Về sự tồn tại điểm giả bất động bộ đôi trong không gian giả meetric nón có thứ tự bộ phận

[...]... y) = 0 tực l x = y 17 c, d(x, xn ) CHìèNG 2 Sĩ TầN TI IM GI BT ậNG Bậ ặI TRONG KHặNG GIAN GI MTRIC NN C TH Tĩ Bậ PHN Trong chữỡng ny, chúng tổi s ữa ra khĂi niằm im giÊ bĐt ởng bở ổi trong khổng gian giÊ mảtric nõn v xem xt mởt số kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi cừa im bĐt ởng bở ổi trong khổng gian mảtric nõn cỏn úng cho khổng gian giÊ mảtric nõn nỳa khổng? 2.1 Khổng gian giÊ mảtric nõn Trong mửc... im giÊ bĐt ởng bở ổi trong khổng gian giÊ mảtric nõn cõ thự tỹ bở phên CĂc kát quÊ ny l m rởng cừa mởt số kát quÊ trong khổng gian mảtric nõn Hỡn nỳa, ngay cÊ trong trữớng hủp khổng gian mảtric nõn cĂc kát quÊ cừa chúng tổi văn tờng quĂt hỡn mởt số kát quÊ trong [6] Trong mửc ny, ta luổn giÊ thiát (X, d) l khổng gian giÊ mảtric nõn vợi d nhên giĂ tr trong nõn P cừa khổng gian Banach thỹc E, intP... khổng l T1 khổng gian Chú ỵ Náu X l khổng gian giÊ mảtric nõn m d(x, y) > 0 vợi mồi x = y thẳ X l khổng gian mảtric nõn, do õ X l T2 khổng gian Tứ nay vã sau, khi nõi tợi khổng gian giÊ mảtric nõn X ta hiu tổpổ trản X l tổpổ nõi Mằnh ã 2.1.4 2.1.5 Hằ quÊ Mồi hẳnh cƯu m trong X l têp m trong X 21 Chựng minh Tứ Mằnh ã 2.1.4 b) suy ra B(a, c) l têp m 2.1.6 nh lỵ GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian giÊ mảtric... = 0 ko theo x = y thẳ d l mảtric nõn trản X Nhữ vêy, khổng gian mảtric nõn l trữớng hủp c biằt cừa khổng gian giÊ mảtric nõn b) Trong R ta xt nõn P nhữ trong Vẵ dử 1) thẳ ta thĐy rơng mồi khổng gian mảtric l giÊ mảtric nõn 2) Ta  biát P = f C[a,b] : f 0 l nõn trong khổng gian Banach C[a,b] cĂc hm liản tửc trản [a, b], nhên giĂ tr thỹc trong R Hỡn nỳa, quan hằ trản C[a,b] ữủc xĂc nh bi P trũng... minh 31 2.2.4 Chú ỵ Trong Hằ quÊ 2.2.3, náu ta lĐy (X, d) l khổng gian mảtric nõn thẳ ta nhên ữủc nh lỵ 1.3.3 v nh lỵ 1.3.4, tực l cừa nh lỵ 2.2, 2.3 v 2.5 cừa ti liằu [6] Nhữ vêy, nh lỵ 2.2.2 khổng ch l m rởng cừa nh lỵ 2.2, 2.3, 2.5 trong [6] cho khổng gian giÊ mảtric nõn m nõ cỏn l m rởng cừa cĂc nh lỵ ny trong cÊ trữớng hủp khổng gian mảtric 2.2.5 nh lỵ Cho (X, d) l khổng gian giÊ mảtric nõn... f, g X , tực l d(f, g)(x) = |f (x) g (x)| , f, g X, x [a, b] Khi õ, d thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa nh nghắa 2.1.1, tực hm d l giÊ mảtric nõn trản X Ta thĐy rơng d khổng l mảtric nõn Thêt vêy, náu ta xt cĂc hm f, g X vợi f (x) = x, g(x) = x + 1, x [a, b] thẳ f = g những d(f, g) = 0 Tứ nay vã sau, ta giÊ thiát (X, d) l khổng gian giÊ mảtric nõn vợi d nhên giĂ tr trong nõn P cừa khổng gian Banach... bĐt ởng bở ổi cừa cĂc Ănh xÔ cõ tẵnh ỡn iằu hộn hủp trong khổng gian mảtric nõn cõ thự tỹ bở phên  cõ trong ti liằu tham khÊo 1.3.1 nh nghắa.([2]) GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian mảtric nõn, Ănh xÔ F : X 2 X im (x, y) X 2 ữủc gồi l im bĐt ởng bở ổi cừa F náu F (x, y) = x, F (y, x) = y nh xÔ F ữủc gồi l liản tửc náu {xn}, {yn} l hai dÂy trong X , xn x, yn y thẳ F (xn , yn ) = F (x, y) 1.3.2... mồi c intP Do õ d(x, a) = 0 tực x Fa Vêy Fa l têp õng 3) Tứ bĐt ng thực tam giĂc suy ra vợi mồi a, b X v vợi mồi x Fa , y Fb ta cõ d(x, y) d(x, a) + d(a, b) + d(b, y) = d(a, b) v d(a, b) d(a, x) + d(x, y) + d(y, b) = d(x, y) Do õ d(a, b) = d(x, y) 24 2.2 Mởt số kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi im giÊ bĐt ởng bở ổi trong khổng gian giÊ mảtric nõn cõ thự tỹ bở phên Trong mửc ny, chúng tổi s nh nghắa... trản nõ ữủc gồi l 18 khổng gian giÊ mảtric nõn v kỵ hiằu l (X, d) hoc X 2.1.2 Vẵ dử 1) GiÊ sỷ L[a,b] l têp cĂc hm nhên giĂ tr thỹc, khÊ tẵch trản [a, b] v d : L[a,b] ì L[a,b] R l hm ữủc cho bi b d(f, g) = |f (x) g(x)| dx, f, g L[a,b] a Khi õ, d l giÊ mảtric nõn trản L[a,b] v do õ L[a,b] l khổng gian giÊ mảtric nõn Chựng minh t P = [0, ) Khi õ, P l nõn trong khổng gian Banach cĂc số thỹc R... d) l khổng gian mảtric nõn thẳ im giÊ bĐt ởng bở ổi l im bĐt ởng bở ổi 2.2.1 nh nghắa GiÊ sỷ (X, d) l khổng gian giÊ mảtric nõn, Ănh xÔ F : X 2 X im (x, y) X 2 ữủc gồi l im giÊ bĐt ởng bở ổi cừa F náu d(F (x, y), x) = d(F (y, x), y) = 0 nh xÔ F ữủc gồi l liản tửc náu vợi mồi dÂy {xn} v {yn} trong X , xn x, yn y thẳ F (xn , yn ) F (x, y) 2.2.2 nh lỵ Cho (X, d) l khổng gian giÊ mảtric