Phép đặng cự trong không gian ơclít

1 tr-ờng đại học vinh khoa toán Phép đẳng cự không gian ơclít khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Cử nhân khoa học toán Giáo viên h-ớng dẫn : TS Nguyễn Duy Bình Sinh viên thực : Hồ Sỹ Hoàng Lớp : 45E - Toán Vinh - 2009 Lời nói đầu Phép đẳng cự đ-ợc biết đến hình học phổ thông bao gồm phép dời hình phép phản dời hình phép biến hình có nhiều ứng dụng để giải toán hình học Ơclit Đặc biệt hình học sơ cấp có nhiều toán giải đ-ợc cách nhờ phép biến đổi đẳng cự hình qua điểm đặc biệt Từ nhận xét đó, đà thực đề tài "Phép đẳng cự không gian ơclit" với mục đích hệ thống lại cách đầy đủ, bao gồm định nghĩa, tính chất, phân loại phép đẳng cự tích chúng Trên sở lí thuyết đ-ợc xây dựng, giới thiệu số ứng dụng phép đẳng cự cụ thể nh- tích số phép đẳng cự để giải số toán biến hình hình học phẳng tr-ờng phổ thông Nội dung khoá luận gồm: Đ1 Sơ l-ợc phép đẳng cự Trình bày hệ thống khái niệm, tính chất, phép biến đổi đẳng cự đ-a ph-ơng trình phép đẳng cự Đ2 Các phép đẳng cự mặt phẳng Trong mục trình bày cách chi tiết phép đẳng cự mặt phẳng, nh- phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trượtTừ nêu định lí, phân loại phép đẳng cự mặt phẳng Đ3 ứng dụng phép đẳng cự hình học phẳng Trong trình bày số dấu hiệu sử dụng phép đẳng cự giải số toán sơ cấp theo ph-ơng pháp dùng tính chất phép đẳng cự Trong trình học tập tr-ờng Đại học Vinh thực khoá luận tốt nghiệp này, phấn đấu thân mình, đà nhận đ-ợc nhiều giúp đỡ quý báu Tr-ớc hết xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy giáo - TS Nguyễn Duy Bình, ng-ời đà tận tình h-ớng dẫn, giúp đỡ thực khoá luận Xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô khoa Toán tr-ờng Đại học Vinh đà nhiệt tình giảng dạy, rèn luyện suốt thời gian học tập tr-ờng Sau xin cảm ơn ng-ời thân gia đình tất bạn bè đà động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Trong trình thực khoá luận, thời gian kinh nghiệm hạn chế nên đề tài không tránh khỏi sai sót định, kính mong giúp đỡ thầy cô để đề tài đ-ợc hoàn thiện Chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 05 năm 2009 Tác giả Đ Sơ l-ợc phép đẳng cự 1.1 ánh xạ đẳng cự 1.1.1 Định nghĩa : ánh xạ f: E E' không gian Ơclit E E' gọi ánh xạ đẳng cự f ánh xạ afin mà ánh xạ tuyến tính liên kết : E E' ánh xạ tuyến tính trực giao 1.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ánh xạ đẳng cự, ta dễ dàng suy cặp điểm M,N thuộc E ảnh cđa chóng M' = f(M), N' = f(N) ta cã d(M, N) = d(M', N') nói cách khác phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách hai điểm 1.1.3 Định lí Mọi ánh xạ f: E E' không gian Ơclit có tính chất bảo toàn khoảng cách điểm bất kì, tức với mäi M, N  E ta cã d(f(M), f(N)) = d(M, N) ánh xạ đẳng cự Chứng minh : LÊy I thuéc E vµ I' = f(I) XÐt ánh xạ : E E' xác định nh- sau: Giả sử u E ta lấy điểm điểm M E cho IM u đặt với  (u)  I'M' víi M' = f(M) Ta chøng minh không thay đổi tích vô h-ớng hai véc tơ E Lấy thêm v thuộc E lấy điểm N thuộc E cho IN  v , ®ã  v) I' N' với N' = f(N) Vì f bảo toàn khoảng cách hai điểm nên d(M, N) = d(M', N') Do ®ã, MN2  M ' N '2  (IN  IM)2  (I ' N '  I 'M ')  IN2  IM2  2IN.IM  I ' N '2  I 'M'2  2I ' N '.I 'M' Ta cã: IN  I ' N '2 IM  I 'M '2 Nªn ta suy ra: IN.IM  I ' N '.I'M' tức u.v (u).(v) Vì bảo toàn tích vô h-ớng hai vec tơ u, v nên ánh xạ tuyến tính trực giao rõ ràng liên kết f Vậy f ánh xạ đẳng cự 1.2 Phép biến đổi đẳng cự ánh xạ đẳng cự f : E E từ không gian Ơclit E vào f đơn ánh nên song ánh (do E hữu hạn chiều).Khi ta gọi phép biến đổi đẳng cự không gian Ơclit E ánh xạ liên kết với f phép biến đổi tuyến tính trực giao không gian véctơ E 1.3 Định lí : Cho hai tam giác mặt phẳng, tồn phép đẳng cự mặt phẳng biến đỉnh tam giác thành đỉnh t-ơng ứng tam gi¸c Ch ng minh: Cho ABC = A'B'C' Theo định lí xác định ánh xạ afin, ba đỉnh tam giác định mục tiêu afin mặt phẳng suy tồn ánh xạ afin f biến ba đỉnh A, B, C thành ba đỉnh t-ơng ứng A', B', C' Ta có: BC  B'C'  BC  B'C'2  (AC  AB)  (A'C' A'B') 2 2  AC  2AC.AB  AB  A'C'  2A'C'.A'B'  A'B'  AC.AB  A'C'.A'B' AC  A'C' , AB A'B' Vì AB,AC sở mặt phẳng tích vô h-ớng chúng đ-ợc bảo toàn qua ánh xạ liên kết f nên tích vô h-ớng hai vec tơ đ-ợc bảo toàn, f ánh xạ tuyến tính trực giao Vì f ánh xạ đẳng cự 1.4 Các tính chất phép đẳng cự Phép đẳng cự có tính chất phép afin Ngoài có tính chất riêng sau 1.4.1 Tính chất 1: Phép đẳng cự bảo toàn tính thẳng hàng tỉ số đơn Chứng minh Giả sử f phép đẳng cự, A, B, C ba điểm phân biệt thẳng hàng, điểm B A C Ta chứng minh ba ®iĨm A' = f(A), B' = f(B), C' = f(C) thẳng hàng (A,B,C) = (A',B',C') Theo định nghĩa phép đẳng cự ta có: AB = A'B', BC = B'C', AC = A'C' Vì B A C nên AB + BC = AC, Do A'B' + B'C' = A'C', Suy ba ®iĨm A',B',C' thẳng hàng B' A' C' Rõ rµng lµ (A, B, C) = (A', B', C') VËy phép đẳng cự bảo toàn tính thẳng hàng tỉ số đơn 1.4.2 Tính chất 2: Phép đẳng cự bảo toàn độ dài đoạn thẳng nên biến tam giác thành tam giác Chứng minh : Thật tam giác ABC biến thành tam giác A'B'C' AB = A'B', BC = B'C' AC = A'C' nên hai tam giác 1.4.3 Tính chất 3: Phép đẳng cự không làm thay đổi ®é lín cđa gãc Chøng minh : Gi¶ sư phÐp đẳng cự f biến góc xOy thành góc x 'O' y' Trên hai tia Ox Oy lần l-ợt lấy hai điểm A B khác với Gọi A'= f(A) B' = f(B) A' B' lần l-ợt nằm O'x' O'y' Vì O' = f(O) nên hai tam giác AOB A'O'B' , hai góc xOy x 'O' y' b»ng 1.4.4 TÝnh chÊt 4: TÝch hai ánh xạ đẳng cự ánh xạ đẳng cự Chứng minh: Cho hai ánh xạ đẳng cự f g.Ta xét tích hai ánh xạ đẳng cự g0f Giả sử A, B hai điểm vµ ta cã f(A) = A', g(A') = A", f(B) = B', g(B') = B" Vì f g ánh xạ đẳng cự nên ta có AB = A'B' A'B' = A"B" nhvậy tích hai ánh xạ đẳng cự g0f ánh xạ đẳng cự , phép đẳng cự có tính chất bảo toàn khoảng cách hai điểm A B mặt phẳng 1.4.5 Tính chất 5: Phép biến đổi đẳng cự biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn, biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn 1.4.6 Nhận xét: Từ điều kiện bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì, suy phép đẳng cự đơn ánh, từ tính chất đơn ánh ph-ơng trình ánh xạ afin suy ánh xạ song ánh 1.5 Ph-ơng trình phép biến đổi đẳng cự Ph-ơng trình phép đẳng cự mục tiêu trực chuẩn có dạng  x '  B x   b , B = A* với A ma trận chuyển từ sở liên kết mục tiêu sang sở ảnh Vì sở sở trực chuẩn A, B ma trận trực giao Ng-ợc lại, ánh xạ afin mà ph-ơng trình mục tiêu trực chuẩn có ma trận ma trận trực giao ánh xạ biến sở trực chuẩn thành sở trực chuẩn, bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì, phép đẳng cự Đ Các phép đẳng cự mặt phẳng 2.1 Phép dời hình phép phản dời hình mặt phẳng Giả sử f phép đẳng cự mặt phẳng ph-ơng trình f mục tiêu trực chuẩn O;e1,e2 có d¹ng : [x'] = A* [x] + [b] A = (aij) ma trận chuyển từ sở trực chuẩn e1,e2 sang sở ảnh e'1,e'2 , ta cã A lµ ma trËn trùc giao Do e'1  e'2 e'1 e'2 nên 2 a11  a 21 1 (1) a12  a 222  (2) a11.a12  a 21.a 22  (3) Tõ (1) suy tån t¹i gãc  cho a11  cos  , a 21  sin  Tõ (2) suy tån t¹i gãc  cho a12  sin  , a 22  cos  T õ (3) suy cos .sin   sin .cos   nªn sin(  )       k , k       k cos Nếu k chẵn a12 sin , a 22  cos   A =  sin   sin  cos  cos a12  sin  , a 22   cos   A=  sin  sin   cos NÕu k lẻ cos -Tr-ờng hợp A = sin   sin  Ta cã det A =1 > phép đẳng cự f cos đ-ợc gọi phép dời hình Khi mặt phẳng định h-ớng ( quy -ớc h-ớng d-ơng h-ớng ng-ợc chiều quay kim đồng hồ, h-ớng ng-ợc lại gọi h-ớng âm) Các góc định h-ớng hợp e1 , e2 hợp e '1 , e '2 giống ( ta nói hai sở cã cïng h-íng ) Nh- vËy cã thĨ nãi r»ng, tr-ờng hợp phép đẳng cự vừa bảo toàn khoảng cách vừa bảo toàn h-ớng mặt phẳng cos  -Tr-êng hỵp A =  sin  sin   Ta cã detA = -1< vµ phÐp đẳng cự f cos đ-ợc gọi phép phản dời hình.Khi góc định h-ớng tạo e1 , e2 tạo e '1 , e '2 ng-ợc ( ta nói hai sở kh¸c h-íng ) Nh- vËy cã thĨ nãi r»ng, tr-ờng hợp phép đẳng cự bảo toàn khoảng cách nh-ng không bảo toàn h-ớng mặt phẳng 2.2.Phép tịnh tiến u 2.2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho vectơ u , phép biến đổi điểm M thành ®iĨm M' cho vect¬ M' MM'  u gäi phép tịnh tiến theo véctơ u đ-ợc ký hiệu Tu M 2.2.2 Ph-ơng trình phép tịnh tiến Giả sử Tu phép tịnh tiến theo véctơ u XÐt mét mơc tiªu trùc chn 0;e1,e2  mặt phẳng giả sử véctơ u có tọa độ mục tiêu (b1; b2) Giả sử M điểm có ảnh M' [x], [x'] t-ơng ứng ma trận toạ độ M, M' Ta cã: MM'  u suy  MM'  [u]  [x'] - [x] = [b]  [x'] = [x] + [b], đó: Tu ánh xạ afin 2.2.3 Định lí: Phép tịnh tiến phép dời hình Chứng minh: Giả sử A, B hai điểm mặt phẳng qua phép tịnh tiến Tv , chúng lần l-ợt biến thành ®iÓm A', B' 10 A' Ta cã: AA'  BB'  v v A Ta suy ra: AA' A'B  BB'  A'B  A'B' VËy AB  A'B' B' Hay AB  A'B' B Ta cã AB = A'B' mặt khác mục tiêu trực chuẩn O;x1 , x véctơ v (b1 ,b2 ) ta biểu thị toạ độ phép tịnh tiến theo véctơ v x '1 x1 b1   x '2  x  b 1 0 A  , ta cã det A = > nh- vËy ta ®· chøng minh đ-ợc phép tịnh tiến phép dời hình 2.3 Phép đối xứng trục 2.3.1 Định nghĩa d Trong mặt phẳng cho đ-ờng thẳng d Phép biến đổi d biến điểm M thành M' cho d đ-ờng trung trực đoạn thẳng MM' đ-ợc gọi M M' phép đối xứng trục Ký hiệu: Đd 2.3.2 Ph-ơng trình phép đối xứng trục Giả sử f phép đối xứng trục d XÐt mơc tiªu trùc chn 0;e1;e2  cho O nằm d e1 véc tơ ph-ơng d Dễ dàng thấy toạ độ x1' x1 điểm toạ độ điểm ¶nh liªn hƯ bëi hƯ thøc  '  x   x Tõ ®ã suy f ánh xạ afin Do f bảo toàn khoảng cách làm thay đổi h-ớng sở nên phép đối xứng qua đ-ờng thẳng phép phản dời hình 2.3.3 Định lí Mỗi phép đẳng cự (E2) phân tích thành hợp không ba phép đối xứng trục 19 T Q có ph-ơng trình: x" x cos ysin   x  a   y"  x sin   ycos   y0  b phép quay góc 2.6.5 Định lí Tích hai phép quay phép tịnh tiến lµ phÐp quay  x '  x cos   ysin   x  Chøng minh: Gi¶ sư Q1 :  (  0) vµ Q2 y'  x sin   ycos   y    x"  x 'cos   y'sin   x1 Q2 :   y"  x sin   y'cos   y1 (  0) Khi ®ã Q2 Q1 có ph-ơng trình là: x" x cos(  )  ysin(  )  x cos   y0 sin   x1   y"  x sin(  )  ycos(  )  x sin   y0 cos   y1 NÕu  +  = th× Q2 Q1 phép tịnh tiến Nếu + Q2 Q1 phép quay góc + 2.6.6 Định lí Tích hai phép đối xứng trục phép tịnh tiến phép quay Chứng minh : Cho hai phÐp ®èi xøng trơc nh- sau: Đ1 có trục đối xứng d1 có ph-ơng trình ax + by +c = (a2 + b2  0) Đ2 có trục đối xứng d2 có ph-ơng trình lµ a'x + b'y + c' = (a'2 + b'2 0) Tr-ờng hợp 1: b=b'= Khi đó, ta cã 2c  x '  x  §1:  a  y'  y 2c'   x" x ' Đ2: a' y"  y' 20 Suy §2 2c 2c'    x"  x  §1 :  a a ' phép tịnh tiến y" y Tr-ờng hợp 2: b = b' 2c  x '  x  Ta cã: §1:  a Đ2: y' y Đ2 c'   x"  x 'cos   y'sin   b' sin    y"  x 'sin   y'cos   2c' cos   b'   x"  x cos   ysin   §1 :   y"  x sin   ycos    c c'sin  cos   a b' c 2c'  sin   sin a b'  Lµ phÐp quay gãc  Tr-êng hỵp 3: b  0, b' = c  x '  x cos   ysin   sin   b Ta cã: §1:   y'  x sin   ycos   2c cos   b 2c'   x" x ' Và Đ2: a ' Đ2 Đ1 có ph-ơng trình y" y' c 2c'   x"   x cos   ysin   b sin   a '   y"  x sin   ycos   2c cos   b Th× ta cã: §2 csin  2c'  x"  x cos   ysin     b a' §1 :   y"  x sin   ycos   c sin   a  Lµ phÐp quay gãc  21 Tr-êng hỵp 4: bb'  c   x '  x cos  ysin b sin Giả sử Đ1:   y'  x sin   ycos   2c cos  b   c'   x"  x 'cos   y'sin   b' sin Đ2: y" x 'sin   y'cos   2c' cos  b' Khi đó, tích Đ2 Đ1 có ph-ơng trình là: ccos sin    c'      sin   x"  x cos(  )  ysin(  )   b b'      ccos cos          2c' cos   y"  x sin(  )  ycos(  )  b b'  + NÕu  -  =  = Đ2 Đ1 phép tịnh tiến + NÕu  -      Đ2 Đ1 phép quay góc -  Nh- vËy, tÝch cđa hai phÐp ®èi xøng trơc phép tịnh tiến, phép quay 22 Đ ứng dụng phép đẳng Cự hình học phẳng 3.1 Dấu hiệu sử dụng phép tịnh tiến Không có điểm kép véctơ tịnh tiến khác véctơ không Nếu A nghiệm kép phép tịnh tiến T T phép đồng Phép tịnh tiến th-ờng đ-ợc sử dụng toán có đ-ờng thẳng có ph-ơng trình không đổi Những toán xuất yếu tố song song, nh- hình thang, hình bình hành D 3.1.1 Bài 1: Cho h×nh thang ABCD (AD // BC) víi A Chứng minh AC > BD Giải Xét phép tịnh tiÕn TBC B C biÕn A thµnh A', biÕn D thµnh D' Suy ra: AA' = BC = DD' A'C //AB vµ A'C = AB; A 11 I A' D D'C // DB vµ D'C = DB (1) Gäi I trung điểm AD' Khi đó, CA'D cã ID' = IA So s¸nh tam gi¸c ICD ICA' có I2 I1 So sánh tam giác ICD' ICA có CD' < CA Kết hợp (1) ta suy AC > BD 3.1.2 Bài : Cho đ-ờng tròn tâm O, bán kính R điểm M chạy đ-ờng tròn Cho đoạn thẳng AB có nút A B không nằm đ-ờng tròn cho tr-ớc Tìm tập hợp điểm M' đỉnh lại hình bình hành ABMM', điểm M chạy đ-ờng tròn cho tr-ớc D' 23 Giải Giả sử ta đà có hình bình hành ABMM' có đỉnh M thuộc đ-ờng tròn tâm O cho tr-íc Ta cã MM'  BA §iĨm M' O' O M M' ảnh M qua phép tịnh tiến theo véctơ BA Do M vẽ đ-ờng tròn tâm O,bán kính A B O'M' = R Để tìm tâm O' ta cần dựa vào hệ thức: OO' BA Vậy tập hợp điểm M' đỉnh lại hình bình hành ABMM', M chạy đ-ờng tròn tâm O cho tr-ớc đ-ờng tròn ảnh đ-ờng tròn tâm O qua phép tịnh tiến theo véctơ v BA 3.1.3 Bài 3: Cho hai đ-ờng thẳng d d' cắt hai điểm A B không thuộc hai đ-ờng thẳng (AB không song song với hai đ-ờng thẳng d d') HÃy tìm điểm M d điểm M' đ-ờng thẳng d' cho tứ giác ABMM' hình bình hành Giải d" Giả sử đà dựng đ-ợc hình bình hành M' M ABMM' thoả mÃn điều kiện toán.Ta nhận thấy M' ảnh điểm M qua phép tịnh tiến theo véctơ BA Mặt d B A khác M' phải nằm d' Do ta cần tìm M' giao điểm đ-ờng thẳng d' với đ-ờng thẳng d" d qua phép tịnh tiến theo véctơ BA nói Điểm M thuộc d đ-ợc xác định cho M'M AB Khi ta đ-ợc hình bình hành ABMM' thoả mÃn điều kiện toán d' 24 3.2 DÊu hiƯu sư dơng phÐp ®èi xøng trơc Các điểm kép điểm nằm trục đối xứng Phép đối xứng trục th-ờng đ-ợc sử dụng toán có đ-ờng thẳng cố định đoạn thẳng nhận đ-ờng làm đ-ờng trung trực Thông th-ờng toán có giả thiết đ-ờng phân giác góc xem đ-ờng phân giác trục đối xứng hai tia góc Đặc biệt, cần l-u ý tới hình có trục đối xứng nh- đoạn thẳng, tam giác cân, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật, đ-ờng tròn 3.2.1 Bài 1: Cho hình thang cân ABCD.Gọi I,J lần l-ợt trung điểm cạnh AB CD, gọi O giao điểm hai đ-ờng chéo AC BD Chứng minh : a) I,O,J ba điểm thẳng hàng b) Kẻ đ-ờng thẳng d qua O song song với AB cắt cạnh AD M, cắt BC N, chứng minh OM = ON Giải a) Gọi trục đối xứng hình thang ABCD Suy ®i qua I vµ J Ta cã : A ® : A  B M ®  : AC  BD (1) D D C ®  : BD  AC Tõ (1) vµ (2) suy d  O T-ơng tự đ : B A suy B N  CD nªn ta cã I J C  (2) ®  : AC  BD  BD  AC  ® : O  O suy O điểm kép hay O Suy I,J,O thẳng hàng b) Giả sử d cắt cạnh AD,BC lần l-ợt M,N.Do d //AB suy d Gọi M' ảnh M qua đ 25 M  d  ®  : M  M ' d ,lại M AD mà đ  : AD  BC , M  AD  M '  BC  M '  BC  d hay M '  N Do tÝnh chÊt đối xứng nên OM = ON 3.2.2 Bài 2: Cho đ-ờng thẳng dd' có ba điểm A, B, C cho B nằm A, C; đ-ờng thẳng aa' vuông góc với dd' C Một đ-ờng thẳng di động AM cắt aa' M; đ-ờng thẳng qua B vuông góc với AM cắt aa' N Chứng minh rằng: đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác BMN ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh thø hai a Gäi (C ) đ-ờng tròn qua ba điểm N, M, N B' giao điểm M thứ hai cđa (C ) víi dd' Do AB vu«ng gãc víi MN NB vuông d A A' B C B' góc AM nên B trực tâm tam giác AMN hay MB vu«ng gãc víi AN N C C' Ta cã: BMN  900  ANM  B'AN sđNB' B'MN a' MN phân giác MBB' Mà MN vuông góc với BB' nên tam giác MBB' cân MN trung trực BB' Do đó, phép đối xứng trục Đaa' biến B' thành B vµ biÕn M thµnh chÝnh nã, N cịng thµnh chÝnh nên (C ) qua B', M, N biến thành đ-ờng tròn (C ') qua ba điểm B, M, N Ta có: Phép đối xứng trục Đaa', biến đ-ờng tròn (C ) thành đ-ờng tròn (C ') Gọi A' ảnh A qua phép đối xứng trục Đaa', ta có A' cố định Do A thuộc (C ) nên A' thuộc (C ').Suy điều phải chứng minh d' 26 3.2.3 Bài 3: Cho đ-ờng thẳng xy, hai điểm A B nằm phía xy HÃy tìm xy điểm M cho AMx 2BMy A J B Giải Dựng đ-ờng tròn tâm B, tiếp xúc với đ-ờng thẳng x y M I xy điểm I Gọi A' điểm đối xứng cđa A qua xy Dùng A'J tiÕp xóc víi ®-êng tròn (B) J A' A'J cắt xy điểm M, điểm cần tìm Thật vậy, ta có: AMx  A'Mx  JMy , mµ JMy  2BMy nªn AMx  2BMy 3.3 DÊu hiƯu sư dơng phép quay để giải Điểm kép tâm quay Phép quay tâm O góc quay 1800 phép quay đối xứng tâm O Phép quay th-ờng đ-ợc sử dụng toán có điểm cố định, có góc hai tia hai đ-ờng thẳng hai đoạn thẳng không đổi a có độ dài đoạn thẳng Tóm lại, phép quay th-ờng đ-ợc sử dụng toán có giả thiết tam giác cân, tam giác đều, hình vuông 3.3.1 Cho tam giác ABC.Trên cạnh AB, AC ta dựng phía hình vuông ABIN ACPQ a) Chøng minh NC  BQ vµ NC = BQ b) Gọi M trung điểm BC chứng minh AM  QN vµ AM  BQ 27 Gi¶i a) XÐt phÐp quay Q   A,  Q B1 biến N điểm N thành điểm B, biến điểm C thành điểm Q Do đó, A P theo tÝnh chÊt cña phÐp quay ta suy NC  BQ vµ I NC = BQ B M C b) Gọi B1 điểm đối xứng với B qua A, ta cã: AM // B1C (do AM lµ ®-êng trung b×nh cđa BCB1) Qua phÐp quay Q  A, nói trê điểm C biến thành điểm Q điểm B1 biến thành điểm N Do đó, đ-ờng thẳng CB1 QN AM QN Vì NC = CB1 mà NC = BQ nên CB1 = BQ Vì AM CB1 BQ nên AM 2 3.3.2 Bài 2: Qua tâm G tam giác ABC kẻ đ-ờng thẳng a cắt BC M cắt AB N, kẻ đ-ờng thẳng b cắt AC P AB Q, đồng thêi t¹o víi b mét gãc 600 Chøng minh r»ng MPNQ hình thang cân Giải Giả sử MGP NGQ  600 A th× N QGM  PGN  120 XÐt phÐp quay t©m G Q G víi gãc quay 1200 cho tia GM biÕn thµnh tia GQ, tia GN biến thành GP, đỉnh tam giác biến thành ảnh B b P 600 C M a (Qua phÐp quay ta cã A  C; C  B; B  A) Do M biÕn thµnh Q vµ N biÕn thµnh P Ta suy tam giác MGQ, NGP tam giác cân G với góc 28 đỉnh 1200 góc lại hai tam giác 300 Do đó, hai đ-ờng thẳng NP MQ song song víi nhau, ®ång thêi MN = PQ nghĩa MPNQ hình thang cân 3.3.3 Bài 3: Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C nằm A B Dựng tam giác ACE vµ BCF cho E vµ F n»m cïng phía đ-ờng thẳng AB Chứng minh AF = BE, gọi M, N lần l-ợt trung điểm đoạn AF BE Chứng minh tam giác CMN tam giác Giải Phép quay tâm C víi gãc quay      CF,CB CA,CE A C B biến điểm F thành ®iĨm B vµ biÕn ®iĨm A thµnh M ®iĨm E Do ®ã AF = EB Cịng qua phÐp N quay ®ã trung ®iĨm M cđa AF biÕn F thµnh trung ®iĨm N cđa EB, ®ã CM = CN vµ MCN 600 E Vậy CMN tam giác 3.3.4 Bài 4: Cho hai đ-ờng tròn C (O R) C (O'; R) cắt hai điểm phân biệt A, B cho OAO' 1200 Trên đ-ờng tròn C (O, R) ta lấy điểm M, đ-ờng tròn C (O' R) ta lấy ®iĨm M' cho M vµ M' n»m ngoµi ®èi với hai đ-ờng tròn MM' qua điểm B Gọi S giao điểm tiếp tuyến hai đ-ờng tròn M M' Xác định vị trí hai điểm M M' để bán kính đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác SMN lớn 29 Gi¶i (00 <  < 1800) PhÐp quay Q(A,1200 ) biến O thành O' Giả sử AOM nên Q(A,1200 ) biến M thành M" thuộc đ-ờng tròn C (O', R) vµ AO'M"   Râ rµng 2ABM" nên ABM" ABM 1800 Điểm M" trùng v`ới điểm M' Ta gọi d tiếp tuyến C (O,R) điểm M, d' tiếp tun d cđa C (O', R) t¹i M' S M H B PhÐp quay Q(A,1200 ) biÕn d thµnh K O d' góc tù tạo d, d'  O' 120 , ®ã MSM'  60 áp 0 dụng định lý sin cho tam giác SMM' R ta MM' MM'  2sin 60 M' A cã R lín d' nhÊt MM' lớn Gọi H K lần l-ợt trung điểm dây BM BM', KH hình chiếu đoạn thẳng OO' MM', nên ta cã MM' = 2KH  2OO' vµ MM' lín nhÊt MM' // OO' 3.3.5 Bµi : Cho hai đ-ờng thẳng song song a b, với điểm C không nằm hai đ-ờng thẳng đó, hÃy tìm a,b lần l-ợt hai điểm A,B cho ABC tam giác Giải : Giả sử ta đà dựng đ-ợc tam giác ABC thỏa mÃn điều kiện toán Với phép quay Qc ta có điểm A biến thành điểm B, d-ờng thẳng a biến thành a' qua B Từ ta suy cách dựng : 30 - Dựng đ-ờng thẳng a' ảnh a b a' qua phép quay Qc cách kẻ CH a H, tìm ảnh H' H qua phÐp B A a H quay ®ã råi vÏ a' CH H' - Gọi B giao ®iĨm cđa a' víi b vµ  lÊy ®iĨm A tạo ảnh B phép quay nói ta có A nằm a, ta dễ dàng chứng minh đ-ợc ABC tam giác H' C cần dựng Trong ví dụ ta đà thấy đ-ợc ứng dụng phép đẳng cự giải toán hình học phẳng Có thể lúc cách giải hay ngắn gọn cách giải khác, nh-ng hi vọng cách ta giải đ-ợc nhiều toán giải đ-ợc toán phức tạp 31 kết luận Dựa vào tài liệu tham khảo, khoá luận đà trình bày đ-ợc hệ thống khái niệm ánh xạ đẳng cự, phép biến đổi đẳng cự, phép dời hình phép phản dời hình mặt phẳng nh- phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng tr-ợt Đồng thời vận dụng định lí phân loại phép biến đổi đẳng cự để chứng minh ®-ỵc mét sè tÝnh chÊt nh- : TÝch cđa hai phép tịnh tiến phép tịnh tiến, tích phép tịnh tiến phép quay phép quay, tích hai phép đối xứng trục phép tịnh tiến phép quayBên cạnh đà giải đ-ợc số toán hình học sơ cấp nhờ phép biến đổi đẳng cự Trên số tổng hợp phép đẳng cự Mặc dù đà cố gắng nh-ng nhiều điều hạn chế nên đề tài ch-a thể hoàn thiện đ-ợc hết vấn đề có liên quan Vậy nên mong có đ-ợc đóng góp thầy cô ng-ời để sau có điều kiện cho phép hoàn thiện đề tài 32 tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Bình-Phạm Ngọc Bội-Tr-ơng Đức Hinh-Nguyễn Hữu Quang (1999) Bài tập hình học Afin hình học Ơclít NXBGD [2] Nguyễn Duy Bình-Nguyễn Chiến Thắng (2008) Phép đẳng cự ứng dụng giải toán hình học phổ thông [3] Văn Nh- C-ơng-Tạ Mân (1998) Hình học Afin hình học Ơclít NXB ĐHQG [4] Văn Nh- C-ơng-Kiều Huy Luân-Hoàng Trọng Thái Hình học NXBGD [5] Nguyễn Văn Đoành-Phạm Đình Đô-Trần Lê T-ờng (1984) Bài tập hình học cao cấp - Tập I Hình học Afin hình học Ơclít [6] Nguyễn Mộng Hy (1997) Các phép biến hình mặt phẳng NXBGD [7] Ngun Méng Hy H×nh häc cao cÊp NXBGD 33 Mơc lục Trang Lời nói đầu §1 Sơ l-ợc phép đẳng cự 1.1 ánh xạ ®¼ng cù 1.2 Phép biến đổi đẳng cự 1.3 Định lí 1.4 C¸c tÝnh chất phép đẳng cự 1.5 Ph-ơng trình phép biến đổi đẳng cự Đ2 Các phép đẳng cự mặt phẳng 2.1 Phép dời hình phép phản dời hình mặt phẳng 2.2 PhÐp tÞnh tiÕn 2.3 PhÐp ®èi xøng trôc 2.4 PhÐp quay 10 2.5 Phép đối xứng tr-ợt 12 2.6 Phân loại phép đẳng cự mặt phẳng 13 Đ3 ứng dụng phép đẳng cự mặt hình học ph¼ng 21 3.1 DÊu hiƯu sư dông phÐp tinh tiÕn 21 3.2 DÊu hiƯu sư dơng phÐp ®èi xøng trôc 23 3.3 DÊu hiƯu sư dơng phÐp quay 25 KÕt luËn 30 Tài liệu tham khảo 31 ... l-ợc phép đẳng cự Trình bày hệ thống khái niệm, tính chất, phép biến đổi đẳng cự đ-a ph-ơng trình phép đẳng cự Đ2 Các phép đẳng cự mặt phẳng Trong mục trình bày cách chi tiết phép đẳng cự mặt... phẳng, nh- phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trượtTừ nêu định lí, phân loại phép đẳng cự mặt phẳng Đ3 ứng dụng phép đẳng cự hình học phẳng Trong trình bày số dấu hiệu sử dụng phép đẳng cự giải... f ánh xạ đẳng cự 1.2 Phép biến đổi đẳng cự ánh xạ đẳng cự f : E E từ không gian Ơclit E vào f đơn ánh nên song ánh (do E hữu hạn chiều).Khi ta gọi phép biến đổi đẳng cự không gian Ơclit E ánh