Về sự tồn tại điểm bất động bộ đôi trong không gian b mêtric có thứ tự bộ phận

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ XUÂN THÀNH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN b-MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2016 BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ XUÂN THÀNH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chun ngành Tốn Giải Tích Mã số : 60.46.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Cán hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN – 2016 MỤC LỤC MỤC LỤC ……………………………………………………………………………1 MỞ ĐẦU …………………………………………………………………………… SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị ………………………………………… .4 1.2 Một số kết tồn điểm bất động đội không gian mêtric có thứ tự phận 2.SỰ TỒN ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN bMÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 14 2.1 Không gian b-mêtric…………………………………………………… 14 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian b-mêtric có thứ tự phận 18 Kết luận ………………………………………………………………………30 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………….31 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động hƣớng nghiên cứu quan trọng giải tích có nhiều ứng dụng Toán học nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1992) Các kết kinh điển đƣợc mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ nhiều lớp không gian khác Một hƣớng mở rộng đƣa khái niệm điểm bất động đôi, ba ánh xạ từ X X vào X từ X X X vào X tƣơng ứng Sau đó, tìm điều kiện cho tồn điểm bất động đôi, ba Năm 2006, Bhaskar Laksmikantham [2] đƣa khái niệm điểm bất động đơi khơng gian mêtric có thứ tự phận Vào năm 1993, Czerwik [4] đƣa khái niệm không gian b-mêtric nghiêm cứu tồn điểm bất động không gian Vấn đề tồn điểm bất động đôi đƣợc quan tâm nghiên cứu không gian mêtric, mêtric nón thu đƣợc nhiều kết Có vấn đề đƣợc đặt cách tự nhiên là, kết tồn điểm bất động đơi cho khơng gian mêtric mở rộng không gian b-mêtric đƣợc hay không ? Luận văn chúng tơi tiếp cận vấn đề nhằm tìm hiểu không gian b-mêtric nghiên cứu tồn điểm bất động đôi ánh xạ đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận Với mục đích đó, Luận văn trình bày thành hai chƣơng Chương 1: Sự tồn điểm bất động đôi khơng gian mêtric có thứ tự phận Chƣơng dành cho việc trình bày lại số kết có tài liệu tham khảo tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian mêtric có thứ tự phận Chương 2: Sự tồn điểm bất động đôi không gian b-mêtric có thứ tự phận Trong chƣơng này, đƣa số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận, Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.5 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 2.2.6 kết mở rộng số kết [3] [7] Luận văn đƣợc hồn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình của Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hồng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Thầy Tơi xin trân trọng cám ơn quý Thầy giáo, Cô giáo Tổ Giải Tích Thầy Giáo, Cơ Giáo Khoa Sƣ phạm Tốn Phịng đào tao sau đại học Trƣờng Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Đồng thời tơi cám ơn Ban giám hiệu, Tổ Tốn trƣờng THPT Mê Linh – Thái Bình tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập Cuối cùng, tơi xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, bạn học viên cao học khoá 22 – chun ngành Tốn Giải Tích, Mặc dù cố gắng, nhƣng nhiều hạn chế kiến thức thời gian nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong q Thầy bạn đóng góp ý kiến để luận văn đƣợc hồn thiện Vinh, ngày tháng năm 2016 Tác giả CHƢƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chƣơng trình bày số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian mêtric có thứ tự phận 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, có thứ tự phận,… 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử hệ hai Quan hệ tập khác rỗng quan đƣợc gọi thứ tự phận với ta có: 1) 2) Từ suy 3) Từ Tập suy với thứ tự phận đƣợc gọi tập thứ tự phận hay tập có thứ tự phận ký hiệu ( 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Cho tập hợp điều kiện: 1) với ) Hàm d : thỏa mãn 2) 3) đƣợc gọi mêtric (hay khoảng cách) Tập với mêtric đƣợc gọi khơng gian mêtric ký hiệu 1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho khơng gian mêtric xác định hàm : Khi mêtric không gian tập Ta cho ( với ta gọi không gian mêtric ( ) không gian đƣợc gọi mêtric cảm sinh Mêtric 1.1.4 Định nghĩa ([1]) Dãy { } không gian mêtric hội tụ tới i ký hiệu đƣợc gọi 1.1.5 Nhận xét 1) Trong không gian mêtric dãy mà hội tụ hội tụ tới điểm 2) Nếu 1.1.6 Định nghĩa ([1]) Giả sử không gian mêtric, dãy { } X đƣợc gọi dãy Cauchy (dãy bản) i Không gian mêtric đƣợc gọi không gian mêtric đầy đủ dãy Cauchy hội tụ 1.2 Một số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric có thứ tự phận Mục trình bày số kết [7] tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian mêtric có thứ tự phận 1.2.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử tập có thứ tự phận ánh xạ có tính đơn điệu trộn với ta có Ta nói 1.2.2 Định nghĩa ([7]) Ta gọi phần tử điểm bất động đôi F(x, y) = x F(y, x) = y ánh xạ F : Nếu tập thứ tự phận khơng gian tích phận đƣợc xác định nhƣ sau , , x 1.2.3 Ví dụ 1) Giả sử với (x, y) Khi đó, tính đơn điệu trộn điểm Chứng minh Với Do đó, v hàm cho cơng thức ta xét quan hệ thơng thƣờng có điểm bất động đôi , với u, y có thứ tự ta có ta có có tính đơn điệu trộn Với Do đó, 2) Trên ta có điểm bất động đơi ta xét quan hệ thơng thƣờng Khi đó, hàm □ khơng có tính đơn điệu trộn nhƣng có điểm bất động (0,0) Chứng minh Ta có T(0, 1) = < T(0, 2) = Do T khơng có tính đơn điệu trộn □ 1.2.4 Định lý ([7]) Giả sử tập thứ tự phận, mêtric cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ có tính đơn điệu trộn X Với đặt } = min{ Khi đó, 1) Tồn với cho + với (1) mà 2) Tồn cho 3) F liên tục (2) X có tính chất } dãy tăng với n = 1, 2,… (ii) Nếu { } dãy giảm với n = 1, 2,… (i) Nếu { có điểm bất động đơi Hơn nữa, thêm giả thiết điểm bất động đôi so sánh với điểm bất động đôi Chứng minh Đặt ( ) , = , , = Dựa vào tính đơn điệu trộn , ta có , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta dễ dàng chứng minh đƣợc Tiếp theo, ta chứng minh rằng, với n ( ) ( ) ta có (3) (4) Thật vậy, với n = 1, từ từ (1) ta có ( + ) ( + = + ( ) ( ) Điều kéo theo ( Do ) ) 17 Do đó, ta có (2) Vì , nên i i i i i i Do đó, i hai vế (2) ta đƣợc i (3) Tƣơng tự nhƣ ta có (4) Lấy i hai vế (4) ta đƣợc i Từ (3) (5) suy (1) 2.1.6.Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian b-mêtric Ánh xạ đƣợc gọi liên tục dãy ta có (5) □ mà 18 2.2 Một số kết tồn điểm bất động đơi khơng gian b-mêtric có thứ tự phận Trong mục này, đƣa vài kết tồn ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian b-mêtric có thứ tự phận Các kết mở rộng số kết tồn điểm bất động đôi không gian mêtric [3, 7] Trong mục này, khơng gian b-mêtric đƣợc nói tới, ln giả thiết có tham số có thứ tự phận đƣợc ký hiệu ta xét thứ tự phận đƣợc xác định nhƣ sau : thay cho Ta viết 2.2.1 Định lý Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau Tồn số cho (1) (2) với mà 2) Tồn 3) cho liên tục có tính chất i) Nếu dãy tăng ii) Nếu dãy giảm và thì với n = 1, 2,… với n = 1, 2,… 19 Khi đó, ó điểm bất động đơi Hơn nữa, thêm giả thiết điểm bất động đơi so sánh với điểm bất động đôi Chứng minh Đặt , ( ) Từ điều kiện 2) ta có suy ( ) Do đó, sử dụng tính đơn điệu trộn , ( ) ( ) Tƣơng tự phƣơng pháp quy nạp ta chứng minh đƣợc (3) Từ (3), sử dụng điều kiện 2) ta có với Do 20 (4) Với Từ (4) suy (5) v im i Bây giờ, ta chứng minh , hai dãy Cauchy Với sử dụng bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức (5) điều kiện ) ta có p - = - (6) Vì [0, ) nên vế phải (6) tiến tới i i n Do từ (6) suy 21 Điều chứng tỏ cho và Tiếp theo, ta chứng minh Giả sử điểm bất động đôi liên tục Khi đó, từ Sử dụng định lý 1.4.2), suy bất động đôi Giả sử (3) suy đầy đủ nên tồn hai dãy Cauchy Vì n n có tính chất (i) (ii) Khi đó, từ suy điểm Vậy n Do đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác điều kiện 2) ta có (8) với Từ nên sử dụng định lý 1.2.4 định lý 1.2.5 suy vế phải (8) tiến tới Do đó, ta có tức Tƣơng tự ta chứng minh đƣợc Vậy điểm bất động đôi Cuối cùng, giả sử so sánh đƣợc với động bôi đôi nên đƣợc với nên Giả sử có điểm bất động đôi Ta chứng minh Vì điểm bất Do so sánh Do đó, sử dụng điều kiện 2) ta 22 Từ suy Do Vì Do nên tức Trƣờng hợp lý luận tƣơng tự ta chứng minh đƣợc Vậy điểm đôi □ 2.2.2 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau: 1) Tồn số không âm 1, cho (9) với 2) Tồn 3) liên tục mà cho có tính chất 23 i) Nếu dãy tăng ii) Nếu dãy giảm với với Khi đó, F có điểm bất động đơi Hơn thêm giả thiết điểm bất động đơi so sánh với điểm bất động đôi Chứng minh Giả sử và chúng so sánh đƣợc với Nếu ta có bất đẳng thức (9) Nếu sử dụng điều kiện (1) hệ ta có (9) Nhƣ bất đẳng thức (9) với mà tức điều kiện(1)của Định ý đƣợc thỏa mãn với Do khẳng định hệ đƣợc suy từ Định lý 2.2.1 □ Trong Định lý 2.2.1 hệ 2.2.2, thay s = ta lần lƣợt nhận đƣợc hai hệ sau 2.2.3 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau Tồn số cho (1) ( ) (2) với 2) Tồn mà cho 24 3) liên tục có tính chất i) Nếu dãy tăng ii) Nếu dãy giảm và với n = 1, 2,… với n = 1, 2,… Khi đó, ó điểm bất động đôi Hơn nữa, thêm giả thiết điểm bất động đôi so sánh với điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ ánh xạ có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau: 2.2.4 Hệ quả.([3]) Giả sử 1, 1) Tồn số không âm cho với mà 2) Tồn 3) cho liên tục có tính chất i) Nếu dãy tăng ii) Nếu dãy giảm với với Khi đó, có điểm bất động đơi Hơn thêm giả thiết điểm bất động đôi so sánh với điểm bất động đôi 2.2.5.Định lý Giả sử khơng gian b-mêtric đầy đủ với Khi đó, 1) có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn số không âm , với 1, mà cho và 25 min{ }; 3) Tồn cho (10) 4) liên tục 4’) Từ dãy tăng (tương ứng giảm) (tương ứng ), với kéo theo có điểm bất động đôi Hơn thêm giả thiết điểm bất động đôi so sánh với điểm bất động đơi Chứng minnh Đặt Từ (10) ta suy Khi đó, Đặt có tính đơn điệu trộn nên tƣơng tự ta có đƣợc hai dãy Tiếp tục lý luận tƣơng tự, quy nạp ta xây dựng cho (11) 26 (12) (13) Từ (12), (13) sử dụng điều kiện 2), với Do đó, với ta có ta có: (14) - Tƣơng tự ta chứng minh đƣợc - - (15) Từ (14) (15) suy - Đặt - Khi đó, từ [ ] suy [0, (16) ) Từ (16) suy (17) với Sử dụng bất đẳng thức tam giác nhiều lần (17) với ) ta có 27 ( ) )[ -( - = ) ] p [ ] n [ - với Vì ] (18) nên vế phải (18) tiến tới n Do đó, ta có Điều chứng tỏ x y cho , với p = 0, 1,2,… hai dãy Cauchy Vì với đầy đủ nên tồn Bây giờ, ta chứng minh tục Khi đó, từ điểm bất động đôi F Giả sử F liên suy i i i Do i điểm bất động đôi Giả sử điều kiện 4’) đƣợc thỏa mãn Khi đó, từ giảm hội tụ tới tƣơng ứng suy , Do đó, sử dụng bất đẳng thức tam giác điều kiện 2) ta có dãy lần lƣợt tăng, 28 ( + min{ ) ( Vì đó, từ (19) suy Do (19) ) nên vế phải (19) tiến tới Điều chứng tỏ Tƣơng tự ta chứng minh đƣợc đôi } Do điểm bất động Cuối cùng, giả sử điểm bất động đôi so sánh đƣợc với Ta chứng minh điểm bất động đôi Giả sử có hai điểm bất động đơi Khi ) so sánh đƣợc với nên ta giả thiết Khi đó, theo điều kiện 2) ta có Do Vì Do nên từ bất đẳng thức ta suy Vậy điểm bất động bô đôi F □ Trong Định lý 2.2.5, lấy s = ta nhận đƣợc hệ sau, mà kết [7] 29 2.2.6 Hệ ([7]) Giả sử mêtric Với ( tập thứ tự phận, không gian mêtric đầy đủ đặt cho ( ) ( ) ) ( ( ( ( { )) ) ) ( ( ( ) )) } Khi đó, có tính đơn điệu trộn; 1) 2) Tồn với cho (20) với mà 3) Tồn cho 4) F liên tục 4’) có tính chất i) Nếu dãy khơng giảm hội tụ tới ii) Nếu dãy khơng tăng X hội tụ tới Khi đó, có điểm bất động đôi Hơn thêm giả thiết điểm bất động đôi so sánh với điểm bất động đơi KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết sau - Trình bày lại định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian bmêtric 30 - Trình bày lại số kết tồn điểm bất động đơi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian mêtric có thứ tự phận - Đƣa số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn, Định lý 2.2.1, Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.3, Hệ 2.2.4, Định lý 2.2.5 Hệ 2.2.6 Các kết mở rộng số kết [3] [7] 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J.Kelley (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tƣờng dịch, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] T.G.Bhaskar and V.Laksmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Analysis, appl 332, no.2, pp 1468-1476 [3] T.G.Bhaskar and V.Laksmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Anal.65, 1397-1393 [4] S.Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostrav 1, 5-11 [5] H.Sh.Ding and Luli (2011), Couple Jixed point theorems in partially ordered cone metric spaces, Faculty of sciences and Mathematics, University of Nis, Serbia, 137-149 [6] E.Karapinar (2010), Couple Fixed point theorems for nonlinear contraction in cone metric spaces, Computers and Mathematics with applications, đoi: 10.1016/camwa.2010.03.062 [7] B.Samet and H.Yazidi, Coupie fixedpoint thoerems in partially ordered -drainable metric spaces, Preprint ... 2.SỰ TỒN ĐIỂM B? ??T ĐỘNG B? ?? ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN bMÊTRIC CĨ THỨ TỰ B? ?? PHẬN 14 2.1 Không gian b- mêtric? ??………………………………………………… 14 2.2 Một số kết tồn điểm b? ??t động đơi khơng gian b- mêtric có thứ tự phận. .. CHƢƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM B? ??T ĐỘNG B? ?? ĐÔI TRONG KHƠNG GIAN b- MÊTRIC CĨ THỨ TỰ B? ?? PHẬN Trong chƣơng này, chúng tơi trình b? ?y số kết tồn điểm b? ??t động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian b- mêtric. .. …………………………………………………………………………… SỰ TỒN TẠI ĐIỂM B? ??T ĐỘNG B? ?? ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN MÊTRIC CĨ THỨ TỰ B? ?? PHẬN 1.1 Một số kiến thức chuẩn b? ?? ………………………………………… .4 1.2 Một số kết tồn điểm b? ??t động đội khơng gian mêtric có thứ tự phận