Về sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ co trong không gian b mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC VINH - - NGUYỄN THỊ THÙY LINH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHÔNG GIAN b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC VINH - - NGUYỄN THỊ THÙY LINH VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO TRONG KHƠNG GIAN b-MÊTRIC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS ĐINH HUY HOÀNG Vinh - 2016 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động chủ đề quan tâm nghiên cứu giải tích, có nhiều ứng dụng tốn học ngành kỹ thuật Nguyên lý tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach (1922) kết quan trọng lý thuyết điểm bất động Kết mở rộng cho nhiều loại ánh xạ nhiều lớp không gian khác Vào năm 1993, để mở rộng lớp không gian mêtric, S Czerwik [4] đưa khái niệm không gian b-mêtric chứng minh vài kết tồn điểm bất động ánh xạ co khơng gian b-mêtric Sau nhiều nhà tốn học tìm cách mở rộng kết tồn điểm bất động không gian mêtric cho không gian b-mêtric Năm 2013, M Kir H Kiziltunc [6] chứng minh tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan kiểu Chatterjea không gian b-mêtric Mới (2014), Z Mustafa cộng [8] mở rộng kết Kannan [5], Chatterjea [2], Choudhury [3], Moradi [7] Razami, Parvaneh [9] tồn điểm bất động ánh xạ co kiểu Kannan, Chatterjea, T -co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea không gian mêtric cho không gian b-mêtric Cũng vào năm 2014, A Aghajani cộng [1] R Roshan cộng [10] chứng minh số định lí tồn điểm bất động chung ánh xạ không gian b-mêtric Để tìm hiểu khơng gian b-mêtric lý thuyết điểm bất động, tiếp cận hướng nghiên cứu với mục đích tìm kiếm điều kiện đủ ánh xạ khơng gian b-mêtric có điểm bất động chung.Với mục đích đó, hướng dẫn thầy PGS-TS Đinh Huy Hồng, tơi thực đề tài " Về tồn điểm bất động chung ánh xạ co không gian b-mêtric " Nội dung luận văn chia làm chương: Chương 1: Khơng gian b-mêtric Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất không gian b-mêtric Chương 2: Về tồn điểm bất động chung ánh xạ co suy rộng không gian b-mêtric Trong chương đưa số kết tồn điểm bất động chung hai ánh xạ T -co T -co yếu suy rộng khơng gian b-mêtric, Định lí 2.1.1 Hệ 2.1.2, 2.1.4, 2.1.5 Hệ 2.1.7 Sau đó, chúng tơi đưa định lí tồn điểm bất động chung hai ánh xạ T -co yếu suy rộng không gian b-mêtric Định lí 2.2.1 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 Luận văn thực Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, PGS TS Đinh Huy Hồng Đặc biệt, tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tơi q trình học tập thực đề tài Nhân dịp xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Toán học Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Sư phạm Toán học - Đại học Vinh giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trình thực đề tài Tôi xin cảm ơn tác giả báo, viết mà tham khảo sử dụng luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ, anh chị em người thân bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên suốt thời gian học tập thực đề tài Trong q trình thực luận văn tơi cố gắng, nỗ lực nhiều Tuy nhiên điều kiện lực nghiên cứu hạn chế nên chắn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn cách trình bày Vì vậy, tơi mong góp ý, giúp đỡ thầy bạn để luận văn hồn chỉnh Vinh, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thùy Linh Chương KHÔNG GIAN b - MÊTRIC Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric làm sở cho việc trình bày chương 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, mà cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn: 1) d(x, y) ≥ d(x, y) = x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Tập X với mêtric d gọi khơng gian mêtric kí hiệu (X, d) X 1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử {xn } dãy số thực bị chặn Khi đó, tồn inf sup{xn+k : k = 0, 1, } ∈ R sup inf{xn+k : k = 0, 1, } ∈ R Ta gọi n n inf sup{xn+k : k = 0, 1, }, sup inf{xn+k : k = 0, 1, } tương ứng giới n n hạn trên, giới hạn dãy {xn } n → ∞ kí hiệu tương ứng lim sup xn , lim inf xn n→∞ n→∞ Nếu dãy {xn } không bị chặn (không bị chặn dưới) ta đặt lim sup xn = n→∞ +∞ (tương ứng, lim inf xn = −∞) n→∞ Chú ý Trong tài liệu ta viết ∞ thay cho +∞ 1.1.3 Bổ đề ([1]) Với dãy số thực {xn }, ta có 1) lim inf xn ≤ lim sup xn ; n→∞ n→∞ 2) Tồn lim xn = a ∈ R n→∞ lim inf xn = lim sup xn = a n→∞ n→∞ 1.1.4 Bổ đề ([1]) Giả sử {xn } {yn } dãy số thực bị chặn Khi đó, ta có 1) lim sup(xn + yn ) ≤ lim sup xn + lim sup yn ; n→∞ n→∞ n→∞ 2) lim inf (xn + yn ) ≥ lim inf xn + lim inf yn n→∞ n→∞ n→∞ 1.1.5 Bổ đề ([1]) Giả sử f : R −→ R hàm đơn điệu tăng liên tục, {xn } dãy bị chặn R Khi đó, ta có 1) lim sup f (xn ) ≤ f (lim sup xn ); n→∞ n→∞ 2) lim inf f (xn ) ≥ f (lim inf xn ) n→∞ n→∞ Chứng minh 1) Đặt un = sup{xn+k : k = 0, 1, } Khi đó, lim sup xn = inf un = lim un := α n→∞ n n→∞ xn ≤ un với n = 1, 2, Vì f đơn điệu tăng nên f (xn ) ≤ f (un ) với n = 1, 2, Từ bất đẳng thức suy lim sup f (xn ) ≤ lim sup f (un ) (1.1) n→∞ n→∞ Mặt khác, f liên tục lim un = α nên n→∞ f (lim sup xn ) = f (α) = lim f (un ) = lim sup f (un ) n→∞ n→∞ n→∞ Kết hợp với (1.1) suy lim sup f (xn ) ≤ f (lim sup xn ) n→∞ n→∞ Khẳng định 2) chứng minh tương tự 1.1.6 Định nghĩa Hàm ψ : [0, ∞) → [0, ∞) gọi hàm chuyển đổi khoảng cách ψ liên tục tăng ngặt, ψ(0) = Trong định nghĩa sau, ψ hàm chuyển đổi khoảng cách ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) hàm liên tục ϕ(x, y) = x = y = 1.1.7 Định nghĩa ([7]) Giả sử (X, d) không gian mêtric, T : X → X Ánh xạ f : X → X gọi T -co yếu suy rộng kiểu Chatterjea ψ d(T f x, T f y) ≤ ψ d(T x, T f y) + d(T y, T f x) − ϕ d(T x, T f y), d(T y, T f x) ∀x, y ∈ X Ánh xạ f : X → X gọi T -co yếu suy rộng kiểu Kannan ψ d(T f x, T f y) ≤ ψ 1.2 d(T x, T f x) + d(T y, T f y) − ϕ d(T x, T f x), d(T y, T f y) ∀x, y ∈ X Không gian b-mêtric Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian b-mêtric 1.2.1 Định nghĩa ([5]) Giả sử X tập hợp khác rỗng số thực s ≥ Hàm d : X × X −→ [0, ∞) gọi b-mêtric với x, y, z ∈ X , ta có 1) d(x, y) = ⇔ x = y ; 2) d(x, y) = d(y, x); 3) d(x, y) ≤ s[d(x, z) + d(z, y)] (bất đẳng thức tam giác) Tập X với b-mêtric gọi khơng gian b-mêtric với hệ số s, nói gọn khơng gian b-mêtric kí hiệu (X, d) X Chú ý 1) Từ sau, nói tới khơng gian b-mêtric ta ln hiểu hệ số s ≥ 2) Từ định nghĩa không gian mêtric không gian b-mêtric ta thấy rằng, không gian mêtric trường hợp đặc biệt không gian b-mêtric s = Ví dụ sau cho thấy rằng, lớp không gian b-mêtric thực rộng lớp khơng gian mêtric 1.2.2 Ví dụ 1) ([10]) Giả sử (X, ρ) không gian mêtric d : X x X −→ [0, ∞) hàm cho d(x, y) = (ρ(x, y))2 ∀x, y ∈ X Khi đó, d b-mêtric với s = 2) Giả sử X = R R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm d : R x R −→ [0, ∞) d(x, y) = |x − y|2 ∀x, y ∈ R Khi đó, d b-mêtric với s = (theo 1) d khơng mêtric R d(1, −2) = > = d(1, 0) + d(0, −2) 3) Cho X = {0, 1, 2} hàm d : X x X −→ [0, ∞) xác định d(0, 0) = d(1, 1) = d(2, 2) = d(0, 1) = d(1, 0) = d(1, 2) = d(2, 1) = d(2, 0) = d(0, 2) = m ≥ m [d(x, z) + d(z, y)] với x, y, z ∈ X Do đó, (X, d) m khơng gian b-mêtric với tham số s = ≥ Tuy nhiên, m > bất đẳng thức tam giác thơng thường khơng cịn Khi đó, d(x, y) ≤ (X, d) khơng phải khơng gian mêtric 1.2.3 Định nghĩa ([5]) Giả sử {xn } dãy không gian b-mêtric (X, d) Dãy {xn } gọi b-hội tụ (nói gọn hội tụ) tới x ∈ X kí hiệu xn → x lim xn = x với ε > 0, tồn số tự nhiên n0 cho n→∞ Nếu α4 = d(y2n+1 , y2n+2 ) = Điều mâu thuẫn với (2.10) Giả sử α4 = Khi đó, α2 = d(y2n+2 , y2n ) = bất đẳng thức (2.9) trở thành ψ d(y2n+1 , y2n+2 ) ≤ ψ α1 sd(y2n , y2n+1 ) Bất đẳng thức điều mâu thuẫn với (2.10) α1 s ≤ Nếu α4 = α2 = tương tự ta có điều mâu thuẫn Như (2.10) xảy Do d(y2n+1 , y2n+2 ) ≤ d(y2n , y2n+1 ) ∀n = 0, 1, Tương tự ta chứng minh d(y2n+2 , y2n+3 ) ≤ d(y2n+1 , y2n+2 ) ∀n = 0, 1, Như {d(yn , yn+1 )} dãy giảm số không âm nên tồn lim d(yn , yn+1 ) := n→∞ r ≥ Khi đó, từ (2.9) suy ψ(r) ≤ ψ(r) − ϕ(α1 r, α2 r, 0, α4 r, α4 r) (2.12) Vì ψ hàm khơng giảm nên ϕ(α1 r, α2 r, 0, α4 r, α4 r) = Do α1 r = α2 r = α4 r = Nếu số α1 , α2 , α4 khác khơng r = Nếu α1 = α2 = α4 = từ bất đẳng thức (2.9) ta có ψ(r) ≤ ψ(0) Do r = Vậy lim d(yn , yn+1 ) = n→∞ 24 (2.13) Tiếp theo, ta chứng minh {yn } dãy Cauchy Vì (2.13) nên cần chứng minh {y2n } dãy Cauchy Giả sử {y2n } khơng dãy Cauchy Khi đó, tồn ε > cho tìm hai dãy {y2nk } {y2mk } {y2n } cho nk số tự nhiên nhỏ thỏa mãn nk > mk > k d(y2mk , y2nk ) ≥ ε (2.14) d(y2mk , y2nk −2 ) < ε (2.15) Do Từ bất đẳng thức tam giác (2.15) ta có d(y2nk −2 , y2mk −1 ) ≤ sd(y2nk −2 , y2mk ) + sd(y2mk , y2mk −1 ) ≤ sε + sd(y2mk , y2mk −1 ) Cho k → ∞ ta lim supd(y2nk −2 , y2mk −1 ) ≤ sε (2.16) k→∞ Tương tự ta có d(y2nk −1 , y2mk −1 ) ≤ sd(y2nk −1 , y2nk −2 ) + sd(y2nk −2 , y2mk −1 ) Cho k → ∞, sử dụng (2.16) ta có lim supd(y2nk −1 , y2mk −1 ) ≤ s2 ε (2.17) k→∞ Sử dụng (2.14) bất đẳng thức tam giác ta có ε < d(y2mk , y2nk ) ≤ sd(y2mk , y2mk −1 ) + s2 d(y2mk −1 , y2nk −1 ) + s2 d(y2nk −1 , y2nk ) Cho k → ∞ ta ε ≤ lim inf d(y2mk −1 , y2nk −1 ) k→∞ s2 25 (2.18) Sử dụng (2.14) bất đẳng thức tam giác ta có ε ≤ d(y2nk , y2mk ) ≤ s[d(y2nk , y2nk −1 ) + d(y2nk −1 , y2mk )] Vì ψ hàm tăng nên từ bất đẳng thức suy ε ψ − d(y2nk , y2nk −1 ) ≤ ψ d(T f x2nk −2 , T gx2mk −1 ) s ≤ ψ max {α1 sd(y2nk −2 , y2mk −1 ), α2 d(y2nk −2 , y2mk ) +α3 d(y2mk −1 , y2nk −1 ), α4 s d(y2nk −2 , y2nk −1 ) + d(y2mk −1 , y2mk ) − ϕ α1 d(y2nk −2 , y2mk −1 ), α2 d(y2nk −2 , y2mk ), α3 d(y2mk −1 , y2nk −1 ), α4 d(y2nk −2 , y2nk −1 ), α4 d(y2mk −1 , y2mk ) Cho k → ∞, sử dụng tính chất hàm ψ, ϕ bất đẳng thức (2.15), (2.16), (2.17)ta có ε ψ( ) ≤ ψ(max{α1 s2 ε, α2 ε + α3 s2 ε}) s − ϕ α1 lim inf d(y2nk −2 , y2mk −1 ), α2 lim inf d(y2nk −2 , y2mk ), k→∞ k→∞ (2.19) α3 lim inf d(y2mk −1 , y2nk −1 ), 0, k→∞ Vì max{α1 s2 ε, α2 ε + α3 s2 ε} ≤ ε nên từ (2.19) tính chất hàm ϕ suy s α1 lim inf d(y2nk −2 , y2mk −1 ) = α2 lim inf d(y2nk −2 , y2mk ) k→∞ k→∞ = α3 lim inf d(y2mk −1 , y2nk −1 ) = (2.20) k→∞ Nếu α1 = α2 = α3 = từ (2.19) ta có ε ψ( ) ≤ ψ(0) s Bất đẳng thức mâu thuẫn với ε > Giả sử α3 = Khi đó, từ (2.20) suy lim inf d(y2mk −1 , y2nk −1 ) = Điều mâu thuẫn với (2.18) Giả sử α2 = k→∞ 26 Khi đó, theo (2.14) bất đẳng thức tam giác ta có ε ≤ d(y2nk , y2mk ) ≤ sd(y2nk , y2nk −2 ) + sd(y2nk −2 , y2mk ) ≤ s2 d(y2nk , y2nk −1 ) + s2 d(y2nk −1 , y2nk −2 ) + sd(y2nk −2 , y2mk ) Cho k → ∞ ta ε ≤ lim inf d(y2nk −2 , y2mk ) k→∞ s (2.21) Vì α2 = nên từ (2.20) suy lim inf d(y2nk −2 , y2mk ) = Điều mâu thuẫn k→∞ với (2.21) Giả sử α1 = Khi đó, từ (2.20) suy lim inf d(y2nk −2 , y2mk −1 ) = Mặt khác, k→∞ ta có d(y2nk −2 , y2mk ) ≤ sd(y2nk −2 , y2mk −1 ) + sd(y2mk −1 , y2mk ) Cho k → ∞, sử dụng (2.21) ta có ε ≤ lim inf d(y2nk −2 , y2mk −1 ) k→∞ s2 Ta lại có điều mâu thuẫn Từ suy {y2n } dãy Cauchy Do {yn } dãy Cauchy Vì X không gian đầy đủ nên tồn y ∈ X cho yn → y , tức T xn → y (a) Giả sử T liên tục hội tụ dãy Khi đó, T xn → y T ánh xạ hội tụ dãy nên tồn dãy {xnk } {xn } cho xnk → x ∈ X Vì T liên tục nên T xnk → T x Kết hợp với T xn → y suy y = T x (b) Giả sử T (X) đóng X Khi đó, T xn → y nên y ∈ T (X) Do tồn x ∈ X cho y = T x (c) Giả sử T toàn ánh Khi đó, từ y ∈ X suy tồn x ∈ X cho y = T x 27 Bây giờ, ta chứng minh x = f x = gx Theo bất đẳng thức tam giác ta có d(y, T f x) = d(T x, T f x) ≤ sd(y, y2n+2 ) + sd(y2n+2 , T f x) = sd(y, y2n+2 ) + sd(T f x, T gx2n+1 ) ∀n = 0, 1, Từ ta có ψ d(y, T f x) − d(y, y2n+2 ) ≤ ψ d(T f x, T gx2n+1 ) s ≤ ψ max {α1 sd(y, y2n+1 ), α2 d(y, y2n+2 ) + α3 d(y2n+1 , T f x), α4 s d(y, T f x) + d(y2n+1 , y2n+2 ) − ϕ α1 d(y, y2n+1 ), α2 d(y, y2n+2 ), α3 d(y2n+1 , T f x), α4 d(y, T f x), α4 d(y2n+1 , y2n+2 ) ∀n = 0, 1, Cho n → ∞, sử dụng tính chất ψ, ϕ Bổ đề 1.2.5 ta có ψ d(y, T f x) ≤ ψ max{α3 sd(y, T f x), α4 sd(y, T f x)} s − ϕ 0, 0, α3 lim inf d(y2n+1 , T f x), α4 d(y, T f x), (2.22) n→∞ Vì max{α3 s, α4 s} ≤ nên từ (2.22) tính chất hàm ψ ϕ suy s α3 lim inf d(y2n+1 , T f x) = α4 d(y, T f x) = n→∞ Nếu α4 = d(y, T f x) = Nếu α4 = α3 = lim inf d(y2n+1 , T f x) = Mặt khác, yn → y nên n→∞ theo Bổ đề 1.2.5 ta có lim inf d(y2n+1 , T f x) ≥ d(y, T f x) Do d(y, T f x) = n→∞ s Nếu α3 = α4 = (2.22) trở thành ψ( d(y, T f x)) ≤ ψ(0) s Do d(y, T f x) = Như ta ln có d(y, T f x) = 0, tức y = T f x hay T x = T f x Vì T đơn ánh nên x = f x 28 Tương tự ta chứng minh x = gx Vậy x điểm bất động chung f g Giả sử u ∈ X điểm bất động chung f g Khi đó, u = f u = gu Do ta có ψ d(T x,T u) = ψ d(T f x, T gu) ≤ ψ max {α1 sd(T x, T u), α2 d(T x, T u) + α3 d(T u, T x), α4 s d(T x, T x) + d(T u, T u) − ϕ α1 d(T x, T u), α2 d(T x, T u), α3 d(T x, T u), 0, ≤ ψ(d(T x, T u)) − ϕ α1 d(T x, T u), α2 d(T x, T u), α3 d(T x, T u), 0, (2.23) Do α1 d(T x, T u) = α2 d(T x, T u) = α3 d(T x, T u) = Nếu số α1 , α2 , α3 khác khơng d(T x, T u) = Nếu α1 = α2 = α3 = (2.23) trở thành ψ d(T x, T u) ≤ ψ(0) Do d(T x, T u) = Như ta ln có d(T x, T u) = 0, tức T x = T u Vì T đơn ánh nên u = x Vậy điểm bất động chung f g Cuối cùng, giả sử T f x = f T x T gx = gT x Khi đó, T x = f T x = gT x Như T x điểm bất động chung f g Do T x = x = 29 f x = gx Vậy x điểm bất động chung T , f g Sau vài hệ Định lí 2.2.1 2.2.2 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với hệ số s ≥ 1, T f : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Tồn ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ số không âm α1 , α2 , α3 , α4 cho 1 1 α1 ≤ , α2 + α3 s2 ≤ , αj ≤ min{ , }, j = 2, 3, s s 2s s ψ d(T f x, T f y) ≤ ψ max {α1 sd(T x, T y), α2 d(T x, T f y) +α3 d(T y, T f x), α4 s d(T x, T f x) + d(T y, T f y) − ϕ α1 d(T x, T y), α2 d(T x, T f y), α3 d(T y, T f x), α4 d(T x, T f x), α4 d(T y, T f y) (2.24) với x, y ∈ X (ii) T đơn ánh liên tục Khi đó, Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động; Nếu T hội tụ dãy với x0 ∈ X, dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Trong Định lí 2.2.1, thay g f điều kiện (i) Định lí 2.2.1 điều kiện (i) Hệ 2.2.2 trùng Do đó, chứng 30 minh Định lí 2.2.1, thay g f , ta có kết luận 1) 2) Hệ 2.2.2 Nếu có thêm giả thiết T ánh xạ hội tụ dãy chứng minh Định lí 2.2.1, thay dãy {xnk } hội tụ tới x {xn } hội tụ tới x ta có f n x0 → x, tức ta có khẳng định 3) Hệ 2.2.2 Kí hiệu Φ1 = {ϕ : [0, ∞)2 → [0, ∞) | ϕ(a, b) = ⇔ a = b = ϕ(lim inf an , lim inf bn ) ≤ lim inf ϕ(an , bn )} n→∞ n→∞ n→∞ 2.2.3 Hệ Giả sử (X, d) không gian b-mêtric đầy đủ với hệ số s ≥ 1, T f : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Tồn ψ ∈ Ψ, ϕ1 ∈ Φ1 cho d(T x, T f x) + d(T y, T f y) s+1 − ϕ1 d(T x, T f x), d(T y, T f y) ψ d(T f x, T f y) ≤ ψ (2.25) (ii) T đơn ánh liên tục Khi Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động; Nếu T hội tụ dãy với x0 ∈ X, dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Đặt α1 = α2 = α3 = 0, α4 = 31 s(s + 1) Khi đó, α4 ≤ 1 , α4 ≤ 2s s max{α1 sd(T x, T y), α2 d(T x, T gy) + α3 d(T y, T f x), α4 s d(T x, T f x) d(T x, T f x) + d(T y, T gy) +d(T y, T gy) } = s+1 ∀x, y ∈ X (2.26) Ta xác định ánh xạ ϕ : [0, ∞)5 → [0, ∞) công thức ϕ(a, b, c, d, e) = ϕ1 max{a, b, c, 1 d}, e α4 α4 với (a, b, c, d, e) ∈ [0, ∞)5 Khi đó, từ tính chất ϕ1 suy ϕ(a, b, c, d, e) = ⇔ a = b = c = d = e = lim inf ϕ(an , bn , cn , dn , en ) = lim inf ϕ1 max{an , bn , cn , n→∞ n→∞ 1 dn }, en α4 α4 1 dn }, lim inf en n→∞ n→∞ α4 α4 1 = ϕ1 max{lim inf an , lim inf bn , lim inf cn , lim inf dn }, lim inf en n→∞ n→∞ n→∞ α4 n→∞ α4 n→∞ = ϕ(lim inf an , lim inf bn , lim inf cn , lim inf dn , lim inf en ) ≥ ϕ1 lim inf max{an , bn , cn , n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ Do ϕ ∈ Φ Từ (2.25), (2.26) ta có ψ d(T f x, T f y) ≤ ψ max {α1 d(T x, T y), α2 d(T x, T f y) +α3 d(T y, T f x), α4 s d(T x, T f x) + d(T y, T f y) − ϕ α1 d(T x, T y), α2 d(T x, T f y), α3 d(T y, T f x), α4 d(T x, T f x), α4 d(T y, T f y) với x, y ∈ X Như điều kiện (i) Hệ 2.2.2 thỏa mãn Do khẳng định cần chứng minh suy từ Hệ 2.2.2 32 Trong Định lí 2.2.1 lấy (X, d) khơng gian mêtric (tức s = 1) ta nhận hệ sau 2.2.4 Hệ Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ; T, f g : X → X ba ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Tồn ψ ∈ Ψ, ϕ ∈ Φ số không âm α1 , α2 , α3 , α4 cho αj ≤ với j = 1, 2, 3, ψ(d(T f x, T gy)) ≤ ψ(max {α1 d(T x, T y), α2 d(T x, T gy) + α3 d(T y, T f x), α4 (d(T x, T f x) + d(T y, T f y))}) − ϕ(α1 d(T x, T y), α2 d(T x, T gy), α3 d(T y, T f x), α4 d(T x, T f x), α4 d(T y, T gy)) với x, y ∈ X (ii) T đơn ánh có tính chất: (a) T liên tục hội tụ dãy con, (b) T (X) đóng X , (c) T tồn ánh Khi đó, f g có điểm bất động chung X Hơn thêm giả thiết T f x = f T x T gx = gT x với x điểm bất động chung f g T, f g có điểm bất động chung X 33 2.2.5 Hệ ([11]) Giả sử (X, d) không gian mêtric đầy đủ, T f : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) f ánh xạ T -co yếu suy rộng kiểu Kannan T -co yếu suy rộng kiểu Chatterjea (ii) T đơn ánh liên tục Khi đó, Với x0 ∈ X , dãy {T f n x0 } hội tụ; Nếu T ánh xạ hội tụ dãy f có điểm bất động; Nếu T hội tụ dãy với x0 ∈ X, dãy {f n x0 } hội tụ tới điểm bất động f Chứng minh Nếu f ánh xạ T -co yếu suy rộng kiểu Kannan điều cần chứng minh suy từ Hệ 2.2.3 với việc lấy s = Bây giờ, giả sử f ánh xạ T -co yếu suy rộng kiểu Chatterjea Khi đó, tồn ψ ∈ Ψ, ϕ1 : [0, ∞)2 → [0, ∞) hàm liên tục ϕ1 (a, b) = ⇔ a = b = cho d(T x, T f y) + d(T y, T f x) − ϕ1 d(T x, T f y), d(T y, T f x) ψ d(T f x, T f y) ≤ ψ (2.27) với x, y ∈ X Đặt α1 = α4 = 0, α2 = α3 = xác định hàm ϕ : [0, ∞)5 → [0, ∞) với ϕ(a, b, c, d, e, f ) = ϕ1 max{a, b, e, f }, c 34 Tương tự chứng minh Hệ 2.2.3, ta chứng minh ϕ ∈ Φ ta dễ dàng kiểm tra điều kiện Hệ 2.2.2 thỏa mãn với s = Do kết luận Hệ 2.2.5 suy từ Hệ 2.2.2 35 KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: - Đưa số kết tồn điểm bất động chung hai ánh xạ T -co khơng gian b-mêtric đầy đủ, Định lí 2.1.1 Hệ 2.1.2, 2.1.4, 2.1.5 Hệ 2.1.7 Các kết mở rộng số kết tài liệu tham khảo [8]; [6]; [4] - Đưa định lí tồn điểm bất động chung hai ánh xạ T -co yếu suy rộng khơng gian b-mêtric Định lí 2.2.1 Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5 Các kết mở rộng số kết tài liệu tham khảo [10]; [11] - Các kết mục 2.2 luận văn viết thành báo có giấy nhận đăng Tạp chí khoa học trường Đại học Vinh Hy vọng thời gian tới với điều kiện thời gian cho phép với giúp đỡ thầy cơ, bạn đồng nghiệp, tơi nghiên cứu làm rõ 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Giải tích toán học, Tập 1, Nhà xuất đại học sư phạm [2] A Aghajani, M Abbas, J R Roshan (2014), Common fixed point of generalized weak contractive mapping in partially ordered b-metric space, Math Slovaca [3] A Beiranvand, S Moradi, M Omid, H Pazandeh, Two fixed point theorems for special mapping, arXiv: 0903.1504v1 [math.FA] [4] S K Chatterjea (1972), Fixed point theorems, C R Acad Bulgare Sci 25, 727-730 [5] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Inform Univ Ostrav 1, 5-11 [6] R Kannan (1968), Some results on fixed points, Bull Calcutta Math Soc 60, 71-76 [7] M S Khan, M Swaleh, S Sessa (1984), Fixed point theorems by altering distances between the points, Bull Aust, Math Soc, 30, 1-9 [8] M Kir, H Kiziltunc (2013), On some well known fixed point theorems in 37 b-metric spaces, Turkish Journal of Analysis and Number Theory, Vol 1, No 1, 13-16 [9] N Malhotra and B Bansal (2015), Some common coupled fixed point theorems for generalized contraction in b-metric spaces, J Nonlinear Sci Appl, 8, 8-16 [10] Z Mustafa, J R Roshan, V Parvaneh and Z Kadelburg (2014), Fixed point theorems for weakly T-Chatterjea and weakly T-Kannan contractions in b-metric spaces, Journal of Inequalities and Applications, 2014:46 [11] A Razani, V Parvaneh (2013), Some fixed point theorems for weakly TChatterjea and weakly T-Kannan contractive mappings in complete metric spaces, Russ Math (Izv VUZ), 57(3), 38-45 [12] J R Roshan, N Shobkolaei, S Sedghi and M Abbas (2014), Common fixed point of for maps in b-metric spaces, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, Vol, 43(4), 613 - 624 38 ... CÁC ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN b - MÊTRIC Trong chương này, đưa số kết tồn điểm b? ??t động chung ánh xạ T -co T -co yếu suy rộng không gian b- mêtric 2.1 Sự tồn điểm b? ??t động chung hai ánh. .. 0, α2 = α 2.2 Sự tồn điểm b? ??t động chung ánh xạ T ? ?co yếu suy rộng không gian b- mêtric Trong mục này, đưa số kết tồn điểm b? ??t động chung hai ánh xạ T ? ?co yếu suy rộng khơng gian b- mêtric Ta kí... điểm b? ??t động ánh xạ co không gian b- mêtric Sau nhiều nhà tốn học tìm cách mở rộng kết tồn điểm b? ??t động không gian mêtric cho không gian b- mêtric Năm 2013, M Kir H Kiziltunc [6] chứng minh tồn