Không gian tựa mêtric và sự tồn tại điểm bất động bộ ba trong không gian tựa mêtric có thứ tự bộ phận

Mục lục MỞ ĐẦU Không gian tựa mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian tựa mêtric SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHÔNG GIAN TỰA MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN 2.1 Một số kết tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận 2.2 Một số kết tồn điểm bất động ba khơng gian tựa mêtric có thứ tự phận 17 Kết Luận 29 Tài liệu tham khảo 30 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề nghiên cứu quan trọng giải tích Nó có nhiều ứng dụng tốn học số ngành toán học khác Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) Các kết kinh điển mở rộng cho lớp ánh xạ lớp không gian khác Năm 2006, Bhashkar Lakshmikantham [6] đưa khái niệm điểm bất động đôi chứng minh số định lý tồn điểm bất động đôi khơng gian mêtric đầy đủ có thứ tự phận Khái niệm điểm bất động ba không gian mêtric giới thiệu nghiên cứu Berinde Borcut [5] Sau đó, nhiều nhà tốn học nghiên cứu đạt nhiều kết tồn điểm bất động ba không gian mêtric khơng gian mêtric nón có thứ tự phận [7], [8] Năm 1969, R.A Stoltenberg [9] đưa khái niệm khơng gian tựa mêtric Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ co không gian tựa mêtric nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Một câu hỏi đặt cách tự nhiên kết tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric mêtric nón cịn cho không gian tựa mêtric hay không? Để tập dượt nghiên cứu khoa học lĩnh hội vấn đề lý thuyết điểm bất động, chúng tơi tìm hiểu, nghiên cứu khái niệm, tính chất khơng gian tựa mêtric tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian tựa mêtric có thứ tự phận Vì chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu :" Không gian tựa mêtric tồn điểm bất động ba khơng gian tựa mêtric có thứ tự phận" Luận văn trình bày thành hai chương Chương Không gian tựa mêtric Đầu tiên, nhắc lại số khái niệm tôpô đại cương trình bày số khái niệm, ví dụ tính chất khơng gian tựa mêtric để làm sở cho việc trình bày chương Chương Sự tồn điểm bất động ba khơng gian tựa mêtric có thứ tự phận Trong mục chương này, chúng tơi trình bày số kết có tài liệu tham khảo [4] tồn điểm bất động ba không gian mêtric có thứ tự phận Sau mục thứ hai, đưa số kết tồn điểm bất động ba khơng gian tựa mêtric có thứ tự phận, Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.8 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, kết mở rộng số kết không gian mêtric Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hồng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán quý thầy khoa Tốn Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt bạn lớp Cao học khóa 22 - Chuyên ngành: Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng cịn hạn chế mặt kiến thức thời gian nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Nghệ An, tháng 08 năm 2016 Tác giả Chương Không gian tựa mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục dành cho việc giới thiệu khái niệm kết cần dùng luận văn Các kết mục tham khảo từ tài liệu [3] 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện 1) ∅ X ∈ τ ; 2) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I Gi ∈ τ ; i∈I 3) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập hợp X với tơpơ τ gọi khơng gian tơpơ kí hiệu (X, τ) hay đơn giản X Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô Các phần tử thuộc τ gọi tập mở Giả sử E ⊂ X Tập E gọi tập đóng X\E tập mở 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Dãy {xn } không gian tôpô X gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi đó, ta viết xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận B(x) có lực lượng đếm Không gian tôpô X gọi T -không gian hay không gian Haus-sdoff hai điểm x, y ∈ X, x y tồn lân cận tương ứng U x , Uy x y cho U x ∩ Uy = ∅ Nếu X khơng gian Hausdorff dãy X mà hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.6 Định lý Giả sử X Y khơng gian tơpơ, f : X → Y Khi điều kiện sau tương đương (1) f liên tục X; (2) Nếu E tập mở Y f −1 (E) mở X; (3) Nếu E tập đóng Y f −1 (E) đóng X 1.1.7 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với mêtric d gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X, d) X 1.1.8 Định nghĩa Cho không gian mêtric (X, d) tập M X Ta xác định hàm d M : M × M → R cho d M (x, y) = d(x, y) , với x, y ∈ M Khi d M mêtric M Ta gọi không gian mêtric (M, d M ) không gian không gian (X, d) d M gọi mêtric cảm sinh d M 1.1.9 Định nghĩa Dãy {xn } không gian mêtric (X, d) gọi hội tụ tới x ∈ X d(x, xn ) → n → ∞ ký hiệu xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.10 Nhận xét 1) Trong không gian mêtric (X, d) dãy hội tụ hội tụ điểm 2) Nếu xn → x yn → y d(xn , yn ) → d(x, y) 1.1.11 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian mêtric, dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Không gian mêtric (X, d) gọi không gian mêtric đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.2 Không gian tựa mêtric Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian tựa mêtric Các kết mục tham khảo tài liệu [2] 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi tựa mêtric X điều kiện sau thỏa mãn i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; ii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Tập X với tựa mêtric d gọi khơng gian tựa mêtric kí hiệu (X, d) X 1.2.2 Ví dụ 1) Giả sử X = {1, 2, 3}, xác định hàm d : X × X → R+ công thức d (1, 1) = d (2, 2) = d (3, 3) = 0, d (1, 2) = 1, d (1, 3) = 2, d (2, 1) = 25 , d (2, 3) = 3, d (3, 1) = 32 , d (3, 2) = 21 Khi đó, d tựa mêtric X 2) Giả sử d : R × R → R ánh xạ cho   , x = y    , x > y d (x, y) =     , x < y ∀x, y ∈ R Khi đó, d tựa mêtric R Giả sử (X, d) không gian tựa mêtric Với a ∈ X ε > ta ký hiệu B (a, ε) = {x ∈ X : d (a, x) < ε} , B [a, ε] = {x ∈ X : d (a, x) ≤ ε} τ = G ⊂ X : với a ∈ G tồn B (a, ε) ⊂ G 1.2.3 Mệnh đề Nếu (X, d) không gian tựa mêtric B (x, ε) ∈ τ với x ∈ X, với ε > τ tơpơ X Do (X, τ) khơng gian đếm thứ Chứng minh Hiển nhiên ∅ X ∈ τ Giả sử Gα ∈ τ với α ∈ I, đó, với a ∈ a ∈ Gα0 Vì Gα0 ∈ τ nên tồn B (a, ε) ⊂ Gα0 ⊂ α∈I α∈I Gα tồn α0 ∈ I cho Gα Như vậy, α∈I Gα ∈ τ Giả sử G, H ∈ τ, đó, với a ∈ G ∩ H ta có a ∈ G a ∈ H Do đó, tồn ε1 , ε2 > cho B (a, ε1 ) ⊂ G B (a, ε2 ) ⊂ H Suy ra, B (a, ε) ⊂ G ∩ H với ε = (ε1 , ε2 ), G ∩ H ∈ τ Vậy τ tôpô X Giả sử x ∈ X, ε > a ∈ B (a, ε) Khi đó, d (x, a) < ε Do đó, d (x, y) ≤ d (x, a) + d (a, y) < ε, tức y ∈ B (a, ε) Suy B (a, δ) ⊂ B (a, ε) Như vậy, B (a, ε) ∈ τ Chú ý Từ sau, khơng giải thích thêm tơpơ khơng gian tựa mêtric hiểu tôpô τ Như tập hợp B (x, ε) mở không gian tựa mêtric (X, d) Ta gọi B (x, ε) hình cầu mở tâm x bán kính ε, B [x, ε] hình cầu đóng tâm x bán kính ε 1.2.4 Mệnh đề Giả sử U tập khơng gian tựa mêtric (X, d) Khi đó, U mở X d (X\U) > với x ∈ U, d (X\U) := inf {d (x, y) : y ∈ X\U} 1.2.5 Định lý Giả sử {xn } dãy khơng gian tựa mêtric (X, d) Khi đó, {xn } hội tụ tới x ∈ X d(x, xn ) → , n → ∞ 1.2.6 Định lý Giả sử X, Y hai không gian tựa mêtric, f : X → Y a ∈ X Khi f liên tục a dãy {xn } ⊂ X mà xn → a f (xn ) → f (a) Chứng minh Giả sử f liên tục a, tồn dãy {xn } X,xn → a { f (xn )} không hội tụ tới f (a) Khi đó, theo Mệnh đề 1.2.3 , {d ( f (a) , f (xn ))} không hội tụ tới Do đó, tồn ε0 > cho với n ∈ N tồn mn > n d f (a) , f xmn > ε0 Vì f liên tục a B ( f (a) , ε0 ) mở Y nên tồn số tự nhiên n0 cho f B a, n10 ⊂ B ( f (a) , ε0 ) Vì xn → a nên tồn số tự nhiên n1 cho xn ∈ B a, , ∀n ≥ n1 n0 Do đó, f (xn ) ∈ B ( f (a) , ε0 ) , ∀n ≥ n1 , hay d ( f (a) , f (xn )) < ε0 , ∀n ≥ n1 Điều mâu thuẫn với d f (a) , f xmn1 > ε0 , ∀mn1 > n1 Từ suy f (xn ) → f (a) Ngược lại, Giả sử với {xn } X mà xn → a f (xn ) → f (a) Ta chứng minh f liên tục a Giả sử f khơng liên tục a, đó, từ Định lý 1.1.6 suy tồn ε0 > 0, với δ > có B ( f (a) , ε0 ) f (B (a, δ)) Từ suy với n = 1, 2, tồn xn ∈ B a, 1n cho f (xn ) B ( f (a) , ε0 ) Từ xn ∈ B a, 1n với n = 1, 2, , suy d (a, xn ) → , hay xn → a Vì thế, theo giả thiết điều kiện đủ, ta có f (xn ) → f (a) Điều mâu thuẫn với f (xn ) B ( f (a) , ε0 ) với n Vậy f liên tục a 1.2.7 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian tựa mêtric F : X × X → X F gọi liên tục X × X với dãy {xn } ,{yn } X mà xn → x ∈ X, yn → y ∈ X ta có F(xn , yn ) → F(x, y) n → ∞ 1.2.8 Định nghĩa Giả sử (X, d) không gian tựa mêtric Dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với ε > tồn số tự nhiên nε cho với n, m mà n ≥ nε , m ≥ nε ta có d(xn , xm ) < ε Khơng gian tựa mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Chương SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BA TRONG KHƠNG GIAN TỰA MÊTRIC CĨ THỨ TỰ BỘ PHẬN Trong chương này, chúng tơi trình bày số kết tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric tựa mêtric có thứ tự phận 2.1 Một số kết tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận Trong mục này, chúng tơi trình bày số định lý có tài liệu tham khảo tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính đơn điệu trộn khơng gian mêtric có thứ tự phận 2.1.1 Định nghĩa ([3]) Cho X tập khác rỗng ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi thứ tự phận X ∀x, y, z ∈ X ta có 1) x ≤ x ; 2) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = y; 3) Từ x ≤ y y ≤ z suy x ≤ z Tập X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận ký hiệu (X, ≤) X Nếu x ≤ y mà x y ta viết x < y Ta viết y ≥ x thay cho x ≤ y y > x thay cho x < y Tập X gọi tuyến tính X có quan hệ hai ngơi ≤ có tính bắc cầu với x, y ∈ X mà x y x < y y < x 2.1.2 Định nghĩa ([6]) Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận F: X → X Ta nói ánh xạ F có tính đơn điệu trộn với x, y ∈ X ta có x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F (x1 , y) ≤ F (x2 , y) , y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 ⇒ F (x, y1 ) ≥ F (x, y2 ) 2.1.3 Định nghĩa ([5]) Giả sử (X, ≤) tập thứ tự phận F: X → X Ta nói ánh xạ F có tính đơn điệu trộn với x, y, z ∈ X ta có x1 , x2 ∈ X, x1 ≤ x2 ⇒ F (x1 , y, z) ≤ F (x2 , y, z) , y1 , y2 ∈ X, y1 ≤ y2 ⇒ F (x, y1 , z) ≥ F (x, y2 , z) , z1 , z2 ∈ X, z1 ≤ z2 ⇒ F (x, y, z1 ) ≤ F (x, y, z2 ) 2.1.4 Định nghĩa ([5]) Cho F: X → X g: X → X Bộ (x, y, z) ∈ X gọi điểm bất động ba F F (x, y, z) = x, F (y, x, y) = y, F (z, y, x) = z Bộ (x, y, z) ∈ X gọi điểm chung ba F g F (x, y, z) = g(x), F (y, x, y) = g(y), F (z, y, x) = g(z) Bộ (x, y, z) ∈ X gọi điểm bất động chung ba F g F (x, y, z) = g(x) = x, F (y, x, y) = g(y) = y, F (z, y, x) = g(z) = z 2.1.5 Định nghĩa ([5]) Cho tập có thứ tự phận (X, ≤) Ta định nghĩa thứ tự phận X sau: với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X , (x, y, z) ≤ (u, v, r) x ≤ u, y ≥ v, z ≤ r Ta nói (x, y, z) (u, v, r) so sánh (x, y, z) ≤ (u, v, r) (u, v, r) ≤ (x, y, z) Ngồi ra, ta nói (x, y, z) = (u, v, r) x = u, y = v, z = r 2.1.6 Định nghĩa ([5]) Cho tập có thứ tự phận (X, ≤) ánh xạ F: X → X, g: X → X Ta nói F có tính g-đơn điệu trộn X với x, y, z thuộc X ta có x1 , x2 ∈ X, g (x1 ) ≤ g (x2 ) ⇒ F (x1 , y, z) ≤ F (x2 , y, z) , y1 , y2 ∈ X, g (y1 ) ≤ g (y2 ) ⇒ F (x, y1 , z) ≥ F (x, y2 , z) , z1 , z2 ∈ X, g (z1 ) ≤ g (z2 ) ⇒ F (x, y, z1 ) ≤ F (x, y, z2 ) 10 (F(x, y, z), F(y, x, y), F(z, y, x)) (F(u, v, r), F(v, u, v), F(r, v, u)) F có điểm bất động ba (x,y,z) Chứng minh Từ Định lý 2.1.9 suy tập điểm bất động ba F không rỗng Bây giờ, giả thiết (x, y, z) (u, v, r) hai điểm bất động ba, tức là, F(x, y, z) = x, F(u, v, r) = u, F(y, x, y) = y, F(v, u, v) = v, F(z, y, x) = z, F(r, v, u) = r Ta chứng minh (x, y, z) (u, v, r) Do giả thiết, nên tồn (a, b, c) cho (F(a, b, c), F(b, a, b), F(c, b, a)) so sánh với (F(x, y, z), F(y, x, y), F(z, y, x)) (F(u, v, r), F(v, u, v), F(r, v, u)) Ta xác định dãy {an }, {bn } {cn } a0 = a, b0 = b, c0 = c, an = F (an−1 , bn−1 , cn−1 ) , bn = F (bn−1 , an−1 , bn−1 ) , (2.28) cn = F (cn−1 , bn−1 , an−1 ) , với n ≥ Hơn nữa, đặt x0 = x, y0 = y, z0 = z u0 = u, v0 = v, r0 = r Tương tự trên, ta định nghĩa dãy {xn } , {yn } , {zn } {un } , {vn } , {rn } Khi đó, dễ thấy xn = F (x, y, z) , un = F (u, v, r) , yn = F (y, x, y) , = F (v, u, v) , (2.29) zn = F (z, y, x) , rn = F (r, v, u) , với n ≥ Từ (F (x, y, z) , F (y, x, y) , F (z, y, x)) = (x1 , y1 , z1 ) = (x, y, z) so sánh với (F (a, b, c) , F (b, a, b) , F (c, b, a)) = (a1 , b1 , c1 ) , nên ta có giả thiết (x, y, z) ≥ (a1 , b1 , c1 ) Tiếp tục lý luận tương tự ta nhận (x, y, z) ≥ (an , bn , cn ) , với n (2.30) Từ (2.30) (2.1) , ta có d (T x, T an+1 ) = d (T F (x, y, z) , T F (an , bn , cn )) ≤ φ (max {d (T x, T an ) , d (T y, T bn ) , d (T z, T cn )}) , 16 (2.31) d (T bn+1 , T y) = d (T F (an , bn , cn ) , T F (y, x, y)) ≤ φ (max {d (T an , T x) , d (T bn , T y)}) (2.32) ≤ φ (max {d (T bn , T y) , d (T an , T x) , d (T cn , T z)}) , d (T z, T cn+1 ) = d (T F (z, y, x) , T F (cn , bn , an )) ≤ φ (max {d (T z, T cn ) , d (T y, T bn ) , d (T x, T an )}) Từ (2.31), (2.32), (2.33), suy với n = 1, 2, , ta có (2.33) max {d (T z, T cn+1 ) , d (T y, T bn+1 ) , d (T x, T an+1 )} ≤ φ (max {d (T z, T cn ) , d (T y, T bn ) , d (T x, T an )}) Vì vậy, với n ≥ có max {d (T z, T cn ) , d (T y, T bn ) , d (T x, T an )} ≤ φ (max {d (T z, T c0 ) , d (T y, T b0 ) , d (T x, T a0 )}) n (2.34) Ta biết từ φ(t) < t lim+ φ (r) < t suy lim φn (t) = với t > t→+∞ r→t Do đó, từ (2.34), suy lim max {d (T z, T cn ) , d (T y, T bn ) , d (T x, T an )} = n→+∞ Điều cho thấy lim d (T x, T an ) = 0, lim d (T y, T bn ) = 0, lim d (T z, T cn ) = n→+∞ n→+∞ n→+∞ (2.35) Trường hợp (a1 , b1 , c1 ) ≥ (x, y, z) chứng minh tương tự ta có (2.35) Tương tự, ta chứng minh lim d (T u, T an ) = 0, lim d (T v, T bn ) = 0, lim d (T r, T cn ) = n→+∞ n→+∞ n→+∞ (2.36) Từ (2.35) (2.36), suy (T x, T y, T z) (T u, T v, T r) Vì T đơn ánh nên ta có x = u, y = v z = r 2.2 Một số kết tồn điểm bất động ba khơng gian tựa mêtric có thứ tự phận Trong mục này, đưa số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính g-đơn điệu trộn khơng gian tựa mêtric có thứ tự phận Trong mục này, không giải thích thêm ta ln hiểu X tập thứ tự phận quan hệ kí hiệu ≤, (X, d) không gian tựa mêtric đầy đủ Trên X ta xét quan hệ thứ tự nói Định nghĩa 2.1.5 17 2.2.1 Định lý Giả sử F : X → X g : X → X, φ : [0, ∞) → [0, ∞) ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau 1) φ không giảm ∞ φ j (t) hội tụ với t ∈ [0, ∞); j=1 2) g liên tục giao hoán với F; 3) F có tính g-đơn điệu trộn F(X ) ⊂ g(X); 4) Nếu (x, y, z) (u, v, r) ∈ X mà (g(u), g(v), g(r)) ≤ (g(x), g(y), g(z)) (g(u), g(v), g(r)) ≥ (g(x), g(y), g(z)) d (F (x, y, z) , F (u, v, r)) ≤ φ (max {d (g (x) , g (u)) , d (g (y) , g (v)) , d (g (z) , g (r))}) ; (2.37) 5) Tồn (x0 , y0 , z0 ) ∈ X cho g (x0 ) ≤ F (x0 , y0 , z0 ) , g (y0 ) ≥ F (y0 , x0 , y0 ) , g (z0 ) ≤ F (z0 , y0 , x0 ) (2.38) Khi đó, F ánh xạ liên tục g có tính đơn điệu X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn ≤ x với n ∈ N d(xn , x) → 0, ii)Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn ≥ y với n ∈ N d(yn , y) → 0, F g có điểm chung ba Chứng minh Từ F(X ) ⊂ g(X), thiết lập dãy {xn }, {yn }, {zn } X sau g(xn+1 ) = F(xn , yn , zn ), g(yn+1 ) = F(yn , xn , yn ), g(zn+1 ) = F(zn , yn , xn ), (2.39) ∀n = 0, 1, 2, Khi đó, từ (2.38),(2.39) tính g-đơn điệu trộn ánh xạ F, ta có g(x0 ) ≤ g(x1 ) ≤ g(x2 ) ≤ ≤ g(xn+1 ) = F(xn , yn , zn ) ≤ , g(y0 ) ≥ g(y1 ) ≥ g(y2 ) ≥ ≥ g(yn+1 ) = F(yn , xn , yn ) ≥ , (2.40) g(z0 ) ≤ g(z1 ) ≤ g(z2 ) ≤ ≤ g(zn+1 ) = F(zn , yn , xn ) ≤ Đặt an := g(xn ), bn := g(yn ), cn := g(zn ), δn := max {d(an , an+1 ), d(bn , bn+1 ), d(cn , cn+1 )}, 18 ∀n = 0, 1, (2.41) Từ (2.37), (2.39), (2.40) (2.41), với n = 0, 1, 2, ta có d(an+1 , an+2 ) = d(g(xn+1 ), g(xn+2 )) = d(F(xn , yn , zn ), F(xn+1 , yn+1 , zn+1 )) ≤ φ(max {d(g(xn ), g(xn+1 )), d(g(yn ), g(yn+1 )), d(g(zn ), g(zn+1 ))}) = φ(max {d(an , an+1 ), d(bn , bn+1 ), d(cn , cn+1 )}) = φ(δn ) Tương tự, ta có (2.42) d(bn+1 , bn+2 ) ≤ φ(δn ), d(cn+1 , cn+2 ) ≤ φ(δn ), ∀n = 0, 1, (2.43) Từ (2.41), (2.42), (2.43) suy δn+1 ≤ φ(δn ), ∀n = 0, 1, (2.44) Vì φ ánh xạ không giảm nên từ (2.44) suy δn ≤ φ(δn−1 ) ≤ ≤ φn (δ0 ), ∀n = 1, (2.45) Xét dãy {an } Với n = 1, 2, với p = 0, 1, 2, , từ (2.45) ta có d(an , an+p ) ≤ d(an , an+1 ) + d(an+1 , an+2 ) + + d(an+p−1 , an+p ) ≤ φ(δn−1 ) + φ(δn ) + + φ(δn+p−1 ) ≤ φn (δ0 ) + φn+1 (δ0 ) + + φn+p (δ0 ) ∞ φ j (δ0 ) ≤ (2.46) j=n ∞ Theo điều kiện 1), ∞ φ (δ0 ) hội tụ Do j j=n j=n φ j (δ0 ) → n → +∞ Từ suy với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 , cho với n ≥ n0 , với p = 0, 1, ∞ φ j (δ0 ) < ε d(an , an+p ) ≤ j=n Tương tự ta chứng minh rằng, với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 , cho với n ≥ n0 , với p = 0, 1, ta có d(an+p , an ) < ε 19 Do {an } dãy Cauchy X Tương tự, ta có {bn } , {cn } dãy Cauchy X Vì (X, d) đầy đủ nên tồn a, b, c thuộc X cho lim an = a, lim bn = b, lim cn = c (2.47) lim g (an ) = a, lim g (bn ) = b, lim g (cn ) = c (2.48) n→∞ n→∞ n→∞ Vì g liên tục nên n→∞ n→∞ n→∞ Mặt khác, F g giao hoán với nên g (an+1 ) = g (g (xn+1 )) = g (F (xn , yn , zn )) = F (g (xn ) , g (yn ) , g (zn )) = F(an , bn , cn ), ∀n = 0, 1, (2.49) Tương tự, ta có g (bn+1 ) = F(bn , an , bn ), g (cn+1 ) = F(cn , bn , an ), ∀n = 0, 1, Giả sử F liên tục Khi đó, từ (2.47),(2.48) (2.49) ta có g (a) = lim g (an+1 ) = lim F (an , bn , cn ) = F (a, b, c) n→∞ n→∞ Tương tự, ta có g(b) = F(b, a, b), g(c) = F(c, b, a) Vậy (a, b, c) điểm chung ba F g Giả sử g có tính đơn điệu tăng X thỏa mãn i) ii) Khi đó, dãy {an } {cn } dãy tăng hội tụ, {bn } dãy giảm hội tụ Do {g(an )} {g(cn )} dãy tăng {g(bn )} dãy giảm Vì dãy {g(an )}, {g(bn )}, {g(cn )} hội tụ tới g(a), g(b), g(c) nên g(an ) ≤ g(a); g(bn ) ≥ g(b); g(cn ) ≤ g(c), ∀n = 1, 2, với ε > 0, tồn số tự nhiên nε cho với n ≥ nε ta có d(g(a), g(an )) < 4ε , d(g(an ), g(a)) < 4ε , d(g(bn ), g(b)) < 4ε , d(g(cn ), g(c)) < 4ε 20 (2.50) Mặt khác, ta có φ(t) < t với t > Thật vậy, tồn t0 > cho t0 ≤ φ(t0 ) từ tính khơng giảm φ suy t0 ≤ φn (t0 ) với n = 1, 2, Điều mâu thuẫn ∞ với tính hội tụ chuỗi j=n φ j (t0 ) Đặc biệt, từ tính khơng giảm φ suy φ(0) = (nếu < φ(0) := t1 từ φ(t1 ) < t1 , suy t1 = φ(0) ≤ φ(t1 ) < t1 ) Với số tự nhiên n ≥ nε , từ (2.50) ta có d(g(a), F(a, b, c)) ≤ d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), F(a, b, c)) = d(g(a), g(an+1 )) + d(F(an , bn , cn ), F(a, b, c)) ≤ d(g(a), g(an+1 )) + φ(max {d(g(an ), g(a)), d(g(bn ), g(b)), d(g(cn ), g(c))}) ≤ d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an ), g(a)) + d(g(bn ), g(b)) + d(g(cn ), g(c)) ≤ ε + 4ε + 4ε + ε = ε Vậy d(g(a), F(a, b, c)) < ε với ε > Do d(g(a), F(a, b, c)) = hay g(a) = F(a, b, c) Tương tự, ta chứng minh F(b, a, b) = g(b); F(c, b, a) = g(c) Suy (a, b, c) điểm chung ba F g Trường hợp g đơn điệu giảm chứng minh tương tự 2.2.2 Hệ Cho ánh xạ g : X → X ánh xạ F : X → X có tính g-đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) g liên tục giao hoán với F, F(X ) ⊂ g(X); 2) Tồn q ∈ [0, 1) cho với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X mà (g(u), g(v), g(r)) ≤ (g(x), g(y), g(z)) (g(u), g(v), g(r)) ≥ (g(x), g(y), g(z)) ta có d(F(x, y, z), F(u, v, r)) ≤ q max {d(g(x), g(u)), d(g(y), g(v)), d(g(z), g(r))} ; 3) Tồn (x0 , y0 , z0 ) ∈ X cho g (x0 ) ≤ F (x0 , y0 , z0 ) , g (y0 ) ≥ F (y0 , x0 , y0 ) , g (z0 ) ≤ F (z0 , y0 , x0 ) ; 4) F ánh xạ liên tục g có tính đơn điệu X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn ≤ x với n ∈ N d(xn , x) → 0, ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn ≥ y với n ∈ N d(yn , y) → Khi đó, F g có điểm chung ba 21 Chứng minh Ta xác định hàm φ : [0, ∞) → [0, ∞) công thức φ(t) = qt, ∀t ∈ [0, ∞) Khi đó, từ giả thiết Hệ suy điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn Do theo Định lí 2.2.1 ta có điều cần chứng minh 2.2.3 Hệ Cho ánh xạ g : X → X ánh xạ F : X → X có tính g-đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) g liên tục giao hoán với F, F(X ) ⊂ g(X); 2) Tồn α1 , α2 , α3 ∈ [0, 1) cho α1 +α2 +α3 < với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X mà (g(u), g(v), g(r)) ≤ (g(x), g(y), g(z)) (g(u), g(v), g(r)) ≥ (g(x), g(y), g(z)) ta có d(F(x, y, z), F(u, v, r)) ≤ α1 d(g(x), g(u)) + α2 d(g(y), g(v)) + α3 d(g(z), g(r)); 3) Tồn (x0 , y0 , z0 ) ∈ X cho g (x0 ) ≤ F (x0 , y0 , z0 ) , g (y0 ) ≥ F (y0 , x0 , y0 ) , g (z0 ) ≤ F (z0 , y0 , x0 ) ; 4) F ánh xạ liên tục g có tính đơn điệu X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn ≤ x với n ∈ N d(xn , x) → 0, ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn ≥ y với n ∈ N d(yn , y) → Khi đó, F g có điểm chung ba Chứng minh Đặt q = α1 + α2 + α3 Ta có q ∈ [0, 1) α1 d(g(x), g(u)) + α2 d(g(y), g(v)) + α3 d(g(z), g(r)) ≤ q max {d(g(x), g(u)), d(g(y), g(v)), d(g(z), g(r))} Dễ dàng ta chứng minh điều kiện Hệ 2.2.2 thỏa mãn Vậy, F g có điểm chung ba Trong Hệ 2.2.3, lấy α1 = α2 = α3 = α ta nhận hệ sau 2.2.4 Hệ Cho ánh xạ g : X → X ánh xạ F : X → X có tính g-đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) g liên tục giao hoán với F, F(X ) ⊂ g(X); 22 2) Tồn α ∈ [0, 1) cho với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X mà (g(u), g(v), g(r)) ≤ (g(x), g(y), g(z)) (g(u), g(v), g(r)) ≥ (g(x), g(y), g(z)) ta có d(F(x, y, z), F(u, v, r)) ≤ α d((g(x), g(u)) + d(g(y), g(v)) + d(g(z), g(r)) ; 3) Tồn (x0 , y0 , z0 ) ∈ X cho g (x0 ) ≤ F (x0 , y0 , z0 ) , g (y0 ) ≥ F (y0 , x0 , y0 ) , g (z0 ) ≤ F (z0 , y0 , x0 ) ; 4) F ánh xạ liên tục g có tính đơn điệu X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn ≤ x với n ∈ N d(xn , x) → 0, ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn ≥ y với n ∈ N d(yn , y) → Khi đó, F g có điểm chung ba Trong Hệ 2.2.2 Hệ 2.2.3, lấy g : X → X ánh xạ đồng ta nhận hai hệ sau 2.2.5 Hệ Giả sử ánh xạ F : X → X thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Nếu (x, y, z), (u, v, r) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r) (u, v, r) ≤ (x, y, z) d(F(x, y, z), F(u, v, r)) ≤ q max {d(x, u), d(y, v), d(z, r)} , q ∈ [0, 1); 3) Tồn (x0 , y0 , z0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ) , y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ) , z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ) ; 4) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn ≤ x với n ∈ N d(xn , x) → 0, ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn ≥ y với n ∈ N d(yn , y) → Khi đó, F có điểm bất động ba 2.2.6 Hệ Giả sử ánh xạ F : X → X thỏa mãn điều kiện sau 1) F có tính đơn điệu trộn; 2) Tồn α1 , α2 , α3 ∈ [0, 1) cho α1 +α2 +α3 < với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r) (u, v, r) ≤ (x, y, z) d(F(x, y, z), F(u, v, r)) ≤ α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 d(z, r); 23 (2.51) 3) Tồn (x0 , y0 , z0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ) , y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ) , z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ) ; 4) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x suy xn ≤ x với n ∈ N d(xn , x) → 0, ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y suy yn ≥ y với n ∈ N d(yn , y) → Khi đó, F có điểm bất động ba 2.2.7 Hệ ([7]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, ánh xạ F : X → X có tính đơn điệu trộn thỏa mãn điều kiện sau 1) Tồn α1 , α2 , α3 ∈ [0, 1) cho α1 +α2 +α3 < với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X mà (x, y, z) ≤ (u, v, r) (u, v, r) ≤ (x, y, z) ta có d(F(x, y, z), F(u, v, r)) ≤ α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 d(z, r); 2) Tồn (x0 , y0 , z0 ) ∈ X cho x0 ≤ F (x0 , y0 , z0 ) , y0 ≥ F (y0 , x0 , y0 ) , z0 ≤ F (z0 , y0 , x0 ) ; 3) F ánh xạ liên tục X có tính chất i) Từ {xn } dãy tăng xn → x ∈ X suy xn ≤ x với n = 1, 2, , ii) Từ {yn } dãy giảm yn → y ∈ X suy yn ≥ y với n = 1, 2, Khi đó, F có điểm bất động ba Chứng minh Giả sử (x, y, z), (u, v, r) ∈ X Khi đó, (u, v, r) ≤ (x, y, z) từ điều kiện 1) hệ suy bất đẳng thức (2.51) Hệ 2.2.6 thỏa mãn Nếu (x, y, z) ≤ (u, v, r) theo điều kiện 1) ta có d(F(x, y, z), F(u, v, r)) = d(F(u, v, r), F(x, y, z)) ≤ α1 d(u, x) + α2 d(v, y) + α3 d(r, z) = α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 d(z, r) Do điều kiện 2) Hệ 2.2.6 thỏa mãn Như tất điều kiện Hệ 2.2.6 thỏa mãn Vì sử dụng Hệ 2.2.6 ta có điều phải chứng minh 24 2.2.8 Định lý Giả sử điều kiện Định lí 2.2.1 thỏa mãn Khi đó, với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X tồn (a, b, c) ∈ X cho (F(a, b, c), F(b, a, b), F(c, b, a)) so sánh với (g(x), g(y), g(z)) (g(u), g(v), g(r)) F g có điểm bất động chung ba Chứng minh Theo Định lí 2.2.1 F g có điểm chung ba Giả sử (x, y, z) (u, v, r) hai điểm chung ba F g Đầu tiên, ta chứng minh g(x) = g(u), g(y) = g(v), g(z) = g(r) Vì (x, y, z) (u, v, r) điểm chung ba F g nên F(x, y, z) = g(x), F(u, v, r) = g(u), F(y, x, y) = g(y), F(v, u, v) = g(v), (2.52) F(z, y, x) = g(z), F(r, v, u) = g(r) Theo giả thiết, tồn (a, b, c) cho (F(a, b, c), F(b, a, b), F(c, b, a)) so sánh với (g(x), g(y), g(z)) (g(u), g(v), g(r)) Đặt a0 = a, b0 = b, c0 = c, g(an+1 ) = F(an , bn , cn ), (2.53) g(bn+1 ) = F(bn , an , bn ), g(cn+1 ) = F(cn , bn , an ) ∀n = 0, 1, 2, Nếu (F(a, b, c), F(b, a, b), F(c, b, a)) ≥ (g(x), g(y), g(z)) g(a1 ) = F(a, b, c) ≥ g(x), g(b1 ) = F(b, a, b) ≤ g(y), g(c1 ) = F(c, b, a) ≥ g(z) Vì F có tính g-đơn điệu trộn nên g(a2 ) = F(a1 , b1 , c1 ) ≥ F(x, y, z) = g(x), g(b2 ) = F(b1 , a1 , b1 ) ≤ F(y, x, y) = g(y), g(c2 ) = F(c1 , b1 , a1 ) ≥ F(z, y, x) = g(z) Tiếp tục lý luận tương tự ta chứng minh (g(an ), g(bn ), g(cn )) ≥ (g(x), g(y), g(z)) 25 ∀n = 1, 2, (2.54) Nếu (F(a, b, c), F(b, a, b), F(c, b, a)) ≤ (g(x), g(y), g(z)) tương tự ta chứng minh (g(an ), g(bn ), g(cn )) ≤ (g(x), g(y), g(z)) ∀n = 1, 2, (2.55) Đặt αn = max {d(g(x), g(an )), d(g(y), g(bn )), d(g(z), g(cn ))} ∀n = 0, 1, 2, Khi đó, từ (2.54) (2.55) ta có d(g(x), g(an )) = d(F(x, y, z), F(an−1 , bn−1 , cn−1 )) ≤ φ(max {d(g(x), g(an−1 )), d(g(y), g(bn−1 )), d(g(z), g(cn−1 ))}) = φ(αn−1 ), d(g(y), g(bn )) = d(F(y, x, y), F(bn−1 , an−1 , bn−1 )) ≤ φ(αn−1 ), d(g(z), g(cn )) = d(F(z, y, x), F(cn−1 , bn−1 , an−1 )) ≤ φ(αn−1 ) ∀n = 1, 2, αn ≤ φ(αn−1 ) ∀n = 1, 2, Do Từ suy αn ≤ φ(αn−1 ) ≤ φ2 (αn−2 ) ≤ ≤ φn (α0 ) ∀n = 1, 2, (2.56) Tương tự chứng minh Định lí 2.2.1 ta có φn (α0 ) → n → ∞ Do với ε > tồn số tự nhiên nε cho αn < ε ∀n ≥ nε Từ suy d(g(x), g(an )) < 2ε , d(g(y), g(bn )) < 2ε , d(g(z), g(cn )) < ε (2.57) ∀n ≥ nε 26 Hoàn toàn tương tự ta chứng minh với ε > tồn số tự nhiên nε cho d(g(an ), g(u)) < 2ε , d(g(bn ), g(v)) < 2ε , (2.58) ∀n ≥ nε d(g(cn ), g(r)) < 2ε Đặt n0 = max nε , nε Từ (2.57) (2.58) suy d(g(x), g(u)) ≤ d(g(x), g(an )) + d(g(an ), g(u)) < ε ∀n ≥ n0 Do ta có d(g(x), g(u)) = 0, tức g(x) = g(u) Tương tự ta có g(y) = g(v) g(z) = g(r) Tiếp theo, ta chứng minh (g(x), g(y), g(z)) điểm chung ba F g Đặt x1 := g(x), y1 := g(y), z1 := g(z) (2.59) Khi đó, từ tính chất giao hốn F g ta có g(x1 ) = g(g(x)) = g(F(x, y, z)) = F(g(x), g(y), g(z)) = F(x1 , y1 , z1 ) Tương tự (2.60) g(y1 ) = F(y1 , x1 , y1 ), g(z1 ) = F(z1 , y1 , x1 ) Suy (x1 , y1 , z1 ) điểm chung ba F g (2.61) Theo kết chứng minh đầu định lí g(x) = g(x1 ), g(y) = g(y1 ), g(z) = g(z1 ) Do đó, từ (2.59), (2.60), (2.61) ta có x1 = g(x) = g(x1 ) = F(x1 , y1 , z1 ), y1 = g(y) = g(y1 ) = F(y1 , x1 , y1 ), z1 = g(z) = g(z1 ) = F(z1 , y1 , x1 ) Do (x1 , y1 , z1 ) điểm bất động chung ba F g Vậy luôn tồn điểm bất động chung ba F g Nếu (x, y, z), (x , y , z ) hai điểm bất động chung ba F g chúng hai điểm chung ba F g nên g(x) = g(x ), g(y) = g(y ) g(z) = g(z ) Do đó, ta có x = g(x) = g(x ) = x , y = g(y) = g(y ) = y , z = g(z) = g(z ) = z 27 Suy (x, y, z) = (x , y , z ) Vậy tồn điểm bất động chung ba F g 2.2.9 Chú ý Từ Định lí 2.2.8 suy rằng, 1) Trong Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, thêm giả thiết với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X tồn (a, b, c) ∈ X cho (F(a, b, c), F(b, a, b), F(c, b, a)) so sánh với (g(x), g(y), g(z)) (g(u), g(v), g(r)) điểm bất động chung ba F g 2) Trong Hệ 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, thêm giả thiết với (x, y, z), (u, v, r) ∈ X tồn (a, b, c) ∈ X cho (a, b, c) so sánh với (x, y, z) (u, v, r) điểm bất động ba F 28 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: - Trình bày lại cách có hệ thống khái niệm tính chất không gian tựa mêtric - Chứng minh kết [4] tồn điểm bất động ba ánh xạ không gian mêtric có thứ tự phận - Đưa số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ không gian tựa mêtric có thứ tự phận, Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.8 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7 Các kết mở rộng số kết không gian mêtric 29 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê Đỗ Đức Thái (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm , tập 1, Nhà xuất Giáo dục [2] Nguyễn Thị Thủy (2010), Các định lý điểm bất động không gian tựa mêtric, Luận văn Thạc sĩ toán học, Đại Học Vinh [3] J L Kelley (1973), Tơpơ đại cương, Hà Huy Khối, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường dịch, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [4] H Aydi and E Karapinar (2012), Tripled fixed points in ordered metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, Vol.74, No 1, 197- 207 [5] V Berinde and M Borcut (2011), Tripled fixed point theorems for contractive type mapping in partially ordered metric spaces, Nonlinear Analysis, Vol 74, No 15, 4889-4897 [6] Bhashkar and V Laksmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Analysis, Vol 332, No 2, 1468 – 1476 [7] M Borcut (2012), Tripled fixed points theorems for operators in partially ordered metric spaces, Doctoral Thesis Summary, Baia Mare Faculty of Science [8] Ph Charoensawan (2012), Tipled fixed points Theorems for contractive mixed monotone operators on partially ordered metric spaces, Applied Mathematical Sciences, Vol No 105, 5229- 5239 [9] R A Stoltenberg (1969), On quasi – metric spaces, Duke Math J 36, pp 65 – 71 30 ... kết có tài liệu tham khảo [4] tồn điểm bất động ba không gian mêtric có thứ tự phận Sau mục thứ hai, đưa số kết tồn điểm bất động ba khơng gian tựa mêtric có thứ tự phận, Định lí 2.2.1, Định lí... ta có x = u, y = v z = r 2.2 Một số kết tồn điểm bất động ba không gian tựa mêtric có thứ tự phận Trong mục này, đưa số kết tồn điểm bất động ba ánh xạ có tính g-đơn điệu trộn khơng gian tựa mêtric. .. kết tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric tựa mêtric có thứ tự phận 2.1 Một số kết tồn điểm bất động ba khơng gian mêtric có thứ tự phận Trong mục này, chúng tơi trình bày số định lý có tài liệu