Sự tồn tại điểm bất dộng bộ đôi trong không gian d mêtric nón có thứ tự bộ phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ······ ĐỖ HỮU NHÂN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN D∗ −MÊTRIC NĨN CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ HỮU NHÂN SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN D∗ −MÊTRIC NĨN CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN Chun ngành : GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2016 Mục lục LỜI NĨI ĐẦU 1 KHƠNG GIAN D∗ - MÊTRIC NÓN 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nón không gian Banach 1.3 Không gian D∗ - mêtric nón 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐÔI TRONG KHÔNG GIAN D∗ -MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 13 2.1 Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận 13 2.2 Một số định lí tồn điểm bất động đôi không gian D∗ − mêtric nón có thứ tự phận 15 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề nghiên cứu quan trọng giải tích Nó có nhiều ứng dụng tốn học ngành kỹ thuật Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ nhiều lớp không gian khác Năm 2006, Bhashkar Lakshmikantham đưa khái niệm điểm bất động đôi chứng minh số định lý tồn điểm bất động đôi không gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Vào năm 2007, Shaban Sedghi cộng đưa khái niệm không gian D∗ - mêtric Năm 2011, Aege Salunke ([4]) tổng qt hóa khơng gian D∗ - mêtric cách đưa khái niệm không gian D∗ - mêtric nón đạt số kết tính chất tơpơ tồn điểm bất động khơng gian D∗ - mêtric nón Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động khơng gian D∗ - mêtric nón số tác giả quan tâm nghiên cứu Vấn đề tồn điểm bất động đôi nghiên cứu khơng gian mêtric, mêtric nón thu nhiều kết Có vấn đề đặt cách tự nhiên kết tồn điểm bất động đôi khơng gian mêtric nón mở rộng cho khơng gian D∗ - mêtric nón hay khơng? Luận văn tiếp cận vấn đề nhằm tìm hiểu khơng gian D∗ - mêtric nón nghiên cứu tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D∗ - mêtric nón có thứ tự phận Với mục đích đó, luận văn chúng tơi có nhan đề " Sự tồn điểm bất động đơi khơng gian D∗ - mêtric nón có thứ tự phận" Luận văn trình bày thành chương Chương Khơng gian D∗ - mêtric nón Trong chương này, đầu tiên, nhắc lại số khái niệm không gian mêtric, khơng gian tơpơ có liên quan tới nội dung luận văn Sau đó, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian D∗ - mêtric nón số tính chất khơng gian D∗ - mêtric nón Chương Sự tồn điểm bất động đôi không gian D∗ - mêtric nón có thứ tự phận Chương trình bày số kết tồn điểm bất động đôi không gian D∗ - mêtric nón có thứ tự phận Trong mục thứ chương này, chúng tơi trình bày lại số kết tài liệu [5] tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận Trong mục thứ hai, đưa số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D∗ - mêtric nón Các kết mở rộng kết tài liệu tham khảo [5] Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Đinh Huy Hồng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn q thầy thuộc chun ngành Giải tích, Khoa Sư phạm Tốn trường Đại học Vinh phịng Quản lí Khoa học Sau Đại học, Trường Đại học Sài Gịn giúp đỡ chúng tơi có điều kiện thuận lợi Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè học viên lớp cao học khố 22 - Giải tích Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu của thầy bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả Chương KHƠNG GIAN D∗- MÊTRIC NĨN Chương trình bày khái niệm số tính chất khơng gian D∗ - mêtric nón 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, sử luận văn Kết mục lấy từ tài liệu [1], [2], [3] 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thoả điều kiện i) ∅ X ∈ τ ; ii) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I i∈I Gi ∈ τ ; iii) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập hợp X với τ gọi khơng gian tơpơ ký hiệu (X, τ ) hay đơn giản X Phần tử X gọi điểm không gian tôpô Phần tử thuộc τ gọi tập mở Giả sử A ⊂ X Tập hợp A gọi đóng X \ A mở 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X , tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A Cho không gian tôpô X , x ∈ X, U(x) họ tất lân cận x.Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Dãy {xn } không gian tôpô gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi đó, ta viết xn → x lim xn = x x→∞ 1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi thoả mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận B(x) có lực lượng đếm Không gian tôpô X gọi T2 - không gian hay không gian Hausdorff hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = φ Nếu X khơng gian Hausdorff dãy X mà hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.6 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X điều kiện sau thoả mãn i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y ; ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X X với mêtric gọi không gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.7 Định nghĩa Cho X không gian mêtric Một dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với > 0, tồn n0 ∈ N cho với n m ≥ n0 d(xn , xm ) < Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Tập A ⊆ X gọi đầy đủ đầy đủ với mêtric cảm sinh Một tập đầy đủ không gian mêtric tập đóng, tập đóng không gian mêtric đầy đủ tập đầy đủ 1.1.8 Định nghĩa Giả sử E không gian vector trường K = R K = C Hàm p : E −→ R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E p(x) = x = 0; ii) p(xλ) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K; iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E Số p(x) gọi chuẩn vector X ∈ E Ta thường ký hiệu chuẩn x x Không gian vector E với chuẩn xác định gọi khơng gian định chuẩn 1.1.9 Mệnh đề Nếu E không gian định chuẩn cơng thức d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E mêtric E Ta gọi mêtric mêtric sinh chuẩn hay mêtric chuẩn Một không gian định chuẩn không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi không gian Banach 1.1.10 Định lý Nếu E khơng gian định chuẩn ánh xạ chuẩn: x −→ x ,∀x ∈ E , phép cộng (x, y) −→ x+y, ∀(x, y) ∈ E×E phép nhân với vô hướng: (λ, x) −→ λx, với (λ, x) ∈ K × E ánh xạ liên tục 1.1.11 Định lý Giả sử E không gian định chuẩn Khi đó, với a ∈ E λ ∈ K, λ = ánh xạ x −→ x + a, x −→ λx, ∀x ∈ E phép đồng phôi E lên E 1.1.12 Định nghĩa Cho tập hợp X ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi quan hệ thứ tự phận X thoả mãn điều kiện sau i) x ≤ x với x ∈ X ; ii) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = y với x, y ∈ X ; iii) Từ x ≤ y; y ≤ z suy x ≤ z với x, y, z ∈ X Tập hợp X thứ tự phận gọi tập thứ tự phận kí hiệu (X, ≤) X 1.2 Nón khơng gian Banach Mục trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón không gian Banach 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho E không gian Banach trường số thực R Một tập P E gọi nón E nếu: i) P đóng, P = ∅ P = {0}; ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ x, y ∈ P ax + by ∈ P ; iii) Nếu x ∈ P −x ∈ P x = 1.2.2 Ví dụ 1) Trong không gian số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} nón 2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 Khi đó, P nón E 3) Giả sử C[a,b] tập hợp tất hàm nhận giá trị thực liên tục [a, b] Ta biết C[a,b] không gian Banach với chuẩn f = sup f (x) , ∀f ∈ C[a,b] x∈[a,b] Trên C[a,b] có quan hệ thứ tự phận thông thường ≤ xác định với f, g ∈ C[a,b] , f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] Đặt P = {f ∈ C[a,b] : ≤ f } Khi đó, P thoả mãn điều kiện i) P tập đóng, P = ∅ P = {0} ; ii) Với a, b ∈ R , a, b ≥ f, g ∈ P ta có ≤ af (x) + bg(x), ∀x ∈ [a, b] Do af + bg ∈ P ; iii) Với f ∈ P −f ∈ P f = Vậy P nón E Cho P nón khơng gian Banach E Trên E , ta định nghĩa quan hệ thứ tự ≤ xác định P sau: x ≤ y y − x ∈ P Ta viết x < y x ≤ y x = y viết x y y − x ∈ intP (intP kí hiệu phần P ) 1.2.3 Định nghĩa ([6]) Cho P nón khơng gian Banach E Nón P gọi nón chuẩn tắc tồn số thực K > cho với x, y ∈ E ≤ x ≤ y ta có x ≤ K y Số thực dương K nhỏ thoả mãn điều kiện gọi số chuẩn tắc P 1.2.4 Bổ đề ([6]) Giả sử P nón khơng gian Banach E, a, b, c ∈ E α số thực dương Khi đó, i) Nếu a b b c a c; ii) Nếu a ≤ b b c a c; iii) Nếu a b, c d a + c b + d; iv) αintP ⊂ intP ; v) Với δ > x ∈ intP tồn < γ < cho γx < δ; vi) Với c1 ∈ intP c2 ∈ intP tồn d ∈ intP cho c1 d c2 vii) Với c1 , c2 ∈ intP tồn e ∈ intP cho e c2 ; c1 e d; viii) Nếu a ∈ P a ≤ x với x ∈ intP a = 0; ix) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, < λ < a = 0; x) Nếu ≤ xn ≤ yn với n ∈ N lim xn = x, lim yn = y ≤ x ≤ y x→∞ x→∞ Chứng minh i) Vì phép cộng liên tục nên intP +intP ⊂ intP Nếu a b b c a−b ∈ intP c−b ∈ intP Suy c−a = c−b+b−a ∈ intP +intP ⊂ intP Vậy a c iv) Vì phép nhân vơ hướng liên tục nên αintP ⊂ intP ii) Để ý intP + P = (x + intP ) tập mở P nón nên suy x∈P x + intP ⊂ P Do P + intP ⊂ intP Nếu a ≤ b b c b − a ∈ P c − b ∈ intP Suy c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP Vậy a c (ii) ta có D∗ (a, a, x) = D∗ (F (a, b), F (a, b), F (x, y)) ≤ α1 D∗ (a, a, x) + α2 D∗ (b, b, y) + α3 D∗ (a, a, a) + α4 D∗ (x, x, x) + α5 D∗ (a, a, x) + α6 D∗ (x, x, a) + α7 D∗ (b, b, b) + α8 D∗ (y, y, y) + α9 D∗ (a, x, a) + α10 D∗ (b, y, b) + α11 D∗ (x, a, x) + α12 D∗ (a, x, x) = (α1 + α5 + α6 + α9 + α11 + α12 )D∗ (a, a, x) + (α2 + α10 )D∗ (b, b, y) (2.9) Tương tự ta có D∗ (b, b, y) ≤ (α1 + α5 + α6 + α9 + α11 + α12 )D∗ (b, b, y) + (α2 + α10 )D∗ (a, a, x) (2.10) Từ (2.9) (2.10) D∗ (a, a, x) + D∗ (b, b, y) ≤ (α1 + α2 + α5 + α6 + α9 + α10 + α11 + α12 )[D∗ (a, a, x) + D∗ (b, b, y)] (2.11) Mặt khác từ (2.1) (2.2) suy α1 + α2 + α5 + α6 + α9 + α10 + α11 + α12 < Kết hợp với (2.11) suy D∗ (a, a, x)+D∗ (b, b, y) = Do D∗ (a, a, x) = D∗ (b, b, y) = 0, tức a = x, b = y Vậy điểm bất động đôi F Sau vài hệ Định lý 2.2.1 2.2.2 Hệ Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ - mêtric nón đầy đủ, F : X → X ánh xạ thoả mãn điều kiện sau i) F có tính đơn điệu trộn; ii) Tồn số không âm β1 , β2 , β3 , β4 cho β1 + β2 + 2(β3 + β4 ) < 19 (2.12) D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ β1 D∗ (x, x, u) + β2 D∗ (y, y, v) + β3 [D∗ (x, x, F (x, y)) + D∗ (u, u, F (u, v))] + β4 [D∗ (u, u, F (x, y)) + D∗ (x, x, F (u, v))] (2.13) với (x, y), (u, v) ∈ X mà (u, v) ≤ (x, y); iii) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; iv) F liên tục X có tính chất; iv’) Từ {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, Khi đó, F có điểm bất động đôi X Nếu thêm giả thiết điểm bất động đôi F so sánh với α6 ≤ α3 + α4 + α5 + α7 + α11 điểm bất động đôi F Chứng minh Giả sử (x, y) (u, v) ∈ X Khi đó, (u, v) ≤ (x, y) ta có (2.13) Bây giờ, giả sử (x, y) ≤ (u, v) Khi đó, theo (2.13) ta có D∗ (F (u, v), F (u, v), F (x, y)) ≤ β1 D∗ (u, u, x) + β2 D∗ (v, v, y) + β3 [D∗ (u, u, F (u, v)) + D∗ (x, x, F (x, y))] + β4 [D∗ (x, x, F (u, v)) + D∗ (u, u, F (x, y))] = β1 D∗ (x, x, u) + β2 D∗ (y, y, v) + β3 [D∗ (x, x, F (x, y)) + D∗ (u, u, F (u, v))] + β4 [D∗ (u, u, F (x, y)) + D∗ (x, x, F (u, v))] Mặt khác, ta có D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) = D∗ (F (u, v), F (u, v), F (x, y)) 20 (2.14) Do đó, từ (2.14) ta thấy điều kiện (ii) thay mặt cho trường hợp (x, y) ≤ (u, v) Đặt α1 = β1 , α2 = β2 , α3 = α4 = β3 , α5 = α6 = β4 α7 = α8 = = α12 = Khi đó, (2.13) trở thành D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ α1 D∗ (x, x, u) + α2 D∗ (y, y, v) + α3 D∗ (x, x, F (x, y)) + α4 D∗ (u, u, F (u, v)) + α5 D∗ (x, x, F (u, v)) + α6 D∗ (u, u, F (x, y)) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y), α1 + α2 + α4 + 2α5 + α7 + α9 + α10 + 2α11 + α12 = β1 + β2 + β3 + 2β4 < α6 = β4 ≤ α3 + α4 + α5 = 2β3 + β4 Như tất điều kiện Định lí 2.2.1 thoả mãn Do đó, theo Định lí 2.2.1 ta có khẳng định cần phải chứng minh 2.2.3 Hệ ([5]) Cho (X, d) khơng gian mêtric nón đầy đủ F : X → X ánh xạ thoả mãn điều kiện sau i) F có tính đơn điệu trộn; ii) Tồn α, β, γ ≥ cho 2α + 3β + 3γ < (2.15) d(F (x, y), F (u, v)) ≤ α [d(x, u) + d(y, v)] β [d(x, F (x, y)) + d(u, F (u, v)) + d(y, v)] γ + [d(x, F (u, v)) + d(u, F (x, y)) + d(y, v)] + 21 (2.16) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (u, v) ≤ (x, y); iii) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), y0 ≤ F (y0 , x0 ); iv) F liên tục X có tính chất iv’) Nếu {xn } dãy giảm (tương ứng, tăng) X xn → x x ≤ xn (tương ứng xn ≤ x) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đơi X Chứng minh Ta xác định hàm D∗ : X → P công thức D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, theo Bổ đề 1.3.15 D∗ mêtric nón X (X, D∗ ) khơng gian D∗ - mêtric nón đầy đủ Theo điều kiện (2.16) ta có D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) = 2d(F (x, y), F (u, v)) ≤ α[d(x, u) + d(y, v)] + β[d(x, F (x, y)) + d(u, F (u, v)) + d(y, v)] + γ[d(x, F (u, y)) + d(u, F (x, y)) + d(y, v)] α = [D∗ (x, x, u) + D∗ (y, y, v)] β ∗ + [D (x, x, F (x, y)) + D∗ (u, u, F (u, v)) + D∗ (y, y, v)] γ ∗ + [D (x, x, F (u, v)) + D∗ (u, u, F (x, y)) + D∗ (y, y, v)] α = [D∗ (x, x, u) + (α + β + γ)D∗ (y, y, v)] 2 β ∗ + [D (x, x, F (x, y)) + D∗ (u, u, F (u, v))] γ ∗ + [D (x, x, F (u, v)) + D∗ (u, u, F (x, y))] với (x, y) (u, v) ∈ X mà (u, v) ≤ (x, y) Đặt β1 = α β γ ; β2 = (α + β + γ); β3 = ; β4 = 2 2 Khi đó, từ (2.15) suy β1 + β2 + 2(β3 + β4 ) = =α+ α α+β+γ + +β+γ 2 3β 3γ + < 2 22 (2.17) Mặt khác, từ (2.17) ta có D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ β1 D∗ (x, x, u) + β2 D∗ (y, y, v) + β3 [D∗ (x, x, F (x, y)) + D∗ (u, u, F (u, v))] + β4 [D∗ (x, x, F (u, v)) + D∗ (u, u, F (x, y))] với (x, y) (u, v) ∈ X mà (u, v) ≤ (x, y) Đây (2.13) Như điều kiện Hệ 2.2.2 thoả mãn Do sử dụng Hệ 2.2.2 ta có điều phải chứng minh 2.2.4 Bổ đề Giả sử φ : P → P hàm không giảm cho t ∈ P , chuỗi ∞ φn (t) hội tụ φ(t) so sánh với t Khi đó, φ(t) < t với t ∈ P, < t n=1 φ(0) = Chứng minh Giả sử tồn t ∈ P < t cho t ≤ φ(t) Khi đó, φ hàm khơng giảm nên t ≤ φ(t) ≤ φ2 (t) Bằng qui nạp ta chứng minh < t ≤ φn (t), ∀n = 1, 2, ∞ Mặt khác, từ chuỗi φn (t) hội tụ suy lim φn (t) = Do đó, ta có điều n→∞ n=1 mâu thuẫn Như φ(t) < t với t ∈ P mà < t Bây giờ, giả sử φ(0) = t0 = Khi đó, < t0 < t0 Do đó, từ tính khơng giảm φ điều vừa chứng minh ta có t0 t0 < t0 = φ(0) ≤ φ( ) < 2 Đây điều vơ lí Do φ(0) = 2.2.5 Định lý Giả sử φ : P → P hàm thoả mãn điều kiện Bổ đề 2.2.4, (X, D∗ ) không gian D∗ - mêtric nón đầy đủ F : X → X ánh xạ thoả mãn điều kiện sau i) F có tính đơn điệu trộn; ii) D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v), D∗ (x, x, F (x, y)), D∗ (y, y, F (y, x)), D∗ (x, u, F (x, y)), D∗ (y, v, F (y, x))}) 23 với (x, y), (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (x, y) ≥ (u, v); iii) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; iv) F liên tục X có tính chất iv’) Từ {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đôi X Hơn điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đơi F Chứng minh Đặt x1 = F (x0 , y0 ); y1 = F (y0 , x0 ) Từ điều kiện (iii) suy x0 ≤ x1 ; y1 ≤ y0 Đặt x2 = F (x1 , y1 ); y2 = F (y1 , x1 ) Từ tính đơn điệu trộn F ta có x2 = F (x1 , y1 ) ≥ F (x0 , y1 ) ≥ F (x0 , y0 ) = x1 Tương tự ta có y2 ≤ y1 Tiếp tục lý luận tương tự, qui nạp ta xây dựng hai dãy {xn } {yn } X cho xn = F (xn−1 , yn−1 ); yn = F (yn−1 , xn−1 ), ∀n = 1, 2, x0 ≤ x1 ≤ , y0 ≥ y1 ≥ Sử dụng điều kiện (ii) ta có D∗ (xn , xn , xn+1 ) = D∗ (F (xn−1 , yn−1 ), F (xn−1 , yn−1 ), F (xn , yn )) ≤ φ(sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ), D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ), D∗ (xn−1 , xn , xn ), D∗ (yn−1 , yn , yn )}) = φ(sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (yn−1 , yn−1 , yn )}) (2.18) với n = 1, 2, Tương tự ta có D∗ (yn , yn , yn+1 ) ≤ φ(sup{D∗ (yn−1 , yn−1 , yn ), D∗ (xn−1 , xn−1 , xn )}), ∀n = 1, 2, (2.19) 24 Từ (2.18),(2.19) suy với n = 1, 2, ta có sup{D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (yn , yn , yn+1 )} ≤ φ(sup{D∗ (xn−1 , xn−1 , xn ), D∗ (yn−1 , yn−1 , yn )}) (2.20) Đặt tn = sup{D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (yn , yn , yn+1 )}, ∀n = 1, 2, Khi (2.20) trở thành tn ≤ φ(tn−1 ), ∀n = 1, 2, Kết hợp với tình khơng giảm φ ta có tn+1 ≤ φ(tn ) ≤ φ2 (tn−1 ) ≤ ≤ φn+1 (t0 ), ∀n = 1, 2, (2.21) Sử dụng bất đẳng thức tứ giác (iv) ta có D∗ (xn , xn , xn+p ) ≤ D∗ (xn , xn , xn+1 ) + D∗ (xn+1 , xn+1 , xn+2 ) + D∗ (xn+p−1 , xn+p−1 , xn+p ) ≤ tn + tn+1 + + tn+p−1 n+p−1 ≤ ∞ φj (t0 ), ∀n = 1, 2, ; ∀p = 0, 1, 2, φ (t0 ) ≤ j=n Vì chuỗi ∞ j (2.22) j=n φj (t0 ) hội tụ nên vế phải (2.22) tiến tới n → ∞ Do đó, j=1 với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho với n ≥ nc p = 0, 1, ta có D∗ (xn , xn , xn+p ) c Từ suy {xn } dãy Cauchy Tương tự ta chứng minh {yn } dãy Cauchy Vì (X, D∗ ) đầy đủ nên tồn a, b ∈ X cho xn → a yn → b Giả sử F liên tục Khi đó, ta có xn = F (xn−1 , yn−1 ) → F (a, b), yn = F (yn−1 , xn−1 ) → F (b, a) 25 Kết hợp với xn → a yn → b suy a = F (a, b) b = F (b, a) Do (a, b) điểm bất động đôi F X Giả sử X có tính chất (iv’) Khi đó, từ xn → a, yn → b x0 ≤ x1 ≤ , y0 ≥ y1 ≥ suy xn ≤ a yn ≥ b với n = 1, 2, Do đó, sử dụng bất đẳng thức tứ giác điều kiện (ii) ta có D∗ (a, a, F (a, b)) ≤ D∗ (a, a, xn+1 ) + D∗ (F (xn , yn ), F (xn , yn ), F (a, b)) ≤ D∗ (a, a, xn+1 ) + φ(sup{D∗ (xn , xn , a), D∗ (yn , yn , b), D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (yn , yn , yn+1 ), D∗ (xn , a, xn+1 ), D∗ (yn , b, yn+1 )}) ≤ D∗ (a, a, xn+1 ) + sup{D∗ (xn , xn , a), D∗ (yn , yn , b), D∗ (xn , xn , xn+1 ), D∗ (yn , yn , yn+1 ), D∗ (xn , xn+1 , a), D∗ (yn , b, yn+1 )} (2.23) với n = 1, 2, Từ xn → a, yn → b suy với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho với n ≥ nc ta có c ∗ , D (xn , xn , xn+1 ) c ∗ D∗ (xn , xn+1 , a) , D (yn , yn , b) c ∗ D∗ (yn , yn , yn+1 ) , D (yn , b, yn+1 ) D∗ (a, a, xn ) c , c , c Kết hợp với (2.23) suy D∗ (a, a, F (a, b)) c, ∀c ∈ intP Do đó, theo Bổ đề 1.2.4 D∗ (a, a, F (a, b)) = 0, tức a = F (a, b) Tương tự ta chứng minh b = F (b, a) Do (a, b) điểm bất động đơi F X Bây giờ, giả sử (c, d) ∈ X điểm bất động đôi F (c, d) so sánh với (a, b) Ta chứng minh (c, d) = (a, b) Vì (c, d) so sánh với (a, b) nên sử dụng điều kiện (ii) ta có D∗ (a, a, c) = D∗ (F (a, b), F (a, b), F (c, d)) ≤ φ(sup{D∗ (a, a, c), D∗ (b, b, d), D∗ (a, a, a) D∗ (b, b, b), D∗ (a, c, a), D∗ (b, d, b)}) = φ(sup{D∗ (a, a, c), D∗ (b, b, d)}) 26 (2.24) Tương tự ta có D∗ (b, d, b) ≤ sup{D∗ (b, b, d), D∗ (a, a, c)} (2.25) Từ (2.24),(2.25) suy sup{D∗ (a, a, c), D∗ (b, b, d)} ≤ φ(sup{D∗ (a, a, c), D∗ (b, b, d)}) Kết hợp với φ(t) < t với t ∈ P, t < suy D∗ (a, a, c) = D∗ (b, b, d) = Do a = c, b = d, tức (a, b) = (c, d) Vậy điểm bất động đôi F Sau số hệ Định lí 2.2.5 2.2.6 Hệ Giả sử φ : P → P hàm thoả mãn điều kiện Bổ đề 2.2.4, (X, D∗ ) không gian D∗ − mêtric nón đầy đủ F : X → X ánh xạ thoả mãn điều kiện sau i) F có tính đơn điệu trộn; ii) Tồn số không âm α1 , α2 , , α6 cho α1 + α2 + + α6 ≤ D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(α1 D∗ (x, x, u) + α2 D∗ (y, y, v) + α3 D∗ (x, x, F (x, y)) + α4 D∗ (y, y, F (y, x)) + α5 D∗ (x, u, F (x, y)) + α6 D∗ (y, v, F (y, x))) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y); iii) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; iv) F liên tục X có tính chất iv’) Từ {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đơi X Hơn điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đôi F 27 Chứng minh Vì ≤ α1 + α2 + + α6 ≤ nên α1 D∗ (x, x, u) + α2 D∗ (y, y, v) + α3 D∗ (x, x, F (x, y)) + α4 D∗ (y, y, F (y, x)) + α5 D∗ (x, u, F (x, y)) + α6 D∗ (y, v, F (y, x)) ≤ (α1 + α2 + + α6 )sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v), D∗ (x, x, F (x, y)), D∗ (y, y, F (y, x)), D∗ (x, u, F (x, y)), D∗ (y, v, F (y, x))} ≤ sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v), D∗ (x, x, F (x, y)), D∗ (y, y, F (y, x)), D∗ (x, u, F (x, y)), D∗ (y, v, F (y, x))} với (x, y) (u, v) ∈ X Từ bất đẳng thức kết hợp với tính chất khơng giảm φ suy điều kiện (ii) hệ thoả mãn điều kiện (ii) Định lí 2.2.5 thoả mãn Do sử dụng Định lí 2.2.5 ta có khẳng định cần chứng minh 2.2.7 Hệ Giả sử φ : P → P hàm thoả mãn điều kiện Bổ đề 2.2.4, (X, D∗ ) khơng gian D∗ − mêtric nón đầy đủ F : X → X ánh xạ thoả mãn điều kiện sau i) F có tính đơn điệu trộn; ii) Tồn α ∈ (0, 1) cho D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ αsup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v), D∗ (x, x, F (x, y)), D∗ (y, y, F (y, x)), D∗ (x, u, F (x, y)), D∗ (y, v, F (y, x))} với (x, y) (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y); iii) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; iv) F liên tục X có tính chất iv’) Từ {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đơi X Hơn điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đôi F 28 Chứng minh Ta xác định hàm φ : P → P cơng thức φ(t) = αt, ∀t ∈ P Khi đó, φ hàm không giảm, φ(t) ≤ t với t ∈ P Mặt khác, ta có φn (t) = ∞ αn t với n = 1, 2, Do đó, chuỗi ∞ E khơng gian Banach nên φn (t) hội tụ tuyệt đối(vì α ∈ (0, 1)) Vì n=1 φn (t) hội tụ với t ∈ P Như hàm φ thoả n=1 mãn điều kiện Bổ đề 2.2.4 Sử dụng điều kiện (ii) Hệ 2.2.7 ta có D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ αsup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v), D∗ (x, x, F (x, y)), D∗ (y, y, F (y, x)), D∗ (x, u, F (x, y)), D∗ (y, v, F (y, x))} = φ(sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v), D∗ (x, x, F (x, y)), D∗ (y, y, F (y, x)), D∗ (x, u, F (x, y)), D∗ (y, v, F (y, x))}) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y) Như điều kiện (2) Định lí 2.2.5 thoả mãn Do sử dụng Định lí 2.2.5 ta có khẳng định cần chứng minh 2.2.8 Hệ Giả sử φ : P → P hàm thoả mãn điều kiện Bổ đề 2.2.4, (X, D∗ ) không gian D∗ − mêtric nón đầy đủ F : X → X ánh xạ thoả mãn điều kiện sau i) F có tính đơn điệu trộn; ii) Tồn số không âm α1 , α2 , , α6 cho α1 + α2 + + α6 ≤ D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ α1 D∗ (x, x, u) + α2 D∗ (y, y, v) + α3 D∗ (x, x, F (x, y)) + α4 D∗ (y, y, F (y, x)) + α5 D∗ (x, u, F (x, y)) + α6 D∗ (y, v, F (y, x)) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y); iii) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; iv) F liên tục X có tính chất iv’) Từ {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, 2, 29 Khi đó, F có điểm bất động đơi X Hơn điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đơi F Hệ chứng minh tương tự chứng minh Hệ 2.2.6 sử dụng Hệ 2.2.7 2.2.9 Hệ Giả sử φ : P → P hàm thoả mãn điều kiện Bổ đề 2.2.4, (X, D∗ ) không gian D∗ − metric nón đầy đủ F : X → X ánh xạ thoả mãn điều kiện sau i) F có tính đơn điệu trộn; ii) D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v)}) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v); iii) Tồn (x0 , y0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 ), F (y0 , x0 ) ≤ y0 ; iv) F liên tục X có tính chất iv’) Từ {xn } dãy tăng (tương ứng, giảm) X xn → x kéo theo xn ≤ x (tương ứng, x ≤ xn ) với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động đôi X Hơn điểm bất động đôi F so sánh với điểm bất động đơi F Chứng minh Giả sử (u, v) ≤ (x, y) Khi đó, sử dụng tính chất D∗ điều kiện (ii) ta có D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) = D∗ (F (u, v), F (u, v), F (x, y)) ≤ φ(sup{D∗ (u, u, x), D∗ (v, v, y)}) = φ(sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v)}) Như vậy, ta có D∗ (F (x, y), F (x, y), F (u, v)) ≤ φ(sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v)}) với (x, y) (u, v) ∈ X mà (x, y) ≤ (u, v) (u, v) ≤ (x, y) Mặt khác, φ hàm khơng giảm nên φ(sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v)}) ≤ φ(sup{D∗ (x, x, u), D∗ (y, y, v), D∗ (x, x, F (x, y)), D∗ (y, y, F (y, x)), D∗ (x, u, F (x, y)), D∗ (y, v, F (y, x))}) 30 với (x, y) (u, v) ∈ X Do điều kiện (ii) Định lí 2.2.5 thoả mãn Như điều kiện Định lí 2.2.5 thoả mãn Vì khẳng định hệ suy từ Định lí 2.2.5 31 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau đây: - Trình bày lại số khái niệm tính chất khơng gian D∗ - mêtric nón vài kết tồn điểm bất động đôi khơng gian D∗ - mêtric nón có tài liệu tham khảo - Đưa số kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ đơn điệu trộn không gian D∗ - mêtric nón có thứ tự phận, Định lí 2.2.1, Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.3, Định lí 2.2.5, Hệ 2.2.6, Hệ 2.2.7, Hệ 2.2.8, Hệ 2.2.9 Các kết mở rộng kết tài liệu tham khảo [5] 32 Tài liệu tham khảo [1] Phùng Thị Hương (2015), Về tồn điểm bất động đôi không gian D∗ − mêtric có thứ tự phận, Luận văn thạc sĩ tốn học, Trường Đại học Vinh [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [3] J.Kelley (1973),Tơpơ đại cương , Hà Huy Khối, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường (dịch),Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] C T Aage, J N Salunke (2010), Some fixed point theorems in generalized D∗ − metric spaces, Appied Sciences, 12, pp 1-13 [5] H Sh Ding and Luli (2011), Couple fixed point theorems in partially ordered cone metric spaces, Faculty of sciences and Mathematics, University of Nis, Serbia, 137-149 [6] HuangLong -Guang and Zhang Xian (2007),Cone metric space and fixed point theorem of contractive mappings, J.Math Anal Appl 332, no 2,14681476 33 ... bất động đôi khơng gian mêtric nón khơng gian D? ?? - mêtric nón có thứ tự phận 2.1 Sự tồn điểm bất động đôi không gian mêtric nón có thứ tự phận Trong mục này, chúng tơi trình bày vài kết tồn điểm. .. định lí tồn điểm bất động đôi không gian D? ?? − mêtric nón có thứ tự phận Trong mục này, đưa vài kết tồn điểm bất động đôi ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian D? ?? − mêtric nón có thứ tự phận... gian D? ?? - mêtric nón 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ ĐƠI TRONG KHƠNG GIAN D? ?? -MÊTRIC NĨN CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN 13 2.1 Sự tồn điểm bất động đơi khơng gian mêtric