Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến không suy rộng chứa tham số trong không gian banach phản xạ

Tr-ờng Đại Học Vinh Khoa toán === === Ngô Thị Miên tính nửa liên tục d-ới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian banach phản xạ khóa Luận tốt nghiệp đại học Ngành Cử nhân khoa học toán Vinh, 2009 Tr-ờng Đại Học Vinh Khoa toán === === tính nửa liên tục d-ới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian banach phản xạ khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Chuyên ngành: giải tích Cán h-ớng dẫn khóa luận: ThS Nguyễn thị Toàn Sinh viên thực hiện: Ngô thị miên Líp: Vinh, 2009 46B1 - To¸n Mơc lơc MỞ ĐẦU Ch-ơng I Bất đẳng thøc biÕn ph©n R n 1.1 Điểm bất động 1.2 TÝnh chÊt cđa phÐp chiÕu lªn mét tËp låi 1.3 Định lý bất đẳng thức biến phân 1.4 Bất đẳng thức biến phân Ch-ơng II tính nửa liên tục d-ới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian Banach phản xạ 2.1 Các khái niệm tính chất cở sở 2.2 Các kết 2.3 C¸c kết bổ trợ 10 2.4 Chøng minh kết 15 2.5 C¸c vÝ dơ 23 KÕt luËn 28 Tµi liƯu tham kh¶o 29 M U Ph-ơng trình suy rộng (PTSR) mô hình hữu hiệu giúp ta nghiên cứu toán thuộc lĩnh vực khác nh- tối -u hoá, bất đẳng thức biến phân, điều kiện biến phân cân kinh tế Những vấn đề nghiên cứu lý thuyết PTSR bao gồm: tồn nghiệm, ph-ơng pháp tìm nghiệm, tính ổn định tập nghiệm Ngày nay, mà khoa học máy tính đà phát triển, hầu hết toán lĩnh vực tính toán khoa học đ-ợc rời rạc hoá để thuận lợi cho việc tính toán Một toán đ-ợc gọi ổn định nh- sai số liệu đầu vào bé sai số kết đầu không đáng kể Trong tr-ờng hợp ng-ợc lại, sai số liệu đầu lớn kết tính toán khác xa với kết mong đợi Khi toán đ-ợc gọi không ổn định Giáo s- S M Robinson - đà đ-ợc Giải th-ởng Dantzig Quy hoạch toán học - ng-ời đầu việc nghiên cứu tính ổn định ph-ơng trình suy rộng Kể từ tới nay, h-ớng nghiên cứu đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm Có nhiều toán, chẳng hạn nh- toán tối -u, cân kinh tế, bất đẳng thức biến phân, mô hình hoá thành ph-ơng trình suy rộng Nghiên cứu tính ổn định PTSR nghiên cứu tính chất liên tục, khả vi ánh xạ nghiệm c¸c PTSR phơ thc tham sè Song song víi c¸c PTSR, lớp toán tối -u có ứng dụng rộng rÃi toán điều khiển tối -u có tham số đ-ợc nghiên cứu Di s hớng dẫn tận tình cô giáo Nguyễn Thị Toàn chọn đề tài: "Tính nửa liên tục d-ới ỏnh x nghim bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian Banach phản xạ", dựa báo Tin s Bựi Trng Kiờn Mục đích cđa luận văn lµ tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm bất đẳng thức biến phân chứa tham số không gian Banach phản xạ Với mục đích luận văn đ-ợc chia làm hai ch-ơng: Ch-ơng I Bất đẳng thức biến phân Rn Ch-ơng II Tính nửa liên tục d-ới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian Banach phản xạ Phần lớn kết trình bày luận văn đà thu đ-ợc số tác giả tài liệu [2], [4], [7], [8] đà đ-ợc trích dẫn luận văn Một số kết khác đà đ-ợc tác giả chứng minh chi tiết d-ới dạng Bổ đề d-ới dạng Nhận xét Tuy đà có nhiều cố gắng nh-ng lực thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót nội dung lẫn hình thức Vì vậy, tác giả mong nhận đ-ợc lời bảo quý báu Thầy giáo, Cô giáo góp ý bạn đọc Nhân dịp này, cho phép tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Cô giáo Nguyễn Thị Toàn ng-ời đà h-ớng dẫn nhiệt tình tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích khoa Toán đà tận tình giảng dạy, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập hoàn thành khoá luận Vinh, tháng năm 2009 Tác giả Ch-ơng I bất đẳng thức biến phân rn 1.1 Điểm bất động 1.1.1 Định nghĩa Cho A tập hợp ánh xạ F : A A Một điểm x A đ-ợc gọi điểm bất động F F x x Hay nói cách khác, điểm bất động F nghiệm ph-ơng trình F x x 1.1.2 Định nghĩa Cho S không gian mêtric Một ánh xạ F : S S đ-ợc gọi ánh xạ corút d F x , F  y   d x , y  ,  x, y  S , (1) : Khi cho , ánh xạ F đ-ợc gọi không giÃn 1.1.3 Định lý [8] Cho S không gian mêtric đầy đủ F : S S ánh xạ corút Khi ®ã tån t¹i nhÊt mét ®iĨm bÊt ®éng cđa F 1.1.3 Định lý (Brower) [8] Cho F ánh xạ liên tục từ hình cầu đóng B R n vào Khi F tồn điểm bất động 1.2 Tính chất phép chiếu lên tập lồi Trong phần này, xét phép chiếu lên tập lồi không gian Hinbert thực Những chứng minh đ-ợc đ-a tr-ờng hợp H không gian hữu hạn chiều, ta chọn R n trùng với không gian Hilbert H 1.2.1 Bổ đề [8] Cho K tập đóng, lồi không gian Hilbert H Khi với x H , tån t¹i nhÊt y  K cho x  y  inf x   (2) K 1.2.2 Chú ý [8] Điểm y thoả mÃn (2) đ-ợc gọi hình chiếu x lên K ta viết y PrK x 1.2.3 Định lý [8] Cho K tập đóng, lồi không gian Hilbert H Khi đó, y PrK x hình chiếu x lên K , vµ chØ nÕu y  K :  y ,   y   x ,   y     K (3) 1.2.4 HƯ qu¶ [8] Cho K tập đóng, lồi không gian Hilbert H Khi đó, phép chiếu PrK không giÃn, nghÜa lµ PrK x  PrK x '  x  x '  x , x'  H 1.3 Định lý bất đẳng thức biến phân 1.3.1 Định nghĩa Không gian đối ngẫu R n R n không gian tất dạng tuyến tính a : Rn R x a, x , xác định R n 1.3.1 Định lý [8] Cho K R n tập compact, lồi ánh xạ F : K R n liên tục Khi đó, cã mét ®iĨm x  K cho: F x , y  x   yK (4) 1.3.2 Hệ [8] Cho x nghiệm bất đẳng thức biến phân (4) giả sử x  K , phÇn cđa K Khi ®ã, F x   1.4 bất đẳng thức biến phân 1.4.1 Bài toán Cho K tập đóng, lồi R n ánh xạ F : K R n liên tục Tìm x K cho F x  , y  x   y  K (5) Định lý sau đây, đ-a điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm Bài toán 1.4.2 Định lý [8] Cho K R n tập đóng, lồi ánh xạ F : K R n liên tục Điều kiện cần đủ để tồn nghiệm Bài toán 1.4.1 tồn R cho cã mét nghiÖm xR  K R điều kiện (5) thoả mÃn: xR R Trong ®ã K R  K  BR víi BR hình cầu đóng bán kính R tâm  Rn  1.4.3 HƯ qu¶ [8] Cho F : K  R n  tho¶ m·n F x   F x0 , x  x0 x  x0   x   , x  K , (6) víi x0  K bÊt kú Khi đó, tồn nghiệm Bài toán 1.4.1 1.4.4 Định nghĩa Điều kiện (6) Hệ 1.4.3 đ-ợc gọi điều kiện c-ỡng 1.4.5 Định nghĩa ánh xạ F : K R n đ-ợc gọi đơn điệu F ( x) F ( x '), x  x '  x , x' K ánh xạ F đ-ợc gọi đơn điệu ngặt dấu '' '' xảy x x' Ch-ơng II Tính nửa liên tục d-ới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức bIếN suy rộng chứa tham số không gian banach phản xạ 2.1 Các khái niệm tính chất sở 2.1.1 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn với không gian đối ngẫu E , M , d , d không gian mªtric Cho F : M  E   toán tử có giá trị tập hợp K : hàm đa trị với giá trị đóng, lồi Bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số liên quan đến tập hợp K toán tử F ,. toán tìm nghiệm x x , thoả mÃn ph-ơng trình suy réng  F  , x  + N K   x  , (1) víi   , M tham sè vµ N K   x  lµ mét nón pháp tuyến với K x đ-ợc ký hiệu x* E* | x* , y  x   y  K        x  =     nÕu x  K   nÕu x  K   (2) Ta ký hiệu toán (1) cách viết gọn l¹i GVI  F   ,. , K     Khi F ( , x)   f ( , x) ë ®ã f : M E E* toán tử đơn trị ph-ơng trình suy rộng (1) đ-ợc gọi bất đẳng thức biến phân chứa tham số ký hiệu bëi VI ( f ( ,.) , K (  ) ) Ký hiƯu S ( ,  ) lµ tập nghiệm ph-ơng trình suy rộng (1) t-ơng ứng víi cỈp tham sè ( ,  ) Nh- vËy S : M    E lµ ánh xạ với giá trị tập hợp đ-ợc gọi ánh xạ nghiệm ph-ơng trình (1) Trong suốt đề tài ta giả sử x0  S (0 , 0 ) , cã nghÜa lµ  F (0 , x0 )  N K (0 ) ( x0 ) (3) 2.1.2 Định nghĩa Giả sử C tập không rỗng, đóng, lồi không gian định chuẩn E T : C E toán tử Ta ký hiệu đồ thị T * gphT : = x , x*  C  E* : x* Tx Toán tử T đ-ợc gọi đơn điệu ngặt với u1 , u1*  , u2 , u*2  gphT vµ u1  u th× u1*  u 2* , u1  u  w To¸n tư T đ-ợc gọi thuộc lớp S un u vµ lim Sup u*n ,u n  u  n víi un*  Tun , th× un  u Nếu tập hợp T C bị chặn T đ-ợc gọi toán tử bị chặn C Toán tử T đ-ợc gọi giả ®¬n ®iƯu theo quan điểm cđa Brezis nÕu víi mäi  w d·y un  u vµ *n  Tun cho lim Sup n , un  u  với v C tồn n v*  Tu tho¶ m·n *v , u  v  lim inf *n , u n  v n 2.1.3 Định nghĩa Hàm đa trị K : E đ-ợc gọi có tính chất Aubin theo thứ tự điểm , x0 gphK tồn số d-ơng k ,  vµ  cho   K '   x0   B E  K    kd' ,  B E ' ,  B ,0  ,  (4) với B E hình cầu đơn vị đóng E B0 , hình cầu mở tâm với bán kính không gian mêtric Nếu K thoả mÃn tính chất (4) với K đ-ợc gọi có tính chất Aubin điểm (0 , x0 ) 2.1.4 Định nghĩa Hàm đa trị P : X 2Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y đ-ợc gọi nửa liên tục d-ới x0 X với tập mở V Y tho¶ m·n P x0   V   , tồn lân cận U x0 cho P x  V   víi mäi x U 15 Vì hàm nhận giá trị thực mở réng x   inf x , v  xn nửa liên tục nên tồn vCY xn*  T xn  cho inf xn , v  xn  vCY Do ®ã x*n , v  xn   v  CY Trong tr-êng hỵp xn* , y  xn  vµ x*n , x0  xn  , (10) ta cã lim sup xn , xn  x0  Theo tính giả đơn điệu toán tử T từ (10), tồn n x T x0  cho x* , x0  y  lim inf x*n , xn  y  n Điều có nghĩa x* , y  x0  VËy ta ®· chØ r»ng inf sup x  , y  x0  yC x*T ( x ) Sử dụng Định lý Sion lần ta chứng minh đ-ợc tồn t¹i x*0  T x0  cho x*0 , y  x0   y  C VËy ịnh lý đ-ợc chứng minh 2.4 chứng minh kết Trong phần ta chứng minh trực tiếp kết đà đ-a mục 2.2 Vì Định lý 2.2.2 tr-ờng hợp đặc biệt Định lý 2.2.1 nên ta cần chứng minh §Þnh lý 2.2.1 2.4.1 Chøng minh §Þnh lý 2.2.1 (a) Theo điều kiện (iv) tồn số d-ơng k ,  vµ  cho K   '  ( x0   B E )  K     kd ( ',  ) B E  ',   B(0 , 0 ) (11) 16 Chọn sè dương s vµ  cho x0  s B E  x0   B E   X , kd ,   s , víi mäi   B ,  B ,0  Do ®ã ®iỊu kiƯn (11) trở thành K ( ' )  ( x0  s B E )  K ( )  kd( ,  ' ) B E (12) víi mäi  , '  B(  , )  Chän mét h»ng sè  cho     ,  1    Theo Bæ ®Ò 2.3.1, ta cã   s     4k       K '   x0  s B E  K    x0  s B E  5kd' ,  B E ,  (13) víi mäi  ,  ' B(0 ,  ) VËy víi mäi ' ,   B(  , ) , điều kiện (12) (13) thỏa mÃn Đặt  '   ®iỊu kiƯn (12) ta thấy với B(0 , ) tồn t¹i z  K ( ) cho z  x0  kd( , 0 )  s VËy K(  )  BE ( x0 , s )   , víi mäi   B(0 ,  ) Với , M B(0 , ) ta xét ph-ơng trình suy rộng  F (  , x)  N K (  )  B E ( x , s ) ( x ) (14) §Ĩ tiÕp tơc ta chøng minh bỉ ®Ị sau 2.4.1.1 Bỉ ®Ị [7] Tồn lân cận U V0 0 , 0  cho    F  ,   N K  B E  x ,s  . BE x0 , s  , (15) víi mäi  ,  U V0 , BE ( x0 , s) biên hình cầu BE ( x0 , s) Chứng minh Giả sử kết luận Bổ đề sai tồn dÃy n 0 , n  0 vµ xn  B( x0 , s) cho  F (  n , xn )  N K (  )  B E ( x , s ) ( x n ) n V× d·y  xn  héi tụ yếu nên xn bị chặn yếu Do ®ã tån t¹i  x   x  nk n (16)  x , nk chän d·y w x víi x  B E ( x0 , s) Tõ ®iỊu kiƯn (16) ta cã d·y cho xn  xn  K (  n )  BE ( x0 ,s ) tồn xn* F ( n , xn ) cho 17  z  K  n   B E  x0 , s  xn , z  xn  (17) Với n đủ lớn, đặt ' n điều kiện (13), ta thấy tồn điểm yn K (0 )  B E ( x0 , s) cho xn  yn  5kd(  n , ) (18) V× K ( 0 )  B E ( x0 ,s ) tập bị chặn yếu đóng yếu không gian hữu hạn w chiều nên tập compact yếu Ta giả sö yn   y  K (0 )  B E ( x0 , s) Chän x*  E * sử dụng điều kiện (18) ta đ-ợc x , xn  x , y  x , xn  x , yn  x , yn  x , y   x xn  yn  x , yn  x , y  w §iỊu nµy cã nghÜa lµ xn   y Vì không gian mêtric hội tụ điểm nên x y K (0 )  B E ( x0 , s) Đặt ' n điều kiện (13), ta thấy với n , tồn điểm zn K (n ) B E ( x0 , s) cho z n  x  5kd(  , n ) V× n  0 nªn d (0 , n )  Do ®ã zn  x  VËy d·y  z n  héi tơ vỊ x n   Thay z  z n vào điều kiện (17), ta đ-ợc x*n , z n  x  x*n , xn  x (19) Vì F (0 , xn ) tập đóng, lồi E nên tồn un* F (0 , xn ) cho d ( xn* , F (0 , xn ))  xn*  un* Theo ®iỊu kiƯn (iii) ta cã xn*  un*  Kết hợp điều với tính bị chặn cña F (  ,.) , ta thÊy d·y x bị chặn Do từ điều kiện (19) ta cã * n limsup xn* , xn  x n Điều có nghĩa limsup un* , xn  x  limsup un*  xn* , xn  x  limsup xn* , xn  x  n n n 18 Từ F (0 ,.) lµ thc líp S  , suy xn  x V× vËy x BE ( x0 ,  )  K (0 ) Lấy x  K (0 )  B E ( x0 , s) , theo ®iỊu kiƯn (13) víi n đủ lớn, tồn điểm un K (n )  B E ( x0 , s) cho un  x n   Thay z un vào điều kiện (17), ta đ-ợc xn* , un  xn  (20) w Vì F ( ,.) bị chặn, ta cã thĨ gi¶ sư r»ng un*   u* Mt khác, F ( , ) nửa liên tục x xn x , ta ®-ỵc u   F( 0 , x ) Viết lại ta đ-ợc x*n , un xn x*n  u*n , un  xn  u*n , un xn Cho n điều kiƯn (20) trë thµnh u* , x  x   x  K (0 )  B E ( x0 , s) (*) Trong tr-êng hỵp x x0 ta đ-ợc u , x0 x  V× x0  S (0 , 0 ) , tån t¹i u0*  F (0 , x0 ) , cho u0* , x  x0   x  K (0 ) Do ®ã, u*0 , x x0 Theo tính đơn điệu ngặt F ( , ) X  K (0 ) vµ x0  x nªn ta cã u* , x  x0  u*0 , x x Điều mâu thuẫn vi (*) Vy Bổ đề đ-ợc chứng minh 2.4.1.2 Bỉ ®Ị NÕu ˆx  int B( x0 , s ) th× N K ( ) ( xˆ)  N K ( )B ( x ,s ) ( xˆ) Chứng minh Theo định nghĩa nón pháp tuyÕn ta cã   x  E N K ( )  B ( x , s ) ( xˆ )       x , y  xˆ  y  K ( )  B( x0 , s) nÕu ˆx  K (  )  B( x0 , s ) nÕu ˆx  K (  )  B( x0 , s ) Điều phải chứng minh t-ơng đ-ơng với viƯc chøng minh ®iỊu kiƯn sau 19 ˆ ˆ   N K (  ) ( x )  N K (  ) B( x0 ,s ) ( x )  N ( ˆx )  N K (  ) B( x ,s ) ( ˆx )   K(  ) ThËt vËy, víi mäi x   N K   ˆx  , ta cã x , y  ˆx   y  K (  ) , suy x , y  ˆx   y  K (  )  B( x0 , s ) Do ®ã x   N K (  )B( x ,s ) ( ˆx ) Hay N K   ˆx   N K  B x ,s  ˆx  0 Víi mäi x   N K (  )B( x ,s ) ( ˆx ) ta cã x , y  ˆx   y  K (  )  B( x0 , s) Víi mäi z K ( ) ta đặt y x ( z  ˆx ) Víi  ®đ bÐ th× y  B( x0 , s ) Tõ ®ã ta cã x  , y  ˆx  Điều t-ơng đ-ơng với x , ( z  ˆx )  Hay x  , z  ˆx   z  K(  )  z  K (  ) Điều có nghĩa x N K   ˆx  Do ®ã N K   ˆx   N K  B x ,s x Vậy bổ đề đ-ợc chøng minh 2.4.1.3 Bỉ ®Ị NÕu f : D  R n R n đơn điệu ngặt toán VI ( f , K ) có nghiệm nghiệm Chứng minh Giả sử x1 , x2 K hai nghiệm toán VI ( f , K ) , th× ta cã f ( x1 ), y  x1   y  K, f ( x2 ), y  x2   y  K Trõ hai vÕ cña hai bất đẳng thức ta có f ( x1 )  f ( x2 ), x2  x1  Mặt khác, điều mâu thuẫn với tính đơn điệu ngặt f , nghĩa f ( x1 )  f ( x2 ), x1  x2 Do x1 x2 Vậy to¸n VI ( f , K ) cã nhÊt nghiƯm  x1 , x2  K 20 B©y ta tiếp tục chứng minh Định lý 2.2.1 Chọn U  M vµ V0  B(0 ,  ) cho ®iỊu kiƯn (15) cđa Bỉ ®Ị 2.4.1.1 thoả mÃn Đặt Q0 BE ( x0 , s) vµ Sˆ ( ,  )  S ( ,  )  Q0 víi  ,   U  V0 Ta dễ thấy r»ng U ,V0 Q0 thoả mÃn điều kiện Định lý Với ( , ) U V0 , ta xét ph-ơng trình suy rộng  F (  , x )  N K (  ) B E ( x ,s ) x  (21) Theo ®iỊu kiƯn (ii), F ( , ) giả đơn điệu có giá trị đóng, lồi nửa liên tục trên không gian hữu hạn chiều E Hơn nữa, theo tính bị chặn F ( , ) điều kiện (iii), F ( ,.) có giá trị bị chặn Ngoài ra, K ( ) B( x0 , s) tập đóng, lồi bị chặn E Vậy điều kiện B đề 2.3.2 đ-ợc thoả mÃn Theo điều kiện (15) cách chọn U V0 , x int B E ( x0 ,s ) Bỉ ®Ị 2.4.1.2 ta cã N K ( ) ( xˆ )  N K ( )B E ( x ,s ) ( xˆ ) Nh- vËy, xˆ cịng tho¶ m·n ph-ơng trình suy rộng F ( , x )  N K (  )( x ) §iỊu nµy cã nghÜa lµ ˆx  Sˆ ( ,  )  Q0 VËy kÕt luËn (a) cña Định lý đ-ợc chứng minh (b) Giả sử G lµ mét tËp më cho Sˆ (  , )  G   Theo Bæ ®Ị 2.4.1.3 vỊ tÝnh nhÊt cđa x0  Sˆ (0 , 0 ) , ta cã x0  G Chän s(0, s) cho BE ( x0 , s)  BE ( x0 , s)  G vµ điều kiện (12) Nh- vậy, tồn  cho kd0 ,    s vµ    K ( ')  x0  sB E  K ( )  kd ( ,  ') B E (22) víi mäi  ,  ' B(0 ,  )  B(0 , 0 ) Nh- chøng minh cđa phÇn (a) ta chän mét  h»ng sè  cho     , (  s 1  )  Theo Bỉ ®Ị 2.3.1 ta cã 4k  21     K ( ')  x0  sB E  K ( )  x0  sB E  5kd ( ,  ') B E , (23) víi mäi  ,  ' B(0 , ) Hơn nữa, với , ' B(0 , ) điều kiện (22) thoả mÃn Từ Bổ đề 2.4.1.1 tồn l©n cËn Uˆ  U cđa  , mét l©n cËn Vˆ0  V0 cđa 0 cho víi mäi ( ,  ) Uˆ  Vˆ0 , ta cã  ( F ( ,.)  N K (  )B E ( x ,s )   (.)) BE ( x0 ,s ) (24) Sử dụng lý luận t-ơng tự nh- cách chứng minh phần (a) ta thấy ph-ơng trình suy rộng  F  , x   N K ( )B E ( x ,s ) ( x) cã mét nghiÖm u  u ( ,  ) Theo ®iỊu kiƯn (24), u  int B E ( x0 , s) Điều kéo theo N K (  ) (u)  N K (  )B E ( x ,s ) (u) vµ  F (  , u)  N K (  ) (u) Do ®ã u  S ( ,  )  BE ( x0 , s)  Sˆ ( ,  )  G Hay nãi c¸ch kh¸c, Sˆ ( , )  G   víi mäi ( ,  ) Uˆ  Vˆ0 Điều có nghĩa ánh xạ nghiệm S : U V0 X nửa liên tơc d-íi t¹i (0 , 0 ) VËy ịnh lý đ-ợc chứng minh 2.4.2 Chứng minh Hệ 2.2.3 (a) Nh- chứng minh Định lý 2.2.1 ta chọn số d-ơng s cho điều kiện (12) (13) thoả mÃn Để áp dụng Bổ đề 2.4.1.1 tr-ờng hợp F( ,.)  f ( ,.) , ta gi¶ sư r»ng kÕt ln cđa Bỉ ®Ị sai Khi ®ã chóng ta cã thĨ chØ c¸c d·y n  0 , n  0  xn   BE ( x0 ,s )  K (  n ) cho f  n , xn  , z  xn   z  K (  n )  B E ( x0 , s ) (25) 22 Vì BE ( x0 , s) tập compact nên ta giả sử xn  x Thay  '  n , vào điều kiện (13) ta thấy với n , tồn yn K (0 )  B E ( x0 , s) cho xn  y n  5kd n ,   V× K (0 )  B E ( x0 , s) tập compact, không tính tổng quát ta cã thĨ gi¶ sư r»ng yn  y0  K (  ) B E ( x0 , s) Từ điều trên, ta có xn y Do ®ã x  y0  K  B E ( x0 , s) Đặt  '  0 ,   n ®iỊu kiện (13), ta thấy với n tồn z n  K (  n )  B E ( x0 , s ) cho z n  x0 Đặt z z n điều kiện (25) cho n ta đ-ợc f ( 0 , x), x0  x  V× f , đơn điệu ngặt x0  x , ta cã f (  , x0 )  f (  , x ), x0  x  Hay f (  , x0 ), x0  x  f (  , x ), x0  x  Điều mâu thuẫn với x0 nghiệm toán VI ( f (0 ,.), K (0 ) Vậy Bổ đề 2.4.1.1 đ-ợc áp dụng Bây ta chọn lân cận U  M cđa  vµ V0  B(0 ,  ) cña 0 cho kÕt luËn Bổ đề 2.4.1.1 Đặt Q0 BE ( x0 , s ) Với , U V0 ta xét ph-ơng trình suy rộng sau  f (  , x)  N K (  ) B E ( x , s ) ( x) (26) V× f (  , ) liên tục K ( ) B E  x0 , s  lµ tËp compact nên ph-ơng trình suy rộng (26) có nghiệm x  xˆ( ,  )  K ( )  B E ( x0 , s) Theo Bỉ ®Ị 2.4.1.1 ta cã xˆ  int B( x0 , s) Do ®ã N K (  ) B E ( x ,s ) ( xˆ )  N K ( ) ( xˆ ) VËy xˆ lµ mét nghiệm ph-ơng trình f , x N K x Điều cã nghÜa lµ xˆ  S  ,   Q0 Vậy kết luận (a) đ-ợc chứng minh (b) B»ng c¸ch sư dơng lÝ ln nh- kÕt luận (b) Định lý 2.2.1 ta ánh xạ S nửa liên tục d-ới , 0  23 2.5 C¸C VÝ Dơ Trong phần xét vài Ví dụ minh họa cho phần Tr-ớc tiên ta đ-a ví dụ không gian hữu hạn chiều 2.5.1 VÝ dô Cho 0 ,     1,1 8, M    R lân cận , X  R Cho f : M X R hàm đ-ợc xác định f ( , x) ( x1 ,  x2  x22 ) , x  ( x1 , x2 ) vµ K :   R xác định K( ) x1 , x2  : x2  / , x1 x2 (27) Khi kết luận sau đ-ợc đúng: (a) Các ®iỊu kiƯn (i) - (iii) cđa HƯ qu¶ 2.2.3 ®Ịu thoả mÃn; (b) u0 (1/ 4,1/ 2) nghiệm toán VI ( f ( ,.), K (  )) ; (c) ¸nh xạ nghiệm S (.) nửa liên tục d-ới (0 , 0 ) Chøng minh ThËt vËy, ta cã f (0 , x)  ( x1 , x2  x22 ) vµ K (  )   ( x1 , x2 ) : x2  / , x1  x2  / 4 Víi bÊt kú u  ( u1 ,u2 ), v  ( v1 ,v2 ) K (  ) , ta thÊy u2  v2  Ta cã     f  ,u   u1 ,u  u 22 vµ f  ,v   v1 ,v2  v22 Khi ®ã  f 0 ,u   f 0 , v   u1  v1 , v2  u2  u22  v22   u1  v1 , u2  v2 u2  v2  1 Do ®ã f (  ,u )  f (  ,v ),u  v  u1  v1 ,u  v2 u  v2  1,u1  v1 ,u  v2   u1  v1   u  v2  u  v2  1  2 với u v Điều kéo theo f ( ,.) đơn điệu ngặt điều kiện (i) Hệ 2.2.3 thoả mÃn 24 2.5.1.1 Nhận xét Tập hợp K xác định điều kiện (27) tập lồi, đóng Chøng minh Tr-íc tiªn ta chøng minh K   lµ tËp låi Ta cã K(  )   x1 , x2  : x2  / , x1  x2  2 Khi ®ã, víi bÊt kú x  x1 , x2  K  , y   y1 , y2  K  , ta cã x2  , x1  x2  2 vµ y  , y1  y2  2 LÊy bÊt kú t  0 ,1, ta cã tx  1  t y  tx1  1  t y1 , tx t y2 Từ điều ta xÐt tx1  1  t y1  tx  1  t y2  t x1  x2   1  t  y1  y2   t 2  1  t 2  2 , vµ tx2  1  t y2  t  1  t 1  V× vËy tx  1  t y  K  ,  x , y  K , t , Điều chøng tá K   lµ tËp låi Ta dƠ thấy K tập đóng Vậy ta có điều phải chứng minh Dễ thấy f ( , ) ánh xạ liên tục nên điều kiện (ii) Hệ 2.2.3 Mặt khác, với    , K (  ) lµ mét tËp ®ãng, låi (theo NhËn xÐt 2.5.1.1) Ta cã ánh xạ K (.) liên tục Lipshitz Do điều kiện (iii) Hệ 2.2.3 thoả mÃn Vì tất điều kiện Hệ 2.2.3 thoả mÃn Để chứng minh (b) (c) ta cần chøng minh c¸c NhËn xÐt sau 2.5.1.2 NhËn xÐt u K ( ) nghiệm toán VI ( f ( ,.), K ( )) nÕu vµ chØ u thoả mÃn ph-ơng trình u K  u  f ,u  , víi h»ng sè K ( ) x hình chiếu mêtric điểm K x R tập hợp 25 Chứng minh Theo Định lý 1.2.3 Ch-ơng I, u hình chiếu u f ( , u) lên K , u ,v  u  u  f ,u ,v  u Tõ ®ã ta cã f ( , u), v  u   v  K ( ) s cã nghÜa u lµ mét nghiƯm cđa toán VI ( f ( ,.), K ( )) Vậy ta có điều phải chứng minh 2.5.1.3 Nhận xÐt NÕu x  x1 , x2  lµ mét ®iĨm bÊt kú R th× x     x      K  x2 x  x1  ,   2  Chøng minh ThËt vËy, lÊy bÊt kú x , y K , ta đặt x, y     z,   z  , víi z  R v× x  y  2 Ta cã d   x1 , x2  ,  x, y     f z     x  x1     z  x  2 2    z  x1  z x2 , đặt Khi d f Mặt khác, ta có f z  z  x1   2  z  x2   z  2x1  x2  , vµ f z   z  2x1  x2   vµ chØ z  x x Tõ ®ã ta cã f  f   , suy   x  x1 x     x      K   x2 x  x1  ,  2 Vậy ta có điều phải chứng minh (b) Víi x  ( x1 , x2 ) điểm R2 theo Nhận xét ta cã x     x     K   x2 x x  ,   , 2  V×  x  f ( , x )  (   )x1 ,(   )x2   x22  26 nªn ta cã    x   f  , x      1  x , 1  x K  K   x 22      x1  1  x  x 22  x  x 22  1  x1       ,  2    2  1  x1  1  x  x 22 2  1  x1  1  x  x 22     , 2    2  (   ) x1  (   )x  x 22 , 2  1  x1  1  x  x 22   Theo NhËn xÐt 2.5.1.2, ta cã x  ( x1 , x2 )  K   x  f , x  vµ chØ  2  (   )x1  (   )x2  x2  x1   2  (   )x1  (   )x2  x2  x §iỊu t-ơng đ-ơng với x2 (   )x2  2     x1  x2  2 (28) Trong ph-¬ng trình đầu hệ (28) có 12  8 Khi  ,    1, / 8 th× hƯ cã nghiƯm nhÊt lµ u0   1/ 4, 1/ 2 K (1/ 8) Nã lµ nghiƯm nhÊt cđa toán VI ( f (., ), K (0 )) Khi ph-ơng trình cđa hƯ cã hai nghiƯm 1   (1   )    (1   )  2 Do toán có hai nghiệm u( , ) 2  1 ,1  vµ u( ,  )  2  2 , 2  Ta xÐt lim (  , )(  , ) u(  , )  lim  (  , )( 1,1 / )  (   )  (   )2  8  (   )  (   )2  8 2  , 2   1    ,   u0 Khi tồn lân cận U V0  M   cña ®iĨm 0 , 0  vµ Q0 cđa u cho ánh xạ S nửa liên tục d-ới , 27 Bây ta đ-a phản ví dụ thể hàm f , Hệ 2.2.3 tính đơn điệu ngặt điều kiện đủ điều kiện cần 2.5.2 Ví dụ Ta xét ví dụ t-ơng tự nh- điều kiện Ví dụ 2.5.1 nh-ng víi K(  )   ( x1 , x2 ) : x2  1 / 4, x1 x2 Chng minh Khi t-ơng tự nh- ví dụ điều kiện Hệ 2.2.3 thoả mÃn Ta kiểm tra tính đơn ®iƯu ngỈt cđa f XÐt K     x1 , x2  : x2  1 , x1  x2  4 Khi ®ã tån t¹i u  (u1 , u2 )  K (1/ 8) , u  1 / 4,u1  / , v  ( v1 ,v2 )  K ( / ) , v2  1 / 3,v1  / 12 Ta cã f  ,u   f  ,v ,u  v   ( u1  v1 )2  ( u  v2 )2 ( u  v2  ) 2 7   1  1  1 0              1   1728  12      Do ®ã f không đơn điệu ngặt X R 28 Kết luận Một số vấn đề mà Luận văn đà đạt đ-ợc: Đ-a số kết phép chiếu bất đẳng thức biến phân R n Ngoài việc chứng minh chi tiết số ịnh lý Hệ tài liệu [7] Tác giả chứng minh thêm hai Bỉ ®Ị 2.4.1.2, 2.4.1.3, ba NhËn xÐt 2.5.1.1, 2.5.1.2, 2.5.1.3 đ-a Ví dụ 2.5.2 thể điều kiện đơn điệu ngặt f , X  K   HƯ qu¶ 2.2.3 điều kiện cần cho kết luận Hệ Sau hoàn thành luận văn đ-a số Bài toán mở nh- sau: Nếu giảm bớt điều kiện Hệ 2.2.3 kết luận Hệ không? Nếu thay điều kiện đơn điệu ngặt cđa f  ,  HƯ qu¶ 2.2.3 tính nghiệm Bài toán VI f  ,  , X  K  kết luận Hệ không? Điều kiện tính nghiệm Bài toán VI f , , X  K   cã ph¶i điều kiện cần cho kết luận Hệ 2.2.3 không? 29 Tài liệu tham khảo [1] L Cesari, Optimization Theory and Applications, problems with ordinary differential equations, Springer-Verlag, 1983 [2] A D Ioffe and V M Tihomirov, Theory of Extremal Problems, NorthHolland, 1979 [3] B T Kien, Solution sentivity of a generalized variational inequality, Vietnam J.Math., Vol 29, pp 97-113, 2001 [4] B T Kien and M M Wong, On the solution stability of variational inequality, J Global Optim., Vol 39, pp 101-111, 2007 [5] B T Kien, N C Wong and J C Yao, On the solution existence of generalized qusivariational inequality with discontinuous multifunctions, J Optim Theory Appl Vol 135, pp 515-530, 2007 [6] B T Kien and J C Yao, Localization of generalized normal maps and stability of variational inequalities in reflexive Banach space, Set-Valued Analysis, first online 2008 [7] B T Kien, N C Yao, Lower Semicomtinuity of the Solution Map to a Parametric Generalized Variational Inequality in Reflexive Banach Spaces, Set- Valued Analysis, first online, 2009 [8] David Kinderlerer , An Introduction to Variational Inequations and Their Applications, New York , A.Press, 1980 ... ánh xạ F đ-ợc gọi đơn điệu ngặt dấu '' '' xảy x x' 6 Ch-ơng II Tính nửa liên tục d-ới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức bIếN suy rộng chứa tham số không gian banach phản xạ 2.1 Các khái niệm tính. .. biến phân Ch-ơng II tính nửa liên tục d-ới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian Banach phản xạ 2.1 Các khái niệm tính chất cở sở 2.2...Tr-ờng Đại Học Vinh Khoa toán === === tính nửa liên tục d-ới ánh xạ nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng chứa tham số không gian banach phản xạ khóa luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân