Về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian b mêtric nón có thứ tự bộ phận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– LÊ XUÂN DƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— LÊ XUÂN DƯƠNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG THANH HÓA, NĂM 2019 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Theo Quyết định số 1896/QĐ-ĐHHĐ ngày 21 tháng 11 năm 2019 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan Công tác Chức danh hội đồng PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng Đại học Tây Bắc Chủ tịch GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Viện toán học Phản biện TS Hoàng Nam Đại học Hồng Đức Phản biện GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Đại học Hồng Đức Ủy viên TS Đỗ Văn Lợi Đại học Hồng Đức Thư ký Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2019 Xác nhận Người hướng dẫn PGS.TS Đinh Huy Hồng * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường môn i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS.TS Đinh Huy Hồng Các kết trình bày luận văn hồn tồn trung thực, khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Lê Xuân Dương ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa hướng dẫn Thầy PGS.TS Đinh Huy Hoàng, Trường Đại học Sư phạm Vinh Thầy hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo giúp tơi hồn thành luận văn Qua tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tất thầy cô giảng dạy tơi cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức - Thanh Hóa giúp đỡ mặt thủ tục để tơi hồn thiện luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, quan nơi tơi cơng tác động viên, tạo điều kiện cho yên tâm học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng song luận văn khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến góp ý nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo, anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 11 năm 2019 Lê Xuân Dương iii Mục lục Trang MỞ ĐẦU Chương SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC NĨN CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Khơng gian mêtric nón 1.3 Một số kết tồn điểm bất động đơi khơng gian mêtric có thứ tự phận Chương SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN b-MÊTRIC NĨN CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 19 2.1 Không gian b -mêtric nón 19 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi khơng gian b-mêtric nón có thứ tự phận 24 KẾT LUẬN 31 2.3 Tiếng Việt 32 2.4 Tiếng Anh 32 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng tốn học kỹ thuật Vì chủ đề nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Nguyên lý Banach (1922) tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Nguyên lý mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ không gian tổng quát Năm 1993, S.Czerwik ([7]) mở rộng lớp không gian mêtric cách đưa khái niệm không gian b-mêtric số kết tồn điểm bất động ánh xạ co không gian Không gian Mêtric nón đưa nghiên cứu Huang Long Guang Zhang Xian ([4]) Lớp không gian mêtric nón thực rộng lớp khơng gian mêtric Vào năm 2010, N.Hussain M.H.Shah ([6]) mở rộng lớp khơng gian mêtric nón lớp khơng gian bmêtric cách đưa khái niệm khơng gian b-mêtric nón chứng minh số định lí tồn điểm bất động khơng gian b-mêtric nón Năm 2006, T.G.Bhaskar V.Laksmikantham ([8]) đưa khái niệm điểm bất động đơi khơng gian mêtric có thứ tự phận Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động đôi ánh xạ khơng gian mêtric, b-mêtric, b-mêtric nón quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết (xem [4], [6], [7]) Có vấn đề đặt kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón, b-mêtric mở rộng cho khơng gian b-mêtric nón hay khơng? Mục đích chúng tơi tiếp cận vấn đề nhằm tìm hiểu khơng gian b-mêtric nón nghiên cứu tồn điểm bất động đơi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric nón có thứ tự phận Do chúng tơi chọn đề tài luận văn là: "Về tồn điểm bất động đơi khơng gian b-mêtric nón có thứ tự phận" Mục đích nghiên cứu Tìm cách mở rộng số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón khơng gian b-mêtric có tài liệu tham khảo [3], [5], [8] cho không gian b-mêtric nón Phương pháp nghiên cứu Dựa vào số kết có khơng gian mêtric nón không gian b-mêtric dùng phương pháp lý thuyết điểm bất động để tìm kết tồn điểm bất động đôi không gian b-mêtric nón Kết đạt Đưa vài kết tồn điểm bất động đơi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric nón có thứ tự phận Nội dung nghiên cứu Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn gồm hai chương sau: – Chương trình bày khơng gian mêtric nón số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có tài liệu tham khảo – Chương trình bày việc mở rộng số kết tồn điểm bất động đơi khơng gian mêtric nón cho khơng khơng gian b-mêtric Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết sai sót định Rất mong nhận góp ý, phê bình nhà khoa học, quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp Chương SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương trình bày khơng gian mêtric nón số kết tồn điểm bất động đôi khơng gian mêtric nón kết có tài liệu tham khảo 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục dành cho việc trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, thứ tự phận, làm sở cho việc trình bày luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi thứ tự phận X với x, y, z∈X, thỏa mãn i) x ≤ x, ii) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = y, ii) Từ x ≤ y y ≤ z suy x ≤ z 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp X 6= ∅ Hàm d : X × X → R thỏa mãn điều kiện: i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X gọi mêtric (hay khoảng cách) X Tập X với mêtric d gọi khơng gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy {xn } không gian mêtric (X, d) gọi hội tụ tới x ∈ X d(x, xn ) → n → ∞ Khi ta ký hiệu xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Không gian mêtric (X, d) gọi không gian mêtric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.1.5 Định nghĩa ([1]) Giả sử X không gian tuyến tính trường K (K = R K = C) k.k : X → R Hàm k.k gọi chuẩn X i) kxk ≥ với x ∈ X; kxk = ⇔ x = 0; ii) kαxk = |α| kxk , ∀α ∈ K, x ∈ X; iii) kx + yk ≤ kxk + kyk , ∀x, y ∈ X 1.2 Khơng gian mêtric nón Mục trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón khơng gian mêtric nón 1.2.1 Định nghĩa Cho E không gian Banach trường số thực R Một tập P E gọi nón E i) P đóng E, P 6= ∅, P 6= {0}; ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ x, y ∈ P ax + by ∈ P; iii) Nếu x ∈ P −x ∈ P x = 1.2.2 Ví dụ 1) Trong không gian Banach số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} nón 2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 Khi P thỏa mãn ba điều kiện 18 Ta xét trường hợp sau, i) Nếu Vn = d(yn−1 , xn−1 ) d(yn−1 , xn−1 ) ≤ λ d(yn−1 , xn−1 ) + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ ) ≤ λ d(x∗ , y∗ ) + [d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn−1 ) + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ )] ii) Nếu Vn = d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn−1 ) d(x∗ , y∗ ) ≤ λ [d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn−1 )] + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ ) ≤ λ d(x∗ , y∗ ) + [d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , y∗ )] + d(x∗ , xn−1 ) + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ )] iii) Nếu Vn = d(yn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn ) + d(xn−1 , yn−1 ) λ [d(yn−1 , xn ) + d(xn−1 , yn ) + d(xn−1 , yn−1 )] + d(x∗ , xn ) + d(yn , y∗ ) 3λ ≤ d(x∗ , y∗ ) + d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + 2[d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn ) + d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn )] d(x∗ , y∗ ) ≤ Từ đó, suy với n ta có 3λ d(x∗ , y∗ ) + d(yn−1 , yn ) + d(xn−1 , xn ) + 2[d(yn−1 , y∗ ) + d(x∗ , xn ) + d(xn−1 , x∗ ) + d(y∗ , yn )]   Vì xn → x∗ , yn → y∗ λ ∈ 0, nên với C ∈ intP ta có d(x∗ , y∗ )  C Do x∗ = y∗ d(x∗ , y∗ ) ≤ 19 Chương SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Trong chương thiết lập số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đại diện trộn khơng gian b-mêtric nón có thứ tự phận Các kết mở rộng số kết tương tự khơng gian mêtric có tài liệu tham khảo 2.1 Khơng gian b -mêtric nón Mục trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric nón 2.1.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử X tập hợp khác rỗng số thực s ≥ Hàm d : X × X → [0, ∞) gọi b-mêtric với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: i) d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x); iii) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác) Tập X với b-mêtric gọi khơng gian b-mêtric với tham số s, nói gọn không gian b-mêtric ký hiệu (X, d) X Chú ý 1) Từ sau, nói tới khơng gian b-mêtric ta ln hiểu tham số 20 s ≥ 2) Từ định nghĩa không gian mêtric không gian b-mêtric ta thấy rằng, không gian mêtric trường hợp đặc biệt khơng gian b-mêtric s = Ví dụ sau cho thấy rằng, lớp không gian b-mêtric thực rộng lớp không gian mêtric 2.1.2 Ví dụ ([7]) 1) Giả sử (X, ρ) khơng gian mêtric d : X × X → [0, ∞) hàm cho d(x, y) = (ρ(x, y))2 , ∀x, y ∈ X Khi đó, d b-mêtric với s = 2) Giả sử X = R R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : R × R → [0, ∞) d(x, y) = |x − y|2 , ∀x, y ∈ R Khi đó, d b-mêtric với s = (theo 1) d không mêtric R d(1, −2) = > = d(1, 0) + d(0, −2) 2.1.3 Định nghĩa ([7]) Giả sử {xn } dãy không gian b mêtric (X, d) Dãy {xn } gọi b-hội tụ (nói gọi hội tụ) tới x ∈ X ký hiệu xn → x lim xn = x với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho n→∞ d(xn , x) < ε với n ≥ n0 Nói cách khác, xn → x d(xn , x) → n → ∞ Dãy {xn } gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ n0 Không gian b-mêtric gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 2.1.4 Định nghĩa ([6]) Cho E không gian Banach thực P nón E Giả sử X tập khác rỗng hàm d : XxX → E Hàm d gọi b-mêtric nón X tồn s ≥ cho với x, y, z ∈ X, ta có: i) d(x, y) ∈ P d(x, y) = ⇔ x = y; ii) d(x, y) = d(y, x); iii) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] Tập X với b-mêtric nón d gọi khơng gian b-mêtric nón 21 với tham số s ký hiệu (X, d) 2.1.5 Chú ý 1) Trong định nghĩa 2.1.4, s = ta nhận định nghĩa mêtric nón khơng gian mêtric nón Nói cách khác, khơng gian mêtric nón trường hợp đặc biệt khơng gian b-mêtric nón s = 2) Tồn khơng gian b-mêtric nón mà khơng phải khơng gian mêtric nón 3) Trong định nghĩa 2.1.4, ta lấy E = R P = [0, ∞) ta nhận định nghĩa khơng gian b-mêtric nón 2.1.6 Ví dụ ([6]) Lấy E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0}, X = R d : X ×X → E hàm xác định d(x, y) = (|x − y|β , α(|x − y|β )), ∀(x, y) ∈ X × X, α β hai số, α ≥ 0, β > Khi đó, (X, d) khơng gian b-mêtric nón với tham số s ≥ 2β > (X, d) khơng gian mêtric nón Chứng minh Để chứng minh (X, d) khơng gian b-mêtric nón, ta kiểm tra ba điều kiện b-mêtric nón hàm d Ta có i) Hiển nhiên |x − y|β vàα|x − y|β ≥ với x, y ∈ R, α ≥ 0, β > Do đó, d(x, y) ∈ P, ∀(x, y) ∈ X × X Hơn d(x, y) = (|x − y|β , α|x − y|β ) = (0, 0) ⇔ (|x − y|β = 0, α|x − y|β = 0) ⇔ |x − y|β = ⇔ x = y ii) Nhờ tính chất giá trị tuyệt đối |x − y| = |y − x|, ∀x, y ∈ R, ta dễ dàng suy d(x, y) = (|x − y|β , α|x − y|β ) = (|y − x|β , α|y − x|β ) = d(y, x) Với x, y ∈ R, α ≥ 0, β > 22 iii) Với x, y, z ∈ R, ta có: d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] sd(x, z) + sd(z, y) − d(x, y) ∈ P s(|x − z|β , α|x − z|β ) + s(|z − y|β , α|z − y|β ) − s(|x − y|β , α|x − y|β ) ∈ P s|x − z|β + s|z − y|β − |x − y|β , α[s|x − z|β + s|z − y|β − |x − y|β ] ∈ P s|x − z|β + s|z − y|β ≥ |x − y|β Mặt khác, s ≥ 2β nên |x − y|β ≤ (|x − y| + |y − z|)β ≤ (2 max{|x − y| , |y − z|})β = 2β (max{|x − y| , |y − z|})β ≤ 2β (|x − z|β + |z − y|β ) ≤ s(|x − z|β + |z − y|β ) Do đó, s|x − z|β + s|z − y|β ≥ |x − y|β Như vậy, d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)], với s ≥ 2β > Vậy (X, d) khơng gian b-mêtric nón với tham số s ≥ 2β > Trong trường hợp s = 1, x = 4, y = 0, z = 1, β = α = 1, ta có |4 − 1|2 + |1 − 0|2 < |4 − 0|2 Từ suy d(4, 0) > d(4, 1) + d(0, 1) Do (X, d) khơng phải khơng gian mêtric nón 2.1.7 Định nghĩa ([6]) Giả sử (X, d) khơng gian b-mêtric nón, x ∈ X {xn } dãy X i) Dãy {xn } gọi dãy hội tụ tới x ký hiệu lim xn = x n→∞ xn → x với c ∈ intP, tồn số tự nhiên nc cho d(x, xn )  c, ∀n ≥ nc ; ii) Dãy {xn } gọi dãy Cauchy với c ∈ intP, tồn số tự nhiên nc cho d(xn , xm )  c, ∀m, n ≥ nc ; iii) Khơng gian b-mêtric nón (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 2.1.8 Bổ đề Giả sử {xn } dãy khơng gian b-mêtric nón (X, d) xn → x ∈ X Khi đó, ta có 23 i) {xn } dãy Cauchy; ii) x nhất; iii) Với y ∈ X với c ∈ intP, tồn số tự nhiên n0 cho d(x, y) − c ≤ d(xn , y) ≤ sd(x, y) + c, ∀n ≥ n0 s Chứng minh: Chứng minh i) Với c ∈ intP, xn → x nên tồn nc ∈ N cho d(xn , x)  c với n ≥ nc Do đó, với n m ≥ nc , ta có 2s |d(xn , xm )| ≤ s[d(xn , x) + d(xm , x)]  c Do đó, {xn } dãy Cauchy ii) Giả sử xn → x xn → y Khi đó, với c ∈ intP, tồn nc ∈ N cho với n ≥ nc , ta có: d(xn , x)  c c 2s , d(xn , y)  2s Do d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn , y)]  c Suy ta d(x, y) = tức x = y iii) Với y ∈ X, theo bất đẳng thức tam giác, ta có d(x, y) ≤ s[d(x, xn ) + d(xn , y)], ∀n = 1, 2, Từ suy với n = 1, 2, ta có d(x, y) − d(x, xn ) ≤ d(xn , y) ≤ sd(xn , x) + sd(x, y) s Mặt khác, xn → x nên với c ∈ intP, tồn n0 ∈ N cho d(xn , x)  c , ∀n ≥ n0 Do với ∀n ≥ n0 , ta có s 1 c d(x, y) − c ≤ d(x, y) −  d(x, y) − d(x, xn ) ≤ d(xn , y) ≤ c + sd(x, y) s s s s Như d(x, y) − c ≤ d(xn , y) ≤ sd(x, y) + c, ∀n ≥ n0 s 2.1.9 Định nghĩa Giả sử (X, d) khơng gian b-mêtric nón g : X × X → X Ánh xạ g gọi liên tục {xn }, {yn } hai dãy X, xn → x yn → y g(xn , yn ) → g(x, y) n → ∞ 24 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian b-mêtric nón có thứ tự phận Trong mục chúng tơi đưa vài định lí tồn điểm bất động đôi không gian b-mêtric nón có thứ tự phận Các kết chúng mở rộng số kết tương tự tài liệu tham khảo [3] [5] Từ sau, ta giả thiết X tập thứ tự phận quan hệ ký hiệu ∀; Trên X × X ta xét thứ tự phận xác định Chú ý 1.3.3 2.2.1 Định lý Giả sử (X, d) khơng gian b-mêtric nón đầy đủ, F : X × X → X ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn số α1 , α4 ∈ [0, 1) cho (α1 + α2 )s + α3 (s + 1)+ α4 s(s + 1) < (1) d(F(x, y), F(u, v)) ≤ α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 [d(x, F(x, y)) + d(u, F(u, v))] + α4 [d(x, F(u, v)) + d(u, F(x, y))] (2) với (x, y), (u, v) ∈ X × X mà (u, v) ≤ (x, y) 2) Tồn x0 , y0 ∈ X × X cho x0 ≤ F(x0 , y0 ), F(y0 , x0 ) ≤ y0 3) F liên tục X có tính chất 3’) Nếu {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x ∈ X xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đơi X Hơn nữa, thêm giả thiết điểm bất động đôi F so sánh trước với điểm bất động đôi F Chứng minh Đặt x1 = F(x0 , y0 ), y1 = F(y0 , x0 ), x2 = F(x1 , y1 ), y2 = F(y1 , x1 ), xn = F(xn−1 , yn−1 ), yn = F(yn−1 , xn ), Từ điều kiện 2) ta có x0 ≤ x1 , y1 ≤ y0 Kết hợp với tính đơn điệu trộn F suy 25 x2 = F(x1 , y1 ) ≥ F(x0 , y1 ) ≥ F(x0 , y0 ) = x1 y2 = F(y1 , x1 ) ≤ F(y0 , x1 ) ≤ F(y0 , x0 ) = y1 Bằng phương pháp quy nạp tương tự ta chứng minh xn ≤ xn+1 , yn ≥ yn+1 ∀n = 0, 1, 2, (3) Từ (3), sử dụng điều kiện 2) ta có d(xn+1 , xn ) = d(F(xn , yn ), F(xn−1 , yn−1 )) ≤ α1 d(xn , xn−1 ) + α2 d(yn , yn−1 ) + α3 [d(xn , xn+1 ) + d(xn−1 , xn )] + α4 [d(xn , xn ) + d(xn−1 , xn+1 )] ≤ (α1 + α3 )d(xn , xn−1 ) + α3 d(xn , xn+1 ) + α2 d(yn , yn−1 ) + α4 s[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 )] = (α1 + α3 + α4 s)d(xn , xn−1 ) + (α3 + α4 s)d(xn , xn−1 ) + α2 d(yn , yn−1 ) với n = 1, 2, Do ta có [(α1 + α3 + α4 )sd(xn , xn−1 ) + α2 d(yn , yn−1 )] d(xn+1 , xn ) ≤ − α3 − α4 s với n = 1, 2, Tương tự ta có d(yn+1 , yn ) = d(F(yn , xn ), F(yn−1 , xn−1 )) = d(F(yn−1 , xn−1 ), F(yn , xn )) ≤ [(1 + α3 + α4 s) d(yn , yn−1 ) + α2 d(xn , xn−1 )] − α3 − α4 s (4) (5) Với n = 1, 2, Từ (4) (5) suy (α1 + α2 + α3 + α4 s) − α3 − α4 s [d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 )] d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ) ≤ = r [d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 )] ∀n = 0, 1, 2, , r = (α1 + α2 + α3 + α4 s) − α3 − α4 s (6) 26 Từ điều kiện (1) suy r ∈ [0, ) Sử dụng (6) nhiều lần ta s d(xn+1 , xn ) + d(xy+1 , xy ) ≤ r[d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 )] ≤ r2 [d(xn−1 , xn−2 ) + d(yn−1 , yn−2 )] ≤ ≤ rn [d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )]∀n = 0, 1, 2, Bây giờ, ta chứng tỏ {xn } {yn } hai dãy Cauchy Với n = 1, 2, với p = 0, 1, , sử dụng bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức (7) điều kiện r ∈ [0, ) ta có s ≤ d(xn+p , xn ) + d(yn+p , yn ) ≤ sd (xn+1 , xn ) + s2 d (xn+2 , xn+1 ) + + s p−1 d (xn+p , xn+p−1 ) + + sd (yn+1 , yn ) + s2 d (yn+2 , yn+1 ) + + s p−1 d (yn+p , yn+p+1 ) ≤ s[d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )] + s2 [d(xn+1 , xn+2 ) + d(yn+1 , yn+2 )] + +s p−1 [d(xn+p+1 , xn+p ) + d(yn++p−1 , yn+p )] ≤ (srn + s2 rn+1 + + s p rn+p−1 )[d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] p n − (sr) = sr [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] − sr srn ≤ [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )] (8) − sr 
Vì r ∈ 0, 1s nên rn → Từ suy vế phải (8) tiến tới n → ∞ Do với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho srn 1−sr [d(x0 , x1 ) + d(y0 , y1 )]  c, ∀n ≥ nc Kết hợp với (8) suy d(xn , xn+p )  c, d(yn , yn+p ) ≤ c Với n ≥ nc p ≥ Điều chứng tỏ {xn } {yn } hai dãy Cauchy Vì (X, d) không gian đầy đủ nên tồn x y ∈ X cho xn → x yn → y n → ∞ Tiếp theo, ta chứng minh cặp (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử F liên tục Khi đó, xn → x yn → y nên xn = F (xn−1 , yn−1 ) → F(x, y), yn = F (yn−1 , xn−1 ) → F(y, x), Sử dụng Bổ đề 1.3.5 suy (7) 27 x = F(x, y), y = F(y, x) Vậy (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử X có tính chất 3’) Khi đó, từ (3) xn → x, yn → y suy xn ≤ x, yn ≥ y với n = 1, 2, Do sử dụng bất đẳng thức tam giác điều kiện (2) ta có d(F(x, y), x) ≤ sd(F(x, y), F(xn , yn )) + sd(xn+1 , x) ≤ sα1 d(x, xn ) + sα2 d(y, yn ) + sα3 [d(x, F(x, y)) + d(xn , xn+1 )] + sα4 [d(x,xn+1 ) + d(xn , F(x, y))] + sd(xn+1 , x) ≤ sα1 d(x, xn ) + sα2 d(y, yn ) + sα3 [d(x, F(x, y)) + d(xn , xn+1 )] + s(α4 + 1)d(x, xn+1 ) + s2 α4 [d(xn , x) + d(x, F(x, y)] Từ suy (1 − sα3 − s2 α4 )d(x, F(x, y) ≤ s(α1 + sα4 )d(x, xn ) + sα2 d(y, yn ) + sα3 d(xn , xn+1 ) + s(α4 + 1)d(xn+1 , x) (9) với n = 1, 2, Từ lim xn = x lim yn = y suy với c ∈ intP tồn số tự nhiên n0 n→∞ n→∞ cho với n ≥ n0 ta có s(α1 + sα4 )d(x, xn ) + sα2 d(y, yn ) + sα3 d(xn , xn+1 ) + s(α4 + 1)d(xn+1 , x)  c Kết hợp với (9) suy (1 − sα3 − s2 α4 )d(x, F(x, y)  c ∀n ∈ intP (10) Mặt khác từ (1) suy (1 − sα3 −s2 α4 ) > nên từ (10) Bổ đề 1.2.4.viii suy d(F(x, y), x) = Do x = F(x, y) Tương tự ta chứng minh y = F(y, x) Vậy (x, y) điểm bất động đội F Cuối cùng, giả sử cặp (u, v) ∈ X × X điểm bất động đôi F (u, v) só sánh với (x, y) Ta chứng minh x = u y = v Khơng nất tính tổng quát, ta giả thiết (u, v) ≤ (x, y) Vì (u, v) (x, y) điểm bất động đôi F nên x = F(x, y), y = F(y, x), u = F(u, v), v = F(v, u) Sử dụng điều kiện (2) ta có d(x, u) = d(F(x, y), F(u, v)) ≤ α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 [d(x, F(x, y)) + d(u, F(u, v))] + α4 [d(u, F(x, y)) + d(x, F(u, v))] =α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 [d(x, x) + d(u, u)] + α4 [d(u, x) + d(x, u)] = (α1 + 2α4 )d(x, u) + α2 d(y, v) (11) 28 Tương tự ta có d(y, v) = d(F(y, x), F(v, u)) = d(F(v, u), F(y, x)) ≤ (α1 + 2α4 )d(y, v) + α2 d(x, u) (12) Từ (11) (12) ta có d(x, u) + d(y, v) ≤ (α1 + α2 + 2α4 )[d(x, u) + d(y, v)] Vì α1 + α2 + 2α4 < nên từ bất đẳng thức cuối suy d(x, u) + d(y, v) = Do d(x, u) = d(y, v) = 0, tức x = u, y = v Vậy điểm bất động đôi F chúng so sánh với Sau vài hệ Định lí 2.2.1 Trong Định lí 2.2.1, lấy s = ta nhận hệ sau 2.2.2 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric nón đầy đủ, F : X × X → X ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn số α1 , α4 ∈ [0, 1) cho α1 + α2 + 2α3 + 2α4 < d(F(x, y), F(u, v)) ≤ α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 [d(x, F(x, y)) + d(u, F(u, v))] + α4 [d(x, F(u, v)) + d(u, F(x, y))] với (x, y), (u, v) ∈ X × X mà (u, v) ≤ (x, y) 2) Tồn x0 , y0 ∈ X × X cho x0 ≤ F(x0 , y0 ), F(y0 , x0 ) ≤ y0 3) F liên tục X có tính chất 3’) Nếu {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x ∈ X xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đôi X Hơn nữa, thêm giả thiết điểm bất động đôi F so sánh trước với điểm bất động đôi F 2.2.3 Hệ quả([8]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, F : X × X → X 29 ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn số không âm α1 , α2 cho α1 + α2 < d(F(x, y), F(u, v)) ≤ α1 d(x, u) + α2 d(y, v) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (u, v) ≤ (x, y) 2) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F(x0 , y0 ), F(y0 , x0 ) ≤ y0 3) F liên tục X có tính chất i) Nếu {xn } ⊂ X dãy tăng xn → x xn ≤ x với n = 1, 2, ii) Nếu {yn } ⊂ X dãy giảm yn → y y ≤ yn với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đơi X Hơn thêm giả thiết điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đơi F Chứng minh Vì khơng gian mêtric đầy đủ trường hợp đặc biệt khơng gian mêtric nón đầy đủ, nên khẳng định cần chứng minh suy từ Hệ 2.2.2 cách lấy α3 = α4 = 2.2.4 Hệ ([5]) Giả sử (X, d) khơng gian mêtric nón đầy đủ, F : X × X → X ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn số α, β , γ cho 2α + 3β + 3γ < α [d(x, u) + d(y, v)] β + [d(x, F(x, y)) + d(u, F(u, v)) + d(y, v)] γ + [d(x, F(u, v)) + d(u, F(x, y)) + d(y, v)] d(F(x, y), F(u, v)) ≤ với (x, y) (u, v) ∈ X × X mà (u, v) ≤ (x, y) 2) Tồn x0 , y0 ∈ X × X cho x0 ≤ F(x0 , y0 ), F(y0 , x0 ) ≤ y0 3) F liên tục X có tính chất 3’) Nếu {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x ∈ X xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đôi X Hơn nữa, thêm giả thiết 30 điểm bất động đôi F so sánh trước với điểm bất động đơi F Chứng minh Đặt α1 = α2 , α2 = α+β2 +γ , α3 = β2 , α4 = 2γ Với (x, y) (u, v) ∈ X × X mà (u, v) ≤ (x, y), sử dụng điều kiện 1) ta có α [d(x, u) + d(y, v)] γ + [d(x, F(x, y)) + d(u, F(u, v)) + d(y, v)] α = d(x, u) + (α + β + γ)d(y, v) 2 β γ + [d(x, F(u, y)) + d(u, F(u, v))] + [d(x, F(x, y)) + d(x, F(u, v))] 2 = α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 [d(x, F(u, y)) + d(u, F(u, v))] d(F(x, y), F(u, v)) ≤ + α4 [d(x, F(x, y)) + d(x, F(u, v))] Mặt khác, từ 2α + 3β + 3γ < suy 3γ α1 + α2 + 2α3 + 2α4 = α2 + α+β2 +γ + β + γ = α + 3β + < Như điều kiện Hệ 2.2.2 thỏa mãn Do khẳng định cần chứng minh suy từ Hệ 2.2.2 31 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau đây: Tìm hiểu trình bày cách có hệ thống, chi tiết khơng gian mêtric nón số kết tồn điểm bất động đơi khơng gian mêtric nón có thứ tự phận Trình bày số kết thầy hướng dẫn tồn điểm bất động đôi, ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric nón có thứ tự phận, Định lí 2.2.1 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 Các kết mở rộng số kết tài liệu tham khảo [3] [5] 32 Tài liệu tham khảo 2.3 Tiếng Việt [1] Hà Huy Khối, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường, (dịch), (1973) Tơpơ đại cương, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất Đại học sư phạm, Hà Nội 2.4 Tiếng Anh [3] E.Karapinar (2010), Couple fixed point theorems for nonlinear contractions, https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010.03.062 [4] H L Guang, Z Xian (2007), Cone metric space and topological and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl 332,14681476 [5] H.Sh.Ding and Luli (2011), Couple fixed point theorems in partially ordered cone metric spases, Faculty of Sciences and Mathematics, University of Nis, Serbia, 137-149 [6] N.Hussain, M.H.Shah (2010),KKM mappings in come b-metric spaces, Computer Math Appl; 62,1677-1684 [7] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math In-form Univ Ostrav 1, 5-11 [8] T.G.Bhaskar and V.Laksmikantham (2006), Fixed point theorems in paratially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Anal;65, 13971393