Phép đặng cự trong không gian ơclít

1 trờng đại học vinh khoa toán ---------------- Phép đẳng cự trong không gian ơclít khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Cử nhân khoa học toán Giáo viên hớng dẫn : TS. Nguyễn Duy Bình Sinh viên thực hiện : Hồ Sỹ Hoàng Lớp : 45E - Toán Vinh - 2009 2 Lời nói đầu Phép đẳng cự đợc biết đến trong hình học phổ thông bao gồm phép dời hình và phép phản dời hình là phép biến hình cơ bản và có nhiều ứng dụng để giải các bài toán trong hình học Ơclit. Đặc biệt là trong hình học sơ cấp có nhiều bài toán có thể giải quyết đợc bằng một cách nhờ phép biến đổi đẳng cự của các hình qua các điểm đặc biệt. Từ những nhận xét đó, chúng tôi đã thực hiện đề tài "Phép đẳng cự trong không gian ơclit" với mục đích hệ thống lại một cách đầy đủ, bao gồm định nghĩa, tính chất, phân loại các phép đẳng cự và tích của chúng. Trên cơ sở lí thuyết đợc xây dựng, chúng tôi giới thiệu một số ứng dụng của phép đẳng cự cụ thể cũng nh tích của một số phép đẳng cự để giải một số bài toán biến hình trong hình học phẳng ở trờng phổ thông. Nội dung của khoá luận gồm: Đ1. Sơ lợc về phép đẳng cự. Trình bày hệ thống khái niệm, tính chất, phép biến đổi đẳng cự và đa ra phơng trình của phép đẳng cự. Đ2. Các phép đẳng cự trong mặt phẳng. Trong mục này chúng tôi trình bày một cách chi tiết phép đẳng cự trong mặt phẳng, nh phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trợt Từ đó nêu đ ợc định lí, phân loại phép đẳng cự trong mặt phẳng. Đ3. ứng dụng phép đẳng cự trong hình học phẳng. Trong bài này chúng tôi trình bày một số dấu hiệu sử dụng từng phép đẳng cự và giải một số bài toán sơ cấp theo phơng pháp dùng các tính chất của phép đẳng cự. Trong quá trình học tập tại trờng Đại học Vinh và khi thực hiện khoá luận tốt nghiệp này, ngoài sự phấn đấu của bản thân mình, tôi đã nhận đợc rất nhiều sự giúp đỡ quý báu. Trớc hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo - TS. Nguyễn Duy Bình, ngời đã tận tình hớng dẫn, giúp đỡ tôi thực hiện khoá luận này. 3 Xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa Toán trờng Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy, rèn luyện trong suốt thời gian tôi học tập tại tr- ờng. Sau cùng tôi xin cảm ơn những ngời thân trong gia đình cùng tất cả các bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Trong quá trình thực hiện khoá luận, do thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những sai sót nhất định, kính mong sự giúp đỡ của các thầy cô để đề tài đợc hoàn thiện. Chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 05 năm 2009. Tác giả. 4 Đ 1. Sơ lợc về phép đẳng cự 1.1. ánh xạ đẳng cự. 1.1.1. Định nghĩa : ánh xạ f: E E' của các không gian Ơclit E và E' gọi là ánh xạ đẳng cự nếu f là một ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết : E E' r r là một ánh xạ tuyến tính trực giao. 1.1.2. Nhận xét Từ định nghĩa ánh xạ đẳng cự, ta dễ dàng suy ra đối với mọi cặp điểm M,N thuộc E và ảnh của chúng M' = f(M), N' = f(N) ta có d(M, N) = d(M', N') nói cách khác phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. 1.1.3. Định lí Mọi ánh xạ f: E E' giữa các không gian Ơclit có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa các điểm bất kì, tức là với mọi M, N E ta có d(f(M), f(N)) = d(M, N) là một ánh xạ đẳng cự. Chứng minh : Lấy I thuộc E và I' = f(I). Xét ánh xạ : E E' r r xác định nh sau: Giả sử u E r r ta lấy điểm điểm M E sao cho IM u= uuur r và đặt với (u) I'M ' = uuuur r với M' = f(M). Ta chứng minh không thay đổi tích vô hớng của hai véc tơ bất kì của E r . Lấy thêm v r bất kì thuộc E r và lấy điểm N thuộc E sao cho IN v= uur r , khi đó v) I' N'( = uuuur r với N' = f(N) Vì f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm nên d(M, N) = d(M', N'). Do đó, 2 2 2 2 MN M ' N ' (IN IM) (I ' N ' I 'M ')= = uuuuur uuuuuuur uur uuur uuuur uuuuur 2 2 2 2 IN IM 2IN.IM I ' N ' I 'M ' 2I ' N '.I 'M ' + = + uuur uuuur uuuuuur uuuuuur uur uuur uuuur uuuuur Ta có: 2 2 2 2 IN I' N ' IM I'M ' = = uuur uuuuuur uuuur uuuuuur 5 Nên ta suy ra: IN.IM I' N '.I'M '= uur uuur uuuur uuuur tức là u.v (u). (v)= r r r r Vì bảo toàn tích vô hớng của hai vec tơ u, v r r bất kỳ nên là ánh xạ tuyến tính trực giao và rõ ràng là liên kết của f. Vậy f là ánh xạ đẳng cự 1.2. Phép biến đổi đẳng cự. ánh xạ đẳng cự f : E E từ không gian Ơclit E vào chính nó thì vì f là đơn ánh nên nó là một song ánh (do E r hữu hạn chiều).Khi đó ta gọi nó là một phép biến đổi đẳng cự của không gian Ơclit E. ánh xạ liên kết với f là một phép biến đổi tuyến tính trực giao của không gian véctơ E r . 1.3. Định lí : Cho hai tam giác bằng nhau trong mặt phẳng, khi đó tồn tại duy nhất phép đẳng cự trong mặt phẳng biến các đỉnh của tam giác này thành các đỉnh t- ơng ứng của tam giác kia. Chng minh: Cho ABC = A'B'C'. Theo định lí về sự xác định ánh xạ afin, do ba đỉnh của tam giác định mục tiêu afin trong mặt phẳng suy ra tồn tại duy nhất ánh xạ afin f biến ba đỉnh A, B, C thành ba đỉnh tơng ứng A', B', C'. Ta có: 2 2 2 2 BC B'C' BC B'C' (AC AB) (A 'C' A 'B')= = = uuur uuuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuuuur 2 2 2 2 AC 2AC.AB AB A'C' 2A'C'.A'B' A 'B' + = + uuur uuur uuur uuur uuuuur uuuur uuuuur uuuuur AC.AB A'C'.A 'B'= uuur uuur uuuuur uuuuur do AC A 'C' , AB A'B'= = uuur uuuuur uuur uuuuur Vì { } AB,AC uuur uuur là một cơ sở trong mặt phẳng và tích vô hớng của chúng đợc bảo toàn qua ánh xạ liên kết f r nên tích vô hớng của hai vec tơ bất kì đợc bảo toàn, do đó f r là ánh xạ tuyến tính trực giao. Vì vậy f là ánh xạ đẳng cự. 6 1.4. Các tính chất của phép đẳng cự. Phép đẳng cự có mọi tính chất của phép afin. Ngoài ra nó có những tính chất riêng sau đây 1.4.1. Tính chất 1: Phép đẳng cự bảo toàn tính thẳng hàng và tỉ số đơn . Chứng minh. Giả sử f là phép đẳng cự, và A, B, C là ba điểm phân biệt thẳng hàng, trong đó điểm B ở giữa A và C. Ta chứng minh ba điểm A' = f(A), B' = f(B), C' = f(C) thẳng hàng và (A,B,C) = (A',B',C'). Theo định nghĩa của phép đẳng cự ta có: AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C'. Vì B ở giữa A và C nên AB + BC = AC, Do đó A'B' + B'C' = A'C', Suy ra ba điểm A',B',C' thẳng hàng và B' ở giữa A' và C'. Rõ ràng là (A, B, C) = (A', B', C'). Vậy phép đẳng cự bảo toàn tính thẳng hàng và tỉ số đơn. 1.4.2. Tính chất 2: Phép đẳng cự bảo toàn độ dài đoạn thẳng nên biến một tam giác thành tam giác bằng nó . Chứng minh : Thật vậy nếu tam giác ABC biến thành tam giác A'B'C' thì do AB = A'B', BC = B'C' và AC = A'C' nên hai tam giác đó bằng nhau. 1.4.3. Tính chất 3: Phép đẳng cự không làm thay đổi độ lớn của góc. Chứng minh : Giả sử phép đẳng cự của f biến góc ã xOy thành góc ã x 'O' y' . Trên hai tia Ox và Oy lần lợt lấy hai điểm A và B khác với 0. Gọi A'= f(A) và B' = f(B) thì A' và B' lần lợt nằm trên O'x' và O'y'. Vì O' = f(O) nên hai tam giác AOB và A'O'B' bằng nhau , do đó hai góc ã xOy và ã x 'O' y' bằng nhau. 7 1.4.4. Tính chất 4: Tích của hai ánh xạ đẳng cự là ánh xạ đẳng cự. Chứng minh: Cho hai ánh xạ đẳng cự f và g.Ta xét tích hai ánh xạ đẳng cự g 0 f . Giả sử A, B là hai điểm bất kì và ta có f(A) = A', g(A') = A", f(B) = B', g(B') = B" .Vì f và g là ánh xạ đẳng cự nên ta có AB = A'B' và A'B' = A"B" nh vậy tích của hai ánh xạ đẳng cự g 0 f là một ánh xạ đẳng cự , vì nó là một phép đẳng cự có tính chất bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm A và B của mặt phẳng. 1.4.5. Tính chất 5: Phép biến đổi đẳng cự biến một cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn, biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. 1.4.6. Nhận xét: Từ điều kiện bảo toàn khoảng cách của hai điểm bất kì, suy ra phép đẳng cự là một đơn ánh, từ tính chất đơn ánh và phơng trình của ánh xạ afin suy ra ánh xạ này cũng song ánh. 1.5. Phơng trình của phép biến đổi đẳng cự. Phơng trình của phép đẳng cự đối với mục tiêu trực chuẩn có dạng [ ] [ ] [ ] x ' B x b= + , trong đó B = A * với A là ma trận chuyển từ cơ sở liên kết của mục tiêu sang cơ sở ảnh của nó. Vì các cơ sở này là cơ sở trực chuẩn trên A, và do đó B là ma trận trực giao. Ngợc lại, nếu ánh xạ afin mà phơng trình đối với mục tiêu trực chuẩn có ma trận là ma trận trực giao thì ánh xạ đó biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn, do đó nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, cho nên nó là phép đẳng cự. 8 Đ 2. Các phép đẳng cự trong mặt phẳng 2.1. Phép dời hình và phép phản dời hình trong mặt phẳng. Giả sử f là một phép đẳng cự trong mặt phẳng và phơng trình của f đối với mục tiêu trực chuẩn { } 1 2 O;e ,e r r có dạng : [x'] = A * [x] + [b] A = (a ij ) là ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn { } 1 2 e ,e r r sang cơ sở ảnh { } 1 2 e' , e' r r , ta có A là ma trận trực giao. Do 1 2 e' e' 1= = r r và 1 2 e' .e' 0= r r nên 2 2 11 21 a a 1+ = (1) 2 2 12 22 a a 1+ = (2) 11 12 21 22 a .a a .a 0+ = (3) Từ (1) suy ra tồn tại góc sao cho 11 a cos= , 21 a sin= . Từ (2) suy ra tồn tại góc sao cho 12 a sin= , 22 a cos= . T ừ (3) suy ra cos .sin sin .cos 0 + = nên sin( ) 0 + = k + = , k k . = + Nếu k chẵn thì 12 a sin= , 22 a cos= A = cos sin sin cos Nếu k lẻ thì 12 a sin= , 22 a cos= A= cos sin sin cos -Trờng hợp A = cos sin sin cos .Ta có det A =1 > 0 và phép đẳng cự f đợc gọi là phép dời hình. Khi đó trong mặt phẳng định hớng ( quy ớc hớng dơng là hớng ngợc chiều quay của kim đồng hồ, hớng ngợc lại gọi là hớng âm). Các góc định hớng hợp bởi 1 2 ,e e r r và hợp bởi 1 2 ' , 'e e r r là giống nhau ( ta nói hai cơ sở có B' B v r A' A 9 cùng hớng ). Nh vậy có thể nói rằng, trong trờng hợp này phép đẳng cự vừa bảo toàn khoảng cách vừa bảo toàn hớng của mặt phẳng. -Trờng hợp A = cos sin sin cos . Ta có detA = -1< 0 và phép đẳng cự f đ- ợc gọi là phép phản dời hình.Khi đó các góc định hớng tạo bởi 1 2 ,e e r r và tạo bởi 1 2 ' , 'e e r r là ngợc nhau ( ta nói hai cơ sở khác hớng ). Nh vậy có thể nói rằng, trong trờng hợp này phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách nhng không bảo toàn hớng của mặt phẳng. 2.2.Phép tịnh tiến. 2.2.1. Định nghĩa. Trong mặt phẳng P cho vectơ u r , phép biến đổi mỗi điểm M thành điểm M' sao cho vectơ MM' u= uuuuur r gọi là phép tịnh tiến theo véctơ u r và đợc ký hiệu u T r . 2.2.2. Phơng trình của phép tịnh tiến Giả sử u T r là phép tịnh tiến theo véctơ u r . Xét một mục tiêu trực chuẩn { } 1 2 0;e ,e r r trong mặt phẳng và giả sử véctơ u r có tọa độ đối với mục tiêu là (b 1 ; b 2 ). Giả sử M là điểm bất kỳ có ảnh là M' và [x], [x'] t- ơng ứng là ma trận toạ độ của M, M'. Ta có: MM' u= uuuuur r suy ra MM ' [u] = uuuuur r [x'] - [x] = [b] [x'] = [x] + [b], do đó: u T r là ánh xạ afin. 2.2.3. Định lí: Phép tịnh tiến là một phép dời hình Chứng minh: Giả sử A, B là hai điểm bất kỳ trong mặt phẳng và qua phép tịnh tiến v T r , chúng lần lợt biến thành các điểm A', B'. Ta có: AA' BB' v= = uuur uuur r M' M u r 10 Ta suy ra: AA' A'B BB' A'B A 'B'+ = + = uuur uuuur uuuur uuuur uuuur Vậy AB A 'B'= uuur uuuur Hay AB A'B'= uuur uuuuur Ta có AB = A'B' mặt khác đối với mục tiêu trực chuẩn { } 1 2 O;x ,x r r và véctơ 1 2 v (b ,b )= r ta biểu thị toạ độ của phép tịnh tiến theo véctơ v r là. 1 1 1 2 2 2 x ' x b x ' x b = + = + 1 0 A 0 1 = , ta có det A = 1 > 0 nh vậy ta đã chứng minh đợc phép tịnh tiến là một phép dời hình. 2.3. Phép đối xứng trục. 2.3.1. Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho đờng thẳng d. Phép biến đổi d biến mỗi điểm M thành M' sao cho d là đờng trung trực của đoạn thẳng MM' đợc gọi là phép đối xứng trục. Ký hiệu: Đ d . 2.3.2. Phơng trình của phép đối xứng trục. Giả sử f là phép đối xứng trục d. Xét mục tiêu trực chuẩn { } 1 2 0;e ;e r r sao cho O nằm trên d và 1 e r là véc tơ chỉ phơng của d. Dễ dàng thấy rằng toạ độ của mỗi điểm và toạ độ của điểm ảnh liên hệ bởi hệ thức ' 1 1 ' 2 2 x x x x = = Từ đó suy ra f là ánh xạ afin. Do f bảo toàn khoảng cách và làm thay đổi h- ớng của cơ sở nên phép đối xứng qua đờng thẳng là phép phản dời hình. 2.3.3. Định lí. Mỗi phép đẳng cự của (E 2 ) đều có thể phân tích thành hợp của không quá ba phép đối xứng trục. M'M d . nó là phép đẳng cự. 8 Đ 2. Các phép đẳng cự trong mặt phẳng 2.1. Phép dời hình và phép phản dời hình trong mặt phẳng. Giả sử f là một phép đẳng cự trong. lợc về phép đẳng cự. Trình bày hệ thống khái niệm, tính chất, phép biến đổi đẳng cự và đa ra phơng trình của phép đẳng cự. Đ2. Các phép đẳng cự trong mặt