Về sự tồn tại các điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian d meetric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG THỊ HÀ VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN D∗-MÊTRIC NĨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG THỊ HÀ VỀ SỰ TỒN TẠI CÁC ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN D∗-MÊTRIC NĨN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐINH HUY HOÀNG NGHỆ AN - 2016 Mục lục Lời nói đầu Chương Khơng gian D∗ −mêtric nón 1.1 Một số kiến thực chuẩn bị 1.2 Nón khơng gian Banach 1.3 Khơng gian D∗ −mêtric nón 10 Chương Một số kết tồn điểm bất động chung 13 ánh xạ khơng gianD∗ −mêtric nón 2.1 Sự tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ Banach 13 2.2 Sự tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ T −co 22 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI NĨI ĐẦU Khơng gian mêtric lý thuyết điểm bất động hướng nghiên cứu quan trọng Giải tích, có nhiều ứng dụng giải tích số ngành tốn học khác Do nhà tốn học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết Kết quan trọng lý thuyết điểm bất động nguyên lý ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ nhà toán học Banach (1922) Sau đó, người ta có nhiều hướng nghiên cứu tìm cách mở rộng khái niệm khơng gian mêtric định lý điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric cho lớp không gian khác Năm 2007, Huang Zhang ([6]) mở rộng khái niệm không gian mêtric cách đưa khái niệm khơng gian mêtric nón Cùng năm Shaban Sedghi với cộng ông ([9]) đưa khái niệm khơng gian D∗ -mêtric Sau đó, tác giả số nhà toán học khác đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric nón khơng gian D∗ -mêtric ([5], [6], [8], [9], [10]) Năm 2010, hai nhà khoa học Aage Salunke ([3]) mở rộng lớp không gian D∗ -mêtric, cách đưa khái niệm không gian D∗ -mêtric nón đạt số kết tính chất tôpô tồn điểm bất động khơng gian D∗ -mêtric nón Từ đến nay, vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ khơng gian D∗ -mêtric nón nhà toán học quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết ([3], [4]) Do vậy, việc nghiên cứu khơng gian D∗ -mêtric nón tồn điểm bất động khơng gian D∗ -mêtric nón điều bổ ích lý thú Để tập dượt nghiên cứu khoa học lĩnh hội số kiến thức khơng gian D∗ -mêtric nón lý thuyết điểm bất động, tiếp cận vấn đề để xem xét số kết tương tự tồn điểm bất động, bất động chung ánh xạ không gian mêtric mêtric nón có với khơng gian D∗ -mêtric nón hay khơng Với mục đích đó, luận văn trình bày thành hai chương Chương Không gian D∗ − mêtric nón Trong chương này, chúng tơi nhắc lại số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, không gian định chuẩn, mà chúng có liên quan đến nội dung luận văn Sau đó, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón khơng gian D∗ -mêtric nón Chương Một số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ khơng gian D∗ - mêtric nón Trong chương này, đưa định lý tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ Banach không gian D∗ - mêtric nón Sau đó, chúng tơi đưa hai định lý tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ T - co không gian D∗ - mêtric nón Các kết mở rộng thực số kết tài liệu tham khảo ([3], [4], [5], [8], [10]) Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc Thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn q Thầy giáo, Cơ giáo tổ Giải tích khoa Tốn - Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đặc biệt bạn lớp Cao học khóa 22 - Chun ngành Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu để hồn thiện luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng hạn chế mặt kiến thức thời gian nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi kính mong q Thầy Cơ bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Nghệ An, tháng năm 2016 Tác giả Hoàng Thị Hà CHƯƠNG KHƠNG GIAN D∗ −MÊTRIC NĨN Chương trình bày khái niệm số tính chất khơng gian D∗ −mêtric nón 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, không gian định chuẩn, ánh xạ liên tục, mà cần dùng luận văn Các kết khơng trích dẫn mục trích từ tài liệu [1] [2] 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện (i) X = ∅ X ∈ τ ; (ii) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I Gi ∈ τ ; i∈I (iii) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập hợp X với tơpơ τ gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) hay đơn giản X Phần tử X gọi điểm không gian tôpô Phần tử thuộc τ gọi tập mở Giả sử A ⊂ X Tập A gọi đóng X \ A mở 1.1.2 Định nghĩa Cho không gian tôpô X, tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Dãy {xn } không gian tôpô gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi đó, ta viết xn → x lim xn = x n→∞ 1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận B(x) có lực lượng đếm Không gian tôpô X gọi T2 −không gian hay không gian Hausdorff hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = ∅ Nếu X khơng gian Hausdorff dãy X mà hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X (nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.6 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn (i) d(x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X X với mêtric gọi khơng gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.7 Định nghĩa Cho X không gian mêtric Một dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn n0 ∈ N cho với n m ≥ n0 d(xn , xm ) < ε * Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Tập A ⊂ X gọi đầy đủ đầy đủ với mêtric cảm sinh * Mọi tập đầy đủ khơng gian mêtric tập đóng, tập đóng khơng gian mêtric đầy đủ tập đầy đủ 1.1.8 Định nghĩa Giả sử E không gian vectơ trường K = R K = C Hàm p : E → R gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau (i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E p(x) = ⇔ x = 0; (ii) p(λx) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K; (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E Số p(x) gọi chuẩn vectơ X ∈ E Ta thường kí hiệu chuẩn x x Không gian vectơ E với chuẩn xác định gọi khơng gian định chuẩn 1.1.9 Mệnh đề Nếu E không gian định chuẩn cơng thức d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E, xác định mêtric E Ta gọi mêtric mêtric sinh chuẩn hay mêtric chuẩn Một không gian định chuẩn không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi không gian Banach 1.1.10 Định lý Nếu E khơng gian định chuẩn ánh xạ chuẩn: x → x , ∀x ∈ E, phép cộng : (x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E phép nhân với vơ hướng : (λ, x) → λx, với (λ, x) ∈ K × E ánh xạ liên tục 1.1.11 Định lý Giả sử E không gian định chuẩn Khi đó, với a ∈ E λ ∈ K, λ = ánh xạ x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E phép đồng phôi E lên E 1.1.12 Định nghĩa Cho tập hợp X ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi quan hệ thứ tự phận X thỏa mãn điều kiện sau (i) x ≤ x với x ∈ X; (ii) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = y với x, y ∈ X; (iii) x ≤ y; y ≤ z suy x ≤ z với x, y, z ∈ X Tập hợp X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận ký hiệu (X, ≤) X 1.1.13 Định nghĩa Giả sử f : X → X g : X → X Điểm x ∈ X gọi điểm bất động f f (x) = x Điểm x ∈ X gọi điểm bất động chung f g x = f (x) = g(x) 1.2 Nón khơng gian Banach Mục trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón khơng gian Banach 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho E không gian Banach trường số thực R Một tập P E gọi nón E nếu: (i) P đóng, P = ∅, P = {0}; (ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ x, y ∈ P ax + by ∈ P ; (iii) Nếu x ∈ P − x ∈ P x = 1.2.2 Ví dụ ([6]) 1) Trong không gian số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} nón 2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y ≥ 0} ⊂ R2 Khi đó, P nón E 3) Giả sử C[a,b] tập tất hàm nhận giá trị thực liên tục [a, b] Ta biết C[a,b] không gian Banach với chuẩn f = sup f (x) , ∀f ∈ C[a,b] x∈[a,b] Trên C[a,b] có quan hệ thứ tự phận thông thường ≤ xác định với f, g ∈ C[a,b] , f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] Đặt P = {f ∈ C[a,b] : ≤ f } Khi đó, P thỏa mãn điều kiện (i) P tập đóng, P = ∅, P = {0}; (ii) Với a, b ∈ R, a, b ≥ f, g ∈ P ta có ≤ af (x) + bg(x), ∀x ∈ [a, b] Do af + bg ∈ P (iii) Với f ∈ P − f ∈ P f = Vậy P nón E Cho P nón khơng gian Banach E Trên E, ta định nghĩa quan hệ thứ tự ” ≤ ” xác định P sau: x ≤ y y − x ∈ P Ta viết x < y x ≤ y x = y viết x y y − x ∈ intP (intP kí hiệu phần P ) 1.2.3 Định nghĩa ([6]) Cho P nón khơng gian Banach E Nón P gọi nón chuẩn tắc tồn số thực K > cho với x, y ∈ E ≤ x ≤ y ta có x ≤ K y Số thực dương K nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi số chuẩn tắc P 1.2.4 Bổ đề ([6]) Giả sử P nón khơng gian Banach E, a, b, c ∈ E α số thực dương Khi đó, (i) Nếu a b b c a c; (ii) Nếu a ≤ b b c a c; (iii) Nếu a b, c d a + c b + d; (iv) αintP ⊂ intP ; (v) Với δ > x ∈ intP tồn < γ < cho γx < δ; (vi) Với c1 ∈ intP c2 ∈ intP tồn d ∈ intP cho c1 d c2 (vii) Với c1 , c2 ∈ intP tồn e ∈ intP cho e c2 ; c1 e d; (viii) Nếu a ∈ P a ≤ x với x ∈ intP a = 0; (ix) Nếu a ≤ λa với a ∈ P, < λ < a = 0; (x) Nếu ≤ xn ≤ yn với n ∈ N lim xn = x, lim yn = y ≤ x ≤ y n→∞ n→∞ Chứng minh (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP Nếu a b b c b − a ∈ intP c − b ∈ intP Suy c − a = c − b + b − a ∈ intP + intP ⊂ intP Vậy a c (iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP (ii) Để ý intP + P = (x + intP ) tập mở P nón nên suy x∈P x + intP ⊂ P Do P + intP ⊂ intP Nếu a ≤ b b c b − a ∈ P c − b ∈ intP Suy c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP Vậy a c (iii) Ta có a b c d nên b − a ∈ intP d − c ∈ intP suy b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP , a + c b + d δ (v) Với δ > x ∈ intP chọn số tự nhiên n > cho < n x δ Khi đó, đặt γ = γ thỏa mãn: < γ < n x γx ≤ γ x ≤ δ n x x ≤ δ < δ n ta cần chứng tỏ bất đẳng thức (3) Định lý 2.1 thỏa mãn, tức chứng minh D∗ (f x, f x, f y) ≤ 29 D∗ (y, y, f y) + 23 D∗ (x, y, f x); ∀(x, y) ∈ X × X (15) Ta có D∗ (f 1, f 1, f 2) = D∗ (f 2, f 2, f 1) = Do (15) cho (1,2) (2,1) Với (x, y) = (1, 3) ta có ∗ 2 D (3, 3, 2)+ D∗ (1, 3, 1) = ×3+ ×2 = 9 Do (15) với (x, y) = (1, 3) Tương tự, ta chứng minh (15) với (x, y) = (3, 1), (x, y) = (2, 3), (3, 2) Hiển nhiên (15) với (x, y) ∈ X × X Như (15) cho (x, y) ∈ X × X Vậy f thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1 Với a ∈ [0, 14 ) ta có D∗ (f 1, f 1, f 3) = D∗ (1, 1, 2) = 2, a[D∗ (1, 1, 3) + D∗ (1, f 1, f 1) + D∗ (1, f 1, f 3)] = 4a < = D∗ (f 1, f 1, f 3) Như f không thỏa điều kiện Hệ 2.1.5 Với a, b, c, d ≥ cho a + 23 b + 23 c < ta có aD∗ (3, 3, 1) + 2b [D∗ (3, f 3, f 3) + D∗ (3, f 3, f 1)] + 2c [D∗ (3, 3, f 3) + D∗ (3, 1, f 1)] = 2a + 3b + 52 c < = D∗ (f 3, f 3, f 1) Do f khơng thỏa mãn điều kiện Hệ 2.1.6 Bây giờ, ta chứng minh f không thỏa điều kiện (1) Hệ 2.1.4 Giả sử tồn a, b, c ∈ [0, 1) cho a + b + c + d < điều kiện co Hệ 2.1.4 thỏa mãn Khi đó, ta có = D∗ (f 1, f 1, f 3) ≤ aD∗ (1, 1, 3) + bD∗ (1, f 1, f 1) + cD∗ (1, f 1, f 1) +dD∗ (3, f 3, f 3) = 2a + 3d (16) = D∗ (f 3, f 3, f 1) ≤ aD∗ (3, 3, 1) + bD∗ (3, f 3, f 3) + cD∗ (3, f 3, f 3) +dD∗ (1, f 1, f 1) = 2a + 3b + 3c (17) Theo (17) ta có ≤ 2a + 3b + 3c = 3(a + b + c + d) − (a + 3d) hay + a + 3d ≤ 3(a + b + c + d) < Do a + 3d < ⇔ + a > 2a + 3d 21 Kết hợp với (16) ta có + a > Như a > 1, ta có điều mâu thuẫn Từ suy f không thỏa mãn điều kiện Hệ 2.1.4 Bây giờ, ta chứng minh Hệ 2.1.3, tức Định lý 20 [4] không áp dụng cho T f với T ánh xạ đồng Thật vậy, giả sử T, f thỏa mãn điều kiện (9) Hệ 2.1.3 Khi đó, với (x, y, z) = (1, 1, 3) ∈ X ta có D∗ (f 1, f 1, f 3) = D∗ (1, 1, 2) = ≤ b1 D∗ (1, 1, 3) + b2 D∗ (1, f 1, f 1) +b3 D∗ (1, f 1, 3) + b4 D∗ (1, f 1, f 1) +b5 D∗ (1, f 1, f 1) + b6 D∗ (1, f 3, f 3) +b7 D∗ (1, f 3, f 3) + b8 D∗ (1, f 1, f 3) +b9 D∗ (1, 1, f 3) + b10 D∗ (f 1, f 3, f 3) = 2(b1 + b3 + b6 + b7 + b8 + b9 + b10 ) Do b1 + b3 + b6 + b7 + b8 + b9 + b10 ≥ Bất đẳng thức mâu thuẫn với (9) 2.2 Sự tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ T −co Trong mục này, đưa hai định lý tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ T −co khơng gian D∗ −mêtric nón Từ định lý suy số kết tài liệu ([3], [5], [8]) 2.2.1 Định lý Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ - mêtric nón đầy đủ; T, f g : X → X ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Tồn số không âm a1 , a2 , , a9 cho a1 + a2 + 2a3 + a5 + a6 + 2a7 + 2a8 + a9 < 1, (18) a1 + a2 + 2a4 + a5 + 2a6 + a7 + a8 + 2a9 < 1, (19) D∗ (T f x, T f x, T gy) ≤ a1 D∗ (T x, T x, T y) + a2 D∗ (T x, T x, T f x) +a3 D∗ (T x, T x, T gy) + a4 D∗ (T y, T y, T f x) +a5 D∗ (T y, T y, T gy) + a6 D∗ (T x, T y, T f x) +a7 D∗ (T x, T y, T gy) + a8 D∗ (T x, T f x, T gy) +a9 D∗ (T y, T f x, T gy) với x, y, z ∈ X 22 (20) (ii) T đơn ánh điều kiện sau thỏa mãn (a) T liên tục hội tụ dãy con, (b) T(X) tập đóng X, (c) T tồn ánh Khi đó, f g có điểm bất động chung X Hơn nữa, thêm giả thiết f T x = T f x gT x = T gx với x ∈ F ix(f ) ∩ F ix(g) T, f g có điểm bất động chung X Chứng minh Lấy x0 ∈ X Đặt x1 = f x0 , x2 = gx1 , , x2n+1 = f x2n , x2n+2 = gx2n+1 , dn = D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) với n ∈ N Áp dụng điều kiện (20), ta có d2n+1 = D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T x2n+2 ) = D∗ (T f x2n , T f x2n , T gx2n+1 ) ≤ a1 D∗ (T x2n , T x2n , T x2n+1 ) +a2 D∗ (T x2n , T x2n , T f x2n ) + a3 D∗ (T x2n , T x2n , T gx2n+1 ) +a4 D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T f x2n ) + a5 D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T gx2n+1 ) +a6 D∗ (T x2n , T x2n+1 , T f x2n ) + a7 D∗ (T x2n , T x2n+1 , T gx2n+1 ) +a8 D∗ (T x2n , T f x2n , T gx2n+1 ) + a9 D∗ (T x2n+1 , T f x2n , T gx2n+1 ) ≤ a1 d2n + a2 d2n + a3 (d2n + d2n+1 ) + a5 d2n+1 + a6 d2n +a7 (d2n + d2n+1 ) + a8 (d2n + d2n+1 ) + a9 d2n+1 ∀n ∈ N Do d2n+1 ≤ a1 + a2 + a3 + a6 + a7 + a8 d2n := qd2n − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 q= ∀n ∈ N, (21) a1 + a2 + a3 + a6 + a7 + a8 < 1 − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 Tương tự ta có d2n = D∗ (T x2n , T x2n , T x2n+1 ) = D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T x2n ) = D∗ (T f x2n , T f x2n , T gx2n−1 ) ≤ a1 d2n−2 + a2 d2n + a3 +a4 D∗ (T x2n−1 , T x2n−1 , T x2n+1 ) + a5 d2n−1 + a6 D∗ (T x2n , T x2n−1 , T x2n+1 ) +a7 d2n−1 + a8 d2n + a9 D∗ (T x2n−1 , T x2n+1 , T x2n ) ≤ a1 d2n−1 + a2 d2n + a4 (d2n−1 + d2n ) + a5 d2n−1 + a6 (d2n−1 + d2n ) +a7 d2n−1 + a8 d2n + a9 (d2n−1 + d2n ) ∀n ∈ N Từ suy ra, d2n ≤ a1 + a4 + a5 + a6 + a7 + a9 d2n−1 := rd2n−1 − a2 − a4 − a6 − a8 − a9 23 ∀n ∈ N∗ , (22) đó, r= a1 + a4 + a5 + a6 + a7 + a9 − a2 − a4 − a6 − a8 − a9 Từ (18) suy q ∈ [0; 1) từ (19) suy r ∈ [0; 1) Do đặt λ = max(r, q) λ ∈ [0; 1) Từ (21) (22), ta có d2n+1 ≤ λd2n ≤ λ2 d2n−1 ≤ ≤ λ2n+1 d0 d2n+2 ≤ λd2n+1 ≤ λ2 d2n ≤ ≤ λ2n+2 d0 Do dn ≤ λn d0 ∀n ∈ N Từ bất đẳng thức bất đẳng thức tứ giác suy ra, với n ∈ N p ∈ N, ta có D∗ (T xn , T xn , T xn+p ) ≤ D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) + D∗ (T xn+1 , T xn+1 , T xn+2 ) + + D∗ (T xn+p−1 , T xn+p−1 , T xn+p ) p ≤ (λn + λn+1 + + λn+p−1 )d0 = λn 1−λ 1−λ d0 λn ≤ 1−λ d0 Vì λ ∈ [0; 1) nên nhiên nc cho λn 1−λ d0 → n → ∞ Do đó, với c ∈ intP tồn số tự D∗ (T xn , T xn , T xn+p ) ≤ λn d0 1−λ c, ∀n ≥ nc , ∀p ∈ N Điều chứng tỏ {T xn } dãy Cauchy X Vì (X, D∗ ) đầy đủ nên, T xn → y ∈ X (a) Giả sử T liên tục hội tụ dãy Khi đó, T xn → y nên tồn xni dãy {xn } cho xni → u ∈ X Do T liên tục nên T xni → T u Do ta có T xn → y = T u (b) Giả sử T (X) tập đóng X Khi đó, từ {T xn } ⊂ T (X) T xn → y suy y ∈ T (X) Do tồn u ∈ X cho y = T u (c) Giả sử T toàn ánh Khi đó, y ∈ X nên tồn u ∈ X cho T u = y Như vậy, điều kiện (a), (b), (c) thỏa mãn tồn u ∈ X cho y = T u Bây giờ, ta chứng minh u điểm bất động chung f g Áp dụng bất đẳng thức tứ giác (3), với n ∈ N∗ , ta có 24 D∗ (T f u, T f u, T u) ≤ D∗ (T f u, T f u, T gx2n+1 ) + D∗ (T x2n+2 , T x2n+2 , T u) ≤ D∗ (T x2n+2 , T x2n+2 , T u) + a1 D∗ (T u, T u, T x2n+1 ) +a2 D∗ (T u, T u, T f u) + a3 D∗ (T u, T u, T x2n+2 ) +a4 D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T f u) + a5 D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T x2n+2 ) +a6 D∗ (T u, T x2n+1 , T f u) + a7 D∗ (T u, T x2n+1 , T x2n+2 ) +a8 D∗ (T u, T f u, T x2n+2 ) + a9 D∗ (T x2n+1 , T f u, T x2n+2 ) ≤ a1 D∗ (T u, T u, T x2n+1 ) + a2 D∗ (T u, T u, T f u) +a3 D∗ (T u, T u, T x2n+2 ) + a4 [D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T u) +D∗ (T u, T u, T f u)] + a5 D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T x2n+2 ) +a6 [D∗ (T u, T x2n+1 , T u) + D∗ (T u, T u, T f u)] +a7 D∗ (T x2n+1 , T x2n+2 , T u) +a8 [D∗ (T u, T f u, T u) + D∗ (T u, T u, T x2n+2 )] +a9 [D∗ (T x2n+1 , T x2n+2 , T u) + D∗ (T u, T u, T f u)] +D∗ (T x2n+2 , T x2n+2 , T u) Từ ta có (1 − a2 − a4 − a6 − a8 − a9 )D∗ (T u, T u, T f u) ≤ (a1 + a4 + a6 )D∗ (T u, T u, T x2n+1 ) +(a3 + a8 + 1)D∗ (T u, T u, T x2n+2 ) +(a7 + a9 )D∗ (T x2n+1 , T x2n+2 , T u) +a5 D∗ (T x2n+1 , T x2n+1 , T x2n+2 ) (23) ∗ với n ∈ N Vì T xn → T u nên với c ∈ intP tồn nc ∈ N cho vế phải (23) c với n ≥ nc Do (1 − a2 − a4 − a6 − a8 − a9 )D∗ (T u, T u, T f u) c ∀c ∈ intP Kết hợp với (1 − a2 − a4 − a6 − a8 − a9 ) > suy D∗ (T u, T u, T f u) = 0, tức T u = T f u Vì T đơn ánh nên u = f u Tương tự, ta chứng minh D∗ (T u, T u, T gu) = Do u = gu Như u điểm bất động chung f g Giả sử u điểm bất động chung f g Khi đó, ta có D∗ (T u, T u, T u ) = D∗ (T f u, T f u, T gu ) ≤ a1 D∗ (T u, T u, T u ) + a2 D∗ (T u, T u, T u) +a3 D∗ (T u, T u, T u ) + a4 D∗ (T u , T u , T u) +a5 D∗ (T u , T u , T u ) + a6 D∗ (T u, T u , T u) +a7 D∗ (T u, T u , T u ) + a8 D∗ (T u, T u, T u ) +a9 D∗ (T u , T u, T u ) 25 Do D∗ (T u, T u, T u ) ≤ (a1 + a3 + a4 + a6 + a7 + a8 + a9 )D∗ (T u, T u, T u ) Từ bất đẳng thức (a1 + a3 + a4 + a6 + a7 + a8 + a9 ) < 1, suy D∗ (T u, T u, T u ) = 0, tức T u = T u Vì T đơn ánh nên u = u Giả sử T giao hoán với g T giao hoán với f điểm bất động chung f g Khi đó, ta có T u = T f u = f T u T u = T gu = gT u Do đó, T u điểm bất động chung f g Do T u = u Vậy u điểm bất động chung f, g T Sau số hệ Định lý 2.2.1 2.2.2 Hệ Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ -mêtric đầy đủ; T, f : X → X hai ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau (i) Tồn số không âm b1 , b2 , , b5 cho b1 + 2b2 + 2b3 + 3b4 + 3b5 < 1, (24) D∗ (T f x, T f x, T f y) ≤ b1 D∗ (T x, T x, T y) +b2 [D∗ (T x, T x, T f x) + D∗ (T y, T y, T f y)] +b3 [D∗ (T x, T x, T f y) + D∗ (T y, T y, T f x)] +b4 [D∗ (T x, T y, T f x) + D∗ (T x, T y, T f y)] +b5 [D∗ (T x, T f x, T f y) + D∗ (T y, T f x, T f y)] (25) với x, y ∈ X (ii) T đơn ánh điều kiện sau thỏa mãn (a) T liên tục hội tụ dãy con, (b) T (X) tập đóng X, (c) T tồn ánh Khi đó, f có điểm bất động X Hơn nữa, thêm giả thiết f T x = T f x với x điểm bất động f T f có điểm bất động chung X 26 Chứng minh Đầu tiên, không gian D∗ -mêtric trường hợp đặc biệt không gian D∗ -mêtric nón (trong định nghĩa 1.3.1, lấy E = R P = [0, +∞) ta nhận khái niệm không gian D∗ - mêtric) Ta ý rằng, Định lý 2.2.1 lấy g = f điều kiện (20) trở thành D∗ (T f x, T f x, T f y) ≤ a1 D∗ (T x, T x, T y) + a2 D∗ (T x, T x, T f x) +a3 D∗ (T x, T x, T f y) + a4 D∗ (T y, T y, T f x) +a5 D∗ (T y, T y, T f y) + a6 D∗ (T x, T y, T f x) +a7 D∗ (T x, T y, T f y) + a8 D∗ (T x, T f x, T f y) +a9 D∗ (T y, T f x, T f y) (26) với x, y ∈ X Đặt a1 = b1 , a2 = a5 = b2 , a3 = a4 = b3 , a6 = a7 = b4 a8 = a9 = b5 Khi đó, điều kiện (25) trở thành (26) Mặt khác, từ (24) suy a1 + a2 + 2a3 + a5 + a6 + 2a7 + 2a8 + a9 = b1 + 2b2 + 2b3 + 3b4 + 3b5 < a1 + a2 + 2a4 + a5 + 2a6 + a7 + a8 + 2a9 = b1 + 2b2 + 2b3 + 3b4 + 3b5 < Như điều kiện Định lý 2.2.1 thỏa mãn với f = g Do kết luận hệ suy từ Định lý 2.2.1 2.2.3 Hệ Giả sử giả thiết Định lý 2.2.1 thỏa mãn với f = g điều kiện (i) thay (i’) Tồn số không âm b1 , b2 , , b5 thỏa mãn b1 + b2 + b3 + b4 + b5 < (27) D∗ (T f x, T f x, T f y) ≤ b1 D∗ (T x, T x, T y) + b2 D∗ (T x, T x, T f x) +b3 D∗ (T x, T x, T f y) + b4 D∗ (T y, T y, T f x) +b5 D∗ (T y, T y, T f y) (28) với x, y ∈ X Khi đó, f có điểm bất động X Hơn nữa, thêm giả thiết T f x = f T x với x điểm bất động f T f có điểm bất động chung 27 Chứng minh Theo (28) ta có D∗ (T f x, T f x, T f y) = D∗ (T f y, T f y, T f x) ≤ b1 D∗ (T y, T y, T x) +b2 D∗ (T y, T y, T f y) +b3 D∗ (T y, T y, T f x) +b4 D∗ (T x, T x, T f y) +b5 D∗ (T x, T x, T f x) với x, y ∈ X Từ bất đẳng thức (28) suy ∗ D∗ (T f x, T f x, T f y) ≤ b1 D∗ (T x, T x, T y) + b2 +b D (T x, T x, T f x) b4 +b3 ∗ ∗ (29) + b3 +b D (T x, T x, T f y) + D (T y, T y, T f x) ∗ + b5 +b D (T y, T y, T f y) với x, y ∈ X Đặt a1 = b1 , a2 = a5 = b3 + b4 b2 + b5 , a3 = a4 = , a6 = a7 = a8 = a9 = 2 Khi đó, từ (27) (29) ta dễ dàng kiểm tra điều kiện Định lý 2.2.1 thỏa mãn Do khẳng định cần chứng minh suy từ Định lý 2.2.1 2.2.4 Định lý Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ −mêtric nón đầy đủ; T , g f ba ánh xạ từ X vào X thỏa mãn điều kiện sau (i) Tồn số không âm a1 , a2 , , a5 cho a1 + a2 + a3 + a4 + a5 < 1, (30) (a2 − a5 )(a3 − a4 ) ≥ (31) D∗ (T f x, T f x, T gy) ≤ a1 D∗ (T x, T x, T y) + a2 D∗ (T x, T x, T f x) +a3 D∗ (T x, T x, T gy) + a4 D∗ (T y, T y, T f x) +a5 D∗ (T y, T y, T gy) với x, y ∈ X (ii) T đơn ánh điều kiện sau thỏa mãn (a) T liên tục hội tụ dãy con, 28 (32) (b) T (X) tập đóng X, (c) T tồn ánh Khi đó, f g có điểm bất động chung X Hơn nữa, thêm giả thiết f T x = T f x gT x = T gx với x ∈ F ix(f ) ∩ F ix(g) T, f g có điểm bất động chung X Chứng minh Lấy x0 ∈ X Đặt x1 = f x0 , x2 = gx1 , , x2n+1 = f x2n , x2n+2 = gx2n+1 , dn = D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ), ∀n = 0, 1, Sử dụng điều kiện (32), cách làm tương tự chứng minh Định lý 2.2.1 (với a6 = a7 = a8 = a9 = 0) ta d2n+1 ≤ qd2n (33) d2n+2 ≤ rd2n+1 q= ∀n = 0, 1, , (34) a1 + a4 + a5 a1 + a2 + a3 ,r = − a3 − a5 − a2 − a4 Từ (31) suy a2 a3 + a4 a5 ≥ a2 a4 + a3 a5 Kết hợp với (30) ta có qr = ≤ a1 (a1 +a2 + +a5 )+a2 a5 +a3 a4 +a2 a4 +a3 a5 1−(a2 +a3 +a4 +a5 )+a2 a5 +a3 a4 +a2 a3 +a4 a5 a1 +a2 a5 +a3 a4 +a2 a4 +a3 a5 a1 +a2 a5 +a3 a4 +a2 a3 +a4 a5 < Do α := qr ∈ [0, 1) Từ (33) (34) suy d2n+1 ≤ qd2n ≤ qrd2n−1 ≤ q rd2n−2 ≤ ≤ q(qr)n d0 (35) d2n+2 ≤ rd2n+1 ≤ rqd2n ≤ r2 qd2n−1 ≤ (rq)2 d2n−2 ≤ ≤ (rq)n+1 d0 (36) với n = 0, 1, 2, Do (35) (36) ta có n n n dn ≤ max{qα[ ] , α[ ] }d0 ≤ (q + 1)α[ ] d0 29 ∀n = 1, 2, , (37) n2 phần nguyên n2 Sử dụng nhiều lần bất đẳng thức tứ giác (37) ta có D∗ (T xn , T xn , T xn+p ) ≤ dn + dn+1 + + dn+p−1 n+p−1 n+1 n ≤ (q + 1)(α[ ] + α[ ] + + α[ ] )d0 n n ≤ 2(q + 1)(α[ ] + α[ +1] + )d0 (38) với n = 1, 2, ; ∀p = 0, 1, 2, ∞ Vì α ∈ [0, 1) nên n=1 αn hội tụ Từ suy n n α[ ] + α[ +1] + −→ n −→ ∞ Do đó, từ (38) suy {T xn } dãy Cauchy X Đến đây, Định lý tiếp tục chứng minh tương tự chứng minh phần lại Định lý 2.2.1 cho a6 = a7 = a8 = a9 = Trong Định lý 2.2.4, lấy T : X → X ánh xạ đồng nhất, ta nhận hệ sau 2.2.5 Hệ Giả sử (X, D∗ ) khơng gian D∗ −mêtric nón đầy đủ, f g hai ánh xạ từ X vào X cho tồn số không âm a1 , a2 , , a5 thỏa mãn a1 + a2 + a3 + a4 + a5 < 1, (a2 − a5 )(a3 − a4 ) ≥ D∗ (f x, f x, gy) ≤ a1 D∗ (x, x, y) + a2 D∗ (x, x, f x) +a3 D∗ (x, x, gy) + a4 D∗ (y, y, f x) + a5 D∗ (y, y, gy) với x, y ∈ X Khi đó, f g có điểm bất động chung 2.2.6 Hệ Giả sử (X, d) khơng gian mêtric nón đầy đủ T, f, g : X −→ X ba ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau i) Tồn số không âm a1 , a2 , , a5 cho a1 + a2 + a3 + a4 + a5 < 1, (a2 − a5 )(a3 − a4 ) ≥ d(T f x, T gy) ≤ a1 d(T x, T y) + a2 d(T x, T f x) + a3 d(T x, T gy) +a4 d(T y, T f x) + a5 d(T y, T gy) với x, y ∈ X 30 (39) ii) T đơn ánh điều kiện sau thỏa mãn (a) T liên tục hội tụ dãy con, (b) T (X) tập đóng X, (c) T tồn ánh Khi đó, f g có điểm bất động chung X Hơn nữa, thêm giả thiết f T x = T f x gT x = T gx với x ∈ F ix(f ) ∩ F ix(g) T, f g có điểm bất động chung X Chứng minh Ta xác định hàm D∗ : X −→ P công thức D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, theo Bổ đề 1.3.14 (X, D∗ ) khơng gian D∗ -mêtric nón đầy đủ Theo (39) ta có D∗ (T f x, T f x, T gy) = 2d(T f x, T gy) ≤ 2[a1 d(T x, T y) + a2 d(T x, T f x) +a3 d(T x, T gy) + a4 d(T y, T f x) +a5 d(T y, T gy)] = a1 D∗ (T x, T x, T y) + a2 D∗ (T x, T x, T f x) +a3 D∗ (T x, T x, T gy) + a4 D∗ (T y, T y, T f x) +a5 D∗ (T y, T y, T gy), ∀x, y ∈ X Bất đẳng thức chứng tỏ điều kiện Định lý 2.2.4 thỏa mãn Do f g có điểm bất động chung 2.2.7 Hệ ([5], Định lý 2.1) Giả sử (X, d) không gian mêtric nón đầy đủ; T, f g : X −→ X ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau (i) Tồn số không âm b1 , b2 , b3 cho b1 + b2 + b3 < d(T f x, T gy) ≤ b1 d(T x, T f x) + b2 d(T y, T gy) + b3 d(T x, T y) với x, y ∈ X (ii) T đơn ánh hội tụ dãy Khi đó, f g có điểm chung X Hơn (T, f ) (T, g) cặp ánh xạ Banach, tức T f x = f T x T gx = gT x với x ∈ F ix(f ) ∩ F ix(g) T, f g có điểm bất động chung X 31 Chứng minh Hệ suy từ Hệ 2.2.6 với việc lấy a1 = b3 , a2 = b1 , a5 = b2 , a3 = a4 = 2.2.8 Hệ ([5], Định lý 2.2) Giả sử (X, d) không gian mêtric nón đầy đủ; T, f g : X −→ X ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau (i) Tồn số không âm b1 , b2 , b3 cho b1 + b2 + b3 < 1, b1 = b2 d(T f x, T gy) ≤ b1 d(T x, T gy) + b2 d(T y, T f x) + b3 d(T y, T x) với x, y ∈ X (ii) T đơn ánh hội tụ dãy Khi đó, f g có điểm chung X Hơn (T, f ) (T, g) cặp ánh xạ Banach T, f g có điểm bất động chung X Chứng minh Hệ suy từ Hệ 2.2.6 với việc lấy a1 = b3 , a3 = b1 , a4 = b2 , a2 = a5 = 2.2.9 Chú ý Từ Định lý 2.2.4 ta suy Hệ 2.1.4 Hệ 2.1.8 32 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: 1) Trình bày lại khái niệm, ví dụ, số tính chất nón khơng gian D −mêtric nón ∗ 2) Đưa Định lí 2.1.2 tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ Banach không gian D∗ −mêtric nón chứng minh số kết tài liệu [3, 4, 8, 10] suy từ Định lí 2.1.2 Mặt khác, chúng tơi đưa ví dụ để chứng tỏ kết chúng tơi (Định lí 2.1.2) mở rộng thực Định lí 20 [4], Định lí 2.2 [3], Định lí Định lí [10] 3) Đưa hai Định lí (Định lí 2.2.1 Định lí 2.2.4) tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ T-co không gian D∗ −mêtric nón Sau đó, chúng tơi đưa số Hệ chứng tỏ Định lí 2.2.1 Định lí 2.2.4 mở rộng Định lí 2.1 2.2 [5] suy số kết tài liệu tham khảo [3], [8] 4) Một số kết chương hai viết thành báo nhận đăng Tạp chí Khoa học Trường Đại Học Vinh 33 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở Lý thuyết hàm giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] J Kelly (1973), Tơpơ đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường (dịch), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] C T Aage and J N Salunke (2010), Some fixed point theorems in generalized D∗ −metric spaces, Applied Sciences, 12, pp 1-13 [4] M Bousselsal and M S Jzmati (2014), Common fixed point theorems for T-contractive mapping in D∗ -generalized conne metric space, Gen.Math Notes, Vol 22, No 2, pp 67-88 [5] A K Dubey, R Shukla and R P Dubey (2013), Cone metric spaces and common fixed point theorems for certain contractive mappings, International Mathematics, Vol 87, No 3, pp 431-441 [6] H L Guang and Z Xian (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl., vol 332, no 2, pp 1468-1476 [7] G E Hardy and T D Rogers (1973), A generalization of a fixed point theorems of Reich, Canad Math Bull., 16, pp 201-206 [8] J R Morales and E Rojas (2010), Cone metric spaces and fixed point theorems of T -Kannan contractive mappings, Int Journal of Math Analysis, Vol 4, pp 175-184 [9] S Sedghi, N Shobe and H Zhou (2007), A common fixed points theorems in D∗ -metric spaces, Fixed point theory and Application, pp 1-14 34 [10] T Veerapandi and Aji M Pillai (2011), A common fixed point theorem and some fixed point theorems in D∗ −metric spaces, African Jornal of Mathematics and Science Research Vol (8), pp 273-280 35 ... Khơng gian D? ?? −mêtric nón 10 Chương Một số kết tồn điểm bất động chung 13 ánh xạ không gianD∗ −mêtric nón 2.1 Sự tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ Banach 13 2.2 Sự tồn điểm. .. chất nón khơng gian D? ?? -mêtric nón Chương Một số kết tồn điểm bất động chung ánh xạ khơng gian D? ?? - mêtric nón Trong chương này, đưa định lý tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ Banach không gian D? ??... KHƠNG GIAN D? ?? − MÊTRIC NĨN Chương này, trình bày số định lý tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ Banach cặp ánh xạ T − co khơng gian D? ?? −mêtric nón 2.1 Sự tồn điểm bất động chung cặp ánh xạ Banach Trong