Về các phép biến đổi trong không gian vectơ euclid

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học Vinh Hoàng Thị thuỳ linh Về phép biến đổi không gian vectơ euclid luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng Đại học Vinh Hoàng Thị thuỳ linh Về phép biến đổi không gian vectơ euclid Chuyên ngành: đại số lý thuyết số MÃ số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS TS Ngun Thµnh Quang Vinh - 2009 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 1.1 Không gian vectơ Euclid 1.2 Phép biến đổi liên hợp 13 1.3 Phép biến đổi đối xứng 16 CHƢƠNG ÁNH XẠ TRỰC GIAO VÀ KHÔNG GIAN UNITA 21 2.1 Ánh xạ trực giao 21 2.2 Không gian Unita 30 2.3 Một số tập minh hoạ 32 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Đại số tuyến tính, khởi đầu với việc giải hệ phương trình tuyến tính Về sau để hiểu thấu đáo cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm, người ta xây dựng khái niệm trừu tượng không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, khảo sát khơng gian với nhiều thuộc tính hình học Ngày nay, Đại số tuyến tính ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau,từ Giải tích tới Hình học vi phân Lý thuyết biểu diễn nhóm… Vì trở thành môn học sở thuộc ngành khoa học Với mục đích tìm hiểu ứng dụng Đại số tuyến tính, luận văn tơi cố gắng trình bày cách có hệ thống số khái niệm,chứng minh chi tiết tính chất, kết khơng gian vectơ Euclid, tìm tịi số kết quả, tập minh họa có liên quan vấn đề nêu Cấu trúc luận văn gồm chương, phần mở đầu kết luận danh mục tài liệu tham khảo Trong chương 1, chúng tơi trình bày lại số định nghĩa, tính chất khơng gian vectơ Euclid, phép biến đổi (phép biến đổi liên hợp, phép biến đổi đối xứng) không gian vectơ Euclid Chương luận văn giới thiệu ánh xạ trực giao, không gian Unita, số tập minh hoạ Luận văn thực trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Chu Trọng Thanh, TS Mai Văn Tư, TS Nguyễn Thị Hồng Loan giúp đỡ, giảng dạy tạo điều kiện cho chúng tơi q trình học tập lớp Cao học XV Đại số Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn tạo điều kiện cho chúng tơi thời gian học tập Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp lớp Cao học XV Đại số có nhiều động viên giúp đỡ q trình học tập vừa qua Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong nhận bảo quý thầy cô đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 1.1 Khơng gian vectơ Euclid Trong hình học, tích vơ hướng hai vectơ định nghĩa tích độ dài hai vectơ cosin góc xen chúng Việc trực tiếp trừu tượng hoá khái niệm độ dài vectơ góc xen hai vectơ khó nhiều so với việc trừu tượng hố khái niệm tích vơ hướng Vì thế, trước hết nghiên cứu khái niệm tích vơ hướng, sử dụng để định nghĩa độ dài vectơ góc xen hai vectơ Giả sử E không gian vectơ thực Nhắc lại hàm η: E  E  gọi song tuyến tính tuyến tính biến cố định biến cịn lại Mỗi hàm song tuyến tính gọi dạng song tuyến tính E 1.1.1 Định nghĩa (a) Dạng song tuyến tính η : E  E  gọi đối xứng  ( ,  )   ( ,  ),  ,   E (b)  gọi dương  ( ,  )  0,   E (c)  gọi xác định dương dương  ( ,  )     (d) Một dạng song tuyến tính, đối xứng xác định dương E gọi tích vơ hướng E Tích vơ hướng khơng gian E thường ký hiệu .,.: , : E  E   α, β  α, β Số thực  ,  gọi tích vơ hướng hai vectơ  ,  Những điều kiện để .,. tích vơ hướng liệt kê sau: 1   ,   1 ,    ,  , a ,   a  ,  ,  , 1     , 1   ,  ,  , a  a  ,  , Tính đối xứng ,   , , Tính xác định dương  ,   0,  ( ,  )     với α, αi , β, βj  E, a  1.1.2 Định nghĩa Không gian vectơ thực E với tích vơ hướng E gọi không gian vectơ Euclid 1.1.3 Ví dụ (a) Khơng gian vectơ tự học hình học sơ cấp khơng gian vectơ Euclid với tích vơ hướng thơng thường  ,     cos  ,   (b) Giả sử E không gian vectơ thực n chiều (e1, e2, , en) sở Có thể định nghĩa tích vơ hướng E sau Nếu   i xi ei ,   i y i ei , ta đặt n  ,    xi y i i 1 Nói riêng, E  n  e1 , e2 , , en  sở tắc  x1   y1      tích vơ hướng hai vectơ     ,      định nghĩa x  y   n  n n  ,    xi y i i 1 n , Nó gọi tích vơ hướng tắc n Nhận xét theo cách sở E cho phép xác định E tích vơ hướng Hai tích vơ hướng xác định hai sở khác nói chung khác (c) Giả sử E   a, b không gian hàm thực liên tục  a, b Công thức, f , g  a f ( x) g ( x)dx, f , g  b a, b xác định tích vơ hướng khơng gian vơ hạn chiều Tính liên tục hàm  a, b  a, b dùng để chứng minh tính xác định dương dạng song tuyến tính (f,g)  f,g Mỗi không gian vectơ F khơng gian vectơ Euclid E trang bị tích vơ hướng, thu hẹp tích vơ hướng cho E Vì F khơng gian vectơ Euclid Nó gọi khơng gian vectơ Euclid E Bây ta định nghĩa độ dài vectơ góc hai vectơ không gian vectơ Euclid 1.1.4 Định nghĩa Giả sử E khơng gian vectơ Euclid với tích vơ hướng , Khi đó, độ dài (hay chuẩn) vectơ a  E số thực không âm    ,  Nhận xét rằng, ngược lại, tích vơ hướng hồn tồn xác định độ dài vectơ Thật  ,     2      2  Để định nghĩa góc hai vectơ, ta cần mệnh đề sau 1.1.5 Mệnh đề (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz)  ,     ,  ,   E Chứng minh Nếu  = bất đẳng thức cách hiển nhiên, hai vế Xét trường hợp a  0.Ta có tα  β , tα  β  0, t  Hay t  ,  2t  ,    ,   0, t  Vì  ,  > , nên vế trái tam thức bất hai t Tam thức không âm với giá trị t, '   ,     ,   ,     ,     ,   ,   Từ đó: Khai hai vế bất đẳng thức, ta có  ,     ,     ,    a   Trong Rn với tích vơ hướng tắc, bất đẳng thức có dạng n |  xi yi | i 1 n  xi2 i 1 n y i 1 i , xi , yi  1.1.6 Mệnh đề (Định lý Pythagore) Nếu    |  + |2= ||2+ ||2 Chứng minh Ta có    ,    ,  ,    ,  Vì    , , = Do đó| + |2= ||2+ ||2  Các tính chất độ dài vectơ liệt kê mệnh đề sau đây: 1.1.7 Mệnh đề (i) Mỗi hệ trực giao không chứa vectơ độc lập tuyến tính (ii) Nếu hệ vectơ  e1 , , ek  trực giao không chứa vectơ 0, hệ  e1 e   , , k  trực chuẩn e ek   Chứng minh (i) Giả sử  e1 , , ek  hệ trực giao không chứa vectơ Giả sử có ràng buộc tuyến tính a1e1   akek  Nhân vô hướng vế với ek , sử dụng giả thiết ei  ej với i  j, ta có:  a1e1   ak ek , ek  a1 e1 , ek   ak ek , ek  ak ek , ek Vì ek  , nên ek , ek > Do ak  Từ ta thu ràng buộc a1e1   ak 1ek1  Lặp lại lập luận với k thay k - 1, ta thu ak-1 = Cuối ta thu a1  a2   ak  Vậy hệ  e1 , , ek  độc lập tuyến tính (ii) Ta có: ei e j , ei e j  0, i  j ei , e j   ei e j 1, i  j  Một sở E đồng thời hệ trực chuẩn gọi sở trực chuẩn Định lý sau nói lên tính phổ biến sở trực chuẩn 1.1.8 Định lý Mọi không gian vectơ Euclid hữu hạn chiều có sở trực chuẩn Chứng minh Định lý chứng minh phép trực giao hoá Schmidt Giả sử ( 1 , ,  n ) sở không gian vectơ Euclid E Trực giao hoá Schmidt phép dựng sở trực giao  e1 , , en  E với tính chất sau: Le1 , , ek   L , ,  k , k  1,2, , i 1 Sau đó, ta chuẩn hoá e1 , , ek  để thu sở trực chuẩn E 24 Chứng minh Giả sử  vectơ riêng ứng với giá trị rêng  , nghĩa φ(α)  λα Ta có: α, α  φ(α), φ(α)  λα, λα  λ2 α, α Vì α   λ2  Do λ  1 Giả sử  P1(),  P-1() Ta có α, β  φ(α), φ( β )  α,  β   α, β Từ α, β  α  β  2.1.7 Mệnh đề (i) A  O(1) A  1 (ii) A  O(2) A hai ma trận dạng sau đây:  cos ω  sin ω   cos ω  sin ω  A1   , A    sin ω  cos ω   sin ω  cos ω    Ma trận A1 chéo hoá ω  kπ với kZ Ma trận A2 ln chéo hố nhờ ma trận trực giao Nói rõ hơn, tồn Q  O(2) cho 1  Q 1 A2Q     1 Chứng minh (i) A  (a)  O(1) a  1, tức a  1 a c  (ii) Giả sử A    Khi A  O(2) b d  a  b2  1, c  d  1, ac  bd  Hai đẳng thức cuối chứng tỏ (c, d ) nghiệm hệ phương trình tuyến tính khơng suy biến ax  by    cx  dy  25 Theo quy tắc Cramer, ta có: 0 b  a 0 det  det  c 1 d  b     a c  ,d det A det A det A det A Ta xét hai trường hợp Trường hợp det A  Suy c  b, d  a Kết  a b  A , b a  với a  b2  Đặt a = cos , b = sin , ta thu  cos ω  sin ω  A   sin ω cos ω  Đa thức đặc trưng A X  2cos ωX  Nó có nghiệm thực '   sin ω   = k  với k số nguyên Khi  1  A   1 Trường hợp det A = -1 Khi c = b, d = -a, a b  A ,  b a  với a  b2  Đặt a = cos, b = sin, ta có:  cos ω sin ω  A   sin ω  cos ω  Đa thức đặc trưng A là:  cos ω  X det   sin ω   X  (cos ω  sin ω)   cos ω  X  sin ω = X   ( X  1)( X  1) Vậy A có hai giá trị riêng -1  26 Giả sử  phép biến đổi trực giao có ma trận A sở tắc Gọi   vectơ riêng có độ dài đơn vị  ứng với giá trị riêng -1 Ta biết α  β Vậy α, β sở trực chuẩn Nếu Q ma trận chuyển từ sở tắc sang sở α, β 1  Q  O(2) Q 1 AQ     1 Phép biến đổi trực giao  không gian vectơ Euclid hai chiều E có ma trận dạng  cos ω sin ω   cos ω  sin ω   sin ω cos ω   sin ω  cos ω      sở trực chuẩn gọi thứ tự phép quay gốc  xung quanh gốc toạ độ phép đối xứng trục 2.1.8 Hệ Với ma trận trực giao A cấp n, có ma trận trực giao Q cấp n cho Q1 AQ  QT AQ ma trận trực giao dạng tắc Ví dụ Tìm dạng tắc B ma trận trực giao    3    2 1  A   3 3  2     3  ma trận trực giao Q cho B  Q1 AQ Giải Trước hết ta tìm đa thức đặc trưng A: 27 2 3  X  PA ( X )  det             ( X  1)( X  X  1) X   2  X  3   3i Đa thức có nghiệm: X  1, X 2,3   3  Gọi  phép biến đổi tuyến tính có ma trận A sở tắc Vectơ riêng e1 = (x,y,z)t  ứng với giá trị riêng X1 = nghiệm hệ phương trình:  2     1 x  y  z     2   x    1 y  z  3    2    x  y    1 z  3   Từ suy x  y  z Nếu ta địi hỏi thêm ei có độ dài đơn vị t  1  , , Ta chọn e1   x yz   3 3 Tiếp theo, ta xét không gian  ổn định hai chiều ứng với nghiệm phức liên hợp X 2,3   3i PA(X) Muốn thế, ta tìm nghiệm phức hệ phương trình:    3i    x  y  z   3  3    3i   y z0  x   3    x  y     3i  z   3  3  28 Hệ có họ nghiệm phụ thuộc tham số phức t: x  2t , y  (1  3i )t , z  (1  3i )t Chọn t = tách riêng phần thực phần ảo vectơ nghiệm, ta thu hai vectơ  e12  (2,1,1)t , e31  0, 3,   t Hai vectơ trực giao với Ta chuẩn hoá chúng để có h trực chuẩn: t  1    e2    , , ,  , e3    6 2   t Khi ta có:   (φ(e2 )φ(e3 ))  (e2e3 )     3      Như vậy, sở trực chuẩn (e1, e2, e3) phép biến đổi  có ma trận dạng tắc  1  B  0   0      3     Ma trận chuyển Q từ sở tắc sang sở trực chuẩn (e1, e2, e3) ma trận trực giao với cột vectơ toạ độ e1, e2, e3 29     Q     Vậy B  Q1 AQ 3  6           30 2.2 Không gian Unita Trong mục ta nói vài nét thay đổi cần thiết nghiên cứu việc đo độ dài vectơ không gian vectơ phức Trong không gian thế, ta không định nghĩa khái niệm góc hai vectơ Tuy thế, khái niệm trực giao có nghĩa Giả sử E không gian vectơ phức 2.2.1 Định nghĩa Một hàm η : E  E  gọi dạng Hermite E thoả mãn hai điều kiện sau đây: (a)  tuyến tính biến thứ η(α1  α2 , β )  η(α1 , β )  η(α2 , β ) α1 , α2 , β  E η(aα, β )  aη(α, β ) a  , α, β  E (b)  hàm liên hợp đối xứng: α, β  E η( β, α)  η(α, β ) η(α, β ) liên hợp phức η(α, β ) Mỗi dạng Hermite liên hợp tuyến tính biến thứ hai Tức là: η(α, β1  β2 )  η(α, β1 )  η(α, β2 ) α, β1 , β2  E η(α, bβ )  bη(α, β ) b  , α, β  E Thật vậy: η(α, β1  β2 )  η( β1  β2 , α)  η( β1 , α)  η( β2 , α)  η( β1 , α)  η( β2 , α)  η(α, β1 )  η(α, β2 )  η(α, bβ )  η(bβ, α)  bη( β , α)  bη( β, α)  bη( β, α) Đặc biệt, lấy   , ta có η(α, α)  η(α, α) Vì thế, (,) số thực, với α  E 31 2.2.2 Định nghĩa Dạng hermite  gọi tích vơ hướng có tính xác định dương: η(α, α)  α  E η(α, α)   α  Không gian vectơ phức E với tích vơ hướng cho E gọi không gian Unita Khi η(α, β ) gọi tích vơ hướng   thường ký hiệu α, β 2.2.3 Ví dụ Khơng gian khơng gian Unita với tích vơ hướng tắc định nghĩa sau: α, β  x1 y1   xn yn , α  ( x1 , , xn )t , β  ( y1 , , yn )t Trong không gian Unita E, số thực không âm α  α, α gọi độ dài vectơ  Bất đẳng thức Canchy-Schwarz không gian Unita Tuy thế, tỷ số  α, β  nói chung số phức mà không số thực, α β nên ta không định nghĩa góc hai vectơ khác Mặc dầu vậy, ta nói  trực giao với  viết     = Mọi khơng gian unita có sở trực chuẩn Điều chứng minh cách trực giao hoá Schmidt sở tuỳ ý E để xây dựng sở trực giao, chuẩn hố để có sở trực chuẩn E 32 2.3 Một số tập minh họa Bài Chứng tỏ không gian vectơ x, y  x1 y1  x2 y2  x3 y3  với  x y2  x2 y1  x1 y3  x3 y1  x2 y3  x3 y2  Là khơng gian Ơclit Hãy tìm sở trực chuẩn Giải Nhận thấy điều kiện (i) (ii) tích vơ hướng Ta lại có: x, x  x12  x2  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3  ( x  x2  x3 )  x12  x2  x32   Dấu xảy x = Vậy tích vô hướng Để xây dựng sở trực chuẩn, ta sử dụng phương pháp GramSchmidt xuất phát từ sở tự nhiên: e1 , e2 , e3 Ta có u1  e1 , u2  e2  αe1 , α  e2 , u1 / u1 , u1  Do u2  e2  e1  (1,1,0) ; u2  Tương tự u3  e3  βu1  γu2 β  e3 , u1 / u1 , u1  1, γ  e3 , u2 / u2 , u2  Suy u3  e3  e1  (1,0,1) ; u3  Vậy (1,0,0),(1,1,0),(1,0,1) sở trực chuẩn Bài Tìm điều kiện cần đủ để không gian vec tơ với x, y  αx1 y1  βx2 y2  γ1 x3 y3  γ1 x1 y2  γ2 x2 y1 không gian Unita 33 Giải Cho x  y  e2 , e1 ta có α, β số thực dương Từ điều kiện x, y  y, x ta suy γ2  γ1 Bây ta giả sử x   u1  iu2 , v1  iv2  γ1  c1  ic2 Khi x, x  α(u12  u2 )  β (v12  v2 )  2c1 (u1v1  u2v2 )  2c2 (u1v2  u2v1 ) Điều kiện cần đủ để x, x  x  dạng toàn phương thực phải xác định dương αβ  γ1γ2  Bài Chứng minh khơng gian Unita ta có x, y  x  y x,y phụ thuộc tuyến tính Giải Điều kiện đủ dễ thấy Ta chứng minh điều kiện cần Với α, β  ta có:  αx  βy, αx  βy  αx, αx  βy, βy  αx, βy  βy, αx  αα x, x  βα y, x  α β x, y  β β y, y Bây ta thay α  y, y  y  , β   y, x Ta y x 2 y 2 x, y x, y  y x, y x, y  x, y  y x, y x, y  x, y  y x Khi y  toán chứng minh Khi y  ta suy bất đẳng thức x, y  x y Dấu xảy αx  βy  Từ suy x, y phụ thuộc tuyến tính 34 Bài Cho hệ vectơ e1 , e2 , , er độc lập tuyến tính khơng gian Ơclit (hay Unita) E hai hệ vectơ trực giao f1 , f , , f r ; g1 , g2 , , gr không chứa vectơ 0, cho vectơ f k , g k biểu diễn tuyến tính qua e1 , e2 , , ek ; k  1, s Chứng minh f k  αk gk , αk  0, k  1, , s Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo s Với s  hiển nhiên Giả sử toán cho với s Ta chứng minh với s+1 Kí hiệu Vk khơng gian sinh e1 , e2 , , ek Do f1 , f , , f k độc lập tuyến tính thuộc Vk , nên sở Vk Do ek biểu diễn tuyến tính qua f1 , f , , f k suy f s 1  as 1es 1   a1e1  as 1es 1  as f s   a1 f1 , as1  Tương tự, g s 1  bs 1es 1  bs f s   b1 f1 , bs1  Trong bk / bs 1 xác định Từ suy f s 1  αs 1 g s 1 Bài Không gian V cho hệ phương trình  x1  x2  3x3  x4    x4  3x1  x2  3x  x  x  x   Tìm hệ phương trình xác định V  Giải Theo ra, ta tìm sở khơng gian nghiệm, vectơ sở vectơ hệ số hệ phương trình cần tìm Chẳng hạn ta hệ: 6 x1  x2  x3   x2  x4   35 Bài Cho e1 , e2 , , en hệ trực chuẩn không gian Ơclit (hay unita) E Chứng minh bất đẳng thức Bessel: với  E ta có υ, e1   υ, en υ Giải.Xét không gian hữu hạn chiều V  E sinh e1 , e2 , , en v Ta mở rộng hệ cho thành sở trực chuẩn e1 , e2 , , em V , m  n m  n  Khi đó, v  1e1    m em , vế trái 1    n , vế phải 1    m 2 2 Bài Hai sở e1 , e2 , , en f1 , f , , f n không gian Ơclit (hay unita) gọi liên hợp với nhau, 1 ei , f j   0 neáu i  j neáu i  j Chứng minh với sở cho trước tìm sở liên hợp Giải Với i , kí hiệu E i không gian sinh e1 , , ei 1 , ei 1 , , en Khi dim  i  Do  i  Kf j' ( K  ), f ' i  Hơn f j' , ei  Bây việc chọn f i  f ' i f ' i ,e i Bài Chứng minh không gian Ơclit hàm liên tục C  ,   hàm số 1 1 , cos x, sin x, , cos nx, sin x, 2     lập thành hệ trực chuẩn Giải Tính tích phân, ta được:  sin nx   cos nx sin nxdx  2n |     cos nx sin nxdx     [sin(n  m) x  sin(m  n) x]dx  0, n  m,  36   sin nx sin mxdx      [sos(n  m) x  cos(m  n) x]dx  0, n  m,    cos nx cos mxdx   [sos(n  m) x  cos(m  n) x]dx  0, n  m,   sin nxdx    [1  cos 2nx]dx   ,     cos nxdx  [1  cos 2nx]dx   , Bài Chứng minh không gian L2 0,1 hàm khả tích bình phương (tức gồm hàm f(x) với  ( f ( x)) dx hội tụ ) với tích vơ hướng f , g   f (t ) g (t )dt ,các hàm số Rademacher rn ( x)  sign(sin 2n1 x)' n  0,1, lập thành hệ trực chuẩn Giải Vì (rn ( x))  với n nên rn vectơ định chuẩn Kí hiệu k   k n 1 nk   , , k  0,1 ,2   2n  2n   Khi đó:  1, x  Δn2 m , m  0,1, ,2n   rn ( x)   1, neáu x  Δn2 m1 , m  0,1, ,2n   k  0, neáu x  n1 ,.k  0,1, 2n1   Với m  n khoảng n k độ dài n1 chứa số chẵn mn đoạn m l độ dài n 1 Điều có nghĩa khoảng đó, rn (x) khơng thay đổi, rm (x) nhận giá trị số khoảng số khoảng nhận giá trị -1 Do r m ( x)rn ( x)dx  37 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau đây: Tìm hiểu định nghĩa, số tính chất không gian vectơ Euclid Đặc biệt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Tìm hiểu ánh xạ trực giao, không gian Unita, số tập minh hoạ Giải số lớp tập lí thuyết khơng gian vectơ Euclid Luận văn tiếp tục theo hướng đưa lớp toán mà lời giải áp dụng phương pháp luận văn 38 Tµi liƯu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh (1996), Giáo trình Đại số tuyến tính hình học giải tích, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt H-ng (2001), Đại số tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Lê Tuấn Hoa (2005), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Ngô Việt Trung (2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội [5] A.G.Kurosh, Giáo trình Đại số cao cấp (1971), Nauka, Moskva [6] David M Burton (2002), Elementary Nunber Theory, McGraw – Hill Higher Education, India [7] J P Serr (1973), A course in Arithemetic, Springer – Verlag [8] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press [9] R Hartshorne (1977), Algebrai Geometry, Springer [10] X Goudon (1994), Algebre, EllispÐ, Paris ... ĐẦU CHƢƠNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID 1.1 Không gian vectơ Euclid 1.2 Phép biến đổi liên hợp 13 1.3 Phép biến đổi đối xứng 16... tham khảo Trong chương 1, chúng tơi trình bày lại số định nghĩa, tính chất khơng gian vectơ Euclid, phép biến đổi (phép biến đổi liên hợp, phép biến đổi đối xứng) không gian vectơ Euclid Chương... năm 2009 Tác giả Chương CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG KHƠNG GIAN VECTƠ EUCLID 1.1 Khơng gian vectơ Euclid Trong hình học, tích vơ hướng hai vectơ định nghĩa tích độ dài hai vectơ cosin góc xen chúng