Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện gọi tắt là đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau: + Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không
Trang 1PHẦN 1: KHỐI ĐA DIỆN.
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VẤN ĐỀ 1: KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I: KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ
1 Khái niệm về hình đa diện
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa
mãn hai điều kiện sau:
+ Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc
có một cạnh chung
+ Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác
Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện.
Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện.
2 Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa
diện đó
+ Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.
+ Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện
ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong
của khối đa diện
Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó Ta cũng gọi đỉnh, cạnh,mặt, điểm trong, điểm ngoài,…của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểmtrong, điểm ngoài,…của hình đa diện tương ứng
Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ
Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp.
Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt.
Tương tự ta có các định nghĩa về khối chóp n-giác, khối chóp cụt n-giác, khối chópđều, khối hộp…
Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chópgiới hạn nó
Ví dụ: Hình lăng trụ ngũ giác ABCDE.A’B’C’D’E’ ta có khối lăng trụ ngũ giác ABCDE A’B’C’D’E’; với hình chóp tứ giác đều S.ABCD ta có khối chóp tứ giác đều S.ABCD;…
Trang 2II: PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN\
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H1), (H2) sao cho (H1) và (H2) không
có điểm trong chung thì ta nói có thể phân chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1)
và (H2) Khi đó, ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) để được khối đa diện (H).
Sau đây là một số ví dụ về phân chia các khối đa diện:
Ví dụ 1: Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta hãy xét hai khối chóp
tam giác S.ABC và S.ACD ta thấy rằng:
+ Hai khối chớp S.ABC và s.ACD không có điểm trong
chung (tức là không tồn tại điểm chung trong của khối chóp này
và là điểm trong chung của khối kia và ngược lại)
+ Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối
chóp S.ABCD
Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp S.ABC và S.ACD hay hai khốichóp S.ABC và S.ACD được ghép lại thành khối chóp S.ABCD
Ví dụ 2:
+ Cắt khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bởi mặt phẳng (A’BC)
Khi đó, khối lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện
A’ABC và A’BCC’B’
+ Nếu ta cắt khối chóp A’BCC’B’ bởi mặt phẳng
(A’B’C’) thì ta chia khối chóp A’ BCC’B’ thành hai khối chóp
A’BCB’ và A’CC’B’
Như vậy khối lăng trụ ABC.A’B’C’ được chia thành ba khối tứ diện A’ABC, A’BCB’, vàA’CC’B’
Nhận xét: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện.
Ví dụ 3: với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta có thể phân chiathành 5 khối tứ diện sau:
Trang 3 Kết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt.
mặt của (H) là lẻ thì p phải có số chẵn.
Chứng minh: Gọi m là số các mặt của khối đa diện (H) vì mỗi mặt của (H) có p
cạnh nên m mặt sẽ có pm cạnh Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa
giác nên số cạnh của (H) bằng
2
pm
c Vì m lẻ nên p phải là số chẵn.
mặt của nó là những đa giác co p cạnh Khi đó số cạnh của (H) là
Chứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là c và m.
Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số
cạnh của đa diện là 3
Một số khối đa diện có đặc điểm như trên mà có số mặt bằng 4, 6, 8, 10:
+ Khối tứ diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác.
+ Xét tam giác BCD và hai điểm A, E ở về hai phía của mặt phẳng (BCD) Khi đó ta
có khối lục diện ABCDE có 6 mặt là những tam giác.
+ Khối bát diện ABCDE có 8 mặt là các tam giác.
+ Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm M, N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác Khi đó khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là các tam giác.
khối tứ diện.
Trang 4 Kết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
+ Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh;
+ Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh.
Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của tứ diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện H có 6 mặt là tam giác đều Ghép thêm vào H một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện H có 8 mặt là các tam giác đều Bằng cách như vậy, ta được khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều.
VẤN ĐỀ 2: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I: PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN
Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M xác định được một
điểm M’ duy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F
Ta còn nói F biến điểm M thành điểm M’ và kí hiệu M’ = F(M)
Qua phép biến hình F, mỗi hình (H) được biến thành hình (H’) gồm tất cả các ảnh của cácđiểm thuộc hình (H)
I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ SỰ BẰNG NHAU CỦA CÁC HÌNH
1 Định nghĩa phép dời hình
Phép biến hình F trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, nghĩa là nếu F biến hai điểm bất kỳ M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’ thì M’N’ = MN.
Trang 5Tính chất: Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt
phẳng,…
2 Các phép dời hình trong không gian thường gặp
a Phép đối xứng qua mặt phẳng
Định nghĩa: Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến
hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó và biến mỗi
điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt
phẳng trung trục của đoạn MM’
Định lí: Nếu phép đối xứng qua mp (P) biến hai điểm M, N lần lượt thành hai điểm M’, N’
Ví dụ 1: Mọi mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu (S) đều là mặt
phẳng đối xứng của mặt cầu (S)
Ví dụ 2: Hình tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng đó là
các mặt phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện
Chẳng hạn: Cho tứ diện đều ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh
CD Khi đó ta có (ABM) là mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều
d Phép đối xứng tâm
Trang 6cho điểm O, phép đối xứng qua điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’sao cho OM OM ' 0
3 Định nghĩa hai hình bằng nhau
Hai hình (H) và (H’) gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Khi đó:
+ Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau
(vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A A’B’C’D’ biến
thành hình chóp C’.ABCD)
+ Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’
bằng nhau (Qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB’C’D) thì
hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biến thành hình lăng trụ
AA’D’.BB’C’)
Định lý: Hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng
nhau, nghĩa là:
AB = A’B’, BC = B’C’, CD = C’D’, DA = D’A’, AC = A’C’, BD = B’D’.
III PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
1 Phép vị tự trong không gian
Trang 7+ Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì M N ' 'k MN ,
phép đồng nhất, thường được kí hiệu là e Phép đồng nhất e là một phép dời hình.
thành B Khi đó f biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó.
với f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C Khi đó, f biến mọi điểm M của mặt phẳng (ABC) thành chính nó, tức là f(M) = M.
là một phép tịnh tiến.
Lấy hai điểm A, B lần lượt nằm trên (P) và (Q) sao cho AB (P) Khi đó, thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song (P) và (Q) thì kết quả là phép tịnh tiến theo vecto v2AB
góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng (là phép đối xứng qua đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q)).
trùng với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó.
nếu k.k’ = 1 thì hợp thành của V và V’ là một phép tịnh tiến.
nhau.
dài bằng nhau.
Trang 8 Kết quả 11: Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song
song, tức là:
AB//A’B’, AC//A’C’, AD//A’D’, CB//C’B’, BD//B’D’, DC//D’C’.
Khi đó hai tứ diện đã cho đồng dạng.
Khi đó hai tứ diện đã cho đồng dạng.
VẤN ĐỀ 3: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1: Khối đa diện lồi
Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kỳ hai điểm A và B nào của nó thì mọi
điểm của đoạn AB cũng thuộc khối đó
2: Khối đa diện đều
a Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
+ Các mặt là những đa giác đều n cạnh
+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện loại {n, p}
b Định lí
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là loại {3;3}, loại {4;3}, loại {3;4}, loại {5;3}, loại {3;5}.
Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khốilập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều
3: Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Trang 9Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại
Chú ý: giả sử khối đa diện đều loại {n;p} có D đỉnh, C cạnh và M mặt
Khí đó: pD = 2C = nM
B MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG
+ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều;
+ Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát diện đều (khối tám mặt đều).
diện đều.
phương.
chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó Đoạn thẳng nối hai đỉnh đồi diện gọi
là đường chéo của khối bát diện đều Khi đó:
+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
+ Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;
+ Ba đường chéo bằng nhau.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM “PHẦN 1: KHỐI ĐA DIỆN.
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN”
Câu 1:
Trang 10Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng ( kể cả các điểm trong của nó), hình đa diện là
Trang 11Mỗi hình trên gồm một hữu hạn đa giác phẳng ( kể cả các điểm trong của nó), hình khôngphải đa diện là.
Câu 7: Khối đa diện đều loại 5;3 có tên gọi là:
C khối hai mươi mặt đều D khối mười hai mặt đều.
Câu 8: Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 4;3 là
Trang 12Câu 11: Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 5;3 là
Trang 13A Tồn tại khối tứ diện là khối đa diện đều.
B Tồn tại khối lăng trụ đều là khối đa diện đều.
C Tồn tại khối hộp là khối đa diện đều.
D Tồn tại khối chóp tứ giác đều là khối đa diện đều.
Câu 26: Có bao nhiêu khối đa diện đều?
Câu 30: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Số đỉnh và số mặt của mọi hình đa diện luôn bằng nhau.
B Số đỉnh của mọi hình đa diện luôn lớn hơn 4.
C Tồn tại một hình đa diện có số cạnh gấp 2 lần số đỉnh.
D Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 6.
Câu 31: Một hình đa diện có các mặt là những tam giác thì số mặt M và số cạnh C của đa
diện đó thỏa mãn:
Câu 32: Các khối đa diện đều mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của ba mặt thì số đỉnh
Đ và số cạnh C của các khối đa diện đó luôn thỏa mãn:
Trang 14Câu 37: Số mặt phẳng đối xứng của đa diện đều loại 4;3 là:
C không vuông góc với (P).
D cắt (P) nhưng không vuông góc với (P).
Câu 39: Hãy chọn cụm từ ( hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống, mệnh đề
sau trở thành mệnh đề đúng
“ Số cạnh của một hình đa diện luôn…… Số mặt của hình đa diện ấy”
Câu 40: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A Hình hộp là hình đa diện lồi.
B Tứ diện là đa diện lồi.
C Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép vào nhau là một hình đa diện lồi.
D Hình lập phương là đa diện lồi.
Câu 41: Cho một hình đa diện trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
B Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
C Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
D Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
Câu 42: Hình chóp tứ giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?
Câu 45: Số các đỉnh hoặc số các mặt bất kì hình đa diện nào cũng:
A lớn hơn 4 B lớn hơn hoặc bằng 5.
C lớn hơn 5 D lớn hơn hoặc bằng 4.
Câu 46: Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn:
Trang 15A lớn hơn 6 B lớn hơn 7.
C lớn hơn hoặc bằng 6 D lớn hơn hoặc bằng 8.
Câu 47: Trung đểm của tất cả cạnh của hình tứ diện đều là các đỉnh của:
C hình hộp chữ nhật D hình tứ diện đều.
Câu 48: Phát biểu sau đây đúng (Đ) hay sai (S)?
“Tâm của tất cả các mặt của hình tứ diện đều lập thành hình tứ diện đều”
Câu 49: Tâm của các mặt hình tám mặt đều diện đều là các đỉnh của
Câu 52: Phép đói xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng d thành chính nó khi và chỉ khi.
A d song song với (P) B d nằm trên (P).
Câu 53: Cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến
d thành d’?
Câu 54: Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’ đồng phẳng có bao nhiêu phép đối xứng qua
mặt phẳng biến d thành d’?
Câu 55: Một hình hộp chữ đứng có đáy là hình thoi ( không phải là hình vuông) có bao nhiêu
mặt phẳng đối xứng?
Câu 56: Cho phép vị tự tâm O biến điểm A thành điểm B, biết rằng OA = 2OB Khi đó, tỉ số vị
tự là bao nhiêu?
Trang 16A 2 B -2 C 1
2
2.
Câu 57: Cho hai đường thẳng song song d, d’ và một điểm O không nằm trên chúng Có bao
nhiêu phép vị tự tâm O biến d thành d’?
Câu 58: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.
B Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.
C Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.
D Tốn tại một hình đa diện có số cạnh và mặt bằng nhau.
Câu 59: Cho khối chóp có đáy là n – giác Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A Số cạnh của khối chóp bằng n + 1.
B Số mặt của khối chóp bằng 2n.
C Số đỉnh của khói chóp bằng 2n + 1.
D Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.
Câu 60: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A Phép vị tự biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song với nó.
B Phép vị tự biến mặt phẳng qua tâm vị tự thành chính nó.
C Không có phép vị tự nào biến hai điểm phân biệt A và B lần lượt thành A và B.
D Phép vị tự biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
Đáp án
11- B 12- C 13- A 14- C 15- B 16- C 17- C 18- C 19- B 20- A21- D 22- A 23- C 24- sai 25- D 26- D 27- B 28-sai 29-đúng 30- C31- D 32- C 33- B 34- D 35- C 36- D 37- A 38- D 39- A 40- C41- C 42- D 43- A 44- D 45- D 46- C 47-B 48-đúng 49- B 50-B51- D 52- D 53- B 54- D 55- C 56- C 57- D 58- B 59- D 60- B
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án A
Áp dụng các tính chất của hình đa diện:
+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;
+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chungnào
Trang 17Câu 2: Đáp án D
Áp dụng các tính chất của hình đa diện:
+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;
+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hoặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chungnào
Câu 3: Đáp án C
Áp dụng các tính chất của hình đa diện:
+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;
+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chungnào
Khối mườihai mặt đều
Khối hai mươimặt đều
Trang 19Hình tám mặt đều có 8 mặt là các tam giác đều cạnh a nên tứ diện có tổng diện tích tất cả các
Đa diện đều loại {3;5} là khối hai mươi mặt đều nên có 20 mặt là các tam giác đều cạnh a
nên hình hai mươi mặt đều có tổng diện tích tất cả các mặt là 3 2 2
Cách 2: bảng tổng hợp 5 loại đa diện đều.