điểm bất động chung cho ba ánh xạ

Mục lục Lời nói đầu Mục Lục Trang 1 2 Chơ ng 1. Điể m bất động chun g cho ba ánh xạ 1. 1 M ột s ố ki ế n th ứ c c huẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Điểm bất động chung cho ba ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . Chơng 2. Điểm bất động chung cho bốn ánh xạ 2.1 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ trong không gian mêtric 4 4 8 14 đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ trong không gian với d-hàm 30 Kết luận Tài liệu tham khảo 1 35 36 lời nói đầu Năm 1982, trong bài báo On a weak commutativity condition of map- pings in fixed point considerations S. Sessa đã giới thiệu khái niệm các ánh xạ giao hoán yếu và đã chứng minh đợc một số định lý điểm bất động chung. Năm 1986, G. Jungck, đã mở rộng các khái niệm ánh xạ giao hoán yếu bằng cách đa ra khái niệm các ánh xạ tơng thích. Sau đó, ông cùng với P. P. Murthy và Y. J. Cho đã cùng mở rộng khái niệm ánh xạ giao hoán yếu và đa ra khái niệm các ánh xạ tơng thích yếu loại (A). Sau đó, H. K. Pathak và M. S. Khan đã đa ra khái niệm về các ánh xạ tơng thích loại (B) mà nó là mở rộng khái niệm các ánh xạ tơng thích loại (A). Theo hớng này, lần đầu tiên tác giả cùng với Y. J. Cho, S. M. Kang và S. M. Madharia đã đa ra phần mở rộng khái niệm các ánh xạ tơng thích loại (A) bằng cách giới thiệu khái niệm các ánh xạ tơng thích loại (C) và một kiểu tơng thích khác đợc gọi là tơng thích loại (P). Năm 1998, G. Jungck và B. E. Rhoades đã tìm cách mở rộng tất cả các khái niệm về giao hoán, giao hoán yếu và tơng thích bằng cách giới thiệu khái niệm các ánh xạ tơng thích yếu. Gần đây hơn, M. A. Al-Thagafi và N. Shahzad đã đa ra khái niệm các ánh xạ tơng thích yếu ngẫu nhiên (viết tắt là owc) nh là một mở rộng của khái niệm ánh xạ tơng thích yếu. Trên cơ sở các bài báo On unique common fixed point theorems for three and four self mappings của H. Bouhadjera và Common fixed point theorem for four mappings satisfying generalized weak contractive condition của M. Abbas và D. Đoric, dới sự hớng dẫn của NGƯT. PGS. TS. Trần Văn Ân, chúng tôi đã tiếp cận đề tài nghiên cứu Điểm bất động chung cho ba và bốn ánh xạ. Mục đích của luận văn này là thông qua các tài liệu tham khảo và các bài báo theo hớng này, chúng tôi tìm hiểu và trình bày một cách có hệ thống các kết quả về một số định lý điểm bất động chung của ba và bốn ánh xạ. Với mục đích trên luận văn đợc trình bày gồm hai chơng. 2 Chơng 1. Điểm bất động chung của ba ánh xạ. Trong chơng này, ở mục 1 tác giả giới thiệu một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bày của luận văn. Mục 2 trình bày và chứng minh các định lý về điểm bất động chung cho ba ánh xạ. Chơng 2. Điểm bất động chung cho bốn ánh xạ Trong chơng này, mục 1 dành cho việc trình bày và chứng minh các định lý về điểm bất động chung cho bốn ánh xạ trong không gian mêtric đầy đủ, các hệ quả và một số ví dụ áp dụng. Tiếp theo ở mục 2, chúng tôi trình bày các định lý về điểm bất động chung cho bốn ánh xạ trong không gian với d-hàm, các hệ quả và một số ví dụ áp dụng các định lý đã đợc trình bày trong phần này. Luận văn đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, Phòng đào tạo Sau đại học, quý Thầy Cô trong tổ Giải tích khoa Toán trờng Đại học Vinh, Phòng Tổ chức Trờng Đại học Sài Gòn đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các Thầy, Cô trong tổ Toán trờng THCS và THPT Nguyễn Khuyến, trờng THCS và THPT Trí Đức, gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các học viên cao học khoá 18 Toán-Giải tích tại Trờng Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt quá trình học tập. Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những sai sót. Tác giả rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô và bạn đọc để luận văn đợc hoàn thiện. Vinh, ngày 20 tháng 8 năm 2012 Cao Thị Hậu 3 chơng 1 Điểm bất động chung của ba ánh xạ 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa. ([2]) Giả sử d : X ì X [0, +) là hàm thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y X . (1) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x). Khi đó, d đợc gọi là một d-hàm (d-function) trên X . 1.1.2 Định nghĩa. ([1]) Không gian mêtric là một cặp (X, ) trong đó X là một tập hợp, : X ì X R là một hàm số xác định trên X ì X thoả mãn ba điều kiện sau (i) (x, y) 0, (x, y) = 0 x = y; (ii) (x, y) = (y, x), với mọi x, y X ; (iii) (x, y) (x, z) + (z, y ), với mọi x, y, z X . Điều kiện (i), (ii), (iii) đợc gọi lần lợt là các tiên đề không âm, đối xứng, bất đẳng thức tam giác. 1.1.3 Ví dụ. Tập các số thực R và tập các số phức C là các không gian mêtric với mêtric cho bởi công thức (x, y) = |x y| với mọi x, y R (hoặc C ). 4 1.1.4 Ví dụ. Ký hiệu C [a, b] là tập tất cả các hàm thực liên tục trên [a, b]. Ta có C[a, b] là một không gian mêtric với mêtric cho bởi công thức (x, y) = sup |x(t) y(t)| với mọi x, y C[a, b]. atb Chứng minh. Kiểm tra các tiên đề của mêtric ta có (i) Dễ thấy (x, y) = sup |x(t) y(t)| 0 với mọi x, y C [a, b], atb (x, y) = sup |x(t) y(t)| = 0 sup |x(t) y (t)| = 0 atb atb x(t) y(t) = 0 với mọi t [a, b] (x y)(t) = 0 với mọi t [a, b] x = y, với mọi x, y C[a, b]. (ii) (x, y) = sup |x(t) y(t)| = sup a tb | y(t) x(t)| = (y, x) atb với mọi x, y C [a, b],với mọi t [a, b]. (iii) (x, y) = sup |x(t) y(t)| = sup |x(t) z(t) + z(t) y(t)| atb atb sup |x(t) z(t)| + sup |z(t) y(t)| atb atb = (x, z) + (z, y), với mọi x, y, z C [a, b], t [a, b]. (x, y) (x, z ) + (z, y). 1.1.5 Định nghĩa. ([1]) Cho không gian mêtric (X, ). Dãy {x n } X đợc gọi là dãy Cauchy hay dãy cơ bản, nếu lim n,m (x m , x n ) = 0, nghĩa là với mọi > 0 tồn tại n 0 N sao cho với mọi m, n n 0 ta có (x n , x m ) < . 1.1.6 Định nghĩa. ([1]) Dãy {x n } n =1 trong không gian mêtric (X, ) đợc gọi là hội tụ đến điểm x 0 X , nếu lim (x n , x 0 ) = 0. Khi đó, ta viết n lim x n = x 0 hoặc x n x 0 và điểm x 0 đợc gọi là giới hạn của dãy {x n }. n 1.1.7 Định nghĩa. ([1]) Không gian mêtric X đợc gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 5 1.1.8 Định nghĩa. ([1]) Giả sử (X, X ) và (Y, Y ) là các không gian mêtric. ánh xạ f : X Y đợc gọi là liên tục tại x 0 X , nếu với mọi > 0 tồn tại > 0 sao cho với mọi x X mà X (x 0 , x) < ta có Y (f (x 0 ), f (x)) < . Nếu f liên tục tại mọi điểm x X , thì f đợc gọi là liên tục (trên X ). 1.1.9 Nhận xét. ([1]) ánh xạ f : X Y là liên tục tại điểm x X khi và chỉ khi với mọi dãy{x n } X, mà lim x n = x ta có lim f (x n ) = f (x). n n 1.1.10 Định nghĩa. ([2]) Giả sử f, g : X X là các ánh xạ từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó. Điểm x X đợc gọi là điểm bất động của ánh xạ f nếu f (x) = x. Điểm x X đợc gọi là điểm trùng nhau của các ánh xạ f và g nếu f (x) = g(x). Ta cũng dùng hai lớp hàm sau = {| : [0, ) [0, ) nửa liên tục dới, (t) > 0, t > 0, (0) = 0}, = {| : [0, ) [0, ) liên tục và không giảm, (t) = 0 t = 0}. 1.1.11 Định nghĩa. ([2]) Giả sử f, g : X X là các ánh xạ từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ f và g đợc gọi là cặp giao hoán yếu nếu với mọi x X ta có d(f gx, gf x) d(f x, gx). 1.1.12 Định nghĩa. ([5]) Giả sử f, g : X X là các ánh xạ từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ f và g đợc gọi là (1) tơng thích nếu lim d(f gx n , gf x n ) = 0, n (2) tơng thích loại (A) nếu, lim d(f gx n , g 2 x n ) = 0 và lim d(gf x n , f 2 x n ) = 0, n 6 n (3) t¬ng thÝch lo¹i (B) nÕu, 1 lim d(f gx n , g 2 x n ) ≤ h lim d(f gx n , f t) + lim d(f t, f 2 x n ) i vµ n→ ∞ 2 1 h n→ ∞ n → ∞ i lim d(gf x f n 2 lim d(gf x n , gt) + lim d(gt, g 2 x n ) , n→∞ n→∞ (4) t¬ng thÝch lo¹i (C) nÕu, lim d(f gx ≤ 1 h lim d(f gx n , f t) + lim d(f t, f 2 x n ) n 3 n → ∞ i n→∞ vµ + lim d(f t, g 2 x n ) n→∞ 1 lim d(gf x f n 3 h lim d(gf x n , gt) + lim d(gt, g 2 x n ) n→∞ n i + lim d(gt, f n (5) tơng thích loại (P) nếu, , lim d(f 2 x n , g 2 x n ) = 0 n với mọi dãy {x n } X sao cho lim f x n = lim gx n = t, với điểm t nào đó thuộc X . n n 1.1.13 Định nghĩa. ([5]) Giả sử f, g : X X là các ánh xạ từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ f và g gọi là tơng thích yếu nếu và giao hoán tại các điểm trùng nhau của chúng. 1.1.14 Định nghĩa. ([13]) Giả sử f, g : X X là các ánh xạ từ không gian mêtric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ f và g đợc gọi là tơng thích yếu ngẫu nhiên (viết tắt là owc) nếu tồn tại một điểm t X mà nó là một điểm trùng nhau của f và g và tại đó f và g giao hoán. 7 1.1.15 Nhận xét. Các ánh xạ tơng thích loại (A) là ánh xạ tơng thích yếu ngẫu nhiên, nhng điều ngợc lại nói chung không đúng. Ví dụ sau đây chứng minh điều đó. 1.1.16 Ví dụ. ([5]) Cho X = [0; ) với mêtric thông thờng. Ta xác định các ánh xạ f, g : X X cho bởi công thức ( 0 nếu x [0; 1), f (x) = x 3 nếu x [1; ) ( 2 x nếu x [0; 1), g(x) = 1 x 2 nếu x [1; ). Khi đó ta có f (1) = 1 = g(1) và f g(1) = 1 = gf (1). Bây giờ, ta xét dãy {x n } với x n = 1 + n 1 , với n = 1, 2, 3, . . Khi đó ta có f x n = x 3 n 1 và gx n = x 1 2 1 khi n . Nhng, n d(f gx n , ggx n ) 26= 0. Vì vậy, f và g là tơng thích yếu ngẫu nhiên, nhng không tơng thích loại (A). 1.2 Điểm bất động chung của ba ánh xạ 1.2.1 Định lý. ([5]) Giả sử f, g và h là ba ánh xạ từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó thoả mãn các điều kiện (i) f (X ) S g(X ) h(X ); (ii) d(f x, gy) d(hx, hy) + [d(f x, hx) + d(gy, hy)] + [d(hx, gy) + d(hy, f x)], với mọi x, y X và , , là số thực không âm sao cho + 2 + 2 < 1; 8 [...]... t,ht)+d(gz,hz)]+[d(ht,gz)+d(hz,f t)] 0 (+2)d(t,z) (t)dt < 0 d(t,z) (t)dt 0 Vì thế, d(t, z) = 0 và z = t Vì vậy điểm bất động chung là duy nhất 13 (t)dt chơng 2 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ 2.1 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ trong không gian mêtric đầy đủ 2.1.1 Định lý ([2]) Giả sử f, h, g và k là bốn ánh xạ từ không gian mêtric đầy đủ (X, d) vào chính nó thoả mãn các điều kiện (i) f (X ) k(X ), g(X )... suy ra rằng f hv = hf v hoặc f z = hz Vì vậy ta có z = f z hz = kz = gz Do đó z là điểm bất động chung của f, g, h và k, khi f liên tục Chứng minh tơng tự ta cũng có z là điểm bất động chung của f, g, h và k, khi g là liên tục Bây giờ ta chứng minh rằng điểm bất động chung là duy nhất Giả sử z và w là hai điểm bất động chung của f, g, h và k, nghĩa là z = f z = gz = hz = kz và w = f w = gw = hw = kw... d(f x, y))} 2 Khi đó f và g có một điểm bất động chung duy nhất Chứng minh Lấy S = T = id với id là ánh xạ đồng nhất trên X X X và (t) = t với mọi t [0, ) Khi đó nhờ Định lý 2.1.2 ta suy ra f và g có một điểm bất động chung duy nhất Bằng cách lấy f = g, từ hệ quả này ta có 2.1.6 Hệ quả ([7]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và cho f : X X là ánh xạ sao cho với mọi x, y X ta có (d(f x, f... d(gy, y), (d(x, gy) + d(f x, y))} 2 Khi đó tồn tại duy nhất một điểm u X Chứng minh Lấy S = T sao cho u = f u = gu = id với id là ánh xạ đồng nhất trên X X X Khi đó nhờ Định lý 2.1.2 ta suy ra f và g có một điểm bất động chung duy nhất 2.1.5 Hệ quả ([14]) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và cho f, g : X X là hai ánh xạ sao cho với mọi x, y X ta có d(f x, gy) M (x, y) (M (x, y)), trong... Từ bất đẳng thức (1) ta có d(f u,gf u) (t)dt 0 d(hu,hf u)+[d(f u,hu)+d(gf u,hf u)]+[d(hu,gf u)+d(hf u,f u)] 0 suy ra, d(f u,gf u) 0 (t)dt (+)d(f u,gf u) 0 (t)dt < d(f u,gf u) (t)dt 0 Ta gặp mâu thuẫn Vì thế suy ra rằng gf u = f u Đặt f u = gu = hu = t, nh vậy t là một điểm bất động chung của các ánh xạ f, g và h (t)dt 12 Bây giờ, lấy t và z là hai điểm bất động chung phân biệt của các ánh xạ. .. d(hz, f z)] = ( + )d(gz, z) Vì + < 1, từ đó suy ra d(z, gz) = 0, tức là z = gz Do đó z là điểm bất động chung của f, g và h Tơng tự nh vậy ta cũng chứng minh đợc z là điểm bất động chung của f, g và h trong trờng hợp f hoặc g liên tục và cặp (g, h) là tơng thích loại (A) Bây giờ giả sử z và u là hai điểm bất động chung của f, g và h Khi đó, ta có z = f z = gz = hz và u = f u = gu = hu d(z, u) = d(f z,... x, y X và , và là các số thực không âm sao cho + 2 + 2 < 1; (iii) Một trong các ánh xạ f, g, h và k là liên tục; (iv) (f, h) và (g, k) là tơng thích loại (A) Khi đó, f, h, g và k có một điểm bất động chung duy nhất Chứng minh Lấy x0 X là một điểm tuỳ ý Chọn một điểm x1 X sao cho f x0= kx1 Điều này có thể thực hiện đợc vì f (X ) k(X ) Lấy x X sao cho gx = 2 1 hx Điều này có thể thực hiện đợc... suy ra d(z, u) = 0 và z = u Vì vậy điểm bất động chung là duy nhất 1.2.2 Định lý ([5]) Cho X là một tập hợp với d-hàm Giả sử f, g và h là ba ánh xạ từ (X, d) vào chính nó thoả mãn các điều kiện sau (1) d(f x,gy) 0 (t)dt (t)dt, d(hx,hy)+[d(f x,hx)+d(gy,hy)]+[d(hx,gy)+d(hy,f x)] 0 với mọi x, y thuộc X , : R+ R+là ánh xạ khả tích Lơbe mà nó là không âm khả tổng sao cho (t)dt > 0 với mỗi 0 , , là... có một điểm bất động duy nhất trong X 2.1.7 Ví dụ ([3]) Cho X = [0, 1] [32,2] với mêtric thông thờng và cho ánh xạ f từ X vào chính nó đợc xác định nh sau ( 3 4,nếu 0 x 1, f (x) = 1 4, 2 2 Nếu ta lấy (t) = t và (t) =14tvới mọi t [0, ), thì tất cả các điều kiện của Hệ quả 2.1.6 đợc thoả mãn và f có một điểm bất động duy nhất là34 Chú ý rằng nếu ta lấy x = 1 và y =32 , thì với cách chọn bất kỳ... minh tơng tự trờng hợp S(X ) đóng ta suy ra kết luận của định lý vẫn còn đúng 26 Tính duy nhất của điểm bất động chung z của các ánh xạ f, g, S và T đợc suy từ bất đẳng thức (1) Ví dụ sau đây minh họa cho Định lý 2.1.2 2.1.3 Ví dụ ([3]) Cho X = [0, 1] với mêtric thông thờng Ta xác định f, g, S và T trên X cho bởi bởi các công thức ( 2nếu0 x 1, f (x) = 1 1 nếu x = 1, g(x) = ( 1 x 12, 1 nếu12< x 1, 2nếu0 . cơ sở cho việc trình bày của luận văn. Mục 2 trình bày và chứng minh các định lý về điểm bất động chung cho ba ánh xạ. Chơng 2. Điểm bất động chung cho bốn ánh xạ Trong chơng này, mục 1 dành cho. ®éng chung lµ duy nhÊt. 13 chơng 2 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ 2.1 Điểm bất động chung của bốn ánh xạ trong không gian mêtric đầy đủ 2.1.1 Định lý. ([2]) Giả sử f, h, g và k là bốn ánh xạ. Lục Trang 1 2 Chơ ng 1. Điể m bất động chun g cho ba ánh xạ 1. 1 M ột s ố ki ế n th ứ c c huẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Điểm bất động chung cho ba ánh xạ . . . . . . .