Sự tồn tại điểm bất động bộ ba trong không gian meetric và không gian meteric nón có thứ tự bộ phận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ THỊ THANH PHÙNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ THỊ THANH PHÙNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHƠNG GIAN MÊTRIC NĨN CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học : PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Trang Mục lục MỞ ĐẦU CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 1.1 Một số khái niệm kết 1.2 Một số kết tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 17 2.1 Khơng gian mêtric nón 17 2.2 Sự tồn điểm bất động ba không gian mêtric nón có thứ tự phận 21 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng giải tích hàm, có nhiều ứng dụng giải tích số ngành tốn học khác Vì thế, chủ đề nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Các kết mở rộng cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian khác Năm 2006, Bhashkar Lakshmikantham [7] đưa khái niệm điểm bất động đôi nghiên cứu số định lý tồn điểm bất động đôi khơng gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Khái niệm điểm bất động ba đươc giới thiệu nghiên cứu Berinde Borcut [6] vào năm 2011 Vào năm 2007, Huang Long – Guang Zhang Xian [10] thay tập hợp số thực định nghĩa mêtric nón định hướng khơng gian Banach thu khái niệm tổng qt khái niệm khơng gian mêtric nón Sau đó, nhiều nhà tốn học nghiên cứu đạt nhiều kết tồn điểm bất động khơng gian mêtric nón Mục đích luận văn mở rộng số kết tồn điểm bất động ba không gian mêtric cho không gian mêtric nón có thứ tự phận tìm ví dụ minh họa cho kết đạt Do đó, ngồi phần mở đầu, kết luận, luận văn trình bày hai chương Chương Sự tồn điểm bất động ba không gian mêtric có thứ tự phận Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, thứ tự phận, ánh xạ đơn điệu hỗn hợp, điểm bất động hai, ba ánh xạ không gian mêtric có thứ tự phận mà cần dùng luận văn Mục thứ hai trình bày lại số kết tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận có tài liệu tham khảo Chương Sự tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric nón có thứ tự phận Mục chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian mêtric nón Mục thứ hai đưa số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ khơng gian mêtric nón thứ tự phận mà chúng mở rộng số kết không gian mêtric trình bày tài liệu tham khảo 6,8 Các kết chương mục 2.1 chương có tài liệu tham khảo Chúng tơi tìm hiểu, trình bày theo bố cục theo mục đích mình, chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu tham khảo chứng minh vắn tắt bỏ qua chứng minh Bên cạnh đó, chúng tơi đưa chứng minh số kết mới, Định lý 2.2.1, 2.2.7, 2.2.8 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.9 Ví dụ 2.2.11 Luận văn thực hoàn thành Trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hồng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán q thầy khoa Tốn Trường Đại Học Vinh nhiệt tình truyền đạt kiến thức Toán học quý báu, phong phú Tác giả xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại Học Sài Gòn tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đồng nghiệp bạn lớp cao học Giải Tích khóa 20 tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều nỗ lực, cố gắng, nhiên luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn ! Nghệ An, tháng 05 năm 2014 Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương dành cho việc trình bày số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự phận 1.1 Một số khái niệm kết Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, thứ tự phận, ánh xạ đơn điệu hỗn hợp, điểm bất động hai, ba… ánh xạ không gian mêtric có thứ tự phận mà chúng cần dùng luận văn Các kết mục chủ yếu trích từ 3  4 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X khác rỗng Hàm d : X  R thỏa mãn điều kiện 1) d  x, y   0, với x, y  X d  x, y  = x  y; 2) d  x, y  = d  y, x  , với x, y  X ; 3) d  x, y   d  x, z  + d  z, y  , với x, y, z  X ; gọi mêtric (hay khoảng cách) X Tập X với mêtric d gọi khơng gian mêtric ký hiệu  X , d  X 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian mêtric  X , d  tập M X Ta xác định hàm d M : M  R cho d M  x, y  = d  x, y  với x, y  M Khi d M mêtric M Ta gọi không gian mêtric  M , d M  không gian không gian  X , d  Mêtric d M gọi mêtric cảm sinh mêtric d M 1.1.3 Định nghĩa Dãy  xn  không gian mêtric  X , d  gọi hội tụ tới x  X kí hiệu xn  x lim xn  x d  x, xn   n  n   1.1.4 Nhận xét 1) Trong không gian mêtric  X , d  dãy hội tụ hội tụ tới điểm 2) Nếu xn  x yn  y d  xn , yn   d  x, y  1.1.5 Mệnh đề Giả sử xi   X , d  , với i = 1,2,…,n Khi đó, d  x1 , xn   d  x1 , x2   d  x2 , x3    d  xn1 , xn  1.1.6 Định nghĩa Giả sử  X , d  không gian mêtric Dãy  xn   X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d  xn , xm   0, nghĩa m , n   0, n0  N : d  xn , xm    , n  n0 , m  n0 Không gian mêtric  X , d  gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.1.7 Định nghĩa Cho không gian mêtric  X , d  , Y ,   ánh xạ f : X  Y Ta nói ánh xạ f liên tục điểm x0  X   0,   : x  X , d  x, x0    suy   f  x  , f  x0     Ta nói f liên tục X f liên tục x  X 1.1.8 Định lý Giả sử f :  X , d   Y ,   f liên tục x  X dãy xn   X mà xn  x f  xn   f  x  1.1.9 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng  quan hệ hai X Quan hệ  gọi thứ tự phận X x, y, z  X ta có 1) x  x; 2) Từ x  y y  x suy x  y (tính phản xứng); 3) Từ x  y y  z suy x  z (tính bắc cầu) Tập X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận ký hiệu  X ,   X Nếu x  y mà x  y ta viết x  y Ta viết y  x thay cho x  y y  x thay cho x  y Tập X gọi tuyến tính X có quan hệ hai ngơi  có tính bắc cầu với x, y  X mà x  y x  y y  x 1.1.10 Định nghĩa 7 Giả sử  X ,   tập thứ tự phận ánh xạ F : X  X Ta nói F có tính đơn điệu hỗn hợp với x, y  X ta có x1 , x2  X , x1  x2 suy F  x1 , y   F  x2 , y  , y1 , y2  X , y1  y2 suy F  x, y1   F  x, y2  1.1.11 Định nghĩa 7 Ta gọi phần tử  x, y   X điểm bất động đôi ánh xạ F : X  X F  x, y   x F  y, x   y Giả sử  X ,   tập thứ tự phận Khi đó, khơng gian tích X ta xác định thứ tự phận sau  x, y  , u, v   X , u, v    x, y  x  u, y  v 1.1.12 Định nghĩa 6 Cho  X ,   tập thứ tự phận F : X  X Ánh xạ F gọi có tính đơn điệu hỗn hợp với x, y, z  X ta có x1 , x2  X , x1  x2 suy F  x1 , y, z   F  x2 , y, z  , y1 , y2  X , y1  y2 suy F  x, y1 , z   F  x, y2 , z  , z1 , z2  X , z1  z2 suy F  x, y, z1   F  x, y, z2  1.1.13 Định nghĩa 6 Cho F : X  X g : X  X Bộ  x, y, z   X gọi điểm bất động ba F F  x, y, z   x, F  y, x, y   y, F  z, y, x   z Bộ  x, y, z   X gọi điểm chung ba F g F  x, y, z   g  x  , F  y, x, y   g  y  , F  z, y, x   g  z  Bộ  x, y, z   X gọi điểm bất động chung ba F g F  x, y, z   g  x   x, F  y, x, y   g  y   y, F  z, y, x   g  z   z 1.1.14 Định nghĩa 6 Cho tập có thứ tự phận  X ,   Ta định nghĩa thứ tự phận X sau: với  x, y, z  ,  u, v, r   X ,  x, y, z   u, v, r  x  u, y  v z  r (1.1) Ta nói  x, y, z   u, v, r  so sánh  x, y, z   u, v, r  u, v, r    x, y, z  Ngồi ra, ta nói  x, y, z    u, v, r  x  u, y  v z  r 1.1.15 Định nghĩa 6 Cho  X ,   tập hợp thứ tự phận ánh xạ F : X  X , g : X  X Ta nói F có tính g-đơn điệu hỗn hợp X với x, y, z thuộc X ta có x1 , x2  X , g  x1   g  x2   F  x1 , y, z   F  x2 , y, z  , y1 , y2  X , g  y1   g  y2   F  x, y2 , z   F  x, y1 , z  , z1 , z2  X , g  z1   g  z2   F  x, y, z1   F  x, y, z2  1.1.16 Định nghĩa 6 Cho F : X  X , g : X  X Các ánh xạ F g gọi giao hoán với X với x, y, z thuộc X ta có g  F  x, y, z    F  g  x  , g  y  , g  z   26 2)Tồn 1 , ,3  0;1 cho 1    3  với  x, y, z  , u, v, r   X mà  g u  , g  v  , g  r    g  x  , g  y  , g  z  ta có d  F  x, y, z  , F u, v, r    1d  g  x  , g u     2d  g  y  , g  v    3d  g  z  , g  r   ; (2.15) 3) Tồn  x0 , y0 , z0   X cho g  x0   F  x0 , y0 , z0  , g  y0   F  y0 , x0 , y0  , g  z0   F  z0 , y0 , x0  ; (2.16) 4) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ  xn  dãy tăng xn  x suy xn  x với n  , ii) Từ  yn  dãy giảm yn  y suy yn  y với n  Khi đó, F g có điểm chung ba Chứng minh Ta có 1d  g  x  , g  u     d  g  y  , g  v     3d  g  z  , g  r      1      sup d  g  x  , g  u   , d  g  y  , g  v   , d  g  z  , g  r   , 1    3  : q  0,1 Do điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn 2.2.3 Hệ Cho ánh xạ g : X  X ánh xạ F : X  X có tính g-đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn điều kiện 1) g liên tục giao hoán với F, F  X   g  X  ; 2) Tồn   0;1 cho với  x, y, z  ,  u, v, r   X mà  g u  , g  v  , g  r    g  x  , g  y  , g  z  ta có d  F  x, y, z  , F  u, v, r     d  g  x  , g  u    d  g  y  , g  v    d  g  z  , g  r   ;  3 3) Tồn  x0 , y0 , z0   X cho g  x0   F  x0 , y0 , z0  , g  y0   F  y0 , x0 , y0  , g  z0   F  z0 , y0 , x0  ; 4) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ  xn  dãy tăng xn  x suy xn  x với n  , 27 ii) Từ  yn  dãy giảm yn  y suy yn  y với n  Khi đó, F g có điểm chung ba  Chứng minh Đặt 1    3  Khi đó, điều kiện Hệ 2.2.2 thỏa mãn Do đó, F g có điểm chung ba Trong Hệ 2.2.2, chọn g ánh xạ đồng ta có hệ sau 2.2.4 Hệ Giả sử X khơng gian mêtric nón đầy đủ, F : X  X ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn điều kiện 1) Tồn 1 , ,3  0;1 cho 1    3  với  x, y, z  , u, v, r   X mà u, v, r    x, y, z  ta có d  F  x, y, z  , F  u, v, r    1d  x, u    d  y, v   3d  z, r  ; 2) Tồn  x0 , y0 , z0   X cho x0  F  x0 , y0 , z0  , y0  F  y0 , x0 , y0  , z0  F  z0 , y0 , x0  ; 3) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ  xn  dãy tăng xn  x suy xn  x với n  , ii) Từ  yn  dãy giảm yn  y suy yn  y với n  Khi đó, F có điểm bất động ba Trong Hệ 2.2.2, chọn 1       với   0,1 g ánh xạ đồng ta có hệ sau 2.2.5 Hệ Giả sử X không gian mêtric nón đầy đủ, F : X  X ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn   0;1 cho với  x, y, z  ,  u, v, r   X mà  u, v, r    x, y, z  ta có d  F  x, y, z  , F  u, v, r     d  x, u   d  y, v   d  z, r  ; 3 28 2) Tồn  x0 , y0 , z0   X cho x0  F  x0 , y0 , z0  , y0  F  y0 , x0 , y0  , z0  F  z0 , y0 , x0  ; 3) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ  xn  dãy tăng xn  x suy xn  x với n  , ii) Từ  yn  dãy giảm yn  y suy yn  y với n  Khi đó, F có điểm bất động ba 2.2.6 Chú ý Vì không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian mêtric nón nên 1) Định lý 3.1.4 Hệ 3.1.5 8 trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.2 Hệ 2.2.3 tương ứng 2) Định lý 1.2.2  6 trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.4 2.2.7 Định lý Cho F : X  X g : X  X ánh xạ thỏa mãn tính chất nêu Định lý 2.2.1 Giả sử với  x, y, z  ;  u, v, r  thuộc X tồn a, b, c  X cho  g  x  , g  y  , g  z    g  a  , g b  , g  c   ,  g u  , g  v  , g  r    g  a  , g b  , g  c   g  a   F  a, b, c  , g  b   F b, a, b  , g  c   F  c, b, a  (2.17) Khi đó, ánh xạ F g có điểm bất động chung ba, tức tồn  x0 , y0 , z0   X thỏa mãn F  x0 , y0 , z0   g  x0   x0 , F  y0 , x0 , y0   g  y0   y0 , (2.18) F  z0 , y0 , x0   g  z0   z0 Chúng minh Rõ ràng theo chứng minh Định lý 2.2.1 tập điểm chung ba F g khác rỗng Đầu tiên, ta chứng minh rằng,  x, y, z   u, v, r  hai điểm chung ba F g 29 g  x   g u  , g  y   g  v  , g  z   g  r  Giả sử  x, y, z  ,  u, v, r  hai điểm chung ba F g, tức F  x, y , z   g  x  , F  u , v, r   g  u  , F  y , x, y   g  y  , F  v , u , v   g  v  , (2.19) F  z , y , x   g  z  , F  r , v, u   g  r  Theo giả thiết, tồn  a, b, c   X cho  2.17  thỏa mãn  g  x  , g  y  , g  z    g  a  , g b  , g  c  , (2.20)  g u  , g  v  , g  r    g  a  , g b  , g  c  Từ giả thiết F  X   g  X  suy tồn dãy an  , bn  cn  X với a0  a, b0  b, c0  c, g  an 1   F  an , bn , cn  , g  bn 1   F  bn , an , bn  , (2.21) g  cn 1   F  cn , bn , an  Từ (2.21), (2.20) (2.17) suy  g  a  , g b  , g  c    g  x  , g  y  , g  z  n  0,1, n n n (2.22) Tương tự Định lý 2.2.1, ta chứng minh dãy g  a  ,g b  ,g  c  n n n hội tụ tới a' , b' , c' n   Suy với c  int P, tồn số tự nhiên nc cho với n  nc ta có d  g  an  , a ' d  g  bn  , b ' d  g  cn  , c ' c , c , c Đặt  : d  g  x  , g  a0    d  g  y  , g  b0    d  g  z  , g  c0   (2.23) 30 Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh với n = 1,2,…thì d  g  x  , g  an    q n , d  g  y  , g  bn    q n , (2.24) d  g  z  , g  cn    q n , q : 1    3 Thật vậy, từ (2.1) (2.19) (2.22) ta có d  g  x  , g  a1    d  F  x, y, z  , F  a0 , b , c0    1d  g  x  , g  a0     d  g  y  , g  b0     3d  g  z  , g  c0    qd  g  x  , g  a0    qd  g  y  , g  b0    qd  g  z  , g  c0    q Suy d  g  x  , g  a1    q Tương tự ta có d  g  y  , g  b1    q , d  g  z  , g  c1    q Vậy (2.24) với n = Giả sử (2.24) với n  1, nghĩa d  g  x  , g  an    q n , d  g  y  , g  bn    q n , (2.25) d  g  z  , g  cn    q n Ta chứng minh (2.24) với n + Từ (2.1), (2.19), (2.21), (2.22) (2.25) ta có d  g  x  , g  an1    d  F  x, y, z  , F  an , bn , cn    1d  g  x  , g  an     d  g  y  , g  bn     3d  g  z  , g  cn    1q n   q n   3q n  1      q n  q n 1 Suy d  g  x  , g  an1    q n1 Tương tự, ta có 31 d  g  y  , g  bn 1    q n 1 , d  g  z   , g  cn 1   q n 1 Vậy (2.24) với n = 1,2,… Vì q  0;1 nên q n  n   suy q n  n   Khi đó, với c  int P, tồn số tự nhiên n0 cho với n  n0  ta có c q n (2.26) Chọn m  max nc , n0  Khi đó, với số tự nhiên n  m, từ (2.23), (2.24) (2.26) ta có d  g  x  , a'   d  g  x  , g  an1    d  g  an1  , a '    d  g  x  , F  an , bn , cn    d g  an 1  , a '    d  F  x, y, z  , F  an , bn , cn    d g  an 1  , a '    1d  g  x  , g  an     d  g  y  , g  bn     3d  g  z  , g  cn    d g  an 1  , a '   1q n   q n   q n  d g  an 1  , a '   q n 1  d g  an 1  , a '    c c  3 c Vậy d  g  x  , a'   c với c  int P Áp dụng Bổ đề 2.1.2 (viii) ta có  d g  x  , a '  hay g  x   a ' Tương tự, ta chứng minh g  y   b' , g  z   c' Vậy ta có  a , b , c    g  x  , g  y  , g  z  ' ' ' (2.27) Bằng phương pháp chứng minh ta chứng minh  a , b , c    g u  , g  v  , g  r  ' ' ' Từ (2.27), (2.28) ta suy g  x   g  u  , g  y   g  v  g  z   g  r  (2.28) 32 Tiếp theo, ta chứng minh  g  x  , g  y  , g  z   điểm chung ba g F Đặt x1 : g  x  , y1 : g  y  , z1 : g  z  (2.29) Khi đó, từ tính chất giao hốn F g ta có g  x1   g  g  x    g  F  x, y, z    F  g  x  , g  y  , g  z   F  x1 , y1 , z1  (2.30) Tương tự g  y1   F  y1 , x1 , y1  , (2.31) g  z1   F  z1 , y1 , x1  Suy  x1 , y1 , z1  điểm chung ba F g Theo chứng minh g  x   g  x1  , g  y   g  y1  , g  z   g  z1  Do đó, từ (2.29), (2.30), (2.31) ta có x1  g  x   g  x1   F  x1 , y1 , z1  , y1  g  y   g  y1   F  y1 , x1 , y1  , z1  g  z   g  z1   F  z1 , y1 , x1  Do  x1 , y1 , z1  điểm bất động chung ba F g Vậy luôn tồn điểm bất động chung ba F g Nếu  x, y, z  ,  x' , y ' , z '  hai điểm bất động chung ba F g chúng điểm chung ba g F nên g  x   g  x ' , g  y   g  y ' g  z   g  z ' Do đó, ta có   y  g  y  g  y   y , z  g z  g z   z x  g  x   g x'  x' , ' ' ' ' 33 Suy ta có  x, y, z    x' , y ' , z '  Vậy tồn điểm bất động chung ba F g 2.2.8 Định lý Giả sử F : X  X , g : X  X ,  : P  P ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1)  không giảm,   t  so sánh với t     t  hội tụ với t  P; j j 1 2) g liên tục giao hốn với F; 3) F có tính g-đơn điệu hỗn hợp F  X   g  X  ; 4) Nếu  x, y, z  ,  u, v, r   X mà  g  u  , g  v  , g  r     g  x  , g  y  , g  z      d  F  x, y, z  , F  u, v, r     sup d  g  x  , g u   , d  g  y  , g  v   , d  g  z  , g  r   ; (2.32) 5) Tồn  x0 , y0 , z0   X cho g  x0   F  x0 , y0 , z0  , g  y0   F  y0 , x0 , y0  , g  z0   F  z0 , y0 , x0  (2.33) Khi đó, F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ  xn  dãy tăng xn  x suy xn  x với n  , ii) Từ  yn  dãy giảm yn  y suy yn  y với n  , F g có điểm chung ba Chứng minh Từ F  X   g  X  , thiết lập dãy xn , yn ,zn  X sau g  xn 1   F  xn , yn , zn  , g  yn 1   F  yn , xn , yn  , g  zn 1   F  zn , yn , xn  , n  0,1, Khi đó, từ (2.33), (2.34) tính g-đơn điệu hỗn hợp ánh xạ F, ta có (2.34) 34 g  x0   g  x1   g  x2    g  xn 1   F  xn , yn , zn   , g  y0   g  y1   g  y2    g  yn 1   F  yn , xn , yn   , (2.35) g  z0   g  z1   g  z2    g  zn 1   F  zn , yn , xn   Đặt an : g  xn  , bn : g  yn  , cn : g  zn  ,  n : sup d  an , an1  , d  bn , bn 1  , d  cn , cn 1  , n  0,1, (2.36) Từ (2.32), (2.34) (2.36), với n = 0,1,…ta có d  an1 , an   d  g  xn1  , g  xn2    d  F  xn , yn , zn  , F  xn 1 , yn 1 , zn 1        sup d  g  xn  , g  xn 1   , d  g  yn  , g  yn 1   , d  g  zn  , g  zn 1      sup d  an , an 1  , d  bn , bn 1  , d  cn , cn 1      n  (2.37) Tương tự d  bn 1 , bn      n  , d  cn 1 , cn      n  , n  0,1, (2.38) Từ (2.36), (2.37), (2.38) suy  n1    n  , n  0,1, (2.39) Vì  ánh xạ không giảm nên từ (2.39) suy  n    n1     n   n  1, 2, (2.40) Xét dãy an  Với n = 1,2,…và với p = 0,1,…, từ (2.40) ta có d  an , an p   d  an , an1   d  an1 , an    d  an p 1 , an p     n 1     n      n  p 1    n     n 1      n  p       j   j n (2.41) 35 Theo điều kiện 1),          j   hội tụ Do j j n j 1 n   Từ suy với c  int P, tồn số tự nhiên n0 , cho với n  n0 , với p = 0,1,…thì  d  an , an  p     j   c j n Do an  dãy Cauchy Tương tự, ta có bn  , cn  dãy Cauchy X Vì  X , d  đầy đủ nên tồn a, b, c thuộc X cho lim an  a, lim bn  b, lim cn  c n n n (2.42) Vì g liên tục nên lim g  an   g  a  , lim g  bn   g  b  , lim g  cn   g  c  n n n (2.43) Mặt khác, F g giao hốn với nên g  an1   g  g  xn1    g  F  xn , yn , zn    F  g  xn  , g  yn  , g  zn    F  an , bn , cn  , n  0,1, (2.44) Tương tự g  bn 1   F  bn , an , bn  , g  cn 1   F  cn , bn , an  , n  0,1, Giả sử F liên tục Khi đó, từ (2.42), (2.43) (2.44) ta có g  a   lim g  an1   lim F  an , bn , cn   F  a, b, c  n n Tương tự, ta có g  b   F  b, a, b  , g  c   F  c, b, a  Vậy  a, b, c  điểm chung ba F g Giả sử X thỏa mãn i) ii) Khi đó, dãy an  cn  dãy tăng hội tụ, bn  dãy giảm hội tụ Từ (2.42) ta có 36 an  a, bn  b, cn  c, n  0,1, Vì dãy g  an  , g  bn  , g  cn  hội tụ tới g  a  , g  b  , g  c  Do đó, với c  int P, tồn số tự nhiên nc cho với n  nc ta có d  g  an  , g  a   d  g  bn  , g  b   d  g  cn  , g  c   c , c , c (2.45) Mặt khác, ta có   t   t với t  P, t  Thật vậy, tồn t0  P,0  t0 mà t0    t0  từ tính khơng giảm  suy t0   n  t0  với n = 1,2,… Điều mâu thuẫn với tính hội tụ chuỗi    t  n n 1 Đặc biệt, từ tính khơng giảm  suy     (nếu      t1   t1   t1 , t1        t1   t1 ) Với số tự nhiên n  nc , từ (2.45) ta có d  g  a  , F  a, b, c    d  g  a  , g  an1    d  g  an1  , F  a, b, c    d  g  a  , g  an 1    d  F  an , bn , cn  , F  a, b, c       d  g  a  , g  an 1     sup d  g  an  , g  a   , d  g  bn  , g  b   , d  g  cn  , g  c    d  g  a  , g  an 1    d  g  an  , g  a    d  g  bn  , g  b    d  g  cn  , g  c   c c c c       c 4 4 Vậy d  g  a  , F  a, b, c   c với c  int P Áp dụng Bổ đề 2.1.2 (viii), ta có d  g  a  , F  a, b, c    hay F  a, b, c   g  a  Tương tự, ta chứng minh F  b, a, b   g  b  ; F  c, b, a   g  c  Suy  a, b, c  điểm chung ba F g 37 Vậy F liên tục X có tính chất i) ii) F g ln có điểm chung ba Trong Định lý 2.2.8, chọn g ánh xạ đồng ta có Hệ sau 2.2.9 Hệ Giả sử X khơng gian mêtric nón đầy đủ, F : X  X ,  : P  P ánh xạ thỏa mãn điều kiện 1)  không giảm,   t  so sánh với t     t  hội tụ với t  P; j j 1 2) F có tính đơn điệu hỗn hợp 3) Nếu  x, y, z  ,  u, v, r   X mà x  u, y  v, z  r   d  F  x, y, z  , F  u, v, r     sup d  x, u  , d  y, v  , d  z, r  ; (2.46) 4) Tồn  x0 , y0 , z0   X cho x0  F  x0 , y0 , z0  , y0  F  y0 , x0 , y0  , z0  F  z0 , y0 , x0  ; (2.47) Khi đó, F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ  xn  dãy tăng xn  x suy xn  x với n  , ii) Từ  yn  dãy giảm yn  y suy yn  y với n  , F có điểm bất động ba 2.2.10 Chú ý Trong Định lý 2.2.8, ta xác định hàm  : P  P công thức   t    t t  P,  số thuộc 0,1 , ta nhận Định lí 2.2.1 Sau ví dụ minh họa cho việc ứng dụng Định lý 2.2.8 2.2.11 Ví dụ Giả sử X  R X ta xét quan hệ "  " thông thường Ta biết P   f  Co,1 :  f  nón khơng gian Banach C0,1 với chuẩn sup Ta xác định hàm d : X  X  P 38 d  x, y  t   x  y et x, y  X , t  0,1 Khi đó, d mêtric nón X  X , d  khơng gian mêtric nón đầy đủ Giả sử F : R3  R g : R  R hai hàm cho F  x, y , z   g  x  Cho  : P  P với   f   2x  y  z x, y, z  R, x x  R f với f  P Ta dễ dàng kiểm tra điều kiện Định lý 2.2.8 thỏa mãn Do F g có điểm chung ba Ta thấy  0, 0,  điểm chung ba F g 39 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp khơng gian mêtric khơng gian mêtric nón có thứ tự phận Luận văn đạt kết sau Tìm hiểu trình bày lại cách có hệ thống khái niệm nón, khơng gian mêtric nón số tính chất khơng gian mêtric nón Đưa số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp khơng gian mêtric nón có thứ tự phận Đó Định lý 2.2.1, 2.2.7, 2.2.8 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.9 Các kết tổng quát số kết [6] [8] Đưa ví dụ minh họa ví dụ 2.2.11 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Hòa (2013), Về tồn điểm bất động bất động chung khơng gian mêtric nón, Luận văn thạc sĩ tốn học, Đại học Vinh [2] Đồn Thị Oanh (2013), Về tồn điểm bất động đơi, ba khơng gian mêtric có thứ tự phận, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm Tập 2, NXB Giáo Dục [4] J.Kelley (1973), Tôpô đại cương Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường dịch, NXB Đại Học Trung Học Chuyên Nghiệp, Hà Nội [5] H Aydi, E Karapinar (2012), Triple fixed points in ordered metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, Kosova, pages 197-207 [6] V Berinde and M Borcut (2011), Tripled Fixed Points Theorems for Contractive Type Mapping in Partially Ordered Metric Spaces, Nonlinear Analysis, vol.74, no.15, pp 4889-4897 [7] G.Bhaskar and V Laksmikantham (2006), Fixed Points Theorems in Partially Ordered Metric Spaces and Applications, Nonlinear Analysis, Appl 332, no.2, pp 1468-1476 [8] M Borcut (2012), Tripled Fixed Points For Operators In Partially Ordered Metric Spaces, Doctoral Thesis Summary, Baia Mare Faculty of Scences [9] Ph Charoensawan (2012), Tripled Fixed Points Theorems for - Contractive Mixed Monotone Operators on Partially Ordered Metric Spaces, Applied Mathematical Sciences, Thailand, pages 5229-5239 [10] H L - Guang and Zh Xian (2007), Cone Metric Space and Fixed Point Theorem of Contractive Mappings, J.Math Anal App 332, no.2, 14681476 ... CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC NĨN CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 17 2.1 Không gian mêtric nón 17 2.2 Sự tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric nón có thứ tự phận. .. z  2.2 Sự tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric nón có thứ tự phận Mục đưa số kết tồn điểm chung ba, điểm bất động ba điểm bất động chung ba ánh xạ khơng gian mêtric nón có thứ tự phận mà chúng... Tác giả CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chương dành cho việc trình bày số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ khơng gian mêtric có thứ tự phận 1.1 Một