Không gian tựa mêtric và sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian tựa mêtric có thứ tự bộ phận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THANH CHUNG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ THANH CHUNG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chuyên ngành Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2015 MỤC LỤC Mục lục LỜI NÓI ĐẦU KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian tựa mêtric SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 12 2.1 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận 12 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian tựa mêtric có thứ tự phận 20 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng giải tích hàm, có nhiều ứng dụng giải tích số ngành toán học khác Vì thế, chủ đề quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Các kết mở rộng cho nhiều loại ánh xạ nhiều loại không gian khác Năm 2006, Bhaskar Lakshmikantham [4] đưa khái niệm điểm bất động đôi nghiên cứu số định lý tồn điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Sau đó, nhiều nhà toán học nghiên cứu đạt nhiều kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric không gian mêtric nón có thứ tự phận (xem [1,4,5,6]) Năm 1969, R.A Stoltenberg [7] đưa khái niệm không gian tựa mêtric Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ có không gian tựa mêtric nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Vấn đề đặt cách tự nhiên là, kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ không gian mêtric có mở rộng cho không gian tựa mêtric hay không? Để tập dượt nghiên cứu khoa học lĩnh hội kiến thức lí thuyết điểm bất động, tìm hiểu, nghiên cứu khái niệm, tính chất không gian tựa mêtric tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn không gian tựa mêtric có thứ tự phận Vì thế, chúng tội chọn đề tài nghiên cứu là: "Không gian tựa mêtric tồn điểm bất động đôi không gian tựa mêtric có thứ tự phận." Với mục đích này, luận văn trình bày thành hai chương CHƯƠNG Không gian tựa mêtric Chương dành cho việc trình bày khái niệm, ví dụ tính chất không gian tựa mêtric, làm sở cho việc trình bày chương CHƯƠNG Sự tồn điểm bất động đôi không gian tựa mêtric có thứ tự phận Trong chương trình bày lại số kết [7] tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn không gian mêtric có thứ tự phận Sau đó, đưa số kết tồn điểm bất động đôi có điểm chung đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn không gian tựa mêtric đầy đủ có thứ tự phận, Đinh lí 2.2.1, 2.2.3, 2.2.5, Hệ 2.2.4, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8 2.2.9 Các kết mở rộng kết tương tự không gian mêtric Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo PGS.TS.Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học Thầy, Cô giáo tổ Giải tích, khoa giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trường hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè học viên lớp Cao học 21 - Giải tích Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục dành cho việc giới thiệu khái niệm kết cần dùng luận văn, mà chúng lấy từ tài liệu [2] 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ T tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện (T1 ) ∅, X ∈ T ; (T2 ) Nếu Gi ∈ T ∈ I ∈T; i∈I (T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ T G1 ∩ G2 ∈ T Tập hợp X với tôpô T gọi không gian tôpô kí hiệu (X, T ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc T gọi tập mở Giả sử E ⊂ X Tập E gọi tập đóng X\E tập mở 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X , tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A Cho không gian tôpô X , x ∈ X , U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho x ∈ V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Dãy {xn } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ IN cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi ta viết xn → x 1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận B(x) có lực lượng đếm Không gian tôpô X gọi T1 −không gian hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho y ∈ / Ux x∈ / Uy Không gian tôpô X gọi T2 −không gian Hausdorff với hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩Uy = ∅ 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X lân cận V f (x), tồn lân cận U Mx cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.6 Định lý Giả sử X Y không gian tôpô, f : X → Y Khi điều kiện sau tương đương: (2.1) f liên tục X ; (2.2) Nếu E tập mở Y f −1 (E) mở X ; (2.3) Nếu E tập đóng Y f −1 (E) đóng X 1.1.7 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi thứ tự phận X với x, y, z ∈ X , ta có i) x ≤ x ; ii) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = y ; iii) Từ x ≤ y y ≤ z suy x ≤ z Tập X với thứ tự phận goi tập thứ tự phận ký hiệu (X, ≤) X 1.1.8 Nhận xét Nếu (X, ≤) tập thứ tự phận X × X có thứ tự phận xác định sau (x, y), (u, v) ∈ X × X, (u, v) ≤ (x, y) ⇔ u ≤ x, y ≤ v 1.1.9 Định nghĩa Cho tập hợp X = φ Hàm d : X × X → IR thỏa mãn điều kiện: i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y ; ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ; iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X gọi mêtric (hay khoảng cách) X Tập X với mêtric d gọi không gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.10 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d) tập M X Ta xác định hàm dM : M × M → d cho dM (x, y) = d(x, y), với x, y ∈ M Khi dM mêtric M Ta gọi không gian mêtric (M, dM ) không gian không gian (X, d) Mêtric dM gọi mêtric cảm sinh d M 1.1.11 Định nghĩa Dãy {xn } không gian mêtric (X, d) gọi hội tụ tới x ∈ X d(x, xn ) → n → ∞ ký hiệu xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.12 Nhận xét 1) Trong không gian mêtric (X, d) dãy hội tụ điểm 2) Nếu xn → x yn → y d(xn , yn ) → d(x, y) 1.1.13 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian mêtric, dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Không gian mêtric (X, d) gọi không gian mêtric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.2 Không gian tựa mêtric Trong mục này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian tựa mêtric Các kết mục tham khảo tài liệu [3] 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → IR Hàm d gọi tựa mêtric X thỏa mãn i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y ; ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Tập X với tựa mêtric gọi không gian tựa mêtric ký hiệu (X, d) X 1.2.2 Ví dụ 1) Giả sử X = {1, 2, 3} Xác định hàm d : X × X → IR+ công thức d(1, 1) = d(2, 2) = d(3, 3) = 0, d(1, 2) = 1, d(1, 3) = 2, d(2, 1) = , d(2, 3) = 3, d(3, 1) = , d(3, 2) = 2 Khi đó, d tựa mêtric X Thật vậy, i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y ; ii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X Vì vậy, (X, d) không gian tựa mêtric Vì d(1, 2) = d(2, 1) nên d không mêtric X 2) Giả sử d : IR × IR → IR ánh xạ cho    x = y d(x, y) = x > y   x < y với x, y ∈ IR Khi đó, d tựa mêtric IR Thật vậy, theo cách xác định d hiển nhiên d(x, y) ≥ với x, y ∈ IR d(x, y) = x = y ; Giả sử x, y, z ∈ IR Khi x = y = z hiển nhiên điều kiện ii) định nghĩa 1.2.1 Nếu x < y < z < = d(x, y) + d(y, z); d(z, y) = < d(z, x) + d(x, y); d(x, y) = < = d(x, z) + d(z, y); d(y, x) = = d(y, z) + d(z, x); d(y, z) = < = d(y, x) + d(x, z); d(z, x) = < = d(z, y) + d(y, z) d(x, z) = Nếu x = y < z x < y = z chứng minh tương tự ta thấy d thỏa mãn điều kiện ii) Định nghĩa 1.2.1 Vậy (IR, d) không gian tựa mêtric Vì = d(0, 1) = d(1, 0) = nên d không mêtric X Giả sử (X, d) không gian tựa mêtric Với a ∈ X > ta ký hiệu B(a, ) = {x ∈ X : d(a, x) < }, B[a, ] = {x ∈ X : d(a, x) ≤ } T = {G ⊂ X : với a ∈ G tồn B(a, ) ⊂ G} 1.2.3 Mệnh đề Nếu (X, d) không gian tựa mêtric T tôpô X B(x, ) ∈ T với x ∈ X , với đếm thứ > Do (X, T ) không gian Chứng minh Hiển nhiên φ X ∈ T Giả sử Gα ∈ T với α ∈ I Khi đó, với α ∈ Gα tồn α0 ∈ I α∈I 24 Bây ta chứng minh (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử F liên tục X không gian Hausdorff Khi đó, từ xn → x, yn → y suy xn = F (xn−1 , yn−1 ) → F (x, y) Như xn → x xn → F (x, y) Vì X không gian Hausdorff nên x = F (x, y) Tương tự ta có y = F (y, x) Vậy (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử X thỏa mãn điều kiện 3’) Khi đó, từ {xn } dãy tăng hội tụ tới x {yn } dãy giảm hội tụ tới y suy (xn , yn ) so sánh với (x, y) với n = 1, 2, Do đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác điều kiện 1) ta có d(x, F (x, y)) ≤ d(x, xn+1 ) + d(F (xn , yn ), F (x, y)) + d(x, F (x, y)) + d(y, F (y, x)) ≤ d(x, xn+1 ) + αmin d(xn+1 , xn ) , + d(x, xn ) + d(y, yn ) + d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) d(x, F (x, y) + d(xn , x) + d(yn , y) β + [d(xn , x) + d(yn , y)] 2 + d(x, F (x, y)) + d(y, F (y, x)) ≤ d(x, xn+1 ) + αd(xn+1 , xn ) + d(x, xn ) + d(y, yn ) β + [d(xn , x) + d(yn , y)] (2.19) với n = 1, 2, Vì xn → x yn → y nên lim d(x, xn ) = lim d(xn , x) = lim d(y, yn ) = lim d(yn , y) = n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ (2.20) Từ (2.20) (2.15) suy vế phải (2.19) tiến tới n → ∞ Do đó, từ (2.19) kéo theo d(x, F (x, y)) = 0, tức x = F (x, y) Tương tự ta có y = F (y, x) Vậy (x, y) điểm bất động đôi F 2.2.2 Nhận xét Nếu X không gian mêtric d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X Từ suy định lý 2.2.1 lấy X không gian mêtric đầy đủ nhận Định lý 2.1.5 Định lý 2.1.6 25 2.2.3 Định lý Cho (X, ≤) tập thứ tự phận, d tựa mêtric X cho (X, d) không gian tựa mêtric đầy đủ F : X → X ánh xạ có tính đơn điệu trộn X Giả sử điều kiện sau thỏa mãn cho với (x, y) (u, v) ∈ X × X mà chúng so sánh với ta có 1) Tồn λ ∈ 0, d(F (x, y), F (u, v)) ≤ λmaxMF (x, y, u, v), MF (x, y, u, v) = max d(x, u) + d(y, v), d(F (x, y), x) + d(F (u, v), u) +d(y, v), d(x, F (x, y)) + d(u, F (u, v)) + d(y, v) , d(x, F (u, v)) + d(F (x, y), u) + d(y, v) ; 2) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; 3) F liên tục X không gian Hausdorff 3’) X có tính chất Nếu {tn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X tn → t ∈ X tn ≤ t (tương ứng, t ≤ tn ) với n lim d(tn , t) = n→∞ Khi đó, F có điểm bất động đôi (X × X) Hơn nữa, điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đôi F Chứng minh Đặt xn = F (xn−1 , yn−1 ), yn = F (yn−1 , xn−1 ) với n = 1, 2, Khi đó, từ điều kiện 2) tính đơn điệu trộn F suy x0 ≤ x1 ≤ ≤ xn ≤ xn+1 ≤ ≤ yn+1 ≤ yn ≤ ≤ y1 ≤ y0 26 Từ xn−1 ≤ xn yn ≤ yn−1 với n = 1, 2, điều kiện 1) ta có d(xn+1 , xn ) = d(F (xn , yn ), F (xn−1 , yn−1 )) ≤ λmax d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ), d(xn+1 , xn ) +d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ), d(xn , xn+1 ) + d(xn−1 , xn ) +d(yn , yn−1 ) , d(xn , xn ) + d(xn+1 , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) ≤ λmax d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ), d(xn+1 , xn ) + d(xn , xn−1 ) +d(yn , yn−1 ), d(xn+1 , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) = λ d(xn+1 , xn ) + d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) với n = 1, 2, Từ ta có d(xn+1 , xn ) ≤ λ d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) 1−λ (2.21) λ d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) 1−λ (2.22) với n = 1, 2, Tương tự, ta có d(yn+1 , yn ) ≤ với n = 1, 2, Từ (2.21) (2.22) suy d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ) ≤ 2λ d(xn , xn−1 ) + d(yn , yn−1 ) 1−λ với n = 1, 2, Sử dụng bất đẳng thức (2.23) nhiều lần ta có d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , y) ≤ 2λ 1−λ n d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 ) với n = 1, 2, Từ bất đẳng thức bất đẳng thức tam giác suy d(xn+p , xn ) + d(yn+p , yn ) ≤ d(xn+p , xn+p−1 ) + d(yn+p , yn+p−1 ) + d(xn+p−1 , xn+p−2 ) + d(yn+p−1 , yn+p−2 ) + + d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ) (2.23) 27 ≤ n+p−1 2λ 1−λ + 2λ 1−λ = 2λ n 1− 2λ 1−λ 2λ 1−λ 1− 1−λ ≤ 2λ 1−λ n n+p−2 + + 2λ 1−λ n [d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )] p [d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )] 1−λ [d(x1 , x0 ) + d(y1 , y0 )] − 3λ (2.24) với n = 1, 2, p = 0, 1, Vì λ ∈ 0, nên vế phải (2.24) tiến tới n → ∞ Do đó, từ (2.24) suy với p = 0, 1, ta có lim d(xn+p , xn ) = lim d(yn+p , yn ) = n→∞ n→∞ (2.25) Tương tự, từ điều kiện 1) ta có d(xn , xn+1 ) = d(F (xn−1 , yn−1 ), F (xn , yn )) ≤ λmax d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn ), d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 ) + d(yn−1 , yn ), d(xn−1 , xn+1 ) + d(xn , xn ) + d(yn−1 , yn ) = λ[d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 ) + d(yn−1 , yn )] với n = 1, 2, Do d(xn , xn+1 ) ≤ λ [d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn )] 1−λ (2.26) λ [d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn )] 1−λ (2.27) với n = 1, 2, Tương tự ta có d(yn , yn+1 ) ≤ với n = 1, 2, Từ (2.26) (2.27) suy d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) ≤ 2λ [d(xn−1 , xn ) + d(yn−1 , yn )] 1−λ (2.28) 28 với n = 1, 2, Tiếp tục lý luận tương tự trên, sử dụng (2.28) ta chứng minh được, với p = 0, 1, ta có lim d(xn , xn+p ) = lim d(yn , yn+p ) = n→∞ n→∞ (2.29) Từ (2.25) (2.29) suy {xn } {yn } hai dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên tồn x y ∈ X cho lim xn = x, n→∞ lim yn = y n→∞ Tiếp theo, ta chứng minh (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử F liên tục X không gian Hausdorff Khi từ xn → x, yn → y suy xn+1 = F (xn , yn ) → F (x, y) Mặt khác xn+1 → x Do x = F (x, y) Tương tự ta có y = F (x, y) Vậy (x, y) điểm bất động đôi F Giả sử, X thỏa mãn điều kiện 3’) Khi đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác điều kiện 1) ta có d(F (x, y), x) ≤ d(xn , x) + d(F (x, y), F (xn−1 , yn−1 ) ≤ d(xn , x) + λmax d(x, xn−1 ) + d(y, yn−1 ), d(F (x, y), x) + d(xn , xn−1 ) + d(y, yn−1 ), d(x, F (x, y)) + d(xn−1 , xn ) + d(y, yn−1 ) d(x, xn ) + d(F (x, y), xn−1 ) + d(y, yn−1 ) ≤ d(xn , x) + λ[d(F (x, y), x) + d(x, xn ) + d(xn , xn−1 ) + d(y, yn−1 )] (2.30) với n = 1, 2, Vì xn → x, yn → y {xn } dãy tăng, {yn } dãy giảm nên d(x, xn ) → 0, d(y, yn−1 ) → d(xn , x) → n → ∞ Mặt khác, theo (2.25) d(xn , xn−1 ) → n → ∞ Do n → ∞, từ (2.30) cho n → ∞ ta d(F (x, y), x) ≤ λd(F (x, y), x) 29 suy d(F (x, y), x) = Do F (x, y) = x Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh F (y, x) = y Kết hợp với λ ∈ 0, Vậy (x, y) điểm bất động đôi F Cuối cùng, giả sử điểm bất động đôi F so sánh với Ta chứng minh điểm bất động đôi F Giả sử (x∗ , y ∗ ) ∈ X × X điểm bất động đôi F (x, y) ≤ (x∗ , y ∗ ), tức x ≤ x∗ y ≥ y ∗ Khi đó, x∗ = F (x∗ , y ∗ ), y ∗ = F (y ∗ , x∗ ) theo điều kiện 1) ta có d(x, x∗ ) = d(F (x, y), F (x∗ , y ∗ )) ≤ λmax d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ), d(x, x) + d(x∗ , x∗ ) + d(y, y ∗ ), d(x, x∗ ) + d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) ∗ = λ[2d(x, x ) + d(y, y ∗ )] (2.31) Tương tự ta có d(y, y ∗ ) ≤ λ[d(x, x∗ ) + 2d(y, y ∗ )] (2.32) Từ (2.31) (2.32) suy d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) ≤ 3λ[d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ )] Vì λ ∈ 0, nên từ bất đẳng thức cuối suy d(x, x∗ ) = d(y, y ∗ ) = Do x = x∗ y = y ∗ Vậy điểm bất động đôi F 2.2.4 Hệ ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận ≤ F : X → X ánh xạ có tính đơn điệu trộn X Giả sử điều kiện sau thỏa mãn cho với (x, y) (u, v) ∈ X × X mà chúng so sánh với ta có 1) Tồn λ ∈ 0, d(F (x, y), F (u, v)) ≤ λmaxMF (x, y, u, v), MF (x, y, u, v) =max{d(x, u) + d(y, v), d(F (x, y), x) + d(F (u, v), u) 30 + d(y, v), d(x, F (u, v)) + d(F (x, y), u) + d(y, v)}; 2) Tồn x0 , y0 ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; 3) F liên tục; 3’) Nếu {tn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X tn → t ∈ X tn ≤ t (tương ứng, t ≤ tn ) với n Khi đó, F điểm bất động đôi x, y ∈ X Chứng minh Vì (X, ≤, d) không gian mêtric đầy đủ nên không gian tựa mêtric đầy đủ d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X Từ suy điều kiện Định lý 2.2.3 thỏa mãn Do theo Định lý 2.2.3 ta có điều phải chứng minh 2.2.5 Định lý Cho (X, ≤, d) không gian tựa mêtric đầy đủ ≤ thứ tự phận X Giả sử φ : [0, +∞) → [0, +∞) hàm tăng cho chuỗi ∞ φn (t) hội tụ với t ∈ [0, +∞) F : X → X, g : X → X hai ánh xạ n=1 thỏa mãn điều kiện sau 1) F giao hoán với g có tính g đơn điệu trộn; 2) g liên tục, F (X ) ⊂ g(X) g(X) đóng X ; 3) d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(max{d(gx, gu), d(gy, gv)}) (2.33) với (x, y), (u, v) ∈ X mà gx ≤ gu, gv ≤ gy gu ≤ gx, gy ≤ gv ; 4) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho gx0 ≤ F (x0 , y0 ) F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; 5) F liên tục; X Hausdorff 5’) g đơn điệu X có tính chất: {xn } dãy tăng (tương ứng giảm) X, xn → x d(xn , x) → xn ≤ x (tương ứng,x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F g có điểm chung đôi X Chứng minh Vì F (X ) ⊂ g(X) nên tồn x1 , y1 ∈ X cho gx1 = F (x0 , y0 ), g(y1 ) = F (y0 , x0 ) 31 Tương tự, tồn x2 , y2 ∈ X cho gx2 = F (x1 , y1 ), g(y2 ) = F (y1 , x1 ) Tiếp tục lý luận tương tự ta xây dựng hai dãy {xn }, {yn } X cho gxn = F (xn−1 , yn−1 ), gyn = F (yn−1 , xn−1 ) với n = 1, 2, Từ điều kiện 4) tính g đơn điệu trộn F suy gx0 ≤ gx1 ≤ , gy0 ≥ gy1 ≥ , (2.34) ta viết ga ≥ gb thay cho gb ≤ ga Do theo điều kiện 3) ta có d(gxn+1 , gxn+2 ) = d(F (xn , yn ), F (xn+1 , yn+1 )) ≤ φ(max{d(gxn , gxn+1 ), d(gyn , gyn+1 )}) d(gyn+1 , gyn+2 ) ≤ φ(max{d(gyn , gyn+1 ), d(gxn , gxn+1 )}) với n = 1, 2, Từ suy rằng, đặt tn = max{d(gxn , xn+1 ), d(gyn , gyn+1 )} với n = 1, 2, tn+1 ≤ φ(tn ) với n = 1, 2, Kết hợp với tính tăng φ suy tn+1 ≤ φ(tn ) ≤ φ2 (tn−1 ) ≤ ≤ φn+1 (t0 ) (2.35) với n = 1, 2, Sử dụng bất đẳng thức tam giác (2.35) với n = 1, 2, 32 p = 0, 1, ta có d(gxn , gxn+p ) ≤ d(gxn , gxn+1 ) + d(gxn+1 , gxn+2 ) + + d(gxn+p−1 , gxn+p ) ≤ tn + tn+1 + + tn+p−1 (2.36) n+p−1 φj (t0 ) ≤ j=n ∞ φj (t0 ) hội tụ nên vế phải (2.36) dần tới n → ∞ Do Vì chuỗi j=1 lim d(gxn , gxn+p ) = n→∞ với p = 0, 1, (2.37) với p = 0, 1, (2.38) Tương tự trên, ta chứng minh lim d(gyn , gyn+p ) = n→∞ Mặt khác, từ (2.34) điều kiện 3) ta có d(gxn+2 , gxn+1 ) = d(F (xn+1 , yn+1 ), F (xn , yn )) ≤ φ(max{d(gxn+1 , gxn ), d(gyn+1 , gyn )}) d(gyn+2 , gyn+1 ) = d(F (yn+1 , xn+1 ), F (yn , xn )) ≤ φ(max(dgyn+1 , gyn ), d(gxn+1 , gxn )}) (2.39) (2.40) với n = 1, 2, Đặt Sn = max{d(gxn+1 , gxn ), d(gyn+1 , gyn )} với n = 1, 2, Khi đó, từ (2.39) (2.40) ta có Sn+1 ≤ φ(Sn ) ≤ φ2 (Sn−1 ) ≤ ≤ φn+1 (S0 ) (2.41) với n = 1, 2, Sử dụng bất đẳng thức tam giác (2.41), với n = 1, 2, p = 0, 1, ta có d(gxn+p , gxn ) ≤ d(gxn+p , gxn+p−1 ) + d(gxn+p−1 , gxn+p−2 ) 33 + + d(gxn+1 , gxn ) ≤Sn+p−1 + Sn+p−2 + + Sn n+p−1 ∞ j ≤ φj (S0 ) φ (S0 ) ≤ j=n (2.42) j=n ∞ φj (S0 ) hội tụ nên vế phải (2.42) dần tới n → ∞ Do Vì j=1 lim d(gxn+p , gxn ) = với p = 0, 1, (2.43) lim d(gyn+p , gyn ) = với p = 0, 1, (2.44) n→∞ Tương tự ta có n→∞ Từ (2.37), (2.43), (2.38) (2.44) suy {gxn } {gyn } dãy Cauchy g(X) Vì g(X) đóng X X đầy đủ nên g(X) đầy đủ Do tồn a, b ∈ X cho gxn → a gyn → b Vì g liên tục nên ggxn → ga, ggyn → gb (2.45) Giả sử F liên tục Khi đó, F giao hoán với g nên ggxn+1 = gF (xn , yn ) = F (gxn , gyn ) → F (a, b) Mặt khác, theo (2.45) ta có ggxn+1 → ga Vì X không gian Hausdorff nên ga = F (a, b) Tương tự ta chứng minh gb = F (b, a) Vậy (a, b) điểm chung đôi F g Giả sử X có tính chất 5’) Khi đó, từ (2.34) suy gxn ≤ a b ≤ gyn với n = 1, 2, Do đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác điều kiện 3) ta có d(ga, F (a, b)) ≤ d(ga, ggxn+1 ) + d(ggxn+1 , F (a, b)) ≤ d(ga, ggxn+1 ) + d(F (gxn , gyn ), F (a, b)) ≤ d(ga, ggxn+1 ) + φ(max{d(ggxn , ga), d(ggyn , gb)}) ≤ d(ga, ggxn+1 ) + max{d(ggxn , ga), d(ggyn , gb)} (2.46) 34 với n = 1, 2, Do {ggxn } dãy tăng ggxn → ga, {ggyn } dãy giảm ggyn → gb nên theo điều kiện 5’) ta có d(ggxn , ga) → 0, d(ggyn , gb) → Mặt khác, d(ga, ggxn ) → 0, vế phải (2.46) dần tới n → ∞ Từ suy d(ga, F (a, b)) = 0, tức F (x, b) = ga Tương tự ta chứng minh F (b, a) = gb Vậy (a, b) điểm chung đôi F g 2.2.6 Hệ Giả sử điều kiện Định lý 2.2.5 thỏa mãn bất đẳng thức (2.33) thay d(gx, gu) + (gu, gv) Khi F g có điểm chung đôi X d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ (2.47) Chứng minh Vì d(gx, gu) + d(gy, gv) ≤ max{d(gx, gu), d(gy, gv)} với x, y, u, v ∈ X φ hàm tăng nên từ (2.47) kéo theo (2.33) Do đó, theo Định lý 2.2.5 ta có điều phải chứng minh 2.2.7 Hệ Giả sử điều kiện Định lý 2.2.5 thỏa mãn điều kiện 3) thay 3’) Tồn α1 , α2 ∈ [0, 1) với α1 + α2 < cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(α1 d(gx, gu) + α2 d(gy, gv)) (2.48) với (x, y), (u, v) ∈ X × X mà gx ≤ gu, gv ≤ gy gu ≤ gx, gy ≤ gv Khi F g có điểm chung dôi X Chứng minh Ta có α1 d(gx, gu) + α2 d(gy, gv) ≤ (α1 + α2 )max{d(gx, gu), d(gy, gv))} 35 ≤ max{d(gx, gu), d(gy, gv)} với x, y, u, v ∈ X Mặt khác, φ hàm tăng nên từ (2.48) suy (2.33) Do theo Định lý 2.2.5 ta có điều phải chứng minh 2.2.8 Hệ Giả sử (X, ≤, d) không gian tựa mêtric đầy đủ có thứ tự ∞ φn (t) hội tụ phận ≤, φ : [0, +∞) → [0, +∞)là hàm tăng cho cho chuỗi n=1 với t ∈ [0, +∞) F : X → X hàm thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Một hai đẳng thức sau d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(max{d(x, u), d(y, v)}) (2.49) d(F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(α1 d(x, u) + α2 d(y, v)) (2.50) với (x, y), (u, v) ∈ X, x ≤ u, v ≤ y u ≤ x, y ≤ v , α1 , α2 hai số không âm cho α1 + α2 < 1; 3) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; 4) F liên tục X không gian Hausdorff X có tính chất: Từ {xn } dãy tăng (tương ứng giảm) X, xn → x d(xn , a) → xn ≤ x (tương ứng x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đôi X Chứng minh Nếu bất đẳng thức (2.49) thỏa mãn điều phải chứng minh suy từ Định lý 2.2.5 với việc lấy g : X → X ánh xạ đồng Nếu bất đẳng thức (2.50) thỏa mãn điều phải chứng minh suy từ Hệ 2.2.7 với việc lấy g : X → X ánh xạ đồng 2.2.9 Hệ Giả sử (X, ≤, d) không gian tựa mêtric đầy đủ, có thứ tự phận ≤ điều kiện 1),3),4) Hệ 2.2.8 thỏa mãn Khi đó, hai điều kiện sau thỏa mãn F có điểm bất động đôi X 36 i) Tồn α ∈ [0, 1) cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ αmax{d(x, u), d(y, v)} với (x, y), (u, v) ∈ X ; x ≤ u, v ≤ y ; ii) Tồn α1 , α2 ∈ [0, 1), α1 + α2 < α cho d(F (x, y), F (u, v)) ≤ α1 d(x, u) + α2 d(y, v) với (x, y), (u, v) ∈ X ; x ≤ u, y ≥ v ; Chứng minh Ta xác định hàm φ : [0, +∞) → [0, +∞) công thức φ(t) = αt với t ∈ [0, +∞) ∞ φn (t) α số thuộc [0, 1) Khi φ hàm tăng cho chuỗi n=1 hội tụ với t ∈ P Từ suy rằng, điều kiện i) thỏa mãn bất đẳng thức (2.49) Do theo hệ 2.2.8, F có điểm bất động đôi Ta có α1 d(x, u) + α2 d(y, v) ≤ (α1 + α2 )max{d(x, u), d(y, v)} với x, y, u, v ∈ X Do đó, điều kiện ii) thỏa mãn điều kiện i) thỏa mãn với α = α1 + α2 Vì F có điểm bất động đôi X 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau Tìm hiểu trình bày cách có hệ thống, chi tiết không gian tựa mêtric số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Đưa chứng minh số kết tồn điểm bất động đôi không gian tựa mêtric có thứ tự phận, là: Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.5, Hệ 2.2.4, Hệ 2.2.6, Hệ 2.2.7, Hệ 2.2.8 Hệ 2.2.9 Các kết mở rộng kết tương tự không gian mêtric 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Thanh Huyền (2013), Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận [2] Nguyễn Văn Khuê Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm tập 1, Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Thị Thủy (2010), Các định lý điểm bất động không gian tựa mêtric, luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Vinh [4] G.Bhaskar and V.Laksmikantham (2006), Fixed Points Theorems in Partially Ordered Metric Spaces and Applications, Nonlinear Analysis, appl 332, no.2, pp 1468-1476 [5] H.Sh.Ding and L.Li (2011), Couple Fixed Points Theorems in Partially Ordered Cone MetricSpaces, Faculty of Sciences and Mathematics, University of Ni, Serbia, 137-149 [6] E Karapinar (2010), Couple Fixed Points Theorems for Nonlinear Contractions in Cone Metric Spaces, Computer and Mathemecities, with Applications, doi: 10 1016/ j Camwa 2010 - 03.062 [7] R A.Stoltenberg, On quasi - metric spaces, Duke Marth.J36 (1969) [...]... bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian tựa mêtric có thứ tự bộ phận 2.1 Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận Mục này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric có thứ tự bộ phận 2.1.1 Định nghĩa ([2])... quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian tựa mêtric có thứ tự bộ phận Mục này đưa ra một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ có tính đơn điệu trộn trong không gian tựa mêtric có thứ tự bộ phận 2.2.1 Định lý Giả sử (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận, d là một tựa mêtric trên X sao cho (X, d) là một không gian tựa mêtric đầy đủ và F : X × X → X là ánh xạ có tính... đủ ta có f (xn ) → f (a) Điều này mâu thuẫn với f (xn ) ∈ B(f (a), 0 ) với mọi n Vậy f liên tục tại a 1.2.7 Định nghĩa Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric và F : X ×X → X F được gọi là liên tục trên X × X nếu với mọi dãy {xn }, {yn } trong X mà xn → x ∈ X, yn → y ∈ X ta có F (xn , yn ) → F (x, y) khi n → ∞ 12 CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN... với mọi n Khi đó, F là điểm bất động bộ đôi x, y ∈ X Chứng minh Vì (X, ≤, d) là không gian mêtric đầy đủ nên nó cũng là không gian tựa mêtric đầy đủ và d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X Từ đó suy ra các điều kiện của Định lý 2.2.3 được thỏa mãn Do đó theo Định lý 2.2.3 ta có điều phải chứng minh 2.2.5 Định lý Cho (X, ≤, d) là không gian tựa mêtric đầy đủ và ≤ là thứ tự bộ phận trên X Giả sử φ :... là không gian tựa mêtric đầy đủ, nên tồn tại (x, y) ∈ X × X sao cho lim xn = x và lim yn = y n→∞ n→∞ 24 Bây giờ ta chứng minh (x, y) là điểm bất động bộ đôi của F Giả sử F liên tục và X là không gian Hausdorff Khi đó, từ xn → x, yn → y suy ra xn = F (xn−1 , yn−1 ) → F (x, y) Như vậy xn → x và xn → F (x, y) Vì X là không gian Hausdorff nên x = F (x, y) Tương tự ta có y = F (y, x) Vậy (x, y) là điểm bất. .. là điểm bất động bộ đôi của p 2) Trên R ta xét quan hệ ≤ thông thường Khi đó, hàm T (x, y) = x + y, ∀(x, y) ∈ R2 không có tính đơn điệu trộn nhưng có điểm bất động duy nhất là (0, 0) Chứng minh Ta có T (0, 1) = 1 < T (0, 2) = 2 Do đó T không có tính đơn điệu trộn 2.1.5 Định lý ([7]) Giả sử (X, ≤) là một tập sắp thứ tự bộ phận, d là một mêtric trên X sao cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và. .. (2.31) Tương tự ta có d(y, y ∗ ) ≤ λ[d(x, x∗ ) + 2d(y, y ∗ )] (2.32) Từ (2.31) và (2.32) suy ra d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ ) ≤ 3λ[d(x, x∗ ) + d(y, y ∗ )] Vì λ ∈ 0, 1 3 nên từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra d(x, x∗ ) = d(y, y ∗ ) = 0 Do đó x = x∗ và y = y ∗ Vậy điểm bất động bộ đôi của F là duy nhất 2.2.4 Hệ quả ([7]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận ≤ và F : X 2 → X là ánh xạ có tính... dãy tăng (tương ứng, giảm) trong X và tn → t ∈ X thì tn ≤ t (tương ứng, t ≤ tn ) với mọi n và lim d(tn , t) = 0 n→∞ Khi đó, F có điểm bất động bộ đôi trong (X × X) Hơn nữa, nếu các điểm bất động bộ đôi của F so sánh được với nhau thì điểm bất động bộ đôi của F là duy nhất Chứng minh Đặt xn = F (xn−1 , yn−1 ), yn = F (yn−1 , xn−1 ) với mọi n = 1, 2, Khi đó, từ điều kiện 2) và tính đơn điệu trộn của F... ∈ X Từ đó suy ra rằng trong định lý 2.2.1 nếu lấy X là không gian mêtric đầy đủ thì nhận được Định lý 2.1.5 và Định lý 2.1.6 25 2.2.3 Định lý Cho (X, ≤) là tập sắp thứ tự bộ phận, d là một tựa mêtric trên X sao cho (X, d) là không gian tựa mêtric đầy đủ và F : X 2 → X là ánh xạ có tính đơn điệu trộn trên X Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn 1 sao cho với mọi (x, y) và (u, v) ∈ X × X mà chúng... X\U ta có d(x, y) ≥ d(x, X\U ) = , tức là y ∈ / B(x, ) Từ đó suy ra B(x, ) ⊂ U Vậy U là tập mở trong X = 10 Ta đã biết rằng, nếu {xn } là dãy trong không gian mêtric (X, d) thì xn → x ∈ X khi và chỉ khi d(x, xn ) → 0 Định lý sau đây cho thấy kết quả này vẫn đúng trong không gian tựa mêtric 1.2.5 Định lý Giả sử {xn } là dãy trong không gian tựa mêtric (X, d) Khi đó {xn } hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ ... THỨ TỰ BỘ PHẬN 12 2.1 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận 12 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian tựa mêtric có thứ tự phận. .. trộn không gian tựa mêtric có thứ tự phận 2.1 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Mục trình bày số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp không gian. .. y 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian tựa mêtric có thứ tự phận Mục đưa số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn không gian tựa mêtric có thứ tự phận 2.2.1 Định lý