Tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân là điểm bất động chung của một họ vô hạn ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thanh Tùng TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thanh Tùng TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VƠ HẠN ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ i Mục lục Mở đầu 1 Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển 1.1.2 Phương pháp ngun lý tốn phụ tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân 1.2 2 Một số phương pháp lặp để tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ không giãn 1.2.1 Phương pháp lặp Halpern 1.2.2 Phương pháp lặp Mann 11 Phương pháp nguyên lý tốn phụ hiệu chỉnh tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ không giãn 2.1 Phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân 2.2 13 13 Phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh giải toán đặt 17 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó giáo sư cơng tác Viện Tốn học Thầy, cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị cơng tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Phạm Thanh Tùng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ iii Bảng ký hiệu R Tập hợp số thực N Tập hợp số tự nhiên H Không gian Hilbret H E Không gian Banach E x, y Tích vơ hướng x y x Chuẩn x không gian X X φ Tập rỗng ∀x Với x ∃x Tồn x inf F (x) Cận lớn tập {F (x) : x ∈ X} x∈X sup F (x) Cận nhỏ tập {F (x) : x ∈ X} x∈X I Ánh xạ đơn vị J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J không gian Banach E A∗ Tốn tử liên hợp tốn tử tuyến tính A D(A) Miền xác định toán tử A xk → x Dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk Dãy {xk } hội tụ yếu tới x x F ix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Bài tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ không giãn nhiều tác giả nghiên cứu Cho đến toán vấn đề quan tâm nhiều nhà toán học nước giới Trong phạm vi đề tài luận văn sử dụng số phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân phương pháp tìm điểm bất động để kết hợp thuật toán hiệu chỉnh nguyên lý toán phụ cho bất đẳng thức biến phân nhằm giải tốn: Tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân điểm bất động chung cho họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Một số khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Trong phần chúng tơi nêu tốn, trình bày điều kiện tồn nghiệm phương pháp nguyên lý tốn phụ để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân 1.1.1 Bất đẳng thức biến phân cổ điển Trong luận văn giả thiết H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng chuẩn ký hiệu tương ứng , Cho C tập lồi đóng H Ánh xạ F từ C vào H ánh xạ liên tục Bất đẳng thức biến phân cổ điển ánh xạ đơn trị phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho: F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (1.1) Tập điểm x∗ thỏa mãn (1.1) gọi nghiệm toán ký hiệu V I(F, C) Bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có mối quan hệ mật thiết với nhiều toán khác có tốn điểm bất động Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • Bài tốn điểm bất động Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H T : C → C ánh xạ liên tục Bài toán điểm bất động ánh xạ đơn trị phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho: x∗ = T (x∗ ) (1.2) Mệnh đề sau cho biết mối quan hệ toán điểm bất động với bất đẳng thức biến phân cổ điển Mệnh đề 1.1 Cho C tập lồi khác rỗng không gian Hilbert H T : C → C ánh xạ liên tục Nếu ánh xạ F xác định F (x) := x−T (x) ∀x ∈ C tốn điểm bất động (1.2) tương đương với bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) phụ thuộc vào hàm F miền ràng buộc C Định lý sau cho ta biết điều kiện tồn nghiệm toán (1.1) không gian Hilbert Định lý 1.1 Cho C tập lồi, compact không gian Hilbert H F : C → H ánh xạ liên tục C Khi tốn (1.1) tồn nghiệm x∗ ∈ C Trong Định lý 1.1 cần tập C phải tập compact Khi tập C khơng phải tập compact tốn (1.1) tồn nghiệm điều kiện sau thỏa mãn Cụ thể ta có định lý sau Định lý 1.2 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H F : C → H ánh xạ liên tục C Giả sử tồn tập compact U khác rỗng thuộc C cho: với u ∈ C \ U , tồn v ∈ U thỏa mãn F (u), u − v > Khi đó, bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có nghiệm Thông thường nghiệm bất đẳng thức khơng phải Tuy nhiên có điều kiện để đảm bảo cho nghiệm Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ta giả sử x1 x2 hai nghiệm khác tốn (1.1) Khi ta có: x1 ∈ C : F (x1 ), x − x1 ≥ 0, ∀x ∈ C x2 ∈ C : F (x2 ), x − x2 ≥ 0, ∀x ∈ C Trong bất đẳng thức thứ ta chọn x = x2 bất đẳng thức thứ ta chọn x = x1 , sau cộng vế tương ứng hai bất đẳng thức ta được: F (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 ≤ Do điều kiện đủ để tốn (1.1) có nghiệm là: F (x1 ) − F (x2 ), x1 − x2 > 0, ∀x1 , x2 ∈ C, x1 = x2 (1.3) Từ điều kiện (1.3) suy bất đẳng thức biến phân cổ điển (1.1) có nghiệm Điều kiện (1.3) gọi điều kiện đơn điệu chặt 1.1.2 Phương pháp nguyên lý tốn phụ tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân Trong phần trình bày tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển khơng gian Hilbert Trong phần ta trình bày phương pháp ngun lý tốn phụ để tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân Trước hết nhắc lại số khái niệm sau: Cho H khơng gian Hilbert thực, C tập lồi đóng khác rỗng H F : C → H ánh xạ từ C vào H • Ánh xạ F gọi đơn điệu C với ∀x, y ∈ C ta có: F (x) − F (y), x − y ≥ ; • Ánh xạ F gọi giả đơn điệu C với ∀x, y ∈ C ta có: F (y), x − y ≥ suy F (x), x − y ≥ ; • Ánh xạ F gọi h-liên tục C F (x + ty) F (x) t → 0+ với ∀x, y ∈ C ; • Ánh xạ F gọi L-liên tục Lipschitz C , tồn ,một số L > cho với ∀x, y ∈ C ta có F (x) − F (y) ≤ L x − y Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ • Cho X tập lồi đóng H Một ánh xạ T X vào H gọi không giãn X , ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện sau: T (x) − T (y) ≤ x − y ∀x, y ∈ C • Ánh xạ F gọi a-đơn điệu mạnh C tồn số a > cho với ∀x, y ∈ C ta có: F (x) − F (y), x − y ≥ a x − y • Ánh xạ F gọi a-ngược đơn điệu mạnh C tồn số a > cho với ∀x, y ∈ C ta có: F (x) − F (y), x − y ≥ a F (x) − F (y) Dễ dàng thấy ánh xạ F a-ngược đơn điệu mạnh ánh xạ F ánh xạ đơn điệu liên tục Lipschitz Sau phương pháp nguyên lý toán phụ để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển khơng gian Hilbert Phương pháp ngun lý tốn phụ G.Cohen [5] giới thiệu lần đầu vào năm 1980 nghiên cứu toán tối ưu Năm 1988, Cohen [5] vận dụng nguyên lý toán phụ để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân cổ điển Để trình bày kết trước hết trình bày phương pháp ngun lý tốn phụ tổng quát Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert H J phiến hàm lồi H Giả thiết Ta nói phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết với dãy {uk }k∈N ⊂ C cho uk → +∞ J(uk ) → +∞ Hiển nhiên phiếm hàm J thỏa mãn giả thiết C tập bị chặn Ta ký hiệu J (u) đạo hàm Gâteaux phiếm hàm J u Ta xét tốn tối ưu sau: Tìm u∗ ∈ C cho: J(u∗ ) = J(u), u∈C (1.4) J phiếm hàm lồi, liên tục khả vi Gâteaux Bổ đề sau cho ta biết tồn nghiệm tốn cực trị (1.4) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 15 • Thuật tốn (i) Tại k = xuất phát điểm z1 số ε1 (ii) Tại bước k = n, biết zn , tìm zn+1 = z(zn ) giải toán phụ (2.4) với x thay zn z∈C ϕ(z) + εn A(zn ) − ϕ (zn ), z (2.5) (iii) Dừng zn+1 − zn nhỏ ngưỡng Nếu khơng, quay bước trước Với số điều kiện kỹ thuật cách chọn εn (2.5), thuật toán hội tụ A đơn điệu mạnh có tính chất Dunn Thuật tốn hội tụ ánh xạ A gradient đơn điệu Trong trường hợp này, (2.1) tương ứng với tốn tìm cực tiểu hàm lồi Thuật tốn nghiên cứu giúp giải nhiều tốn liên quan, xem ví dụ Lưu ý thuật tốn khơng hội tụ ánh xạ A đơn điệu mạnh, không gradient Để loại bỏ điều xấu này, [10], Baasansuren Khan sử dụng thuật toán cho (2.3), A + αI a-đơn điệu mạnh Họ kết hợp thuật toán hiệu chỉnh với thuật toán Tư tưởng phát triển để tìm điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ giả co chặt Mặt khác để tìm điểm bất động chung họ vơ hạn ánh xạ không giãn Ti tập lồi đóng C , Takahashi đưa ánh xạ W , sinh Tn , Tn−1 , · · ·, T1 γn , γn−1 , · · ·, γ1 , số thực, sau: Un,n+1 = I, Un,n = γn Tn Un,n+1 + (1 − γn )I, Un,n−1 = γn−1 Tn−1 Un,n + (1 − γn−1 )I, (2.6) Un,2 = γ2 T2 Un,3 + (1 − γ2 )I, Wn = Un,1 = γ1 T1 Un,2 + (1 − γ1 )I Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 16 Dựa kết nêu trên, ta sử dụng thuật toán toán phụ hiệu chỉnh, để giải (2.2) Ta xét toán phụ kết hợp với phương pháp hiệu chỉnh, để giải (2.2) dạng sau Ta bắt đầu với điểm cho trước z1 ∈ C tham số ε1 α1 , sau giải tốn z∈C ϕ(z) + ε1 (A1 (z1 ) + α1 z1 ) − ϕ (z1 ), z , A1 = A + α1µ A1 , A1 = I − W1 , µ ∈ (0, 1), số thực, I ký hiệu toán tử đồng H Phiếm hàm ϕ chọn cho toán tồn nghiệm cực tiểu Chúng ta ký hiệu nghiệm z2 tiếp tục thay tương ứng ε1 , α1 z1 ε2 , α2 z2 • Thuật tốn A (i) Tại k = bắt đầu với z1 , ε1 α1 (ii) Tại bước k = n ta giải toán: Tìm z ∈ C cho z∈C ϕ(z) + εn (An (zn ) + αn zn ) − ϕ (zn ), z , (2.7) An = A + αnµ An , An = I − Wn Gọi zn+1 nghiệm toán (iii) Dừng zn+1 − zn nhỏ ngưỡng Nếu khơng, quay bước trước ∞ Đối với dãy {εn }∞ n=1 {αn }n=1 , đặt điều kiện sau • Giả thiết A Cho {αn } {εn } hai dãy số thực , thỏa mãn điều kiện: (i) < εn ≤ 1; < αn+1 ≤ αn ≤ : αn → n → ∞ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 17 (ii) ∞ ∞ εn αn = ∞, n=1 ∞ ε2n < ∞, n=1 n=1 (αn − αn+1 )2 < ∞ αn3 εn Sự hội tụ thuật toán (2.7) chứng minh phần 2.2 Phương pháp nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh giải toán đặt Đầu tiên, xây dựng nghiệm hiệu chỉnh un , cách giải toán bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh sau: Tìm un ∈ C cho A(un ) + αnµ An (un ) + αn un , un − v ≤ ∀v ∈ C (2.8) Chúng ta liệt kê số vấn đề sử dụng chứng minh cho F song hàm từ C × C vào R Bài tốn cân cho F tìm u∗ ∈ C cho F (u∗ , v) ≥ ∀v ∈ C Giả thiết song hàm F có tính chất sau Điều kiện 2.1 Song hàm F cho bởi: (A1) F (u, u) = ∀u ∈ C (A2) F (u, v) + F (v, u) ≤ ∀(u, v) ∈ C × C (A3) Với u ∈ K , F (u, ) : C → R liên tục lồi (A4) lim F ((1 − t)u + tz, v) ≤ F (u, v) ∀(u, z, v) ∈ C × C × C t→+0 Mệnh đề 2.1 (i) Nếu F (., v) h-liên tục với v ∈ C F đơn điệu, có nghĩa thỏa mãn (A2) Điều kiện 2.1, U ∗ = V ∗ , U ∗ tập nghiệm F (u∗ , v) ≥ ∀v ∈ C, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 18 V ∗ tập nghiệm F (u, v ∗ ) ≤ ∀u ∈ C , tập lồi đóng (ii) Nếu F (., v) h-liên tục với v ∈ C F đơn điệu mạnh, có nghĩa tồn số dương τ cho F (u, v) + F (v, u) ≤ −τ u − v , U ∗ điểm Bổ đề 2.1 Cho {an }, {bn } {cn } dãy số dương, thỏa mãn điều kiện : an+1 ≤ (1 − bn )an + cn , bn < 1, (i) ∞ bn = +∞, (ii) n=0 lim (cn /bn ) = n→+∞ Thì, lim an = n→+∞ Bổ đề 2.2 Cho T ánh xạ không giãn tập lồi đóng C khơng gian Hilbert thực H Nếu T điểm bất động, I − T nửa đóng; điều xảy dãy {xn } dãy C hội tụ yếu đến điểm x ∈ C dãy {(I − T )(xn )} hội tụ mạnh đến 0, suy (I − T )(x) = Bổ đề 2.3 Cho C tập lồi đóng không gian Hilbert thực H , cho {Ti }∞ i=1 họ vô hạn ánh xạ không giãn C ∞ cho F := F ix(Ti ) = ∅ cho {γi } dãy (0, γ] với i=1 γ ∈ (0, 1) đó, với x ∈ C i ≥ 1, lim Un,i x tồn n→∞ Vì vậy, xác định ánh xạ sau U∞,i x := lim Un,i x, n→∞ W x := lim Wn x n→∞ Dễ dàng kiểm tra được, Wn , Un,i , U∞,i W ánh xạ không giãn C Hơn nữa, {xn } dãy giới nội C , lim W (xn ) − Wn (xn ) = n→∞ Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 19 Bổ đề 2.4 cho C, H, {Ti }∞ i=1 {γi } Bổ đề 2.3 thì, ta có F ix(W ) = F Bây ta chứng minh kết sau Định lý 2.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert H , cho A ánh xạ đơn điệu h-liên tục từ C vào H , cho {Ti }∞ i=1 họ vô hạn ánh xạ không giãn C cho S := V I(C, A) ∩ F = ∅, V I(C, A) ký hiệu tập nghiệm ∞ (1.1) F = F ix(Ti ) Khi đó, có: i=1 (i) Với αn > 0, tốn (2.8) có nghiệm un (ii) lim un = u∗ , u∗ ∈ S, u∗ ≤ y n→∞ (iii) un − um ≤ |αn −αm | αn u∗ , ∀y ∈ S αn , αm > Chứng minh (i) Đặt Fn (u, v) = A(u) + αnµ An (u), v − u Khi đó, tốn (2.8) có dạng sau: tìm un ∈ C cho F˜n (un , v) ≥ ∀v ∈ C, (2.9) F˜n (u, v) = Fn (u, v) + αn u, v − u Khơng khó khăn kiểm tra F˜n (u, v) song hàm, F˜n (u, v) thỏa điều kiện 2.8, đơn điệu mạnh với số αn > Vì vậy, (2.9) (suy (2.8)) có nghiệm un với αn > (ii) Bây giờ, ta chứng minh un ≤ y ∀y ∈ S (2.10) Vì y ∈ S, từ Bổ đề 2.3 ta có An (y) = y − Wn (y) = Quan sát này, tính đơn điệu A + An với un nghiệm (2.9) suy un , y − un ≥ ∀y ∈ S, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 20 vậy, ta nhận (2.10) Điều có nghĩa {un } giới nội Lấy {uk } dãy {un } cho uk hội tụ yếu tới u∗ ∈ H , k → +∞ C đóng theo chuẩn lồi, C đóng yếu Do đó, u∗ ∈ C Ta chứng minh u∗ ∈ S Với mục đích đó, trước hết, ta chứng minh u∗ ∈ V I(C, A) Thật vậy, theo (2.8) A, Ak đơn điệu, có A(v), uk − v ≤ A(uk ), uk − v ≤ αnµ Ak (uk ), v − uk + αk uk , v − uk ≤ αnµ Ak (v), v − uk + αk v, v − uk ≤ αkµ ( Ak (v) + αk1−µ v )( v + y ) ∀v ∈ C, y ∈ S (2.11) lim Ak (v) = lim v − Wk (v) = v − W (v) , từ (2.11) k→∞ k→∞ nhận A(v), u∗ − v ≤ ∀v ∈ C, điều tương đương với (2.2) Có nghĩa u∗ ∈ V I(C, A) u∗ ∈ F , ta lấy phần tử y ∈ S đó, lập luận tương tự (2.11), tính đơn điệu A với Ak (1/2)-đơn điệu mạnh, có uk − Wk (uk ) ≤ 2αk1−µ y, y − uk ∀y ∈ S Do đó, uk − Wk (uk ) → k → ∞, suy ra, uk − W (uk ) → k → ∞ Theo Bổ đề (2.2), u∗ điểm bất động W , suy Bổ đề (2.5), u∗ ∈ F Từ (2.10), tính hội tụ yếu dãy {xk } tới u∗ tính thành phần có chuẩn nhỏ S , tập lồi đóng C , nhận hội tụ mạnh dãy {un } hội tụ tới u∗ (iii) Từ (2.8), (2.10) tính đơn điệu A An , suy αn un , um − un + αm um , un − um ≥ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 21 un − um ≤ |αn − αm | |αn − αm | ∗ um ≤ u , αn αn với αn , αm > Nhận xét Dễ dàng kiểm tra được, uαk → u ˜, uαk nghiệm (2.8) với α = αk → 0, k → +∞, S = ∅ Định lý 2.2 Cho C, H {Ti }∞ i=1 Định lý 2.1 cho A ánh xạ đơn điệu L-Lipschitz liên tục từ C vào H Giả thiết phiếm hàml ϕ lồi khả vi Gâteaux H với tính đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz ϕ Khi đó, vói n ≥ 1, tồn nghiệm zn+1 (2.7) Hơn nữa, giả thiết A thỏa mãn, lim zn = u∗ ∈ S n→∞ Chứng minh Chúng ta biết toán bất đẳng thức biến phân (2.7) tương đương với tốn bất đẳng thức biến phân: Tìm zn+1 ∈ C cho ϕ (zn+1 ) + εn (An (zn ) + αn zn ) − ϕ (zn ), zn+1 − v ≤ ∀v ∈ C (2.12) Sự tồn zn+1 đảm bảo tính đơn điệu hàm ϕ Dựa vào bất đẳng thức tam giác ta có zn+1 − u∗ ≤ zn+1 − un + un − u∗ , un nghiệm toán (2.8) với α = αn , αn → 0, dễ dàng lim zn+1 − un = n→∞ Với mục đích này, đưa vào xét phiếm hàm Φ(u, z) = ϕ(u) − ϕ(z) − ϕ (z), u − z u z đóng vai trị tương ứng cho uαn zn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 22 Vì ϕ đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz ϕ(u) − ϕ(z) ≥ ϕ (z), u − z + m u−z 2 (2.13) M u−z (2.14) m M modulus đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz ϕ ϕ(u) − ϕ(z) ≤ ϕ (z), u − z + Dựa vào (2.13) (2.14), phiếm hàm Φ thỏa mãn m u−z Ta dùng ký hiệu sau: ≤ Φ(u, z) ≤ M u − z 2 (2.15) ∆n = zn − un−1 Trước hết dãy {∆n }∞ n=1 giới nội Với mục đích này, phân tích hiệu sau Φ(un−1 , zn ) − Φ(un , zn+1 ) = {ϕ(un−1 ) − ϕ(zn ) − ϕ (zn ), un−1 − zn } − {ϕ(un ) − ϕ(zn+1 ) − ϕ (zn+1 ), un − zn+1 } = ϕ(un−1 ) − ϕ(un ) + ϕ (zn+1 ), un − zn+1 + ϕ(zn+1 ) − ϕ(zn ) − ϕ (zn ), un−1 − zn = ϕ(un−1 ) − ϕ(un ) + ϕ (zn+1 ), un − zn+1 + ϕ(zn+1 ) − ϕ(zn ) − ϕ (zn ), zn+1 − zn − ϕ (zn ), un−1 − zn+1 Áp dụng (2.13) (2.14) cho bất đẳng thức trên, ta nhận Φ(un−1 , zn ) − Φ(un , zn+1 ) ≥ m M zn − zn+1 − un−1 − un 2 + ϕ (un−1 ) − ϕ (zn ), un−1 − un + ϕ (zn+1 ) − ϕ (zn ), uαn − zn+1 (2.16) Mặt khác, đặt v = zn+1 (2.8), ta nhận An (un ) + αn un , zn+1 − un ≥ 0, Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 23 đặt v = un (2.12), ta nhận ϕ (zn+1 ) + εn (An (zn ) + αn zn ) − ϕ (zn ), un − zn+1 ≥ Cộng hai bất đẳng thức ta ϕ (zn+1 ) − ϕ (zn ), un − zn+1 ≥εn An (un ) + αn un , un − zn+1 − εn An (zn ) + αn zn , un − zn+1 ˜ = L + + α1 Khi đó, với x1 , x2 ∈ C , ta có đánh giá sau Đặt L ˜ x1 − x2 (An (x1 ) + αn x1 ) − (An (x2 ) + αn x2 ) ≤ L Bây giờ, kết hợp (2.13) (2.14), ta nhận Φ(un−1 , zn ) − Φ(un , zn+1 ) ≥ E1 + E2 + E3 + E4 Soá hóa trung tâm học liệu (2.17) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 24 Ở E1 =εn (An (zn ) + αn zn ) − (An (un ) + αn un ), zn+1 − zn + m zn − zn+1 =εn (An (zn ) + αn zn ) − (An (un−1 ) + αn un−1 ), zn+1 − zn m + zn − zn+1 2 + εn (An (un−1 ) + αn un−1 ) − (An (un ) + αn un ), zn+1 − zn ˜2 m ε2n L m ≥ zn − zn+1 − zn − un−1 − zn − zn+1 2 m ˜2 ε L m − n un − uαn−1 − zn − zn+1 m ˜2 ˜2 εn L L ≥− zn − un−1 − un − un−1 ; m m E2 =εn (An (zn ) + αn zn ) − (An (un ) + αn un ), zn − un−1 =εn (An (zn ) + αn zn ) − (An (un−1 ) + αn un−1 ), zn − un−1 + εn (An (un−1 ) + αn un−1 ) − (An (un ) + αn un ), zn − un−1 ˜2 εn L ≥rεn αn zn − un−1 − zn − un−1 M M − un − un−1 ; < r ≤ 1; E3 =εn (An (zn ) + αn zn ) − (An (un−1 ) + αn un−1 ), un − un−1 M − un − un−1 2 =εn (An (zn ) + αn zn ) − (An (un−1 ) + αn un−1 ), zn − un−1 + εn (An (un−1 ) + αn un−1 ) − (An (un ) + αn un ), un − un−1 M − un − un−1 2 ˜ ε2n 3M L 2 ≥rεn αn un − un−1 − un − un−1 − zn − un−1 ; M E4 = ϕ (uαn−1 ) − ϕ (zn ), un − un−1 ≥ −M un−1 − zn un − un−1 ≥ −cεn αn un−1 − zn M un − un−1 − 4cεn αn ; θ = r − c > Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 25 Đặt đánh giá E1 , E2 , E3 , E4 vào (2.17), ta nhận Φ(un−1 , zn ) − Φ(un , zn+1 ) ≥ θεn αn un−1 − zn (M + 2m)L2 ε2n − un−1 − zn mM + rεn αn un − un−1 2 M m + L2 − un − un−1 m (M + 2m)L2 ε2n ≥θεn αn un−1 − zn − un−1 − zn mM (mM + L2 )2 un − un−1 − 4rm2 ε n αn 2 Do đó, Φ(un , zn+1 ) ≤Φ(un−1 , zn ) + −θεn αn un−1 − zn + c1 ε2n un−1 − zn + c2 un − un−1 ε n αn , ˜ /mM c2 = (mM + L ˜ )2 /4rm2 c1 = (M + 2m)L Cộng bất đẳng thức từ n = đến N , tổng bất đẳng thức sử dụng (2.16), ta nhận m ∆2N +1 ≤ N −θεn αn ∆2n + + c1 ε2n ∆2n + c2 n=1 αn − αn+1 αn M ∆21 2 u∗ (εn αn )−1 Bất đẳng thức này, với giả thiết A Bổ đề 2.5 khẳng định tính giới nội dãy {∆n }∞ n=1 Hơn nữa, bất đẳng thức cuối với tính giới nội dãy{∆n }∞ n=1 cho ta đánh giá ∞ θεn αn ∆2n < ∞ n=1 ∞ εn αn phân kỳ với bất đẳng thức trên, suy Khi đó, chuỗi n=1 lim ∆n = n→∞ Định lý chứng minh xong Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 26 Ví dụ Cho 1/2 < k1 < 1, k2 > 0, k1 + k2 < Khi đó, với dãy có dạng εn = (1 + n)−k1 , and αn = (1 + n)−k2 , Thì giả thiết A thỏa mãn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 27 Kết luận Luận văn đề cập số vấn đề giải tích hàm với luận văn trình bày việc vận dụng nguyên lý toán phụ hiệu chỉnh sử dụng loại ánh xạ W tạo từ họ ánh xạ không giãn để nghiên cứu tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert, đồng thời đề cập số kết đạt báo, tạo tiền đề cho số hướng nghiên cứu sau Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 28 Tài liệu tham khảo [1] Nguyen Buong and Lam Thuy Duong Regularization Auxiliary Problem Algorithm for a Common Element of the Set of Solutions for a Variational Inequality Problem and the Set of Commom Fixed Points for an Infinite Family of Nonexpansive Mapping in Hilbert Spacces, Applied Mathematical Sciences, Vol 2012, no 63, 3119 - 3132 [2] J Baasansuren, A.A Khan,Regulazization auxiliary problem principle for variational inequalities, Computers and Math With appl 40 (2000) 995-1002 [3] H.H Bauschke The approximation of fixed points of copositions of nonexpansive mapping in Hilbert spaces, journal of Mathematical Anlysis and Applications, 202 (1996) 150-159 [4] F.E Browder, W.V Petryshyn, Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces, Journal of Mathematical Anslysis and Applications, 20 (1967) 197-228 [5] G Cohen Auxiliary problem principle and decomposition of optimization problems, J Optim Theory and Appl 32 (1980) 277-305 [6] G Cohen Auxiliary problem principle extended to variational inequalities, Journal of optimization Theory and Applications, 59 (1988) 305-325 [7] B Halpern Fixed points of nonexpansive maps, Bulletin of the American Mathermatical Society, (1967) 957-961 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 29 [8] J.L Lions, Variational inequalities,Comptes rendus de l’Academie des Sciences, 284 (1967) 1357-1359 [9] W.R Mann Mean value methods in iteration, Proceedings of the American Mathematical Society, (1953) 506-510 [10] G Marino, H.K Xu, Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions mappings in Hilbert spaces,Journal of Mathematical Analysis and Applications, 329 (2007) 336-346 [11] B.E Rhoades, Comments on two fixed point iteration methods, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 67 (1974) 161176 [12] R Wittmann, Approximation of fixed points of nonexpansive mappings, Archiv der Mathermatik, 58 (1992) 486-491 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... hiệu chỉnh sử dụng loại ánh xạ W tạo từ họ ánh xạ khơng giãn để nghiên cứu tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân cổ điển điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn không gian Hilbert, đồng... tưởng phát triển để tìm điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ giả co chặt Mặt khác để tìm điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn Ti tập lồi đóng C , Takahashi đưa ánh xạ W , sinh Tn , Tn−1...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Thanh Tùng TÌM NGHIỆM CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ VÔ HẠN ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn