng v nu B l mt c s trc giao, ta cú B SO1 (3) nu v ch nu B cú hng dng 3.1 nh ngha ( Xem [5]) Cho E1 (1,0,0) v v l vect ta thi gian Ta núi rng v l cú hng tng lai (cú hng quỏ kh) nu v, E1 ( v, E1 ) Ta núi A bo ton hng ta thi gian nu a phộp bin i Lorentz tng ng bin c s trc chun B cú hng tng lai thnh c s B ' cng cú hng tng lai O1 (3) A O1 (3); A bảo toàn hướng tựa thời gian D dng ch rng A (aij ) O1 (3) v ch a11 Trờn O1 (3) li c chia thnh hai thnh phn O1 (3) SO1 (3) v O1 (3) \ O1 (3) SO1 (3) Ta xỏc nh nhúm c bit O1 (3) O1 (3) SO1 (3) A O1 (3);det A nhúm ny cha phn t n v I3 Theo quan im tụpụ, O1 (3) khụng phi l compact bi vỡ cosh(t ) sinh(t ) , t R khụng b chn sinh(t ) cosh(t ) Cỏc thnh phn liờn thụng ca O1 (3) l: O1 (3) A O1 (3);det A O1 (3) A O1 (3);det A 1, a11 O1 (3) A O1 (3);det A 1, a11 O1 (3) A O1 (3);det A 1, a11 3.2 Mnh 31 i vi mi phộp ng c L2 luụn tn ti mt c s trc chun ma trn ca phộp ng c i vi c s ú cú mt cỏc dng sau: cosh(t ) sinh(t ) cosh(t ) sinh(t ) A O1 (2) ; A O1 (2) sinh(t ) cosh(t ) sinh(t ) cosh(t ) sinh(t ) cosh(t ) sinh(t ) cosh(t ) A O1 (2) ; A O1 (2) sinh(t ) cosh(t ) sinh(t ) cosh(t ) Chng minh: a b Xột cỏc phộp ng c L2 Vi A c d a2 c a c a b A O1 (2) A* GA G ab cd b d 1 c d 1 2 d b Ta cú hai trng hp sau: a cosh(t ) T d b ta cú kh nng sau : c sinh(t ) Trng hp : Tn ti t cho d cosh(s ) c sinh(s ) Kh nng : Tn ti s cho Vỡ ab cd cosh(t )sinh(s) sinh(t )cosh(s) t ú ta cú s t d cosh(s ) c sinh(s ) Kh nng : Tn ti s cho Tng t trờn ta cú s t a cosh(t ) T d b ta cú kh nng sau : c sinh(t ) Trng hp : Tn ti t cho d cosh(s ) c sinh(s ) Kh nng : Tn ti s cho Vỡ ab cd cosh(t )sinh(s ) sinh(t )cosh(s) t ú ta cú s t d cosh(s ) c sinh(s ) Kh nng : Tn ti s cho Tng t trờn ta cú s t Nh vy L2 ta nhn c loi ng c, nú thuc vo thnh phn liờn thụng tng ng ca O1 (2) cosh(t ) sinh(t ) cosh(t ) sinh(t ) A O1 (2) ; A O1 (2) sinh(t ) cosh(t ) sinh(t ) cosh(t ) 32 sinh(t ) cosh(t ) sinh(t ) cosh(t ) A O1 (2) ; A O1 (2) sinh( t ) cosh( t ) sinh( t ) cosh( t ) 3.3 Mnh Nu A O1 (3) gi c nh mt ng thng L L3 thỡ luụn tn ti c s trc chun A cú mt cỏc dng sau: cos sin cosh( ) sinh( ) sin ; sinh( ) cosh( ) ; cos 0 2 2 vi Chng minh: a11 a12 Trong nhúm O (3) vi A a21 a22 a31 a32 a13 a23 O1 (3) v A gia c nh mt ng a33 thng L L3 , nú s xut hin loi ng c ph thuc vo c trng ca L L l ng thng ta thi gian: Gi s rng L E1 T ng thc a11 a a31 A.E1 E1 a21 21 a11 a31 a12 a21 a31 Vi nờn A a22 a11 a32 a13 a23 a33 0 Mt khỏc ta cú A JA J vi J 0 * * Do ú A JA J a12 a13 a22 a23 0 a12 a32 0 a22 a33 0 a32 a12 a13 a13 0 2 a23 a22 a32 2 a33 0 a23 a33 1 S dng tham s húa ma trn A c vit thnh A cos sin sin , cos L l mt ng thng ta khụng gian: Gi s L E3 Tng t trng hp ta xỏc nh c A l : 33 cosh( ) sinh( ) A sinh( ) cosh( ) , 0 L l mt ng thng ta ỏnh sỏng : Gi s L E1 E2 Tng t trng hp ta xỏc nh c A l : A 2 2 34 , KT LUN Lun c hon thnh ti trng i hc Vinh di s hng dn ca thy giỏo TS Nguyn Duy Bỡnh Lun ó trỡnh by nhng ni dung chớnh sau: Trỡnh by, h thng li cỏc kin thc c bn ca khụng gian vect gi clit, ng cu trc giao Trỡnh by c trng ca cỏc vect, cỏc khụng gian khụng gian Lorentz-Minkowski v cỏc phộp bin i Lorentz Trờn c s phộp ng c khụng gian vect gi clit, a nhúm cỏc phộp ng c khụng gian L2 v L3 úng gúp chớnh ca lun l phn chng II, Đ2 Phộp bin i Lorentz v Đ3 Nhúm cỏc phộp ng c khụng gian L2 v L3 Mc dự ó cú nhiu c gng v nghiờm tỳc quỏ trỡnh hon thnh Lun vn, song khụng th trỏnh nhng thiu sút, tụi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v bn bố ng nghip Lun c hon thin hn 35 TI LIU THAM KHO TING VIT [1] Vn Nh Cng T Mõn (1998) Hỡnh hc Afin v hỡnh hc clit NXB i hc quc gia H Ni [2] Nguyn Cnh Ton (1979) Hỡnh hc cao cp NXB giỏo dc [3] on Qunh (2001) Hỡnh hc vi phõn NXB i hc s phm TING ANH [4] John G Ratcliffe Foundations of Hyperbolic Manifolds Springer, Second Edition, 2006 [5] Rafael Lopez (2008) Differential Geometry of Curves and Surfaces in Lorentz-Minkowski space, Mini-Course taught at the Instituto de Matematica e Estatstica (IME-USP) University of Sao Paulo, Brasil 36 [...]... ca khụng gian vect E n lp thnh mt nhúm 18 CHNG II KHễNG GIAN LORENTZ- MINKOWSKI Đ1.n-KHễNG GIAN LORENTZ- MINKOWSKI 1.1 nh ngha (Xem [4]) n Gi s n > 1 Cho x v y l cỏc vộc t trong Tớch vụ hng Lorentz ca n x v y c nh ngha l s thc : x, y x1 y1 xk yk (9) k 2 Tớch vụ hng Lorentz hin nhiờn l tớch vụ hng trờn gian bao gm khụng gian vộc t n n Tớch vụ hng khụng cựng vi tớch vụ hng Lorentz c gi l Lorentzian... khụng gian vect gi clit, ng cu trc giao 2 Trỡnh by c trng ca cỏc vect, cỏc khụng gian con trong khụng gian Lorentz- Minkowski v cỏc phộp bin i Lorentz 3 Trờn c s phộp ng c trong khụng gian vect gi clit, a ra nhúm cỏc phộp ng c trong khụng gian L2 v L3 úng gúp chớnh ca lun vn l phn chng II, Đ2 Phộp bin i Lorentz v Đ3 Nhúm cỏc phộp ng c trong khụng gian L2 v L3 Mc dự ó cú nhiu c gng v nghiờm tỳc trong. .. vi mt vect ta khụng gian thỡ cha hn l vect ta thi gian 1.4 Khụng gian con trong khụng gian Lorentz Minkowski 1.4.1 nh ngha Cho W l khụng gian vect con ca Ln (+) W c gi l ta khụng gian nu nú ch cha cỏc vect ta khụng gian hoc vect 0 (+) W c gi l ta thi gian nu nú cú cha ớt nht mt vect ta thi gian (+) W c gi l ta ỏnh sỏng nu nú cha ớt nht mt vect ta ỏnh sỏng v khụng cha vect ta thi gian no 1.4.2 nh lý... Gi s f l phộp ng cu trc giao trờn Ln Khi ú, qua f, cỏc khụng gian ta khụng gian, ta thi gian, ta ỏnh sỏng tng ng bin thnh khụng gian ta khụng gian, ta thi gian, ta ỏnh sỏng Chng minh: Gi s f l phộp ng c trờn Ln W1 ; W2 ; W3 ln lt l cỏc khụng gian con ta khụng gian, ta thi gian, ta ỏnh sỏng ca Ln W1' ; W2' ; W3' ln lt l nh ca cỏc khụng gian con W1 ; W2 ; W3 qua f (+) W1' f (W1 ) f ( x) x W1 ... gi l khụng gian Lorentz Minkowski ; kớ hiu l Ln H e1 (1, 0, 0, , 0), e2 (0,1, 0, , 0), , en (0, 0, 0, ,1) l c s trc chun ca khụng gian Ln 1.2 Vớ d : Trong lý thuyt tng i c bit L4 l mt mụ hỡnh cho ta khụng gian Ta u tiờn ca vộc t x = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) trong L4 l ta thi gian, ba ta sau l ta khụng gian 1.3 di ca mt vộc t 1.3.1 nh ngha (Xem [4]) Cho x l mt vộc t trong Ln Chun Lorentz ( di) ca...r ii) W ầ W ^ = {0} ur k iii) W + W ^ = E n iv) W ^ khụng suy bin (khụng gian gi clit, khụng gian clit l cỏc khụng gian khụng suy bin) d) Khụng gian 0 vuụng gúc vi mi khụng gian con e) Nu P v Q l cỏc khụng gian con vuụng gúc vi nhau thỡ P Q cha trong tp cỏc vect ng hng Chng minh a) Chng minh tng t nh trong khụng gian clit b) Ta cú: W è (W ^ )^ v dim W + dim W ^ = n ị dim W + dim(W ^ )^ = n ị... tỏc ng t nhiờn ca O1+ (n) trờn tp cỏc khụng gian con vộc t ta thi gian m-chiu ca Ln l bc cu Chng minh Cho V l khụng gian vect m- chiu, ta thi gian ca khụng gian vộc t Ln Xỏc nh Lm vi khụng gian con ca Ln m rng bi cỏc vộc t e1 , , en Ta cn chng minh cú mt A trong O1+ (n) sao cho A( Lm ) V Chn mt c s u1 , u2 , un ca Ln sao cho u1 l vect ta thi gian dng trong V v u1 , u2 , um l mt c s cho V t w1... khụng gian ị W l ta khụng gian ị W ch cha cỏc vect ta khụng gian hoc vect 0 Gi s q ẻ W ị - q12 + q22 + + qn2- 1 + qn2 = 0 ị q l vect ta ỏnh sỏng (mõu thun vi W ch cha cỏc vect ta khụng gian) q ẻ W ị - q12 + q22 + + qn2- 1 + qn2 < 0 24 ị q, q < 0 ị q l vect ta thi gian Ngc li, q l vect ta thi gian Gi s 0 x W ta cú x, q 0 ị x l vect ta khụng gian ị W ch cha cỏc vect ta khụng gian ị W ta khụng gian. .. tuyn tớnh (theo nh lớ 1.2.3.1) H qu Tp tt c cỏc vect ta thi gian dng(õm) ca cỏc vộc t ta thi gian l mt tp con li ca Ln Chng minh Nu x v y cỏc vect ta thi gian dng(õm) ca cỏc vộc t ta thi gian trong Ă n v 0 < t < 1 , khi ú (1- t ) x + ty l vect ta thi gian dng(õm) Theo nh lớ 1.2.3.2 tp tt c cỏc vect ta thi gian dng(õm) ca cỏc vộc t ta thi gian l mt tp con li ca Ln 1.3.4 Mnh Vi x, y ẻ Ln nu x ạ 0 ,... ta khụng gian (+) HP(q, c) l siờu phng ta thi gian ị W ta thi gian ị 0 x W sao cho x, x 0 M < q, c > = 0 ị q l vect ta khụng gian Ngc li, q l vect ta khụng gian (+) HP(q, c) l siờu phng ta ỏnh sỏng ị W l ta ỏnh sỏng Gi s, q l vect ta ỏnh sỏng ị q, q = 0 ị q ẻ W Gi s W cha vect ta thi gian ị $ x ạ 0, x ẻ W : x, x < 0 M q, x = 0 ị q l vect ta khụng gian, mõu thun Vy W khụng cha vect ta thi gian no ... khụng gian thỡ cha hn l vect ta thi gian 1.4 Khụng gian khụng gian Lorentz Minkowski 1.4.1 nh ngha Cho W l khụng gian vect ca Ln (+) W c gi l ta khụng gian nu nú ch cha cỏc vect ta khụng gian. .. ca khụng gian vect E n lp thnh mt nhúm 18 CHNG II KHễNG GIAN LORENTZ- MINKOWSKI Đ1.n-KHễNG GIAN LORENTZ- MINKOWSKI 1.1 nh ngha (Xem [4]) n Gi s n > Cho x v y l cỏc vộc t Tớch vụ hng Lorentz ca... (9) k Tớch vụ hng Lorentz hin nhiờn l tớch vụ hng trờn gian bao gm khụng gian vộc t n n Tớch vụ hng khụng cựng vi tớch vụ hng Lorentz c gi l Lorentzian n-khụng gian, v kớ hiu l Lorentz trờn n n