Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ t co trong không gian d meetric nón

Mục lục Lời mở đầu Chương 1: Không gian D∗ –mêtric nón 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Nón khơng gian Banach 1.3 Khơng gian D∗ –mêtric nón 12 Chương 2: Một số kết tồn điểm bất động ánh xạ T –co không gian D∗ –mêtric nón 2.1 Một số kết tồn điểm bất động bất động chung ánh xạ T –co không gian mêtric nón 2.2 16 16 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T –co kiểu Kannan kiểu Chatteriea khơng gian D∗ –mêtric nón 22 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 Lời mở đầu Không gian mêtric lý thuyết điểm bất động đối tượng nghiên cứu quan trọng giải tích, có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu, lý thuyết trò chơi nhiều ngành khoa học ứng dụng khác Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải kể đến nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Với việc tồn điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ thiết lập dãy lặp hội tụ điểm bất động đó, nguyên lý ánh xạ co Banach vận dụng phổ biến thành công việc chứng minh tồn nghiệm tính xấp xỉ nghiệm toán thuộc nhiều lĩnh vực giải tích Rất nhiều hướng nghiên cứu tìm cách mở rộng khái niệm không gian mêtric thành lớp không gian tổng quát lớp không gian có cấu trúc tương tự, đồng thời định lý điểm bất động ánh xạ co không gian mêtric nghiên cứu phong phú cho nhiều loại ánh xạ nhiều lớp không gian khác Huang Zhang [6] mở rộng khái niệm không gian mêtric cách thay tập số thực định nghĩa mêtric khơng gian Banach có thứ tự đưa khái niệm khơng gian mêtric nón Năm 2007, Shaban Sedghi cộng [9] đưa khái niệm không gian D∗ –mêtric dựa điều chỉnh định nghĩa không gian D–mêtric Năm 2010, Aage Salunke [4] mở rộng không gian D∗ –mêtric thành khơng gian D∗ –mêtric nón chứng minh số kết tồn điểm bất động điểm bất động chung ánh xạ khơng gian D∗ –mêtric nón Sau đó, vấn đề tồn điểm bất động ánh xạ T –co khơng gian D∗ –mêtric nón nhiều người quan tâm nghiên cứu ([4], [5], [6], [9], [10]) thu nhiều kết Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu tính chất khơng gian D∗ –mêtric nón, nghiên cứu số kết tồn điểm bất động ánh xạ T –co không gian D∗ –mêtric nón Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Khơng gian D∗ –mêtric nón Chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất khơng gian D∗ –mêtric nón Chương 2: Một số kết tồn điểm bất động ánh xạ T –co khơng gian D∗ –mêtric nón Chương giới thiệu khái niệm ánh xạ T –co kiểu Kannan, kiểu Chatterjea kiểu Hardy - Rogers số kết tồn điểm bất động ánh xạ không gian mêtric nón Sau chúng tơi đưa số kết tồn điểm bất động ánh xạ T –co không gian D∗ –mêtric nón Các kết mở rộng số kết không gian mêtric Luận văn hoàn thành trường đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo – PGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy – người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo, giáo khoa Toán, trường Đại học Vinh dạy bảo tác giả tận tình suốt thời gian học khoa Nhân dịp tác giả xin gởi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đặc biệt anh, chị lớp Cao học 21 giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp qúy thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cám ơn Nghệ An, tháng năm 2015 Tác giả Phan Sĩ Đạt Chương KHƠNG GIAN D∗–MÊTRIC NĨN Chương trình bày khái niệm số tính chất khơng gian D∗ –mêtric nón 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số khái niệm kết không gian tôpô, không gian mêtric, ánh xạ liên tục, mà cần dùng luận văn Các kết mục lấy từ tài liệu [1], [3] 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X Họ τ tập X gọi tôpô X thỏa điều kiện (i) X = θ, X ∈ τ ; (ii) Nếu Gi ∈ τ, i ∈ I Gi ∈ τ ; i∈I (iii) Nếu G1 , G2 ∈ τ G1 ∩ G2 ∈ τ Tập hợp X với τ gọi không gian tôpô ký hiệu (X, τ ) hay đơn giản X Phần tử X gọi điểm không gian tôpô Phần tử thuộc τ gọi tập mở Giả sử A ⊂ X Tập hợp A gọi đóng X\A mở 1.1.2 Định nghĩa Cho khơng gian tôpô X, tập A X gọi lân cận điểm x ∈ X tồn tập mở V ⊂ X cho x ∈ V ⊆ A Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) họ tất lân cận x Họ B(x) ⊂ U(x) gọi sở lân cận x với U ∈ U(x) tồn V ∈ B(x) cho V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Dãy {xn } không gian tôpô gọi hội tụ tới x ∈ X với lân cận U x tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U với n ≥ n0 Khi đó, ta viết xn → x lim xn = x x→∞ 1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm x ∈ X có sở lân cận B(x) có lực lượng đếm Khơng gian tơpơ X gọi T2 − không gian hay không gian Hausdorff hai điểm x, y ∈ X, x = y tồn lân cận tương ứng Ux , Uy x y cho Ux ∩ Uy = ∅ Nếu X không gian Hausdorff dãy X mà hội tụ hội tụ tới điểm 1.1.5 Định nghĩa Giả sử X, Y hai không gian tôpô f : X → Y Ánh xạ f gọi liên tục x ∈ X với lân cận V f (x), tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Ánh xạ f gọi liên tục X ( nói gọn liên tục) liên tục điểm X 1.1.6 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng d : X × X → R Hàm d gọi mêtric X điều kiện sau thỏa mãn (i) d (x, y) ≥ với x, y ∈ X d(x, y) = x = y; (ii) d(x, y) = d(x, y) với x, y ∈ X; (iii) d (x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X X với mêtric gọi khơng gian mêtric ký hiệu (X, d) X 1.1.7 Định nghĩa Cho X không gian mêtric Một dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với > 0, tồn n0 ∈ N cho với n m ≥ n0 d(xn , xm ) < Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Tập A ⊂ X gọi đầy đủ đầy đủ với mêtric cảm sinh Một tập đầy đủ không gian mêtric tập đóng, tập đóng không gian mêtric đầy đủ tập đầy đủ 1.1.8 Định nghĩa ([10]) Giả sử E không gian vectơ trường K = R K = C Hàm p : E → R gọi chuẩn E thỏa mãn điều kiện sau (i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E p(x) = 0, ⇔ x = 0; (ii) p(xλ) = |λ| p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K; (iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ E Số p(x) gọi chuẩn vectơ X ∈ E Ta thường ký hiệu chuẩn x x Không gian vectơ E với chuẩn xác định gọi không gian định chuẩn 1.1.9 Mệnh đề Nếu E khơng gian định chuẩn cơng thức d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E mêtric E Ta gọi mêtric mêtric sinh chuẩn hay mêtric chuẩn Một không gian định chuẩn không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi khơng gian Banach 1.1.10 Định lí Nếu E khơng gian định chuẩn ánh xạ chuẩn: x → x , ∀x ∈ E, phép cộng: (x, y) → x + y, ∀ (x, y) ∈ E × E phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, với (λ, x) ∈ K × E ánh xạ liên tục 1.1.11 Định lí Giả sử E khơng gian định chuẩn Khi đó, với a ∈ E λ ∈ K, λ = ánh xạ x → x + a, x → λx, ∀x ∈ E phép đồng phôi E lên E 1.1.12 Định nghĩa Cho tập hợp X ≤ quan hệ hai X Quan hệ ≤ gọi quan hệ thứ tự phận X thỏa mãn điều kiện sau (i) x ≤ x; với x ∈ X ; (ii) Từ x ≤ y y ≤ x suy x = y với x, y ∈ X ; (iii) x ≤ y ;y ≤ z suy x ≤ z với x, y, z ∈ X Tập hợp X với thứ tự phận gọi tập thứ tự phận ký hiệu (X, ≤) X 1.1.13 Định nghĩa Giả sử f : X → X g : X → X Điểm x ∈ X gọi điểm bất động f f (x) = x Điểm x ∈ X gọi điểm bất động chung f g x = f (x) = g(x) 1.2 Nón khơng gian Banach Mục trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất nón khơng gian Banach 1.2.1 Định nghĩa ([6]) Cho E không gian Banach trường số thực R Một tập P E gọi nón E nếu: i) P đóng, P = ∅ P = {0} ; ii) Với a, b ∈ R, a, b x, y ∈ P ax + by ∈ P ; iii) Nếu x ∈ P −x ∈ P x = 1.2.2 Ví dụ 1) Trong khơng gian số thực R với chuẩn thông thường, tập P = {x ∈ R : x ≥ 0} nón 2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y 0} ⊂ R2 Khi đó, P nón E 3) Giả sử C[a,b] tập tất hàm nhận giá trị thực liên tục [a, b] Ta biết C[a,b] không gian Banach với chuẩn f = sup f (x) , ∀f ∈ C[a,b] x∈[a,b] Trên C[a,b] có quan hệ thứ tự phận thơng thường ≤ xác định với f, g ∈ C[a,b] , f ≤ g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] Đặt P = {f ∈ C[a,b] : ≤ f } Khi đó, P thỏa mãn điều kiện (i) P tập đóng, P = ∅, P = {0} ; (ii) Với a, b ∈ R, a, b f, g ∈ P ta có ≤ af (x) + bg(x), ∀x ∈ [a, b] Do af + bg ∈ P ; (iii) Với f ∈ P −f ∈ P f = Vậy P nón E Cho P nón khơng gian Banach E Trên E, ta định nghĩa quan hệ thứ tự “ ≤ “ xác định P sau: x ≤ y y − x ∈ P Ta viết x < y x ≤ y x = y viết x y y − x ∈ intP ( intP ký hiệu phần P ) 1.2.3 Định nghĩa ([6]) Cho P nón khơng gian Banach E Nón P gọi nón chuẩn tắc tồn số thực K > cho với x, y ∈ E ≤ x ≤ y ta có x ≤ K y Số thực dương K nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi số chuẩn tắc P 1.2.4 Bổ đề ([6]) Giả sử P nón khơng gian Banach E, a, b, c ∈ E α số thực dương Khi đó, (i) Nếu a b b c a c; (ii) Nếu a ≤ b b c a c; (iii) Nếu a b, c d a + c b + d; (iv) αintP ⊂ intP ; (v) Với δ > x ∈ intP tồn < γ < cho γx < δ ; (vi) Với c1 ∈ intP c2 ∈ intP tồn d ∈ intP cho c1 d c2 (vii) Với c1 , c2 ∈ intP tồn e ∈ intP cho e c2 ; c1 e d; (viii) Nếu a ∈ P a ≤ x với x ∈ intP a = 0; (ix) Nếu a ≤ λa với a ∈ P , < λ < a = 0; (x) Nếu ≤ xn ≤ yn với n ∈ N lim xn = x, lim yn = y ≤ x ≤ y x→∞ x→∞ Chứng minh (i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP Nếu a b b c b−a ∈ intP c−b ∈ intP Suy c−a = c−b+b−a ∈ intP +intP ⊂ intP Vậy a c (iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP (ii) Để ý intP + P = (x + intP ) tập mở P nón nên suy x∈P x + intP ⊂ P Do P + intP ⊂ intP Nếu a ≤ b b c b − a ∈ P c − b ∈ intP Suy c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP hay c − a ∈ intP Vậy a c (iii) Ta có a b c d nên b − a ∈ intP d − c ∈ intP suy b − a + d − c ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP , a + c 10 b + d (3) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy {S n x0 } có dãy hội tụ; (4) Tồn u ∈ X cho Su = u; (5) Nếu T ánh xạ hội tụ dãy với x0 ∈ X, dãy {S n x0 } hội tụ u Chứng minh Lấy tùy ý x0 ∈ M Ta định nghĩa dãy {xn } xn+1 = Sxn = S n x0 Vì S ánh xạ T K2 –co nên d(T Sxn , T Sxn+1 ) ≤ c[d(T x, T Sxn+1 ) + d(T xn+1 , T Sxn )] ≤ c[d(T Sxn−1 , T Sxn ) + d(T Sxn , T Sxn+1 )] Do đó, d(T Sxn , T Sxn+1 ) ≤ h = c d(T Sxn−1 , T Sxn ) = hd(T Sxn−1 , T Sxn ), ∀n = 1, 2, 1−c c Từ suy 1−c d(T Sxn , T Sxn+1 ) ≤ hn d(T Sx0 , T Sx1 ), ∀n = 1, 2, Do đó, d(T Sxn , T Sxn+1 ) ≤ hn K d(T Sx0 , T Sx1 ) Vì h ∈ [0, 1) nên lim d(T Sxn , T Sxn+1 ) = n→∞ Suy lim d(T S n x0 , T S n+1 x0 ) = n→∞ Từ (2.8), với m, n ∈ N mà m > n, ta có, d(T Sxn , T Sxm ) ≤ d(T Sxn , T Sxn+1 ) + + d(T Sxm−1 , T Sxm ) ≤ [hn + hn+1 + + hm−1 ] d(T Sx0 , T Sx1 ) hn ≤ d(T Sx0 , T Sx1 ) 1−h Suy d(T Sxn , T Sxm ) ≤ hn K d(T Sx0 , T Sx1 ) 1−h 21 (2.8) Từ đó, ta có lim d(T Sxn , T Sxm ) = m,n→∞ Do {T S n x0 } dãy Cauchy M mà M không gian mêtric nón đầu đủ nên tồn v ∈ M cho lim T S n x0 = v n→∞ Phần lại chứng minh làm tương tự chứng minh Định lí 2.1.4 2.2 Sự tồn điểm bất động ánh xạ T –co kiểu Kannan kiểu Chatteriea khơng gian D∗ –mêtric nón Trong mục này, chúng tơi đưa định lí tồn điểm bất động ánh xạ T –co khơng gian D∗ –mêtric nón định lí mở rộng nhiều kết có khơng gian mêtric nón 2.2.1 Định lí Giả sử (X, D∗ ) khơng gian D∗ –mêtric nón đầy đủ, T S hai ánh xạ từ X vào X cho i) Tồn số không âm a1 , a2 , , a9 thỏa mãn a1 + a2 + 2a3 + a5 + a6 + 2a7 + 2a8 + a9 < 1, (2.9) a2 + a4 + a6 + a8 + a9 < 1, (2.10) a1 + a3 + a4 + a6 + a7 + a8 + a9 < (2.11) D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) ≤ a1 D∗ (T x, T x, T y) + a2 D∗ (T x, T x, T Sx) +a3 D∗ (T x, T x, T Sy) + a4 D∗ (T y, T y, T Sx) ∗ ∗ +a5 D (T y, T y, T Sy) + a8 D (T x, T Sx, T Sy) +a9 D∗ (T y, T Sx, T Sy) với x, y ∈ X; ii) T đơn ánh điều kiện sau thỏa mãn 22 (2.12) (a) T liên tục hội tụ dãy con, (b) T (X) tập dãy X, (c) T tồn ánh Khi đó, S có điểm bất động Hơn thêm giả thiết T Sx = ST x với x điểm bất động S x điểm bất động chung T S Chứng minh Lấy x0 ∈ X Đặt xn+1 = Sxn với n = 0, 1, dn ≤ D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) = D∗ (T Sxn−1 , T S(xn−1 ), T Sxn )∀n = 0, 1, 2, Sử dụng điều kiện (2.12), với n = 1, ta có dn = D∗ (T Sxn−1 , T Sxn−1 , T Sxn ) ≤ a1 D∗ (T xn−1 , T xn−1 , T xn ) + +a2 D∗ (T xn−1 , T xn−1 , T xn ) +a3 D∗ (T xn−1 , T xn−1 , T xn+1 ) + a4 D∗ (T xn , T xn , T xn ) +a5 D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) + a6 D∗ (T xn−1 , T xn , T xn ) +a7 D∗ (T xn−1 , T xn , T xn+1 ) + +a8 D∗ (T xn−1 , T xn , T xn+1 ) +a9 D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) ≤ a1 dn−1 + a2 dn−1 + a3 (dn−1 + dn ) + a5 dn + a6 dn−1 + a7 (dn−1 + dn ) +a8 (dn−1 + dn ) + a9 dn Từ đó, với n = 1, 2, ta có dn = a1 + a2 + a3 + a6 + a7 + a8 dn−1 := qdn−1 , − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 (2.13) q= a1 + a2 + a3 + a6 + a7 + a8 − a3 − a5 − a7 − a8 − a9 Từ giả thiết (2.9) suy q ∈ [0, 1) Sử dụng (2.13) ta có dn ≤ qdn−1 ≤ q dn−2 ≤ ≤ q n d0 với n = 1, 2, 23 (2.14) Từ bất đẳng thức tứ giác (2.14), với n = 1, 2, p = 0, 1, ta có D∗ (T xn , T xn , T xn+p ) ≤ D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) + D∗ (T xn+1 , T xn+1 , T xn+2 ) + +D∗ (T xn+p−1 , T xn+p−1 , T xn+p ) ≤ [q n + q n+1 + + q n+p−1 ] d0 = q n qn ≤ d0 1−q − qp d0 1−q (2.15) Vì q ∈ [0, 1) nên vế phải (2.15) dần tới n → ∞ Do đó, theo Bổ đề 1.3.4 với c ∈ intP tồn số tự nhiên nc cho qn d0 1−q c, ∀n ≥ nc Kết hợp với (2.15) suy D∗ (T xn , T xn , T xn+p ) c, ∀n ≥ nc , ∀p = 0, 1, Do {T xn } dãy Cauchy Vì (X, D∗ ) đầy đủ nên tồn y ∈ X cho T xn → y n → ∞ (a) Giả sử T liên tục hội tụ dãy Khi đó, T xn → y n → ∞ nên tồn dãy {xni } {xn } cho xni → x ∈ X Vì T liên tục nên T xni → T x ni → ∞ Mặt khác, từ T xn → y suy T xni → y Do đó, theo bổ đề 1.3.5 ta có y = T x (b) Giả sử T (x) đóng X Khi đó, từ T xn → y suy y ∈ T (x) Do tồn x ∈ X cho y = T x (c) Giả sử T toàn ánh Khi đó, y ∈ X nên tồn x ∈ X cho y = T x Như tồn x ∈ X cho lim T xn = y = T x n→∞ 24 (2.16) Tiếp theo ta chứng minh x điểm bất động S Sử dụng điều kiện (2.12) bất đẳng thức tứ giác, ta có D∗ (T Sx, T Sx, T x) ≤ D∗ (T Sx, T Sx, T xn ) + D∗ (T Sxn , T x, T x) ≤ D∗ (T Sxn+1 , T x, T x) + a1 D∗ (T x, T x, T xn ) +a2 D∗ (T x, T x, T Sx) + a3 D∗ (T x, T x, T xn+1 ) +a4 D∗ (T xn , T xn , T Sx) + a5 D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) +a6 D∗ (T x, T xn , T Sx) + a7 D∗ (T x, T xn , T xn+1 ) +a8 D∗ (T x, T Sx, T xn+1 ) + a9 D∗ (T xn , T Sx, T xn+1 ) ≤ D∗ (T xn+1 , T x, T x) + a1 D∗ (T x, T x, T xn ) +a2 D∗ (T x, T x, T Sx) + a3 D∗ (T x, T x, T xn+1 ) +a4 [D∗ (T xn , T xn , T x) + D∗ (T x, T x, T Sx)] + a5 D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) +a6 [D∗ (T x, T xn , T x) + D∗ (T x, T x, T Sx)] + a7 D∗ (T x, T xn , T xn+1 ) +a8 [D∗ (T x, T x, T xn+1 ) + D∗ (T x, T x, T Sx)] +a9 [D∗ (T xn , T xn+1 , T x) + D∗ (T x, T x, T Sx)], ∀n = 1, 2, Từ suy với n = 1, 2, ta có ≤ D∗ (T Sx, T Sx, T x) ≤ [(a1 + a4 + a6 )D∗ (T x, T x, T xn ) − a2 − a4 − a6 − a8 − a9 +(1 + a3 + a8 )D∗ (T x, T x, T xn+1 ) +a5 D∗ (T xn , T xn , T xn+1 ) +(a7 + a9 )D∗ (T x, T xn , T xn+1 )] (2.17) Vì T xn → T x n → ∞ nên với c ⊂ intP tồn số tự nhiên nc cho vế phải (2.17) c với n ≥ nc Do từ (2.17) ta có D∗ (T Sx, T Sx, T x) c c ⊂ intP Kết hợp với Bổ đề 1.2.4 (viii) suy D∗ (T Sx, T Sx, T x) = tức T Sx = T x Vì T đơn ảnh nên Sx = x, tức x điểm bất động S Bây giờ, ta chứng minh x điểm bất động S Gọi x điểm bất động S X Khi đó, sử dụng điều kiện (2.12) Sx = x, Sx = x , 25 ta có D∗ (T x, T x, T x ) = D∗ (T Sx, T Sx, T Sx ) ≤ a1 D∗ (T x, T x, T x ) + a2 D∗ (T x, T x, T x) + a3 D∗ (T x, T x, T x ) +a4 D∗ (T x , T x , T x) + a5 D∗ (T x , T x , T x ) + a6 D∗ (T x, T x , T x) +a7 D∗ (T x, T x , T x ) + a8 D∗ (T x, T x, T x ) + a9 D∗ (T x , T x, T x) Từ suy D∗ (T x, T x, T x ) ≤ (a1 + a3 + a4 + a6 + a7 + a8 + a9 )D∗ (T x, T x, T x ) Kết hợp với điều kiện (2.11) ta có D∗ (T x, T x, T x ) = Do T x = T x Vì T đơn ánh nên x = x Vậy điểm bất động S Cuối cùng, giả sử T Sx = ST x với x điểm bất động S Khi Sx = x, T x = ST x Như T x điểm bất động S Vì điểm bất động S nên T x = x = Sx, tức x điểm bất động chung T S Vì điểm bất động S nên điểm bất động chung S T Sau số hệ Định lí 2.2.1 Trong Định lí 2.2.1 lấy T : X → X ánh xạ đồng (T x = x với x ∈ X) ta nhận hệ sau: 2.2.2 Hệ Giả sử (X, D∗ ) không gian D∗ –mêtric nón đầy đủ S : X → X ánh xạ cho tồn số không âm a1 , a2 , , a9 thỏa mãn a1 + a2 + 2a3 + a5 + a6 + 2a7 + 2a8 + a9 < 1, a2 + a4 + a6 + a8 + a9 < 1, a1 + a3 + a4 + a6 + a7 + a8 + a9 < D∗ (Sx, Sx, Sy) ≤ a1 D∗ (x, x, y) + a2 D∗ (x, x, Sx) + a3 D∗ (x, x, Sy) +a4 D∗ (y, y, Sx) + a5 D∗ (y, y, Sy) + a6 D∗ (x, y, Sx) +a7 D∗ (x, y, Sy) + a8 D∗ (x, Sx, Sy) + a9 D∗ (y, Sx, Sy) với x, y ∈ X Khi đó, S có điểm bất động X 26 2.2.3 Hệ Giả sử giả thiết Định lí 2.2.1 thỏa mãn điều kiện (i) thay (i ) tồn số không âm b1 , b2 , , b5 thỏa mãn b1 + b2 + + b5 < (2.18) D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) ≤ b1 D∗ (T x, T x, T y) + b2 D∗ (T x, T x, T Sx) +b3 D∗ (T x, T x, T Sy) + b4 D∗ (T y, T y, T Sx) (2.19) +b5 D∗ (T y, T y, T Sy) với x, y ∈ X Khi đó, kết luận Định lí 2.2.1 Chứng minh Theo (2.19) ta có D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) = D∗ (T Sy, T Sy, T Sx) ≤ b1 D∗ (T y, T y, T x) + b2 D∗ (T y, T y, T Sy) + b3 D∗ (T y, T y, T Sx) +b4 D∗ (T x, T x, T Sy) + b5 D∗ (T x, T x, T Sx) với x, y ∈ X Từ bất đẳng thức (2.19) suy b2 + b5 ∗ D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) ≤ b1 D∗ (T x, T x, T y) + D (T x, T x, T Sx) b3 + b4 ∗ + D (T x, T x, T Sy) b4 + b3 ∗ + D (T y, T y, T Sx) b5 + b2 ∗ + D (T y, T y, T Sy) (2.20) với x, y ∈ X b2 + b5 b3 + b4 , a3 = a4 = , a6 = a7 = a8 = a9 Khi đó, 2 từ (2.18) (2.20) ta dễ dàng kiểm tra điều kiện Định lí 2.2.1 Đặt a1 = b1 , a2 = a5 = thỏa mãn Do điều cần chứng minh suy từ Định lí 2.2.1 Để đưa hệ Định lí 2.2.1, ta cần bổ đề sau 2.2.4 Bổ đề Giả sử (X, d) khơng gian mêtric nón Khi đó, cơng thức D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x)∀x, y, z ∈ X 27 (2.21) xác định D∗ –mêtric nón X Hơn nữa, (X, d) đầy đủ (X, D∗ ) khơng gian D∗ –mêtric nón đầy đủ Chứng minh Dễ dàng kiểm tra công thức (2.21) thỏa mãn điều kiện định nghĩa D∗ –mêtric nón Bây giờ, giả sử (X, d) đầy đủ {xn } dãy Cauchy (X, D∗ ) Khi đó, với c ⊂ intP tồn tại, theo bổ đề 1.3.8 tồn số tự nhiên nc cho D∗ (xn , xn , xm ) c, ∀n, m ∈ nc Từ suy d(xn , xm ) c , ∀n, m ≥ nc Do {xn } dãy Cauchy (X, d) Vì (X, d) đầy đủ nên tồn x ∈ X cho xn → x (X, d), tức với c ⊂ intP tồn số tự nhiên nc cho d(x, xn ) c ∀n ≥ n0 Từ suy D∗ (xn , xn , x) = 2d(x, xn ) c, ∀n ≥ n0 Theo bổ đề 1.3.4 xn → x (X, D∗ ) Vậy (X, D∗ ) khơng gian D∗ –mêtric nón đầy đủ 2.2.5 Hệ ([8]) Cho (M, d) không gian mêtric nón đầy đủ T : M → M ánh xạ − 1, liên tục S : M → M ánh xạ T K1 –co Khi đó, S có điểm bất động Chứng minh Ta xác định ánh xạ D∗ : M → E công thức D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ M Khi theo bổ đề 2.2.4 (M, D∗ ) khơng gian D∗ –mêtric nón đầy đủ Vì S ánh xạ T K1 –co nên tồn b ∈ 0, 12 cho d(T Sx, T Sy) ≤ b[d(T x, T Sx) + d(T y, T Sy)], ∀x, y ∈ M 28 Từ ta có D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) = 2d(T Sx, T Sy) ≤ b[2d(T x, T Sx) + 2d(T y, T Sy)] = b[D∗ (T x, T x, T Sx) + D∗ (T y, T y, T Sy)] với x, y ∈ M Từ bất đẳng thức ta dễ dàng kiếm tra điều kiện hệ 2.2.3 thỏa mãn với b1 = b3 = b4 = 0, b2 = b5 = b Do theo hệ 2.2.3 S có điểm bất động 2.2.6 Hệ ([8]) Cho (M, d) khơng gian mêtric nón đầy đủ T : M → M ánh xạ − 1, liên tục S : M → M ánh xạ T K2 –co Khi tồn u ∈ M cho: Su = u Chứng minh Giả sử giả thiết hệ 2.2.6 thực Ta xác định ánh xạ D∗ : M → P công thức D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ M Vì (M, D∗ ) khơng gian D∗ –mêtric nón đầy đủ Do T : M → M T K2 –co nên theo định nghĩa 2.1.2 tồn c ∈ 0, 12 cho d(T Sx, T Sy) ≤ c[d(T x, T Sy) + d(T y, T Sx)], ∀x, y ∈ M Từ bất đẳng thức suy với x, y ∈ M ta có D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) = 2d(T Sx, T Sy) ≤ c[2c(T x, T Sy) + 2d(T y, T Sx)] = c[D∗ (T x, T x, T Sy) + D∗ (T y, T y, T Sx)] Như bất đẳng thức (2.12) định lí 2.2.1 thỏa mãn với a3 = a4 = c, a1 = a2 = a5 = a6 = a7 = a8 = a9 = Ta dễ kiểm tra điều kiện lại định lí 2.2.1 thỏa mãn Do tồn n ∈ M cho Su = u 29 2.2.7 Hệ ([7]) Giả sử (X, d) khơng gian mêtric nón đầy đủ S : X → X Khi đó, tồn số không âm b1 , b2 , , b5 cho b1 +b2 + .+b5 < với x, y ∈ X ta có d(Sx, Sy) ≤ b1 d(x, y) + b2 d(x, Sx) + b3 d(x, Sy) + b4 d(y, Sx) + b5 d(y, Sy) S có điểm bất động Chứng minh Ta xác định ánh xạ D∗ : M × X × X → P cơng thức D∗ (x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(z, x), ∀x, y, z ∈ M D∗ –mêtric nón (X, D∗ ) đầy đủ Từ giả thiết hệ 2.2.7 suy ra, với x, y ∈ X, ta có D∗ (Sx, Sx, Sy) = 2d(Sx, Sy) ≤ 2[b1 d(x, y) + b2 d(x, Sx) + b3 d(x, Sy) + b4 d(y, Sx) + b5 d(y, Sy)] = b1 D∗ (x, x, y) + b2 D∗ (x, x, Sx) + b3 D∗ (x, x, Sy) + b4 D∗ (y, y, Sx) + b5 D∗ (y, y, Sy) Như điều kiện hệ 2.2.3 thỏa mãn với T : X → X ánh xạ đồng (tức T x = x với x ∈ X) Do theo hệ 2.2.3 ta có điều phải chứng minh 2.2.8 Hệ ([4] định lí 2.2) Giả sử (X, D∗ ) khơng gian D∗ –mêtric nón đầy đủ S : X → X Khi đó, tồn số a, b, c, d ≥ cho a + b + c + d < D∗ (Sx, Sy, Sz) ≤ aD∗ (x, y, z) + bD∗ (x, Sx, Sx) + cD∗ (y, Sy, Sy) +dD∗ (z, Sz, Sz), ∀x, y, z ∈ X S có điểm bất động Chứng minh Từ giả thiết hệ ta có D∗ (Sx, Sy, Sz) ≤ aD∗ (x, x, y) + bD∗ (x, Sx, y) + cD∗ (x, Sx, Sx) + dD∗ (y, Sy, Sy) (2.22) 30 với x, y ∈ X Từ bất đẳng thức suy điều kiện hệ 2.2.2 thỏa mãn với a1 = a, a2 = b + c, a7 = d, a3 = a4 = a5 = a6 = a8 = a9 = Do theo hệ 2.2.2 có điểm bất động 2.2.9 Hệ Giả sử (X, D∗ ) khơng gian D* - mêtric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K T, S : X → X hai ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau 1) T đơn ánh hội tụ dãy 2) Tồn số không âm b1 , b2 , , b10 cho b1 + b2 + b3 + b4 + 3b5 + 3b6 + b7 + 3b8 + 2b9 + b10 < (2.23) D∗ (T Sx, T Sy, T Sz) ≤ b1 D∗ (T x, T y, T z) + b2 D∗ (T x, T Sx, T Sx) +b3 D∗ (T x, T x, T z) + b4 D∗ (T y, T Sy, T Sy) + b5 D∗ (T x, T Sy, T Sy) +b6 D∗ (T x, T Sz, T Sz) + b7 D∗ (T y, T Sz, T Sz) + b8 D∗ (T x, T Sy, T Sz) +b9 D∗ (T x, T y, T Sz) + b10 D∗ (T Sx, T Sx, T Sz)∀x, y, z ∈ X (2.24) Khi đó, S có điểm bất động X Hơn T Sx = ST x với x điểm bất động S T S có điểm bất động chung X Chứng minh Theo điều kiện (2.24) ta có 31 D∗ (T Sx, T Sy, T Sy) ≤ b1 D∗ (T x, T y, T y) + b2 D∗ (T x, T Sx, T Sx) +b3 D∗ (T x, T Sx, T y) + b4 D∗ (T y, T Sy, T Sy) + b5 D∗ (T x, T Sy, T Sy) +b6 D∗ (T x, T Sy, T Sy) + b7 D∗ (T y, T Sy, T Sy) + b8 D∗ (T x, T Sy, T Sy) +b9 D∗ (T x, T y, T Sy) + b10 D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) = b1 D∗ (T x, T y, T y) + b2 D∗ (T x, T Sx, T Sx) +(b5 + b6 + b8 )D∗ (T x, T x, T Sy) + (b4 + b7 )D∗ (T y, T y, T Sy) +b3 D∗ (T x, T Sy, T y) + b9 D∗ (T x, T y, T Sy) + b10 D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) với x, y ∈ X Từ suy (1 − b10 )D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) ≤ b1 D∗ (T x, T y, T y) + b2 D∗ (T x, T Sx, T Sx) +(b5 + b6 + b8 )D∗ (T x, T y, T y) + (b4 + b7 )D∗ (T x, T Sy, T Sy) +b3 D∗ (T x, T y, T Sx) + b9 D∗ (T x, T y, T Sy) Do [b1 D∗ (T x, T y, T y) + b2 D∗ (T x, T Sx, T Sx) − b10 ∗ +(b5 + b6 + b8 )D (T x, T y, T y) + (b4 + b7 )D∗ (T x, T Sy, T Sy) D∗ (T Sx, T Sx, T Sy) ≤ +b3 D∗ (T x, T y, T Sx) + b9 D∗ (T x, T y, T Sy)]∀x, y ∈ X Đặt b1 b2 b5 + b6 + b8 b4 + b7 b3 , a2 = , a3 = , a5 = , a6 = − b10 − b10 − b10 − b10 − b10 b9 a7 = , a4 = a8 = a9 = − b10 a1 = Từ điều kiện (2.23) (2.24) suy b1 + b2 + b3 + b4 + 2b5 + 2b6 + b7 + 2b8 + 2b9 < − b10 Do a1 + a2 + 2a3 + a5 + a6 + 2a7 + 2a8 + a9 = (b1 + b2 + b3 + b4 + 2b5 + 2b6 + b7 + 2b8 + 2b9 ) < 1 − b10 Như điều kiện định lí 2.2.1 thỏa mãn Do theo định lí 2.2.1 ta có điều phải chứng minh 32 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau • Trình bày lại số khái niệm tính chất nón khơng gian D*– mêtric nón • Trình bày lại số kết tồn điểm bất động ánh xạ T –co kiểu Chatterjea, kiểu Kannan khơng gian mêtric nón • Đưa vài kết tồn điểm bất động ánh xạ T –co không gian D∗ –mêtric nón, Định lí 2.2.1, Hệ 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.2.8 2.2.9 Các kết mở rộng số kết tài liệu tham khảo [4],[7],[8] 33 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở Lý thuyết hàm giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Dương Thị Thúy Vân (2013), Khơng gian D∗ –mêtric nón tồn điểm bất động, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [3] J Kelly (1973), Tôpô đại cương, Hà Huy Khoái, Hồ Thuần Đinh Mạnh Tường (dịch), NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] C T Aage, J N Salunke (2010), Some fixed point theorems in generalized D*–metric spaces, Applied Sciences, 12, pp 1-13 [5] A Azam and M Arshad (2009), Common fixed point of generalized contractive maps in cone metric spaces, Bulletin of Iranian Mathematical Society, Vol 35, No.2, pp 255-264 [6] H.L Guang, Z Xian (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl., vol 332, no 2, pp 1468-1476 [7] G.E Hardy and T.D Rogers (1973), A generalization of a fixed point theorem of Reich, Canad Math Bull 16, pp 201-206 [8] J.R Morales, E Rojas (2010), Cone metric spaces and fixed point theorems of T-Kannan contructive mappings, Int Journal of Math Analysis, Vol , 175-184 [9] S Sedghi, N Shobe and H Zhou (2007), A common fixed point theorem in D∗ –metric spaces, Fixed point theory and Application, 1-14 34 [10] T Veerapandi and Aji.M Pillai (2011), A common fixed point theorem and some fixed point theorems in D∗ –metric spaces, African Journal of Mathematics and Science Research Vol 4(8), pp 273-280 35 ... niệm ánh xạ T ? ?co kiểu Kannan, kiểu Chatterjea kiểu Hardy - Rogers số k? ?t t? ??n điểm b? ?t động ánh xạ khơng gian mêtric nón Sau chúng t? ?i đưa số k? ?t t? ??n điểm b? ?t động ánh xạ T ? ?co không gian D? ?? –mêtric... xạ T ? ?co kiểu Kannan, kiểu Chatterjea kiểu Hardy - Rogers số k? ?t t? ??n điểm b? ?t động ánh xạ khơng gian mêtric nón Sau chúng t? ?i đưa số k? ?t t? ??n điểm b? ?t động ánh xạ T ? ?co không gian D? ?? –mêtric nón. .. nón Các k? ?t mở rộng số k? ?t không gian mêtric 2.1 M? ?t số k? ?t t? ??n điểm b? ?t động b? ?t động chung ánh xạ T ? ?co khơng gian mêtric nón Trong mục này, chúng t? ?i trình bày số định lí t? ??n điểm b? ?t động ánh