BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB b và tam giác SAC cân tại S.. Tìm x để thể tích tứ diện ABCD lớn nhất.. Câu 3: Tr
Trang 1VẬN DỤNG CAO VỀ HÌNH KHÔNG GIAN (P1 và P2) DẠNG 1 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH KHÔNG GIAN
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB b và tam
giác SAC cân tại S Trên cạnh AB lấy một điểm M với AM x 0 x a Mặt phẳng
qua M song song với AC và SB cắt BC,SB,SA lần lượt tại N,P,Q Xác định x để S MNPQ lớn nhất
4
a
2
a
3
a
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có
AB CD 2 , 0 x
2 và AC ADBC BD 1 . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Tìm x để thể tích tứ diện ABCD lớn
nhất
5
3
4 .
Câu 3: Trong các hình nón tròn xoay cùng có diện tích toàn phần bằng Tính thể tích hình nón lớn nhất?
9
12
2
3
.
Câu 4: Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điển M với
0
AM x x a , và trên nữa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta lấy điểm S với S Ay y 0 Với giả thiết 2 2 2
x y a , tìm giá trị lớn
nhất của thể tích hình chóp S.ABCM
42
a
12
a
2
a
8
a
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có ABCD x2 và 4 cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1 Xác
định x để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất.
A. 1
2
5
Câu 6: Cho tứ diện ABCD sao cho AB2x , CD2y và 4 cạnh còn lại đều có độ dài bằng
1 Xác định x và y để diện tích toàn phần đạt giá trị lớn nhất.
2
2
3
Trang 2Câu 7: Cho tam diện Oxyz có các góc x Oyy z O zOx Trên Ox,Oy,Oz lần lượt lấy
A,B,C sao cho OA OB OC x Tính để diện tích xung quanh lớn nhất
A.
2
4
3
4
Câu 8: Hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh SA=x, x0 3, , tất cả các cạnh còn lại có độ
dài bằng 1 Xác định x để hình chóp có thể tích lớn nhất.
3
6
3
5 .
Câu 9: Trong các hình trụ có diện tích toàn phần không đổi 2a Tìm thể tích hình trụ lớn2 nhất
3
a
5
a
2
a
3 2
3 3
a
.
Câu 10: Trong các hình trụ có diện tích xung quanh cộng diện tích một đáy không đổi là
2
2a Tìm thể tích hình trụ lớn nhất.
A.
3 6
3
a
B.
3 6 9
a
C.
3
9
a
D.
3
3
a
Câu 11: Trong tất cả các hình trụ có cùng thể tích V, tính diện tích toàn phần hình trụ nhỏ
nhất
A. 3 2V 3 2 B.
2 3 3 2
V
2 3 3 4
V
. D. 3 V 3 2
Câu 12: Trong tất cả hình nón có độ dài đường sinh là a, tìm hình nón có thể tích lớn nhất.
27
9
27
9
Đáp án
11-A 12-A
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án C
Gọi OACBD do tam giác SAC cân tại S nên SOAC
Trang 3Lại có AC BD AC SBD suy ra ACSB
Từ đó suy ra MNPQ là hình chữ nhật vì
MN AC
MQ SB
AC SB
Lại có BM MN a x 2 AM MQ x
Do đó S MNPQ b 2
a x x.
a lớn nhất a x x lớn nhất
2 2
a x x a
a x x x
Câu 2: Đáp án B
Ta có:
BI CD
CD AIB
AI CD
ABC A.IBC A.IB IBA IBA AIB
2
3
x x x x x V ABCD x.x x
3 3
9 3
V ABC D Dấu bằng xảy ra 2 2 1
1 2
3
x x x
Câu 3: Đáp án B
Ta có diện tích toàn phần của hình nón là S tp rl r2 rl r 2 1
( N )
Mặt khác
2 2 1 2 1
2 1 2
3 2 2 12
N
Câu 4: Đáp án D
S ABCM AMCB
6
a Max max
Trang 4Xét hàm số 2 2
f x x a y x a a x với x a;a
2 2 0
x
f ' x a x x a
3
0
2
max max
a
x
Câu 5: Đáp án B
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD và AB.
D
Tương tự S ACB x 1 x2 S ABD S BCD
Do đó S tp 4x 1 x2 2 x 2 1 x2 2
Do đó S tp 2 dấu bằng xảy ra 2
2
x
Câu 6: Đáp án B
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD và AB.
2
D
S AC y y y y ; S BC D y 1 y 2
Tương tự S ACB x 1 x2 S ABD
Do đó S tp 2x 1 x2 y 1 y2
Mặt khác
2 2
1
2 2
1
Do đó S tp 2 dấu bằng xảy ra 2
2
x y
Câu 7: Đáp án A
Ta có các tam giác
2
3
A xq S OAB OA OB x
Dấu bằng khi sin 1
2
Câu 8: Đáp án C
Tất cả cạnh đáy bằng 1 nên đáy ABCD là hình thoi.
Trang 5Vì S BSC S D Hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác BCD (H có thể nằm ngoài tam giác BCD) Gọi OAC D B và M là trung điểm
BC.
2
a
2 2
2
1
4
a
2
2
a
2
ABC D B AC D a
.
D
S ABC
Dấu bằng khi 2 1 1 2 2 5
2
SA
Câu 9: Đáp án D
Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h.
Theo đề:
2 2
Câu 10: Đáp án C
Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h.
3
Câu 11: Đáp án A
Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h Theo đề: 2 V2
R
Ta có diện tích toàn phần là: S tp 2 2 2 2 2 2V 2 2V V 3 23 2
Câu 12: Đáp án A
Trang 6Gọi bán kính đáy là R và chiều cao hình trụ là h Theo đề:
2
3
a