Bé Gi¸o dôc vµ §µo t¹o UBND tØnh Thanh Hãa Trêng §¹i häc Hång §øc NguyÔn V¨n Minh §iÓm bÊt ®éng chung cña bèn ¸nh x¹ co trong kh«ng gian mªtric LuËn v¨n Th¹c sÜ To¸n häc Thanh Hãa, n¨m 2019 Bé Gi¸o d[.]
Bộ Giáo dục Đào tạo UBND tỉnh Thanh Hóa Trường Đại học Hồng Đức Nguyễn Văn Minh Điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric Luận văn Thạc sĩ Toán học Thanh Hóa, năm 2019 Bộ Giáo dục Đào tạo UBND tỉnh Thanh Hóa Trường Đại học Hồng Đức Nguyễn Văn Minh Điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric Luận văn Thạc sĩ Toán học Chuyên ngành: Toán Giải tích Mà số: 8.46.01.02 Cán hướng dẫn khoa học PGS TS Trần Văn Ân Thanh Hóa, năm 2019 Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học (Theo Quyết định số ngày tháng năm 2019 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức) Học hàm, học vị, họ tên Cơ quan công tác Chức danh Hội đồng Chủ tịch Hội đồng Phản biện Phản biện ủy viên ủy viên th ký X¸c cđa nhËn cđa Ngêi híng dÉn Häc viên đà chỉnh sửa Luận văn theo ý kiến Hội đồng chấm Luận văn Ngày tháng năm 2019 PGS.TS Trần Văn Ân * Có thể tham khảo Luận văn Thư viện trường Bộ môn i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết luận văn sử dụng trích dẫn xác, rõ ràng Thanh Hóa, ngày 10 tháng 11 năm 2019 Người cam đoan Nguyễn Văn Minh ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Thầy đà hướng dẫn bảo cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tự nhiên, Phòng đào tạo Đại học-Sau đại học, quý thầy, cô giáo tổ Giải Tích khoa Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức, Trung tâm Giáo dục nghề nghiệp - giáo dục thường xuyên huyện Ngọc Lặc tỉnh Thanh Hóa đà tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Nhân đây, tác giả xin cảm ơn bạn học viên cao học khóa 10 Giải tích trường Đại học Hồng Đức Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bố, mẹ, anh, chị, em tất bạn bè đà tạo điều kiện giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ trình học tập Mặc dù đà tích cực đầu tư có nhiều cố gắng nghiên cứu, thực đề tài, song luận văn không tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý Thầy, Cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện iii Mục Lục Trang Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục kí hiệu iv Mở đầu Chương 1 Điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric 1.1 Các kiến thức chuẩn bÞ 1.2 Điểm bất động chung bốn ánh xạ thỏa mÃn điều kiện 21 Điểm bất động chung bốn ánh xạ thỏa mÃn điều kiện co không gian mêtric có thứ tự 2.2 10 Điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric có thứ tự 2.1 (S, T )- co không gian mêtric Ch¬ng (S, T )- Điểm bất động chung bốn ánh xạ thỏa mÃn điều kiện 21 (S, T )- hầu co không gian mêtric có thứ tự 30 KÕt ln 39 Tµi liƯu tham khảo 40 Thanh Hóa, ngày 10 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Văn Minh iv Danh mục kí hiệu : Tập hợp số tự nhiên, hay tËp hỵp {0, 1, 2, } N N : Tập hợp số tự nhiên khác 0, hay tËp hỵp {1, 2, 3, } R : Tập hợp số thực R+ : Tập hợp số thực không âm, hay tập hợp [0, +) [a, b] : Đoạn [a, b], hay tập hợp {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} [a, b) : Nöa khoảng [a, b), hay tập hợp {x R : a ≤ x < b} x∈X : PhÇn tư x tập hợp X (X, d, ) : Không gian mêtric có thứ tự (X, ) : Tập thứ tự (X, , d) : Không gian mêtric đầy đủ, có thứ tự d (x, y) : Khoảng cách x y Mở đầu Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng toán Giải tÝch vµ nã cã nhiỊu ng dơng nhiỊu ngµnh toán học khác Do đó, đà nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết Kết quan trọng phải kể đến lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ Banach Nguyên lý ánh xạ co Banach tảng cho phát triển nghiên cứu cho toán tồn nhiều ngành giải tích toán học ứng dụng Vì mà nhà toán học sau đà mở rộng định lý cho lớp ánh xạ không gian khác nhau, cách điều chỉnh điều kiện co không gian mêtric Năm 1997, Alber Guere - Delabrere đà đưa khái niệm ánh xạ co yếu xác định không gian Hilbert thiết lập định lý điểm bất động cho ánh xạ Sau năm 2001 Rhoades đà chứng minh kết tương ứng không gian Hilbert thay không gian mêtric Đến năm 2008 Dutta Choudhury đà khái quát hóa điều kiện co yếu chứng minh định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ Các nghiên cứu điểm bất động chung ánh xạ thỏa mÃn điều kiện co đà trở thành tâm điểm hoạt động nghiên cứu lý thuyết điểm bất động Phạm vi nghiên cứu lý thuyết điểm bất động chung bốn ánh xạ bắt đầu với giả thiết tất ánh xạ giao hoán với Năm 1982, cách giới thiệu khái niệm ánh xạ giao hoán yếu, Sessa [16] đà mở rộng khái niệm ánh xạ giao hoán Sau đó, Jungck đà mở rộng ý tưởng giới thiệu khái niệm ánh xạ tương thích [5] sau khái niệm ánh xạ tương thích yếu [6] Đà có ví dụ cho thấy mở rộng khái niệm giao hoán nêu sử mở rộng thực khái niệm đà có trước Mặt khác, năm 2006 Beg Abbas [9] đà thu định lý ®iĨm bÊt ®éng chung më réng ®iỊu kiƯn co yếu cho hai ánh xạ Theo hướng này, năm 2009 Zhang Song [15] đà đưa khái niệm ánh xạ -co yếu suy rộng thu kết qủa điểm chung bất động chung hai ánh xạ Gần đây, Doric [3] đà chứng minh định lý điểm bất động chung cho ánh xạ (, )-co yếu suy rộng Để tập dượt nghiên cứu khoa học, tiếp cận hướng nghiên cứu nhằm tìm hiểu kết điểm bất động bốn ánh xạ co không gian mêtric Trên sở tài liệu tham khảo, hướng dẫn PGS.TS.Trần Văn Ân, đà thực đề tài: "Điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric" Mục đích đề tài - Tìm hiểu tính chất không gian mêtric không gian mêtric có thứ tự, điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric không gian mêtric có thứ tự - Trình bày cách có hệ thống chi tiết số kết điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric không gian mêtric có thứ tự Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric có thứ tự, ánh xạ co, điểm bất động, điểm bất động chung, - Phạm vi nghiên cứu tính chất mối quan hệ đối tượng trên, định lý, định nghĩa điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric không gian mêtric có thứ tự Phương pháp nghiên cứu - Dùng phương pháp nghiên cứu giải tích, tôpô, giải tích hàm - Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu tài liệu sư dơng mét sè kü tht chøng minh míi ®Ĩ giải vấn đề đặt Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm chương Chương với nhan đề Điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric Trong mục 1.1 giới thiệu qua số kiến thức làm sở cho việc trình bày luận văn Các nội dung gồm: Các khái niệm kết không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric có thứ tự, ánh xạ tương thích, ánh xạ tương thích yếu, điểm bất động chung Mối quan hệ điều kiện số ví dụ minh họa Mục 1.2 dành cho việc trình bày số định lý điểm bất động chung bốn ánh xạ thỏa mÃn điều kiện (S, T )-co không gian mêtric Chứng minh chi tiết định lý điểm bất động chung này, hệ chúng cho số ví dụ minh họa cho định lý đà đưa Chương với nhan đề Điểm bất động chung bốn ánh xạ co không gian mêtric có thứ tự Mục 2.1 nhằm trình bày số định lý điểm bất động chung bốn ánh xạ thỏa mÃn điều kiện (S, T )-co không gian mêtric có thứ tự Chứng minh chi tiết kết trình bày cho mét sè vÝ dơ cïng mét sè hƯ qu¶ liên quan Mục 2.2 trình bày số định lý điểm bất động chung bốn ánh xạ thỏa mÃn điều kiện (S, T )-hầu co không gian mêtric có thứ tự Chứng minh chi tiết kết trình bày số hệ quả, số vÝ dô minh häa 27 f v = gv = Sv = T v = v nhng u 6= v Khi đó, từ giả thiết thay thÕ x b»ng u vµ y b»ng v (2.1), ta cã ψ(d(u, v)) = ψ(d(f u, gv)) ≤ ψ(M (u, v)) − ϕ(M (u, v)), ®ã n d(Su, gv) + d(f u, T v) o M (u, v) = max d(Su, T v), d(f u, Su), d(gv, T v), = max{d(u, v), 0, 0, d(u, v) + d(u, v) } = d(u, v) Do đó, ta nhận (d(u, v)) (d(u, v)) (d(u, v)) Điều mâu thuẫn, u 6= v , Do đó, ta có u = v Ngược lại, f , g , S T có điểm bất động chung nhất, tập hợp điểm bất động chung f , g , S T tập gồm điểm Vì vậy, tập tập thứ tự tốt 2.1.2 VÝ dơ d(x, y) = Khi ®ã, XÐt X = [0, 1] ∪ {2, 3, 4, } víi thø tự thông thường R |x − y| nÕu x, y ∈ [0, 1] , vµ x 6= y nÕu Ýt nhÊt mét x y / [0, 1], x 6= y x+y nÕu x = y (X, , d) không gian mêtric đầy đủ, có thø tù (xem [4]) Gi¶ sư ψ, φ : [0, ) [0, ) xác định công thøc 2x nÕu x ∈ [0, ] ψ(x) = ( ϕ(x) = vµ xÐt tự ánh xạ x nÕu x ∈ ( 12 , 1] c¸c trường hợp lại, x2 x [0, 21 ] trường hợp lại, f, g, S, T : X X X cho công thức x = nÕu x ∈ (0, ] 2 f (x) = nÕu x ∈ ( , 1] x nÕu x ∈ {2, 3, 4, } , g(x) = nÕu x=0 nÕu x ∈ (0, 12 ] 3x nÕu x ∈ , 1 ∪ {2, 3, 4, } , 28 T (x) = nÕu x ≤ ( 12 , 1] nÕu x ∈ x − nÕu x ∈ {2, 3, 4, } , Ta dễ dàng kiểm tra S(x) = nÕu x ≤ 2x − nÕu x ∈ x nÕu x ∈ {2, 3, 4, } , f , g , S T thỏa mÃn tất điều kiện đà cho Định lý 2.1.1 Hơn nữa, ta cịng thÊy r»ng ®iĨm ®éng chung nhÊt cđa 2.1.3 HƯ qu¶ tù Cho f, S bé phËn víi T S Giả sử T ( 12 , 1] điểm bất f , g , S T (X, , d) không gian mêtric đầy đủ, thứ tự ánh xạ X , (T, f ) (S, f ) cặp tăng yếu f (X) T (X), f (X) S (X) ánh xạ trội f Giả sử có hàm điều khiển cặp hai phần tử so sánh linh hóa yếu cho với x, y X , điều kiện sau thỏa m·n ψ(d(f x, f y)) ≤ ψ(M (x, y)) − ϕ(M (x, y)), (2.10) ®ã M (x, y) = max{d(Sx, T y), d(f x, Sx), d(f y, T y), Nếu với dÃy không giảm yn u kéo theo xn u {xn } víi mäi d(Sx, f y) + d(f x, T y) } tháa m·n ®iỊu kiƯn n≥1 xn yn víi mäi n≥1 và (a) cặp {f, S} tương thích, f S liên tục cặp {f, T } tương thích yếu (b) cặp {f, T } tương thích, f T liên tục cặp {f, S} tương thích yếu, f, S chung T có điểm bất động chung Ngoài ra, tập hợp điểm bất động f, S T thứ tự tốt chØ nÕu f, S vµ T cã nhÊt mét điểm bất động chung Chứng minh Hệ 2.1.3 trường hợp đặc biệt Định lý 2.1.1, mà ta lÊy f = g 29 2.1.4 Cho f, g vµ phËn víi cđa T (X, , d) lµ không gian mêtric đầy đủ, thứ tự Giả sử Hệ T X, tự ánh xạ trªn f (X) ⊆ T (X), g(X) ⊆ T (X), cặp (T, g) f g linh hóa yếu cho với ánh xạ trội Giả sử có hàm điều khiển cặp hai phần tử so sánh (T, f ) tăng yếu x, y X , điều kiện sau thỏa mÃn (d(f x, gy)) ≤ ψ(M1 (x, y)) − ϕ(M1 (x, y)), (2.11) ®ã M1 (x, y) = max{d(T x, T y), d(f x, T x), d(gy, T y), NÕu víi d·y kh«ng gi¶m yn → u xn u kÐo theo {xn } víi mäi d(T x, gy) + d(f x, T y) } tháa m·n ®iỊu kiƯn n≥1 xn yn với n1 và (a) cặp {f, T } tương thích, f T liên tục cặp {g, T } tương thích yếu (b) cặp {g, T } tương thích, g T liên tục cặp {f, T } tương thích yếu, f, g T chung có điểm bất động chung Ngoài ra, tập hợp điểm bất động f, g T thứ tự tốt f, g T có điểm bất động chung Chứng minh Hệ 2.1.4 trường hợp đặc biệt Định lý 2.1.1, mà ta lấy 2.1.5 S = T Hệ tự Cho f f (X) ⊆ T (X), khiĨn Gi¶ sư T (X, , d) không gian mêtric đầy đủ, thứ tự ánh xạ ánh xạ trội f X, cặp (T, f ) tăng yếu phận với T Giả sử có hàm điều linh hãa u cđa ψ ∈ Ψ vµ ϕ ∈ cho với cặp hai phần tử so sánh x, y X , điều kiện sau thỏa mÃn (d(f x, gy)) (M (x, y)) − ϕ(M (x, y)), (2.12) 30 ®ã M (x, y) = max{d(T x, T y), d(f x, T x), d(f y, T y), NÕu víi d·y kh«ng giảm yn u kéo theo cặp {f, T } xn u {xn } d(T x, f y) + d(f x, T y) } tháa mÃn điều kiện Nếu cặp {f, T } tương thích, f với T n1 liên tục T có điểm bất động chung Ngoài ra, tập hợp điểm bất động chung f f T tương thích yếu, f xn yn T thứ tự tốt có điểm bất động chung Chứng minh Hệ 2.1.5 trường hợp đặc biệt Định lý 2.1.1, mà ta lấy 2.2 g = f S = T Điểm bất động chung bốn ánh xạ thỏa mÃn điều kiện (S, T )-hầu co không gian mêtric có thứ tự Phần trình bày số định lý điểm bất động chung bốn ánh xạ thỏa mÃn điều kiện (S, T )-hầu co không gian mêtric có thứ tự trình bày số hệ số ví dụ minh họa 2.2.1 Định lý tù Cho (X, , d) f, g, S, T : X → X g (X) ⊆ S (X), S Gi¶ sử tự ánh xạ ánh xạ trội Giả sử tồn số thỏa mÃn điều kiện so sánh không gian mêtric đầy đủ, thứ f g [0, 1) X, víi f (X) ⊆ T (X) vµ T tương ứng linh hóa yếu L0 cho ánh xạ f g (S, T )-hầu co suy rộng sau với cặp hai phÇn tư x, y ∈ X d(f x, gy) ≤ δ.M (x, y) + L.N (x, y), víi mäi x, y ∈ X, ®ã d(Sx, gy) + d(f x, T y) , M (x, y) = max d(Sx, T y), d(f x, Sx), d(gy, T y), n o N (x, y) = d(f x, Sx), d(gy, T y), d(Sx, gy), d(f x, T y) (2.13) 31 NÕu víi d·y kh«ng gi¶m yn → u xn u kÐo theo {xn } tháa m·n ®iỊu kiƯn xn yn víi mäi n1 và (a) cặp {f, S} {g, T } tương thích yếu; (b) tập giá trị f (X), g(X), S(X) T (X) không gian đóng f , g, S T X, có điểm bất ®éng chung nhÊt Chøng minh LÊy ®iÓm tuú ý tìm điểm x0 X Vì f (X) ⊆ T (X), nªn ta cã thĨ x1 ∈ X cho f x0 = T x1 Lại gx1 S (X), nên tồn điểm x2 X cho gx1 = Sx2 Nãi chung, theo cách ta tìm điểm x2n+1 X cho f x2n = T x2n+1 tìm điểm x2n+2 ∈ X cho gx2n+1 = Sx2n+2 Do đó, ta xây dựng dÃy {yn } X cho y2n = f x2n = T x2n+1 vµ y2n+1 = gx2n+1 = Sx2n+2 víi n ≥ Nhê giả thiết đà cho ta có x2n f x2n = T x2n+1 f T x2n+1 x2n+1 vµ x2n+1 gx2n+1 = Sx2n+2 gSx2n+2 x2n+2 Do ®ã, víi mäi n ≥ ta cã xn xn+1 Gi¶ sư r»ng cã sè tù nhiªn d·y h»ng m ∈ N cho ym = ym +1 Khi đó, dÃy {yn } X với n m Thật vây, giả sử r»ng m = 2k Khi ®ã ta cã y2k = y2k+1 Do đó, nhờ (2.13) ta thu d(y2k+1 , y2k+2 ) = d(gx2k+1 , f x2k+2 ) = d(f x2k+2 , gx2k+1 ) ≤ δM (x2k+2 , x2k+1 ) + LN (x2k+2 , x2k+1 ), 32 ®ã n M (x2nk+2 , x2k+1 ) = max d(Sx2k+2 , T x2k+1 ), d(f x2k+2 , Sx2k−2 ), d(gx2k+1 , T x2k+1 ), d(Sx , gx ) + d(f x ,Tx )o 2k+2 2k+1 2k+2 2k+1 n = max d(y2k+1 , y2k ), d(y2k+2 , y2k+1 ), d(y2k+1 , y2k+1 ), d(y2k+1 , y2k+1 ) + d(y2k+2 , y2k ) o × ×max{0, d(y2k+2 , y2k+1 ), 0, + d(y2k+2 , y2k+2 ) } n d(y2k+2 , y2k+1 ) + d(y2k+1 , y2k ) o ≤ max 0, d(y2k+2 , y2k+1 ), 0, = d(y2k+1 , y2k+2 ), vµ N (x2k+2 , x2k+1 ) = min{d(f x2k+2 , Sx2k+1 ), d(gx2k+1 , T x2k+1 ), d(Sx2k+2 , gx2k+1 ), d(f x2k+2 , T x2k+1 ) = min{d(y2k+2 , y2k+1 ), d(y2k+1 , y2k ), d(y2k+1 , y2k+1 ), d(y2k+2 , y2k ) = Do đó, ta nhận d (y2k+1 , y2k+2 ) ≤ δd (y2k+1 , y2k+2 ) Nhng v× [0, 1], nên từ bất đẳng thức cuối cïng trªn ta suy d (y2k+1 , y2k+2 ) = 0, nghÜa lµ ta cã y2k+1 = y2k+2 Trường hợp m = 2k + 1, cách lập luận tương tự ta có y2k+2 = y2k+3 Vì thế, trường hợp dÃy {yn } dÃy ym (hay điểm y2k ) điểm bất động chung ánh xạ Bây ta giả sử f , g , S vµ T d yn , yn +1 > (nghÜa lµ yn 6= yn+1 ) víi mäi n ≥ Tríc hÕt ta sÏ chøng minh r»ng với số tự nhiên n 1, ta có d(yn , yn+1 ) ≤ δd(yn+1 , yn ) V× (2.14) x2n x2n+1 so sánh được, nên nhờ (2.13) ta nhận d(y2n , y2n+1 ) = d(f x2n , gx2n+1 ) ≤ δM (x2n , x2n+1 ) + LN (x2n , x2n+1 ) = δM (x2n , x2n+1 ), (2.15) 33 ®ã M (x2n , x2n+1 ) = max{d(Sx2n , T x2n+1 ), d(f x2n , Sx2n ), d(gx2n+1 , T x2n+1 ), d(Sx2n , gx2n+1 ) + d(f x2n , T x2n+1 ) } = max{d(y2n−1 , y2n ), d(y2n , y2n ), d(y2n−1 , y2n ), d(y2n−1 , y2n+1 ) + d(y2n , y2n ) } ≤ max{d(y2n−1 , y2n ), 0, d(y2n , y2n+1 ), d(y2n−1 , y2n+1 ) + } ≤ max{d(y2n−1 , y2n ), 0, d(y2n , y2n+1 ), d(y2n−1 , y2n ) + d(y2n , y2n+1 ) } = max{d(y2n−1 , y2n ), d(y2n , y2n+1 )} NÕu d (y2n , y2n+1 ) ≥ d (y2n−1 , y2n ) > 0, từ bất đẳng thức cuối cïng vµ (2.15) ta suy r»ng d (y2n , y2n+1 ) ≤ δd (y2n , y2n+1 ) Nhng bÊt đẳng thức xẩy ta có Điều mâu thuẫn với giả thiết [0, 1) Vì thế, d (y2n , y2n+1 ) < d (y2n−1 , y2n ) KÕt hợp với (2.15) ta thu d (y2n , y2n+1 ) ≤ δd (y2n−1 , y2n ) B»ng c¸ch lËp ln t¬ng tù ta cã thĨ chØ r»ng d (y2n , y2n−1 ) ≤ δd (y2n−1 , y2n−2 ) Vì công thức (2.14) với n ≥ 1, nghÜa lµ ta cã d yn , yn +1 ≤ δd yn −1 , yn víi mäi n ≥ V× thÕ, víi mäi n ≥ ta cã d yn , yn +1 ≤ δd yn −1 , yn ≤ ≤ δ n d (y0 , y1 ) Nhờ bất đẳng thức tam gi¸c, víi m > n ta cã d(ym , yn ) ≤ d(yn , yn+1 ) + d(yn+1 , yn+2 ) + + d(ym−1 , ym ) ≤ Bất đẳng thức chứng tỏ gian đầy đủ, nên tồn điểm Do đó, ta có n d(y0 , y1 ) 1−δ {yn } lµ d·y Cauchy vµ X không y X cho lim yn = y n→∞ lim f x2n = lim T x2n+1 = lim gx2n+1 = lim Sx2n+2 = y n→∞ n→∞ B©y giê ta sÏ chøng tá r»ng Trước hết giả sử n n y điểm bất động ánh xạ g T T (X) đóng Khi đó, y T (X), nên tồn u X 34 cho y = T u TiÕp theo ta sÏ chØ r»ng gu = y Giả sử ngược lại gu 6= y , ®ã ta cã thiÕt ta cã d (gu, y) > Vì x2n f x2n f x2n → y n → ∞, nªn theo giả x2n y Lại ánh xạ trội f linh hóa yếu T , nên ta thu x2n y = T u f T u u Do ®ã, nhê (2.13) ta cã d(f x2n , gu) ≤ δM (x2n , u) + LN (x2n , u), (2.16) ®ã n M (x2n , u) = max d(Sx2n , T u), d(f x2n , Sx2n ), d(gu, T u), d(Sx2n , gu) + d(f x2n , T u) o n = max d(Sx2n , y), d(f x2n , Sx2n ), d(gu, y), d(Sx2n , gu) + d(f x2n , y) o → d(gu, y), n → ∞ vµ N (x2n , u) = {d(f x2n , Sx2n ) , d(gu, T u), d(Sx2n , gu), d(f x2n , T u)} → 0, n → ∞ B©y giê, lÊy giới hạn n (2.16), ta nhận d (y, gu) d (gu, y), bất đẳng thức xẩy d (gu, y) = [0, 1) Điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết phản chứng d (gu, y) > Vì thế, ta có gu = y Do đó, ta nhận gu = T u = y Lại ánh xạ g T tương thích yếu, nên ta cã gy = gT u = T gu = T y TiÕp theo, ta sÏ chøng minh r»ng gy = y Giả sử ngược lại gy 6= y , nghĩa d (gy, y) > Khi đó, nhê (2.13) ta cã d(f x2n , gy) ≤ δM (x2n , y) + LN (x2n , y), (2.17) ®ã n M (x2n , y) = max d(Sx2n , T y), d(f x2n , Sx2n ), d(gy, T y), d(Sx2n , gy) + d(f x2n , T y) o = max{d(Sx2n , gy), d(f x2n , Sx2n ), 0, d(Sx2n , gy) + d(f x2n , y) } → d(y, gy), 35 n → ∞ vµ N (x2n , y) = {d(f x2n , Sx2n ) , d(gy, T y), d(Sx2n , gy), d(f x2n , T y)} = Bây giờ, lấy giới hạn n → ∞ (2.17), ®ã ta nhËn ®ỵc d (y, gy) ≤ δd (y, gy), nhng bÊt đẳng thức xẩy d (y, gy) = [0, 1) Điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết phản chứng d (y, gy) > Do ®ã, ta cã gy = y Bíc tiÕp theo ta sÏ chøng minh r»ng y điểm bất động chung ánh xạ f S Vì g (X) S (X), nên tồn điểm v X cho gy = Sv Gi¶ sư r»ng cã f v 6= Sv , nghÜa lµ d (f v, Sv) > V× y gy = Sv gSv v , nên ta y v Do đó, nhờ (2.13) ta thu d(f v, Sv) = d(f v, gy) ≤ δM (v, y) + LN (v, y), (2.18) ®ã n d(Sv, gy) + d(f v, T y) o M (x, y) = max d(Sv, T y), d(f v, Sv), d(gy, T y), n + d(f v, Sv) o = max 0, d(f v, Sv), 0, = d(f v, Sv), vµ N (v, y) = {d(f v, Sv) , d(gy, T y), d(Sv, gy), d(f v, T y)} = Tõ (2.18), ta nhận đẳng thức xẩy d (f v, Sv) = d (f v, gy) ≤ δd (f y, Sv), nhng bÊt d (f v, Sv) = [0, 1) Điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết phản chứng d (f v, Sv) > Do ®ã, ta cã f v = Sv Lại f S tương thích yếu, nên từ ta có f y = f Sv = Sf v = Sy V× thÕ, y điểm trùng ánh xạ f S Cuèi cïng, ta chøng tá r»ng f y = y Thật vậy, nhờ (2.13) ta có d(f y, y) = d(f y, gy) ≤ δM (y, y) + LN (y, y) = δd(f y, y), 36 bất đẳng thức xẩy d(f y, y) = v× δ ∈ [0, 1) Do ®ã, ta cã f y = y V× thÕ, ta nhận f y = gy = Sy = T y = y Chøng minh t¬ng tù cho trường hợp gian đóng S(X), f (X), hay g(X) không X Rõ ràng nhờ (2.13), cách lập luận tương tự ta suy tính điểm bất động chung Bây trình bày ví dụ để minh họa cho kết qủa đà đưa 2.2.2 Ví dụ Xét tập hợp số thực không âm mêtric Euclidean th«ng thêng d (x, y) = |x − y|, x, y ∈ X vµ gØa sư r»ng quan hƯ thø tự "" quan hệ thứ tự thường "" X = [0, ) trang bị R Bây ta xác định thứ tự X nh sau: x y ⇔ y ≤ x víi x, y X Dễ dàng kiểm tra (X, , d) không gian mêtric đầy đủ, cã thø tù Gi¶ sư f, g, S, T : X X tự ánh xạ xác định công thức x f (x) = ln(1 + x), g(x) = ln + , T (x) = ex − 1, S(x) = e2x − 1, x ∈ X x ∈ X , ta cã + x ≤ ex vµ + x2 ≤ ex Suy f (x) = ln(1 + x) ≤ x vµ g(x) = ln + x2 x Từ định nghĩa ta có x f (x) x g(x) Do f Với g ánh xạ trội x X ta l¹i cã f T (x) = f (ex − 1) = ln ex = x ≥ x vµ 2x x −x x −x e +e − 1) = ln e 2+1 = ln ex e +e = x + ln ≥ x Điều 2 Mặt khác, với gS(x) = g(e2x kÐo theo r»ng f T (x) x vµ gS(x) x Do f g ánh xạ linh hóa yếu T S , tương øng §Ĩ chøng tá r»ng f , g , S T thỏa mÃn điều kiện co (2.13) Định lý 37 2.2.1, cách sử dụng định lý giá trị trung bình ta có y 1