Sự tồn tại điểm bất động bộ ba trong không gian d meetric có thứ tự bộ phận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN DŨNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHƠNG GIAN D*- MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC VINH - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN DŨNG VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHƠNG GIAN D*- MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐINH HUY HOÀNG VINH - 2016 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHÔNG GIAN D*-MÊTRIC 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian D*-mêtric 1.3 Tôpô không gian D*-mêtric 12 CHƯƠNG MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHƠNG GIAN D*- MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 16 2.1 Về tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận 16 2.2 Một số kết tồn điểm bất động ba không gian D*- mêtric có thứ tự phận 25 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề nghiên cứu quan trọng Giải tích Nó có nhiều ứng dụng toán học số ngành kỹ thuật khác Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ nhiều lớp không gian khác Năm 2006, G Bhashkar V Lakshmikantham ([6]) đưa khái niệm điểm bất động đôi chứng minh số định lý tồn điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Khái niệm điểm bất động ba không gian mêtric giới thiệu nghiên cứu Brinde Borcut ([5]) vào năm 2011 Năm 2007, Shaban Sedghi cộng ([8]) đưa khái niệm không gian D*- mêtric đạt số kết tính chất tơpơ tồn điểm bất động không gian D*- mêtric Sau đó, số kết điểm bất động không gian D*- mêtric đưa tác giả ([9]) Một câu hỏi đặt mở rộng kết tồn điểm bất động ba không gian mêtric cho không gian D*-mêtric không ? Luận văn tiếp cận vấn đề nhằm tìm hiểu khơng gian D*mêtric nghiên cứu tồn điểm bất động ba khơng gian D*mêtric có thứ tự phận Với mục đích đó, ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn trình bày thành hai chương Chương Không gian D*- mêtric Trong chương này, đầu tiên, chúng tơi trình bày trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, mà cần dùng luận văn Sau đó, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian D*- mêtric Chương Một số kết tồn điểm bất động ba khơng gian D*- mêtric có thứ tự phận Chương trình bày số định lý tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu trộn không gian D*- mêtric Trong mục thứ nhất, trình bày số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian mêtric có tài liệu tham khảo ([4]) Trong mục thứ hai, đưa số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D*- mêtric có thứ tự phận Đó Định lí 2.2.2, Hệ 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8 Các kết mở rộng số kết mục 2.1 số tài liệu tham khảo khác Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy giáo, PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán q thầy khoa Tốn Trường Đại học Vinh nhiệt tình truyền đạt kiến thức Tốn học quý báu, phong phú Tác giả xin cảm ơn q thầy trường Đại học Sài Gịn tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, đồng nghiệp bạn lớp Cao học K22, chuyên nghành Giải tích tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả để tác giả hồn thành khóa học thực luận văn Mặc dù có nhiều nỗ lực, cố gắng, nhiên luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Nghệ An, tháng năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN D*- MÊTRIC Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian D* - mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, mà ta cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([2]) Giả sử X tập hợp, hàm d : X × X → R gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: 1) d x, y ≥ ∀x, y ∈ X d x, y = ⇔ x = y; 2) d x, y = d y, x , ∀x, y ∈ X ; 3) d x, y ≤ d (x, z) + d z, y , ∀x, y, z ∈ X Tập hợp X với mêtric d gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X , d ) hay X 1.1.2 Định nghĩa ([2]) Cho không gian mêtric (X , d ) tập M X Ta xác định hàm d M : M → R cho d M x, y = d x, y với x, y ∈ M Khi d M mêtric M Ta gọi không gian mêtric (M , d M ) không gian không gian (X , d ) Mêtric d M gọi mêtric cảm sinh mêtric d M 1.1.3 Định nghĩa ([2]) Dãy {x n } không gian mêtric 1(X , d ) gọi hội tụ tới x ∈ X kí hiệu x n → x lim x n = x d (x, x n ) → n → ∞ n→∞ 1.1.4 Nhận xét 1) Trong không gian mêtric (X , d ) dãy hội tụ hội tụ tới điểm 2) Nếu x n → x y n → y d x n , y n → d x, y 1.1.5 Mệnh đề ([2]) Giả sử x i ∈ (X , d ) với i = 1, 2, , n Khi đó, d (x , x n ) ≤ d (x , x ) + d (x , x ) + + d (x n−1 , x n ) 1.1.6 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X , d ) không gian mêtric Dãy {(x n )} ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d (x n , x m ) = 0, nghĩa m,n→∞ ∀ε > 0, ∃n ∈ N : d (x n , x m ) ≤ ε, ∀n ≥ n , ∀m ≥ m Không gian mêtric (X , d ) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.1.7 Định nghĩa ([2]) Cho không gian mêtric (X , d ) , Y , ρ ánh xạ f : X → Y Ta nói ánh xạ f liên tục điểm x ∈ X ∀ε > 0, ∃δ > : ∀x ∈ X , d (x, x ) < δ suy ρ f (x) , f (x ) < ε Ta nói f liên tục X f liên tục x ∈ X 1.1.8 Định lý ([2]) Giả sử f : (X , d ) → Y , ρ f liên tục x ∈ X dãy {x n } ⊂ X mà x n → x f (x n ) → f (x) 1.1.9 Định nghĩa ([3]) Giả sử X tập khác rỗng τ họ tập X Khi đó, τ gọi tơpơ X (X , τ) gọi không gian tôpô nếu: 1) φ X thuộc τ; 2) Hợp số tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ; 3) Giao hai phần tử thuộc τ thuộc τ Mỗi phần tử thuộc τ gọi tập mở X Một tập Y X gọi đóng X X \Y mở X 1.1.10 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X , τ) không gian tôpô, x ∈ X U ⊂ X U gọi lân cận x tồn G ∈ τ cho x ∈ G ⊂ U Họ U tập hợp X gọi sở lân cận x phần tử U lân cận x V lân cận x tồn U ∈ U cho U ⊂ V Không gian (X , τ) gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ x ∈ X tồn sở lân cận đếm Không gian (X , τ) gọi Hausdorff với x, y ∈ X mà x = y tồn lân cận U x lân cận V y cho U ∩ V = φ 1.1.11 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X i , τi ) không gian tôpô (i = 1, n) X = X × X × × X n Đặt τ = {G ⊂ X : ∀ (x , x , , x n ) ∈ G ∃Ui ∈ τ1 , i = 1, n; (x , x , , x n ) ∈ U1 ×U2 × ×Un ∈ G } Khi đó, τ tơpơ X Ta gọi τ tơpơ tích X (X , τ) gọi khơng gian tích X , X , , X n Nếu khơng sợ nhầm lẫn ta viết X thay cho (X , τ) 1.1.12 Định nghĩa ([3]) Dãy {x n } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X kí hiệu x n → x lim x n = x lân cận U x tồn số x→∞ tự nhiên n cho x n ∈ U với n ≥ n 1.1.13 Định nghĩa ([3]) Giả sử X , Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X lân cận V f (x) tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V 1.2 Không gian D*-mêtric Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian D* - mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([8]) Giả sử X tập hợp khác rỗng hàm D ∗ : X → R thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z, a ∈ X 1) D ∗ (x, y, z) ≥ 0; 2) D ∗ (x, y, z) = x = y = z; 3) D ∗ (x, y, z) = D ∗ p x, y, z ) p hàm hoán vị x, y, z; 4) D ∗ x, y, z ≤ D ∗ x, y, a + D ∗ (a, z, z) (bất đẳng thức tứ giác) Khi đó, hàm D* gọi D* - mêtric X cặp (X , D ∗ ) gọi không gian D* - mêtric 1.2.2 Ví dụ ([8]) 1) Giả sử X khơng gian mêtric với mêtric d Khi đó, D ∗ (x, y, z) = max d x, y , d y, z , d (z, x) D ∗ (x, y, z) = d x, y + d y, z + d (z, x) hai D*- mêtric X 2) Giả sử X = Rn , D ∗ hàm xác định X cho công thức D ∗ x, y, z = x−y p + y −z p + z −x p p với p ∈ R+ Khi đó, D* D* - mêtric X 3) Giả sử X = R+ , D ∗ hàm xác định X cho công thức D ∗ (x, y, z) = x = y = z max(x, y, z) ngược lại Khi đó, D* D* - mêtric X 1.2.3 Chú ý Trong không gian D* - mêtric, D ∗ (x, x, y) = D ∗ (x, y, y) Thật vậy, theo bất đẳng thức tứ giác ta có (i ) D ∗ x, x, y ≤ D ∗ (x, x, x) + D ∗ x, y, y = D ∗ x, y, y Tương tự, ta có (i i ) D ∗ y, y, x ≤ D ∗ y, y, y + D ∗ y, x, x = D ∗ y, x, x Do đó, từ (i ) , (i i ) ta có D ∗ x, x, y = D ∗ x, y, y 1.2.4 Định nghĩa ([8]) Giả sử (X , D ∗ ) không gian D* - mêtric Với r > x ∈ X , ta kí hiệu B D ∗ (x, r ) = {y ∈ X : D ∗ x, y, y < r } gọi B D ∗ (x, r ) hình cầu mở tâm x, bán kính r X 1.2.5 Ví dụ ([8]) Giả sử X = R không gian D* - mêtric với D ∗ x, y, z = x − y + y − z + |z − x| , với x, y, z ∈ X Khi đó, Ta xác định dãy {an }, {bn } {c n } a = a, b = b, c = c, với n, a n = F (a n−1 , b n−1 , c n−1 ), b n = F (b n−1 , a n−1 , b n−1 ), c n = F (c n−1 , b n−1 , a n−1 ), với n (1.29) Hơn nữa, đặt x = x, y = y, z = z u = u, v = v, r = r Tương tự, ta định nghĩa dãy {x n }, y n ,{z n } {u n },{v n },{r n } Khi đó, dễ thấy x n = F (x, y, z), u n = F (u, v, r ), y n = F (y, x, y), v n = F (v, u, v), z n = F (z, y, x), r n = F (r, v, u), với n ≥ (1.30) Từ F (x, y, z), F (y, x, y), F (z, y, x) = (x , y , z ) = (x, y, z) so sánh với (F (a, b, c), F (b, a, b), F (c, b, a)) = (a , b , c ), nên ta giả thiết (x, y, z) ≥ (a1 , b1 , c ) Tiếp tục lí luận tương tự ta nhận (x, y, z) ≥ (a n , b n , c n ) với n (1.31) Từ (1.31) (1.2), ta có d (T x, T a a+1 ) = d T F (x, y, z), T F (a n , b n , c n ) ≤ φ max d (T x, T a n ), d (T y, T b n ), d (T z, T c n ) (1.32) d (T b n+1 , T y) = d (T F (a n , b n , c n ), T F (y, x, y)) ≤ φ max d (T a n , T x), d (T b n , T y) ≤ φ max d (T b n , T y), d (T a n , T x), d (T c n , T z) (1.33) d (T z, T c n+1 ) = d (T F (z, y, x), T F (c n , b n , a n )) ≤ φ max d (T z, T c n ), d (T y, T b n ), d (T x, T a n ) 24 (1.34) Từ (1.32) – (1.34) suy với n = 1, 2, ta có max{d (T z, T c n+1 ), d (T y, T b n+1 ), d (T x, T a n+1 )} ≤ φ max{d (T z, T c n ), d (T y, T b n ), d (T x, T a n )} Vì vậy, với n ≥ ta có max d (T z, T c n ), d (T y, T b n ), d (T x, T a n ) ≤ φn max{d (T z, T c ), d (T y, T b ), d (T x, T a )} (1.35) Ta biết từ φ(t ) < t lim+ φ(r ) < suy lim φn (t ) = với t > n→+∞ r →t Do đó, từ (1.35) suy lim max{d (T z, T c n ), d (T y, T b n ), d (T x, T a n )} n→+∞ Điều cho thấy lim d (T x, T a n ) = 0, lim d (T y, T b n ) = 0, lim d (T z, T c n ) = n→+∞ n→+∞ n→+∞ (1.36) Trường hợp (a1 , b1 , c ) ≥ (x, y, z) chứng minh tương tự ta có (1.36) Tương tự, ta chứng minh lim d (Tu, T a n ) = 0, lim d (T v, T b n ) = 0, lim d (Tr, T c n ) = n→+∞ n→+∞ n→+∞ (1.37) Từ (1.36) (1.37) suy (T x, T y, T z) (Tu, T v, Tr ) Vì T đơn ánh nên ta có x = u, y = v z = r 2.2 Một số kết tồn điểm bất động ba khơng gian D*mêtric có thứ tự phận Trong mục này, đưa số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D*-mêtric có thứ tự phận Các kết mở rộng số kết mục 2.1 Trong suốt mục này, ta giả thiết X tập hợp có thứ tự phận ký hiệu ≤ X , ta xét thứ tự phận định nghĩa Định nghĩa 2.1.4 25 Ta ký hiệu Φ tập hàm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) cho 1) ϕ đơn điệu tăng, 2) Chuỗi ∞ n=1 ϕn (t ) hội tụ với t ≥ 0, ϕ1 (t ) = ϕ(t ), ϕ2 (t ) = ϕ(ϕ(t )), 2.2.1 Bổ đề Nếu ϕ ∈ Φ ϕ(t ) < t với t ∈ (0, ∞) ϕ(0) = Chứng minh Giả sử tồn t > cho ϕ(t ) ≥ t Khi đó, ϕ đơn điệu tăng nên t ≤ ϕ(t ) ≤ ϕ2 (t ) Bằng quy nạp ta chứng minh < t ≤ ϕn (t ) với n = 1, 2, Mặt khác, chuỗi ∞ n=1 ϕn (t ) hội tụ nên ϕn (t ) → n → ∞ Do ta có điều mâu thuẫn Như vậy, ϕ(t ) < t với t ∈ (0, ∞) Bây giờ, giả sử ϕ(0) = t > Khi đó, từ < t20 < t tính đơn điệu tăng ϕ suy < t = ϕ(0) ≤ ϕ t0 < t0 Đây điều vô lý Vậy ϕ(0) = 2.2.2 Định lý Giả sử (X , D ∗ ) không gian D ∗ − mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn ϕ ∈ Φ cho với (x, y, z) (u, v, r ) mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) (u, v, r ) ≤ (x, y, z) ta có D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ φ(max D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r ), D ∗ (x, x, F (x, y, z)), D ∗ (z, z, F (z, y, x)), D ∗ (x, u, F (x, y, z)), D ∗ (z, r, F (z, y, x)) ); 3) Tồn (x , y , z ) ∈ X cho x ≤ F (x , y , z ), F (y , x , y ) ≤ y , z ≤ F (z , y , x ); 26 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu {x n } dãy tăng (tương ứng, giảm) X x n → x ∈ X x n ≤ x (tương ứng x ≤ x n ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động ba X Hơn nữa, điểm bất động ba F so sánh với điểm bất động ba F Chứng minh Đặt x = F (x , y , z ), y = F (y , x , y ), z = F (z , y , x ) Khi đó, từ điều kiện (3) suy x0 ≤ x1, y ≤ y 0, z0 ≤ z1 Đặt x = F (x , y , z ), y = F (y , x , y ), z = F (z , y , x ) Từ tính đơn điệu trộn F ta có x = F (x , y , z ) ≥ F (x , y , z ) ≥ F (x , y , z ) ≥ F (x , y , z ) = x Tương tự, ta có y ≤ y 1, z2 ≥ z1 Bằng quy nạp ta xây dựng dãy {x n }, y n ,{z n } X thỏa mãn x n = F (x n−1 , y n−1 , z n−1 ), y n = F (y n−1 , x n−1 , y n−1 ), z n = F (z n−1 , y n−1 , x n−1 ) x n−1 ≤ x n , y n ≤ y n−1 , z n−1 ≤ z n với n = 1, 2, 27 (2.1) Từ (2.1), sử dụng điều kiện 2) ta có D ∗ (x n+1 ,x n+1 , x n+2 ) = D ∗ (F (x n , y n , z n ), F (x n , y n , z n ), F (x n+1 , y n+1 , z n+1 )) ≤ φ max D ∗ (x n , x n , x n+1 ), D ∗ (y n , y n , y n+1 ), D ∗ (z n , z n , z n+1 ), D ∗ (x n , x n , x n+1 ), D ∗ (z n , z n , z n+1 ), D ∗ (x n , x n+1 , x n+1 ), D ∗ (z n , z n , z n+1 ) = ϕ(max{D ∗ (x n , x n , x n+1 ), D ∗ (y n , y n , y n+1 ), D ∗ (z n , z n , z n+1 )} ) Đặt a n = D ∗ (x n , x n , x n+1 ), b n = D ∗ (y n , y n , y n+1 ), c n = D ∗ (z n , z n , z n+1 ) với n = 0, 1, 2, Khi đó, từ bất đẳng thức ta có a n+1 ≤ ϕ(max{a n , b n , c n }) với n = 1, 2, Tương tự, ta có b n+1 ≤ ϕ(max{a n , b n , c n }), c n+1 ≤ ϕ(max{a n , b n , c n }) với n = 1, 2, Do ta có max{a n+1 , b n+1 , c n+1 } ≤ ϕ(max{a n , b n , c n }) với n = 1, 2, Đặt t n = max{an , bn , c n }; n = 0,1, Khi đó, ta có t n+1 ≤ ϕ(t n ) ∀n = 1, 2, Từ suy t n ≤ ϕ(t n−1 ) ≤ ϕ2 (t n−2 ) ≤ ≤ ϕn (t ) 28 ∀n = 1, 2, (2.2) Với n = 1, 2, p = 0, 1, từ bất đẳng thức tứ giác (2.2) ta có D ∗ (x n , x n , x n+p ) ≤ D ∗ (x n , x n , x n+1 ) + D ∗ (x n+1 , x n+1 , x n+2 ) + + D ∗ (x n+p−1 , x n+p−1 , x n+p ) = a n + a n+1 + + a n+p−1 ≤ t n + t n+1 + + t n+p−1 ≤ ϕn (t ) + ϕn+1 (t ) + + ϕn+p−1 (t ) ∞ ≤ ϕ j (t ) (2.3) j =n Vì chuỗi ∞ j =n ϕ j (t ) hội tụ nên ∞ j =n ϕ j (t ) → n → ∞ Từ suy {x n } dãy Cauchy Tương tự, ta chứng minh y n {z n } hai dãy Cauchy Vì (X , D ∗ ) không gian đầy đủ nên tồn x, y, z ∈ X cho x n → x, y n → y z n → z n → ∞ Tiếp theo, ta chứng minh (x, y, z) điểm bất động ba F Giả sử F liên tục Khi đó, từ x n → x, y n → y, z n → z suy F (x, y, z) = lim F (x n , y n , z n ) = lim x n+1 = x, n→∞ n→∞ F (y, x, y) = lim F (y n , x n , y n ) = lim y n+1 = y, n→∞ n→∞ F (z, y, x) = lim F (z n , y n , x n ) = lim z n+1 = z n→∞ n→∞ Do đó, (x, y, z) điểm bất động ba F Giả sử điều kiện 4’) thỏa mãn Khi đó, từ x n → x, y n → y, z n → z (2.1) suy (x n , y n , z n ) ≤ (x, y, z) Do đó, sử dụng bất đẳng thức tứ giác điều kiện 2) 29 ta có D ∗ (x, x, F (x, y, z)) ≤ D ∗ (x, x, x n+1 ) + D ∗ (x n+1 , x n+1 , F (x, y, z)) = D ∗ (x, x, x n+1 ) + D ∗ (F (x n , y n , z n ), F (x n , y n , z n ), F (x, y, z)) ≤ D ∗ (x, x, x n+1 ) + ϕ(max{D ∗ (F (x n , x n , x), F (y n , y n , y), F (z n , z n , z), D ∗ (x n , x n , x n+1 ), D ∗ (z n , z n , z n+1 ), D ∗ (x n , x, x n+1 ), D ∗ (z n , z, z n+1 ) ) ≤ D ∗ (x, x, x n+1 ) + max{D ∗ (F (x n , x n , x), D ∗ (y n , y n , y), D ∗ (z n , z n , z), D ∗ (x n , x n , x n+1 ), D ∗ (z n , z n , z n+1 ), D ∗ (x n , x, x n+1 ), D ∗ (z n , z, z n+1 ) ) (2.4) Từ x n → x, y n → y, z n → z n → ∞ tính liên tục D ∗ ( xem Bổ đề 1.2.11) suy vế phải (2.4) dần tới n → ∞ Do đó, từ (2.4) ta có D ∗ (x, x, F (x, y, z)) = 0, tức x = F (x, y, z) Tương tự ta có y = F (y, x, y) z = F (z, y, x) Như vậy, (x, y, z) điểm bất động ba F Bây ta giả sử (a, b, c) ∈ X điểm bất động ba F (a, b, c) so sánh với (x, y, z) Khi đó, a = F (a, b, c), b = F (b, a, b), c = F (c, b, a) Vì (a, b, c) (x, y, z) so sánh với nên sử dụng điều kiện 2) ta có D ∗ (x, x, a) = D ∗ (F (x, y, z), F (x, y, z), F (a, b, c)) ≤ ϕ(max D ∗ (x, x, a), D ∗ (y, y, b), D ∗ (z, z, c), D ∗ (x, x, x), D ∗ (z, z, z), D ∗ (x, a, x), D ∗ (z, c, z) = ϕ(max{D ∗ (x, x, a), D ∗ (y, y, b), D ∗ (z, z, c) ) Tương tự ta chứng minh D ∗ (y, y, b) ≤ ϕ max D ∗ (x, x, a), D ∗ (y, y, b) D ∗ (z, z, c) ≤ ϕ(max{D ∗ (x, x, a), D ∗ (y, y, b), D ∗ (z, z, c)}) Do ta có 30 max{D ∗ (x, x, a), D ∗ (y, y, b), D ∗ (z, z, c)} ≤ ϕ(max{D ∗ (x, x, a), D ∗ (y, y, b), D ∗ (z, z, c)} ) Kết hợp với tính chất hàm ϕ suy max{D ∗ (x, x, a), D ∗ (y, y, b), D ∗ (z, z, c)} =0 Do ta có D ∗ (x, x, a) = D ∗ (y, y, b) = D ∗ (z, z, c)=0 Từ suy (x, y, z) = (a, b, c) Vậy điểm bất động ba F Sau số hệ Định lý 2.2.2 2.2.3 Hệ Giả sử (X , D ∗ ) không gian D ∗ − mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn ϕ ∈ Φ số không âm α1 , α2 , , α7 cho α1 +α2 + +α7 ≤ với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) (u, v, r ) ≤ (x, y, z) ta có D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ ϕ(α1 D ∗ (x, x, u) + α2 D ∗ (y, y, v) + α3 D ∗ (z, z, r ) + α4 D ∗ (x, x, F (x, y, z))+ α5 D ∗ (z, z, F (z, y, x)) + α6 D ∗ (x, u, F (x, y, z)) + α7 D ∗ (z, r, F (z, y, x))); 3) Tồn (x , y , z ) ∈ X cho x ≤ F (x , y , z ), F (y , x , y ) ≤ y , z ≤ F (z , y , x ); 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu {x n } dãy tăng (tương ứng, giảm) X x n → x ∈ X x n ≤ x (tương ứng x ≤ x n ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động ba X Hơn nữa, điểm bất động ba F so sánh với điểm bất động ba F Chứng minh Vì α1 + α2 + + α7 ≤ nên với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X ta có α1 D ∗ (x, x, u) + α2 D ∗ (y, y, v) + α3 D ∗ (z, z, r ) + α4 D ∗ (x, x, F (x, y, z))+ α5 D ∗ (z, z, F (z, y, x)) + α6 D ∗ (x, u, F (x, y, z)) + α7 D ∗ (z, r, F (z, y, x)) ≤ (α1 + α2 + + α7 ) max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r ), D ∗ (x, x, F (x, y, z)), D ∗ (z, z, F (z, y, x)), D ∗ (x, u, F (x, y, z)), 31 D ∗ (z, r, F (z, y, x)) Từ bất đẳng thức tính khơng giảm ϕ suy rằng, điều kiện 2) Hệ 2.2.3 thỏa mãn điều kiện 2) Định lý 2.2.2 thỏa mãn Do đó, sử dụng Định lý 2.2.2 ta có điều phải chứng minh 2.2.4 Hệ Giả sử (X , D ∗ ) không gian D ∗ − mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn α ∈ (0, 1) cho với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) (u, v, r ) ≤ (x, y, z) ta có D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ α max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r ), D ∗ (x, x, F (x, y, z)), D ∗ (z, z, F (z, y, x)), D ∗ (x, u, F (x, y, z)), D ∗ (z, r, F (z, y, x)) ; 3) Tồn (x , y , z ) ∈ X cho x ≤ F (x , y , z ), F (y , x , y ) ≤ y , z ≤ F (z , y , x ); 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu {x n } dãy tăng (tương ứng, giảm) X x n → x ∈ X x n ≤ x (tương ứng x ≤ x n ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động ba X Hơn nữa, điểm bất động ba F so sánh với điểm bất động ba F Chứng minh Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) ϕ(t ) = α(t )∀t ∈ [0, ∞) Vì α ∈ (0, 1) nên ϕ ∈ Φ Khi đó, bất đẳng thức điều kiện 2) trở thành D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ ϕ(max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r ), D ∗ (x, x, F (x, y, z)), D ∗ (z, z, F (z, y, x)), D ∗ (x, u, F (x, y, z)), D ∗ (z, r, F (z, y, x))} ) Như vậy, điều kiện định lý 2.2.2 thỏa mãn Do đó, ta có điều phải chứng minh 32 2.2.5 Hệ Giả sử (X , D ∗ ) không gian D ∗ − mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn số không âm α1 , α2 , , α7 cho α1 +α2 + +α7 < với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) (u, v, r ) ≤ (x, y, z) ta có D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ α1 D ∗ (x, x, u) + α2 D ∗ (y, y, v) + α3 D ∗ (z, z, r ) + α4 D ∗ (x, x, F (x, y, z)) + α5 D ∗ (z, z, F (z, y, x)) + α6 D ∗ (x, u, F (x, y, z)) + α7 D ∗ (z, r, F (z, y, x)); 3) Tồn (x , y , z ) ∈ X cho x ≤ F (x , y , z ), F (y , x , y ) ≤ y , z ≤ F (z , y , x ) 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu {x n } dãy tăng (tương ứng, giảm) X x n → x ∈ X x n ≤ x (tương ứng x ≤ x n ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động ba X Hơn nữa, điểm bất động ba F so sánh với điểm bất động ba F Chứng minh Vì α1 + α2 + + α7 < nên từ điều kiện 2) ta có D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ t (α1 + α2 + + α7 ) max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r ), D ∗ (x, x, F (x, y, z)), D ∗ (z, z, F (z, y, x)), D ∗ (x, u, F (x, y, z)), D ∗ (z, r, F (z, y, x))} với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) (u, v, r ) ≤ (x, y, z) Điều chứng tỏ điều kiện 2) Hệ 2.2.4 thỏa mãn Do đó, áp dụng Hệ 2.2.4 ta có khẳng định cần phải chứng minh 2.2.6 Hệ Giả sử (X , D ∗ ) không gian D ∗ − mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn ϕ ∈ Φ cho với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) ta 33 có D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ ϕ(max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r )}); 3) Tồn (x , y , z ) ∈ X cho x ≤ F (x , y , z ), F (y , x , y ) ≤ y , z ≤ F (z , y , x ) 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu {x n } dãy tăng (tương ứng, giảm) X x n → x ∈ X x n ≤ x (tương ứng x ≤ x n ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động ba X Hơn nữa, điểm bất động ba F so sánh với điểm bất động ba F Chứng minh Giả sử (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) Khi đó, theo điều kiện 2) ta có D ∗ F (u, v, r ), F (u, v, r ), F (x, y, z) ≤ ϕ max D ∗ (u, u, x), D ∗ (v, v, y), D ∗ (r, r, z) = ϕ max D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r ) (2.5) Mặt khác, D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) = D ∗ F (u, v, r ), F (u, v, r ), F (x, y, z) Nên từ (2.5) bất đẳng thức điều kiện 2) ta có D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ ϕ(max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r )}) ≤ ϕ(max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r ), D ∗ (x, x, F (x, y, z)), D ∗ (z, z, F (z, y, x)), D ∗ (x, u, F (x, y, z)), D ∗ (z, r, F (z, y, x))} ) với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) (u, v, r ) ≤ (x, y, z) Như vậy, điều kiện 2) Định lý 2.2.2 thỏa mãn Do đó, theo Định lý 2.2.2 ta có điều phải chứng minh 2.2.7 Hệ ([6]) Giả sử (X , d ) không gian mêtric đầy đủ F : X → X 34 ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn số không âm β1 , β2 , β3 cho với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) ta có d (F (x, y, z), F (u, v, r )) ≤ β1 d (x, u)+β2 d (y, v)+ β3 d (z, r ); 3) Tồn (x , y , z ) ∈ X cho x ≤ F (x , y , z ), F (y , x , y ) ≤ y , z ≤ F (z , y , x ); 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu {x n } dãy tăng (tương ứng, giảm) X x n → x ∈ X x n ≤ x (tương ứng x ≤ x n ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động ba X Chứng minh Ta xác định hàm D ∗ : X → R công thức D ∗ (x, y, z) = d (x, y) + d (y, z) + d (z, x) ∀x, y, z ∈ X Khi đó, theo Bổ đề 1.3.5 (X , D ∗ ) không gian D ∗ − mêtric đầy đủ Giả sử (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X (x, y, z) ≤ (u, v, r ) Khi đó, theo điều kiện 2) ta có D ∗ (F (x, y, z),F (x, y, z), F (u, v, r ) = 2d (F (x, y, z), F (u, v, r )) ≤ 2[β1 d (x, u) + β2 d (y, v) + β3 d (z, r )] ≤ 2β max{d (x, u), d (y, v), d (z, r )} = β max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r )} (2.6) β := β1 + β2 + β3 ∈ (0, 1) Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) ϕ(t ) = β(t ) với t ∈ [0, ∞) Khi đó, ϕ ∈ Φ từ 2.6 ta có D ∗ F (x, y, z), F (x, y, z), F (u, v, r ) ≤ ϕ(max {D ∗ (x, x, u), D ∗ (y, y, v), D ∗ (z, z, r )} ) với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) Như vậy, điều kiện Hệ 2.2.6 thỏa mãn Do đó, điều phải chứng minh suy từ Hệ 2.2.6 35 2.2.8 Hệ Giả sử (X , d ) không gian mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn hàm ϕ ∈ Φ cho với (x, y, z) (u, v, r ) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r ) ta có d (F (x, y, z), F (u, v, r )) ≤ ϕ(max{d (x, u), d (y, v), d (z, r )} ; 3) Tồn (x , y , z ) ∈ X cho x ≤ F (x , y , z ), F (y , x , y ) ≤ y , z ≤ F (z , y , x ); 4) F liên tục X có tính chất 4’) Nếu {x n } dãy tăng (tương ứng, giảm) X x n → x ∈ X x n ≤ x (tương ứng x ≤ x n ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động ba X Chứng minh Ta xác định hàm D ∗ : X → R công thức D ∗ (x, y, z) = d (x, y) + d (y, z) + d (z, x) ∀x, y, z ∈ X Khi đó, tương tự chứng minh Hệ 2.2.7, ta chứng minh (X , D ∗ ) không gian D ∗ − mêtric đầy đủ điều kiện 2) Hệ 2.2.6 thỏa mãn Do đó, sử dụng Hệ 2.2.6 ta có điều phải chứng minh 36 KẾT LUẬN Luận văn nghiên cứu tồn điểm bất động ba không gian D*- mêtric có thứ tự phận Luận văn đạt kết sau Trình bày chứng minh chi tiết số định lý tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận có tài liệu tham khảo Trình bày định nghĩa, ví dụ chứng minh số tính chất không gian D*- mêtric Đưa chứng minh số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D*- mêtric có thứ tự phận Định lý 2.2.2, Hệ 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8 Các kết mở rộng số kết tương tự không gian mêtric không gian mêtric nón 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đinh Huy Hồng Đỗ Thị Thanh Phùng (2015), Một số định lý điểm bất động chung ba không gian mêtric nón có thứ tự phận, Tạp chí khoa học Trường Đại học Vinh, Tập 44, số 2A, 48-61 [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lí thuyết hàm giải tích hàm Tập 2, NXB Giáo Dục [3] J Kelley, Tôpô đại cương Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường dịch, NXB Đại học Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội [4] H Aydi, E Karapinar (2012), Triple fixed points in ordered metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, Kosova, pages 197207 [5] V Berinde and M Borcut (2011), Tripled Fixed Points Theorems for Contractive Type Mapping in Partially Ordered Metric Spaces, Nonlinear Analysis, vol.74, no.15, pp 4889-4897 [6] G Bhaskar and V Laksmikantham (2006), Fixed Points Theorems in Partially Ordered Metric Spaces anh Applications, Nonlinear Analysis, Appl 332, no.2, pp 1468-1476 [7] M Borcut (2012), Tripled Fixed Points For Operators In Partially Ordered Metric Spaces, Doctoral Thesis Summary, Baia Mare Faculty of Scences [8] S Sedghi, N Shobe and H Zhou (2007), A common fixed point theorem in D* - metric spaces, Fixed point theory and Application, – 14 [9] T Veerapandi and A M Pillai (2011), A common fixed point theorem and some fixed point theorems in D*- metric spaces, African Journal of Mathematics and Science Research Vol (8), 273 – 280 38 ... định lý tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D* - mêtric 2.1 Về tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận Mục trình bày số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính... tồn điểm bất động ba không gian mêtric cho không gian D* -mêtric không ? Luận văn tiếp cận vấn đề nhằm tìm hiểu khơng gian D* mêtric nghiên cứu tồn điểm bất động ba khơng gian D* mêtric có thứ tự. .. THỨ TỰ BỘ PHẬN 16 2.1 Về tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận 16 2.2 Một số kết tồn điểm bất động ba không gian D* - mêtric có thứ tự phận