Định lí điểm bất động cho một lớp ánh xạ trên không gian b mêtric và ứng dụng

BË GIO DƯC V -O TO TR×ÍNG -I HÅC VINH L THANH QUN -ÀNH LÞ -IM BT -ËNG CHO MËT Sẩ LẻP NH X TRN KHặNG GIAN bMTRIC V NG DÖNG LUN N TIN S TON HÅC NGH AN - 2018 BË GIO DƯC V -O TO TR×ÍNG -I HÅC VINH L THANH QUN -ÀNH LÞ -IM BT -ËNG CHO MậT Sẩ LẻP NH X TRN KHặNG GIAN bMTRIC V NG DệNG Chuyản ng nh: ToĂn giÊi tẵch M số: 46 01 02 LUN N TIN S TON HÅC NGìI HìẻNG DN KHOA HC 1.PGS TS TRN VN N TS NGUYN VN DÔNG NGH AN - 2018 i LI CAM -OAN Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi trữớng -Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS TrƯn Vôn n v TS Nguyạn Vôn Dụng Tổi xin cam oan Ơy l cổng trẳnh cừa riảng tổi CĂc kát quÊ ữủc viát chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữủc sỹ nhĐt trẵ cừa ỗng tĂc giÊ ữa v o luên Ăn CĂc kát quÊ ữủc trẳnh b y luên Ăn l mợi v chữa tứng ữủc cổng bố trữợc õ TĂc giÊ Lả Thanh QuƠn ii LI CM èN Luên Ăn ữủc ho n th nh tÔi trữớng -Ôi hồc Vinh, dữợi sỹ hữợng dăn cừa PGS TS TrƯn Vôn n v TS Nguyạn Vôn Dụng TĂc giÊ xin ữủc b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sc ối vợi hai thƯy  hữợng dăn tên tẳnh v chu Ăo cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn Viằn Sữ phÔm Tỹ nhiản, Bở mổn GiÊi tẵch, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc v cĂc chực nông khĂc cừa trữớng -Ôi hồc Vinh  tÔo iãu kiằn thuên lủi º t¡c gi£ ho n th nh nhi»m vư nghi¶n cùu T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƯy cổ Bở mổn GiÊi tẵch, Khoa Sữ phÔm ToĂn hồc trữớng -Ôi hồc -ỗng ThĂp vẳ nhỳng giúp ï vi»c trao êi t i li»u v th£o luên cĂc b i bĂo liản quan TĂc giÊ xin b y tọ sỹ cÊm ỡn sƠu sc án GS Stojan Radenovẵc nhõm nghiản cựu cừa mẳnh vẳ nhỳng gióp ï vi»c trao êi t i li»u v thÊo luên cĂc b i bĂo liản quan TĂc giÊ xin chƠn th nh cÊm ỡn cĂc ỗng nghiằp trữớng Trung hồc cỡ s Thanh Sỡn, UBND huyằn Nhữ XuƠn, tnh Thanh Hõa  ừng hở v tÔo iãu kiằn thuªn lđi º t¡c gi£ ho n th nh nhi»m vư nghi¶n cùu Ci còng, t¡c gi£ xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sc tợi gia ẳnh v nhỳng ngữới bÔn thƠn thiát luổn chia s, ởng viản v ừng hở tĂc giÊ quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu Lả Thanh QuƠn MệC LệC Mửc lưc Mð ¦u -iºm tròng cho mởt lợp Ănh xÔ trản khổng gian bmảtric sp thù tü bë phªn v ùng dưng 13 1.1 -iºm trũng cho lợp cĂc Ănh xÔ thọa mÂn iãu kiằn T -co suy rởng trản khổng gian b-mảtric Ưy õ sp thù tü bë phªn 13 1.2 -iºm tròng cho lỵp c¡c Ănh xÔ ( ; L)-T -hƯu co suy rởng trản khổng gian b-mảtric Ưy sp thự tỹ bở phên 34 1.3 ìng dửng v o mởt lợp phữỡng trẳnh tẵch ph¥n 52 -im bĐt ởng cho mởt lợp Ănh xÔ trản khổng gian bmảtric nõn Ưy trản Ôi số Banach v ùng dưng 2.1 Khỉng gian b-m¶tric nân tr¶n ¤i sè Banach 2.2 -im bĐt ởng cho lợp cĂc Ănh xÔ '-co yáu suy rởng trản khổng gian b-mảtric nõn Ưy trản Ôi số Banach 2.3 -iºm b§t ëng bë ỉi cho mët sè ¡nh xÔ khổng gian bmảtric nõn Ưy trản Ôi sè Banach 2.4 ìng dửng v o mởt lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn 59 59 64 74 77 -iºm b§t ởng cho mởt lợp Ănh xÔ khổng gian bmảtric vợi giĂ tr C -Ôi số v ựng dửng 3.1 Khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C -Ôi sè 85 85 '-co suy rëng v c¡c ¡nh 3.2 -im bĐt ởng cho lợp cĂc Ănh xÔ xÔ '-co chuân suy rởng khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C -Ôi số 88 3.3 -iºm b§t ëng bë ổi cho mởt số lợp cĂc Ănh xÔ khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C -Ôi số 107 3.4 ×ng dưng v o mởt lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn 112 Kát luên v kián nghà 122 Danh mưc cỉng tr¼nh cõa t¡c giÊ liản quan án luên Ăn 123 T i li»u tham kh£o 128 MËT SÈ KÞ HIU R R+ N B[x; r] f:X!Y intP lim inf f lim sup f tªp sè thüc têp số thỹc khổng Ơm têp số nguyản khổng Ơm hẳnh cƯu tƠm x bĂn r > kẵnh Ănh xÔ ỡn tr tứ X Y v o phƯn cừa têp P giợi hÔn dữợi cừa h m số f giợi hÔn trản cừa h m số f Mé -U Lỵ chồn ã t i Nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach l mởt nhỳng cổng cử hỳu ẵch cừa toĂn hồc hiằn Ôi Viằc nghiản cựu nhỳng vĐn ã liản quan án kát quÊ n y l mët nëi dung cèt lãi cõa gi£i t½ch phi tuyán VĐn ã m rởng Nguyản lẵ Ănh xÔ co Banach trản cĂc lợp khổng gian mảtric  v ang ữủc nhiãu tĂc giÊ quan tƠm nghiản cựu theo nhỳng hữợng khĂc v Ôt ữủc nhiãu kát quÊ Ăng k, tiảu biu vợi nhỳng cổng trẳnh nời bêt cõa Boyd v Wong ([10]), Ciric ([13]), Kannan ([28]), Ran v Reurings ([38]), Razani v Parvaneh ([39]), Rhoades ([40]), Rus v Serban ([46]), Shatanawim v Al-Rawashdeh ([47]), Wardowski ([49]) C¡c nh lỵ im bĐt ởng cõ nhiãu ựng dửng rởng rÂi nhiãu lắnh vỹc cừa toĂn hồc v khoa hồc khĂc nhữ giÊi tẵch, phữỡng trẳnh vi-tẵch phƠn, kinh tá v k thuêt, khoa hồc mĂy tẵnh Ba hữợng nghiản cựu sau  v ang nhên ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiãu tĂc giÊ Nghiản cựu nh lỵ im bĐt ởng cho cĂc Ănh xÔ co v Ănh xÔ co suy rởng trản lợp cĂc khổng gian mảtric Nghiản cựu nh lỵ im bĐt ởng cho cĂc Ănh xÔ co v Ănh xÔ co suy rởng trản cĂc lợp khæng gian kh¡c nhau: khæng gian Banach, khæng gian ·u, khỉng gian m¶tric ri¶ng, khỉng gian b-m¶tric, Nghi¶n cùu c¡c ựng dửng cừa cĂc nh lỵ im bĐt ởng mởt số lắnh vỹc cừa toĂn hồc nhữ: chựng minh sỹ tỗn tÔi v nhĐt nghiằm cừa cĂc lợp phữỡng trẳnh vi-tẵch phƠn, phữỡng trẳnh h m, Hiằn nay, cÊ ba hữợng nghiản cựu trản văn chựa ỹng nhỳng vĐn ã nghiản cựu thới sỹ v hĐp dăn Mët nhúng nëi dung ÷đc nhi·u t¡c gi£  v ang quan tƠm nghiản cựu l viằc thiát lêp mởt số nh lỵ im bĐt ởng trản cĂc khỉng gian b-m¶tric Tr¶n cì sð â · t i t vĐn ã nghiản cựu nhỳng nởi dung sau: - Nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt cừa mởt số lợp cĂc Ănh xÔ trản cĂc khổng gian b-mảtric sp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản -Ôi số cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - XƠy dỹng mởt số lợp Ănh xÔ co suy rëng tr¶n c¡c khỉng gian b-m¶tric sp thù tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, -Ôi số khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C - ng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc v o viằc nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn Vợi cĂc lỵ n¶u tr¶n chóng tỉi chån · t i nghi¶n cựu cho luên Ăn cừa mẳnh l : "-nh lỵ im bĐt ởng cho mởt số lợp Ănh xÔ trản khổng gian b-mảtric v ựng dửng" Mửc ẵch nghiản cựu Mửc ẵch cừa luên Ăn l m rởng cĂc kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng cho mởt số lợp Ănh xÔ trản cĂc lợp khổng gian nhữ khổng gian b-mảtric sp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C -Ôi số v ựng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn -ối tữủng nghiản cựu -ối tữủng nghiản cựu cừa luên Ăn l cĂc khổng gian b-mảtric sp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian bmảtric vợi giĂ tr C -Ôi số, cĂc Ănh xÔ co suy rởng, im bĐt ởng, im trũng cừa cĂc lợp cĂc Ănh xÔ n y tr¶n khỉng gian b-m¶tric sp thù tü bë phên, khổng gian b-mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian bmảtric vợi giĂ tr C -Ôi số, mởt số lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn PhÔm vi nghiản cựu 117 vợi p > v vợi mồi t; r E, måi x; y C(E), ta câ K t; x(r) vp K t; y(r) (t; r) x(r) y(r) p : p u t Khi õ, phữỡng trẳnh (3.44) cõ nhĐt nghiằm l u C(E) Chựng minh Vẳ vợi mội t E h m K t; x(r) E v K t; x(r) E, E l bà ch° n ·u tr¶n f : C(E) ! C(E)Z cho bði E K t; x(r) dr; vợi f(x) (t) = (t) + khÊ tẵch theo bián r trản nản ta cõ th xĂc nh Ănh xÔ mồi x C(E); t E: Vợi bĐt kẳ x; y C(E) v bĐt kẳ v L2(E), ta câ d f(x); f(y) = k jf(x) f(y)j k p E D = = sup jf(x) f(y)jp v; v kvk=1 kvk=1 Z ( E sup ) ( f x = kvk=1 ) p f y v(t)v(t)dt ( Z E Z sup r E K t; x(r) K vp sup v kk (t; r) E E =1 t Z Z x(r) v =1 sup Z E E ( ) Z s h x y + p x 1j j jx yj p y j dt t p p p y(r) y : j j t E j 1+ x yp t; r p v v(t) dt dr p x j ()j2 dr x(r) y(r) p kk ) t; y u1 + u p ip Z y) = dr v(t) v E k k (t; r) dr d(x; j E sup p : sup Z dt v(t) dt = + j j x yp d(x; y) + d(x; y) + d(x; y) ; 118 (v) ð ¥y ' : B L2(E) + ! B L2(E) + x¡c ành bði ' (v) = + k (v)k vỵi måi B L2(E) + v v L2(E) B¥y gií ta chùng minh rơng ' l mởt Ănh xÔ so sĂnh chuân suy rởng Thêt vêy, lĐy 1; 2 B L2(E) + vỵi k 1k k 2k -i·u n y k²o theo k k k k : + k 1k + k 2k Do â, ta câ '( ) = = k 1k 1 + k 1k = k 2k + k 1k = + k 2k '( 2) : + k 2k Do â , ta cõ Vợi mồi B L (E) n + bơng cĂch quy nÔp ta thu ữủc lim k 'n( ) k = lim n!1 = lim n!1 nk k + n!1 kk '( ) = nk k + = 0: nk k + -i·u n y k²o theo n lim ' n!1 ( ) = 0B (E) L : Tứ kát quÊ trản, ta kát luên rơng tĐt cÊ cĂc giÊ thiát cừa -nh lỵ 3.2.8 ữủc thọa mÂn, õ phữỡng trẳnh tẵch phƠn (3.44) cõ nhĐt nghiằm u C(E) Vẵ dử sau Ơy chựng tọ rơng tỗn tÔi cĂc h m K, v thọa mÂn tĐt cÊ cĂc giÊ thiát cừa -nh lỵ 3.4.2 3.4.3 Vẵ dử Xt phữỡng trẳnh tẵch phƠn phi tuyán x(r dr ) p Z x(t) = t + ln e vỵi t [0; 1] -°t (t) = t + ln : sin t; : sin t + [0;1] r sin t: + x(r) (3.45) 4pe (t; r) = r sin t vỵi t; r [0; 1]; K t; x(r) = r sin t: 1+ 119 (x(r ) vỵi x C[0; 1] v t; r [0; 1]: x r) Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: C[0; 1] [0 K t; x(r) v l bà ch°n ·u tr¶n (t; r) l li¶n tưc l khÊ tẵch theo bián r trản [0; 1] v ; 1] [0; 1] tr¶n [0; 1] [0; 1] Z t2[0;1] v ( ) j dr : t; r j sup K t; x(r) [0;1] Vỵi p > 1, vỵi måi t; r [0; 1] v x; y C[0; 1], ta câ K t; x(r) K t; y(r) (t; r) vp x(r) y(r) p : p u t Chùng minh V¼ (t) = t + ln C[0; 1] M°t kh¡c, x C[0; 1] n¶n : sin t K p e vợi mồi t [0; 1] nản t; x(r) = r sin t: + (x(r x r) ãu trản tẵch theo bián r trản [0; 1] v K t; x(r) l bà ch° n t2[0;1] [ ; ] sup Z j ( )j t; r dr = Z t2[0;1] ) l [0; 1] [0; 1] j sup j r sin t dr 1: LĐy bĐt kẳ x; y C[0; 1] Khi â vỵi méi r; t [0; 1], ta câ j x(r) K t; x(r) r sin t: x(r) = j y(r) + y(r K t; y(r) j r sin t: + x(r) = r sin t : ) y(r) 1+ j y(r 1+ x(r ) ) p x(r) y(r) p = j (t; r)j: s + x(r) + y(r) x(r) p y(r) p = j (t; r)j: s + x(r) + y(r) x(r) p (t; r) : s + x(r) + y(r) kh£ y(r) p 120 s = + x(r) + y(r) + x(r) y(r) (t; r) : x(r) y(r) p x(r) (t; r) : vp p y(r) 1+ p x(r) y(r) u p u u t p (t; r) : vp x(r) x(r) u Do â, K, v t y(r) y(r) u1 + thäa mÂn cĂc giÊ thiát cừa p : -nh lỵ 3.4.2 nản phữỡng trẳnh tẵch phƠn (3.45) cõ nhĐt mởt nghiằm u C[0; 1]: 121 Kát luên chữỡng Trong Chữỡng cừa luên Ăn, chúng tổi thu ữủc nhỳng kát quÊ sau -ữa -nh lỵ 3.2.8, -nh lỵ 3.2.11 vã sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng cho lợp cĂc Ănh xÔ '-co suy rởng v cĂc Ănh xÔ '-co chuân suy rởng cĂc -Ôi số -ỗng thới ựng dửng cĂc kát khổng gian b-mảtric vợi giĂ trà C qu£ n y v o vi»c nghi¶n cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn CĂc kát quÊ n y ữủc trẵch tứ b i b¡o: T V An and L T Quan -algebra-valued (2018), Generalizations of '-contractions on C bmetric spaces with applications J Adv Math Stud., 11 (3), 558-575 -÷a -nh lỵ 3.3.6 vã sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng bở ổi cĂc -Ôi số Ngo i ra, chúng tổi xƠy khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C dỹng Vẵ dử 3.3.5 ch rơng cĂc kát qu£ cõa mưc n y l mð rëng thªt sü cĂc kát quÊ gƯn Ơy cừa Tianqing [48] CĂc kát quÊ n y ữủc trẵch tứ b i bĂo: S Radenov½c, P Vetro, A Nastasi and -algebra-valued L T Quan (2017), Coupled fixed point theorems in C b-metric spaces, Scientific Publications of The State University of Novi Pazar, Ser A: Appl Math Inform And Mech., (1), 81-90 122 kát luên I Kát luên chung Luên Ăn nghiản cựu vã sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng cừa mởt số lợp cĂc Ănh xÔ cĂc khổng gian b-mảtric sp thự tỹ bở phên, khổng gian b-mảtric nõn trản Ôi số Banach, khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C -Ôi số v ựng dửng cĂc kát quÊ tẳm ữủc nghiản sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt lợp phữỡng trẳnh tẵch phƠn CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn l : 1) -ữa cĂc nh lỵ khng nh sỹ tỗn tÔi im trũng cho lợp cĂc Ănh xÔ thọa mÂn iãu kiằn T -co suy rởng v Ănh xÔ ( ; L)-T -hƯu co suy rởng khổng gian b-mảtric Ưy sp thự tỹ bở phên 2) -ữa cĂc nh lỵ khng nh sỹ tỗn tÔi v tỗn tÔi nhĐt im bĐt ởng, im bĐt ởng bở ổi cho lợp cĂc Ănh xÔ '-co yáu suy rởng khổng gian b-mảtric nõn Ưy trản Ôi số Banach 3) -ữa cĂc nh lỵ khng nh sỹ tỗn tÔi v tỗn tÔi nhĐt im bĐt ởng cho lợp cĂc Ănh xÔ '-co suy rởng, '-co chuân suy rởng khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C -Ôi số -ữa cĂc nh lỵ khng nh sỹ tỗn tÔi v tỗn tÔi nh§t iºm b§t ëng bë ỉi cho mët sè Ănh xÔ -Ôi số khổng gian b-mảtric vợi giĂ tr C 4)ng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc nghiản cựu sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa mởt lợp cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn 5)XƠy dỹng mởt số cĂc vẵ dử minh hồa cho cĂc kát quÊ, ỗng thới chựng tọ cĂc kát quÊ thu ữủc l sỹ m rởng cừa nhỳng kát quÊ Â cõ II Kián ngh Trong thới gian tợi chúng tổi s tiáp tửc nghiản cựu cĂc vĐn ã sau: Nghiản cựu sỹ tỗn tÔi im bĐt ởng cho mởt số lợp cĂc Ănh xÔ a trà khỉng gian b-m¶tric v ùng dưng v o cĂc b i toĂn vã sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh tẵch phƠn, phữỡng trẳnh vi phƠn 123 danh mưc c¡c cỉng tr¼nh cõa t¡c gi£ liản quan án luên Ăn S Radenovẵc, T V An and L T Quan (2017), Some coincidence point results for T -contraction mappings on partially ordered b-metric spaces and applications to integral equations, Nonlinear Analysis: Modelling and Control., 22 (4), 545-565 S Radenov½c, P Vetro, A Nastasi and L T Quan (2017), Coupled -algebra-valued fixed point theorems in C b-metric spaces, Scientific publications of the state university of Novi Pazar, Ser A: Appl Math Inform And Mech., (1), 81-90 T V An and L T Quan (2018),Generalizations of '-contractions on -algebra-valued metric spaces with applications J Adv Math Stud., 11 (3), 558-575 C b- S Radenov½c, N Dedov½c, T V An and L T Quan (2017), Some co-incidence theorem for almost generalized ('; L)-T -contractions in par- tially ordered b-metric spaces and applications to integral equations (ang gûi «ng) T V An and L T Quan (2018), On the solutions of a class of non- linear integral equations in cone b-metric spaces over Banach algebras (ang gûi «ng) L T Quan (2018), Coupled fixed point theorems in cone b-metric spaces over Banach algebras and applications (ang gûi «ng) 124 TI LIU THAM KHO [1] M Abbas and G Jungck (2008), Common fixed point results for noncommuting mappings without continuity in cone metric spaces, J Math Anal Appl., 341 (1), 416-420 [2] A Aghajani, M Abbas and J R Roshan (2014), Common fixed point of generalized weak contractive mappings in partially ordered b-metric spaces, Math Slovaca., 4, 941-960 [3] A Aghajani, R Arab (2013), Fixed points of ( ; ; )-contractive mappings in partially ordered b-metric spaces and applications to quadratic integral equations, Fixed Point Theory Appl., 2013, Article ID 245 [4] S Almezel, Q H Ansari and M A Khamsi (2014), Topics in fixed point theory Springer [5] T V An, L Q Tuyen and N V Dung (2015), Stone-type theorem on b-metric spaces and applications, Topology Appl., 185-186, 50-64 -algebra-valued [6] C Bai (2016), Coupled fixed point theorems in C bmetric spaces with application, Fixed Point Theory Appl., 2016 (70), 112 [7] S Banach (1922), Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur application aux equations itegrales, Fund Math., , 133-181 C -valued contractive type map[8] S Batul and T Kamran (2015), pings, Fixed Point Theory Appl., 2015 (142), 1-9 [9] T G Bhaskar, V Lakshmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonlinear Anal., 65, 1379-1393 [10] D W Boyd and S W Wong (1969), On nonlinear contractions, Proc Amer Math Soc., 20, 458-464 125 [11] M Boriceanu, M Bota and A Petrusel (2010), Multivalued fractals in b-metric spaces, Cent Eur J Math., (2), 367-377 [12] F E Browder (1968), On the convergence of successive approximations for nonlinear functional equations, Indag Math., 30, 27-35 [13] L B Ciric (1974), A generalization of Banach principle, Proc Amer Math Soc., 45, 267-273 [14] S Czerwik (1993), Contraction mappings in b-metric spaces, Acta Math Univ Ostrav., 1, 5-11 [15] S Czerwik (1998), Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces, Atti Sem Math Fis Univ Modena., 46, 263-276 [16] N V Dung and V T L Hang (2016), On relaxations of contraction constants and Caristi's theorem in b-metric spaces, J Fixed Point Theory Appl., 18, 267-284 [17] N V Dung, V T L Hang and D Dolicanin-Djekic (2017), An -algebra valued equivalence of results in C b-metric and bmetric spaces, Appl Gen Topol., 18 (2), 241-253 [18] N V Dung and V T L Hang (2017), Remarks on cyclic contrac- tions in b-metric spaces and applications to integral equations, Rev R Acad Cienc Exactas F½s Nat Ser A Mat RACSAM., 111 (1), 247-255 [19] H L Guang and Z Xian (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl., 332, 1468-1476 [20] H Huang and S Radenovi c (2015), Common fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings in cone b-metric spaces over Banach algebras and applications, J Nonlinear Sci Appl., 8, 787-799 [21] H Huang and S Radenovi c (2016), Some fixed point results of gen- eralized Lipschitz mappings on cone b-metric spaces over Banach al-gebras, J Comput Anal Appl., 20 (3), 566-583 [22] H Huang, S Radenovi c and G Deng (2017), A sharp generalization on cone b-metric space over Banach algebras, J Nonlinear Sci Appl., 10 (2), 429-435 126 [23] H Huang, S Radenovi c and J Vujakovi c (2015), On some recent coincidence and immediate consequences in partially ordered b-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2015: 63, doi: 10.1186/s13663-015-0308-3 [24] N Hussaina and M H Shahb (2011), KKM mappings in cone b-metric spaces, Comput Math Appl., 62, 1677-1684 [25] N Hussain, R Saadati and P R Agrawal (2014), On the topology and wt-distance on metric type spaces, Fixed Point Theory Appl., 2014 (88), 1-14 [26] M Jovanovi c, Z Kadelburg and S Radenovi c (2010), Common fixed point results in metric-type spaces, Fixed Point Theory Appl., 2010, Article ID 978121 [27] T Kamran, M Postolache, A Ghiura, S Batul and R Ali (2016), -algebra-valued The Banach contraction principle in C b-metric spaces with applications, Fixed Point Theory Appl., 2016 (10), 1-7 [28] R Kannan (1968), Some results on fixed points, Bull Cal Math Soc., 60, 71-76 [29] M A Khamsi and N Hussain (2010), KKM mappings in metric type spaces, Nonlinear Anal., 73 (9), 3123-3129 [30] B Li and H Huang (2017), Fixed point results for weak 'contractions in cone metric spaces over Banach algebras and applica-tions, J Funct Spaces., 2017, 1-12 H Liu and S Xu (2013), Cone metric spaces over Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings, Fixed Point Theory Appl., 2013 , 1-10 [31] [32] Z Ma and L Jiang (2015), C -algebra-valued b-metric spaces and related fixed point theorems, Fixed Point Theory Appl., 2015 (222), 1-22 -algebra-valued metric spaces [33] Z Ma, L Jiang and H Sun (2014), C and related fixed point theorems, Fixed Point Theory Appl., 2014 (206), 1-11 [34] S Moradi and M Omid (2010), A fixed-point theorem for integral type inequality depending on another function, Int J Math Anal (Ruse)., 4, 1491-1499 127 [35] G J Murphy (1990), C -algebras and operator theory Academic Press, Inc [36] Z Mustafa, J R Roshan, V Parvaneh and Z Kadelburg (2014), Fixed point theorems for weakly T -Chatterjea and weakly T Kannan contractions in b-metric spaces, J Inequal Appl., 2014 (46), doi:10.1186/1029-242X-2014-46 [37] S Radenovi c, P Vetro, A Nastasi-algebra-valued and L T Quan (2017), Coupled fixed point theorems in C b-metric spaces, Sci Publ State Univ Novi Pazar Ser A: Appl Math Inform Mech., (1), 81-90 [38] A C M Ran and M C B Reurings (2004), A fixed point theorem in partially ordered sets and some application to matrix equations, Proc Am Math Soc., 132, 1435-1443 [39] A Razani and V Parvaneh (2013), Some fixed point theorems for weakly T -Chatterjea and weakly T -Kannan-contractive mappings in complete metric spaces, Russian Math (Iz VUZ)., 57 (3), 38-45 [40] B E Rhoades (1977), A comparison of various definitons of con-tractive mappings, Trans Amer Math Soc., 226 , 257-290 [41] J R Roshan, V Parvaneh and I Altun (2014), Some coincidence point results in ordered b-metric spaces and applications in a system of integral equations, Appl Math Comput., 226, 725-737 [42] J R Roshan, V Parvaneh and Z, Kadelburg (2014), Common fixed point theorems for weakly isotone increasing mappings in ordered b-metric spaces, J Nonlinear Sci Appl., 7, 229-245 [43] J R Roshan, V Parvaneh, S Sedghi, N Shobkolaei and W Shatanawi (2013), Common fixed points of almost generalized ( ; ')s contractive mappings in ordered b-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2013, Article ID 159 [44]W Rudin (1991), Functional Analysis McGraw-Hill, New York, NY, USA, 2nd edition [45]I A Rus and M A Serban (2013), Basic problems of the metric fixed point theory and the relevance of a metric fixed point theorem, Carpathian J Math., 29 ( 2), 239-258 128 [46] I A Rus and M A Serban (2008), Some generalizations of a Cauchy Lemma and Applications, Topics in Mathematics, Comput Sci Phil., (2008), 173-181 [47] W Shatanawim and A Al-Rawashdeh (2012), Common fixed points of almost generalized ( ; ) contractive mappings in ordered metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2012, Article ID 80 [48] C Tianqing (2016), Some coupled fixed point theorems in C - algebra-valued metric spaces, arXiv :1601.07168v1, 1-11 [49] D Wardowski (2012), Fixed points of a new type of contractive mappings in complete metric spaces, Fixed Point Theory Appl., doi:10.1186/1687-1812-2012-94, 1-6 [50] S Xu and S Radenovi c (2014), Fixed point theorems of general-ized Lipschitz mappings on cone metric spaces over Banach algebras without assumption of normality, Fixed Point Theory Appl., 2014, 1-12 ... trản khổng gian bmảtric nõn Ưy trản Ôi số Banach v ựng dửng 2.1 Khổng gian b- mảtric nõn trản Ôi sè Banach 2.2 -im b t ởng cho lợp cĂc Ănh xÔ '-co yáu suy rởng trản khổng gian b- mảtric... lỵ im b t ởng khổng gian b- mảtric sp thự tỹ b phên, khổng gian b- mảtric nõn trản cĂc Ôi số Banach, khổng gian b- mảtric vợi giĂ tr C -Ôi số v ựng dửng cĂc kát quÊ thu ữủc v o nghiản cựu b i toĂn... (h; ) Tiáp theo, b ng cĂch thay thá khổng gian mảtric b ng khổng gian bmảtric, chúng tổi ữa khĂi niằm Ănh xÔ T -co khổng gian b- mảtric 1.1.11 -nh nghắa Cho (X; d; s) l khổng gian b- mảtric vợi v