Phương pháp tự thích nghi giải bài toán bất đẳng thức biến phân và một số bài toán liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LUẬN VĂN THẠC SĨ Phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân số toán liên quan NGUYỄN THỊ DINH dinh.nt211309m@sis.hust.edu.vn Ngành Toán Tin Giảng viên hướng dẫn: TS TRỊNH NGỌC HẢI Viện: Toán ứng dụng Tin học HÀ NỘI, 05/2022 Chữ kí GVHD Lời cảm ơn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS Trịnh Ngọc Hải, giảng viên Viện Toán ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Trong suốt trình làm luận văn, thầy dành nhiều thời gian công sức để bảo hướng dẫn từ điều nhỏ nhặt tới vấn đề khó khăn, thầy ln kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tơi để hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy viện Tốn ứng dụng Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, gia đình, bạn bè đồng hành tơi để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tóm tắt nội dung luận văn Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert số tốn có liên quan, trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực số tốn tử khơng gian Trình bày số phương pháp giải tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh; chứng minh hội tụ mạnh phương pháp; đưa ví dụ số minh họa khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều Trình bày phương pháp giải tốn khơng điểm chung tách phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân; chứng minh hội tụ mạnh phương pháp; đưa ví dụ số minh họa không gian Hilbert thực hữu hạn chiều HỌC VIÊN Nguyễn Thị Dinh Mục lục Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt Danh sách bảng Danh sách hình vẽ MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 12 Một số khái niệm 12 1.1.1 Sự hội tụ yếu hội tụ mạnh 13 1.1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn Toán tử liên hợp 14 1.1.3 Toán tử liên tục Lipschitz Toán tử chiếu 16 1.1.4 Toán tử đơn điệu 20 Bài toán bất đẳng thức biến phân 22 1.2.1 Phát biểu toán 22 1.2.2 Sự tồn nghiệm 24 1.2.3 Mối liên hệ với toán khác 27 Chương Phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân số toán liên quan 2.1 2.2 34 Phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động 37 2.1.1 Thuật toán 37 2.1.2 Ví dụ số minh họa 46 Phương pháp tự thích nghi giải toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh 50 2.2.1 Thuật toán 50 2.2.2 Ví dụ số minh họa 57 Chương Phương pháp giải tốn khơng điểm chung tách tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 60 3.1 Giới thiệu toán 60 3.2 Thuật toán 63 3.3 Ví dụ số minh họa 71 KẾT LUẬN 73 Danh mục công trình khoa học liên quan tới luận văn 74 Tài liệu tham khảo 75 Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt R tập số thực RN không gian Euclid N chiều H không gian Hilbert thực x∈C x thuộc tập C f (x) ∀x gradient hàm f điểm x với x x, y tích vơ hướng x y x chuẩn x NC z nón chuẩn tắc C điểm z PC phép chiếu mêtric lên C xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ S VIP(F, C) toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá F tập ràng buộc C Danh sách bảng 2.1 Bảng kết so sánh Thuật toán 2.2.2 với T.N.Hai B.C, (-) nghĩa λk không thỏa mãn điều kiện thuật toán 3.1 Bảng kết minh họa phương pháp lặp (3.2) với x0 = (−2, 1)T , u = (−1/100, −1/100)T , δ = 0.05, γnA = γnB = 1, βn = 12 , αn = 3.2 58 n+1 72 72 Bảng kết minh họa phương pháp lặp (3.16) với x0 = (−2, 1)T , δ = 0.05, γnA = γnB = 1, βn = 12 , αn = n+1 Danh sách hình vẽ 1.1 Minh họa phép chiếu lên tập lồi, đóng 17 1.2 Phát biểu toán ngơn ngữ nón pháp tuyến 23 2.1 Đồ thị minh họa hội tụ ba thuật tốn Ví dụ 2.1.6 m=5 2.2 Đồ thị minh họa hội tụ ba thuật tốn Ví dụ 2.1.6 m = 50 2.3 49 Đồ thị minh họa hội tụ ba thuật tốn Ví dụ 2.1.6 m = 200 2.5 48 Đồ thị minh họa hội tụ ba thuật tốn Ví dụ 2.1.6 m = 100 2.4 48 49 Đồ thị minh họa hội tụ ba thuật tốn Ví dụ 2.1.6 m = 500 50 MỞ ĐẦU Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng chuẩn ký hiệu tương ứng , , với C tập lồi, đóng, khác rỗng H ánh xạ A : C → H Trong luận văn này, chúng tơi xét tốn bất đẳng thức biến phân VIP(A, C) sau tìm x∗ ∈ C cho Ax∗ , y − x∗ ≥ ∀y ∈ C Bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(A, C) nhà toán học người Italia Stampacchia (xem [15]) đồng đưa lần vào năm đầu thập niên 60, kỷ XX, nghiên cứu toán biên tự Nó bao hàm lớp tốn quan trọng tốn tối ưu hóa, tốn điểm n ngựa, toán cân Nash, toán điểm bất động v.v Chính vậy, tốn bất đẳng thức biến phân có nhiều ứng dụng thực tế, chẳng hạn lý thuyết trò chơi, vận tải, kinh tế, hệ thống mạng v.v Các nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân chia thành hai hướng: hướng nghiên cứu định tính (về tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm ) hướng nghiên cứu định lượng (đề xuất thuật giải, nghiên cứu tốc độ hội tụ phương pháp giải đánh giá sai số chúng) Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu thứ hai Cụ thể, đề xuất số phương pháp tự thích nghi giải toán bất đẳng thức biến phân dạng liên quan Một phương pháp đơn giản để giải toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu:   x0 ∈ C  xk+1 = P xk − λ A(xk ) , C k (1) λk cỡ bước thuật toán Với điều kiện A ánh xạ γ-đơn γ điệu mạnh L-liên tục Lipschitz, λk ∈ 0, 2 , thuật toán hội tụ mạnh L ∗ tới nghiệm x toán Nếu ánh xạ A đơn điệu thay đơn điệu mạnh, phương pháp lần chiếu nói khơng hội tụ Để khắc phục điều này, nhà toán học Korpelevich đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường:    x0 ∈ C,   y k+1 = PC (xk − λA(xk )),     xk+1 = P (xk − λA(y k+1 )) (2) C , thuật toán hội tụ yếu tới nghiệm L tốn Có thể thấy nhược điểm chung hai phương pháp kể là: để Với điều kiện λ ∈ 0, khởi tạo thuật tốn, cần tính hệ số đơn điệu mạnh hệ số Lipschitz toán tử A Trong thực tế, giá trị khó để ước lượng Ngồi ra, số biết, phải đối mặt với câu hỏi: cần chọn cỡ bước khoảng cho trước để tối ưu tốc độ thuật toán Trong luận văn này, chúng tơi trả lời cho câu hỏi nói Cụ thể, phương pháp tự thích nghi mà đề xuất, cỡ bước bước lặp thuật tốn khơng chọn trước từ đầu mà xây dựng dựa thông tin bước lặp trước Đây cách tiếp cận đại, giúp phương pháp khắc phục số nhược điểm phương pháp có đồng thời tăng tốc độ hội tụ thuật tốn Ngồi ra, số mơ hình thực tế mơ tốn bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc cho dạng ẩn (xem [17], [18]) 10 Trong trường hợp này, phương pháp giải có khơng thể áp dụng Để khắc phục, ta thường phải xây dựng ánh xạ khơng giãn có tập điểm bất động trùng với tập ràng buộc toán cho nghiên cứu phương pháp giải cho toán hai cấp thu Đây lớp tốn khó, có cấu trúc phức tạp, phương pháp giải hạn chế Trong luận văn mình, chúng tơi đề xuất phương pháp cho lớp toán Điểm đặc biệt phương pháp mới, phân biệt với phương pháp có, bước lặp, không cần thực phép chiếu lên tập lồi, đóng, vốn thao tác đắt mặt tính tốn tác nhân ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ thuật toán Các thử nghiệm số chứng tỏ số trường hợp, phương pháp tỏ hiệu so với phương pháp có Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, luận văn gồm ba chương: Chương “Kiến thức chuẩn bị” trình bày sở tốn học khơng gian Hilbert giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân số toán liên quan Cụ thể, trình bày số tính chất khơng gian Hilbert thực; khái niệm ví dụ tốn tử đơn điệu, tốn tử chiếu khơng gian Hilbert thực; toán bất đẳng thức biến phân mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân với toán khác Chương “Phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân tốn liên quan” trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh; chứng minh hội tụ mạnh phương pháp; đưa ví dụ số minh họa khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều Chương trình thực nghiệm viết ngôn ngữ MATLAB Chương “Phương pháp lặp giải tốn khơng điểm chung tách tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert” trình bày phương pháp giải tốn khơng điểm chung tách phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân; chứng minh hội tụ mạnh phương pháp; đưa ví dụ số minh họa không gian 64 với u, x0 ∈ H1 , dãy {xn } tạo    yn = JγAA xn ,  n    z = J BB (T y ), n (3.2) = yn + δT ∗ (zn − T yn ),   tn     x n+1 với n γn = βn xn + (1 − βn )[αn u + (1 − αn )tn ], n ≥ 0, γn4 , γnB , {βn } {αn } dãy số thực dương, hội tụ mạnh tới x+ = PΩH1 u → ∞ Chứng minh Cho p ∈ Ω, từ p ∈ A−1 0, Bổ đề 3.1.3 (iv), ta có yn − p ≤ xn − p − xn − JγAnA xn (3.3) Do T p ∈ B −1 0, B ánh xạ đơn điệu cực đại, nên T p = JγBB (T p), sử dụng Bổ n đề 3.1.3 (iv), ta có zn − T p ≤ T yn − T p − T yn − JγBnB (T yn ) (3.4) Từ Bổ đề 3.1.3 (iii), ta có tn − p = yn − p + δ T ∗ (zn − T yn ) + 2δ yn − p, T ∗ (zn − T yn ) = yn − p + δ T ∗ (zn − T yn ) + 2δ T (yn − p), zn − T yn = yn − p + δ T ∗ (zn − T yn ) − 2δ T yn − T p, −JγBnB (T yn ) + T yn + T p − JγBnB (T p) ≤ yn − p − δ(2 − δ T ≤ xn − p − xn − JγAnA xn − δ(2 − δ T 2 ) zn − T yn 2 ) zn − T yn (3.5) 65 Đặt dn = αn u + (1 − αn )tn Từ (3.5), ta có dn − p ≤ αn u − p + (1 − αn ) tn − p ≤ αn u − p + (1 − αn ) xn − p (3.6) Hơn nữa, từ (3.6) có xn+1 − p ≤ βn xn − p + (1 − βn ) dn − p ≤ βn xn − p + (1 − βn ) dn − p ≤ [1 − αn (1 − βn )] xn − p + αn (1 − βn ) u − p ≤ max { xn − p , u − p } ≤ max { x0 − p , u − p } Do đó, dãy xn bị chặn Nên, từ (3.3)-(3.5), dãy {yn }, {zn } {tn } bị chặn Tiếp theo, ta limn→∞ xn+1 − xn = Thật vậy, từ Bổ đề 3.1.2, ta có yn+1 − yn A A γn+1 γn+1 = − xn + (1 − A )JγAnA xn A γn γn A A |γ −γ | ≤ xn+1 − xn + n+1 A n xn − JγAnA xn γn JγAA xn+1 n+1 JγAA n+1 A ≤ xn+1 − xn + K1 |γn+1 − γnA |, (3.7) với K1 = supn { xn − JγAA xn } n r < ∞ Tương tự, ta có B zn+1 − zn ≤ T yn+1 − T yn + K2 |γn+1 − γnB |, (3.8) 66 với K2 = supn { T yn − JγBB (T yn ) } n r < ∞ Từ Bổ đề 3.1.3 (iii), ta có tn+1 − tn = yn+1 − yn + δ T ∗ [(zn+1 − T yn+1 ) − (zn − T yn )] + 2δ yn+1 − yn , T ∗ [(zn+1 − T yn+1 ) − (zn − T yn )] ≤ yn+1 − yn + δ2 T (zn+1 − T yn+1 ) − (zn − T yn ) + 2δ T yn+1 − T yn , (zn+1 − T yn+1 ) − (zn − T yn ) ≤ yn+1 − yn − δ(2 − δ T ) (zn+1 − T yn+1 ) − (zn − T yn ) (3.9) Do dn = αn u + (1 − αn )tn nên dn+1 − dn ≤ |αn+1 − αn | u + (1 − αn+1 )tn+1 − (1 − αn )tn ≤ |αn+1 − αn | u + |αn+1 − αn | tn+1 + (1 − αn ) tn+1 − tn ≤ tn+1 − tn + K3 |αn+1 − αn |, (3.10) với K3 = u + supn { tn } < ∞ Từ (3.7)-(3.9) (3.10), ta A dn+1 − dn ≤ xn+1 − xn + K1 |γn+1 − γnA | + K3 |αn+1 − αn | Do đó, từ điều kiện (C1) (C3), ta có lim sup( dn+1 − dn − xn+1 − xn ) ≤ n→∞ Nên, từ Bổ đề 3.1.4, ta có lim xn − dn = n→∞ (3.11) 67 Do vậy, ta có xn+1 − dn = βn xn − dn → 0, với (3.11) suy lim xn+1 − xn = (3.12) n→∞ Tiếp theo, chứng minh tập điểm hội tụ yếu {xn } chứa Ω Thật vậy, ký hiệu ω (xn ) tập điểm hội tụ yếu dãy {xn } giả sử x∗ điểm tùy ý thuộc ω (xn ) Khi đó, tồn dãy {xnk } {xn } thỏa mãn xnk → x∗ Từ tính lồi hàm H1 (3.5), ta có xn+1 − p ≤ βn xn − p + (1 − βn ) αn u + (1 − αn )tn − p ≤ βn xn − p 2 + (1 − βn )[αn u − p + (1 − αn ) tn − p ] ≤ xn − p + αn u − p − δ(2 − δ T − xn − JγAnA xn ) zn − T yn Do đó, ta xn − JγAnA xn ≤ ( xn − p 2 + δ(2 − δ T ) zn − T yn − xn+1 − p ) + αn u − p ≤ ( xn − p − xn+1 − p ) xn+1 − xn + αn u − p Từ xn+1 − xn → 0, điều kiện (C3) (C4) có lim xn − JγAnA xn n→∞ = lim zn − T yn n→∞ = Do đó, ta lim xn − JγAnA xn = lim JγBnB (T yn ) − T yn n→∞ n→∞ = lim tn − yn = n→∞ (3.13) 68 Từ Bổ đề 3.1.3(i), ta lim xn − JrA xn = lim JrB (T yn ) − T yn = n→∞ Do xnk n→∞ x∗ , limn→∞ xn − yn = 0, nên suy yn tử tuyến tính bị chặn, T yn x∗ Bởi T tốn T x∗ Bằng việc sử dụng Bổ đề 3.1.4, ta x∗ ∈ A−1 0, T x∗ ∈ B −1 0, nên x∗ ∈ A−1 ∩ T −1 (B −1 0) Do vậy, ω(xn ) ⊆ Ω Cuối cùng, xn → x+ = PΩH1 u Đặt x+ = PΩH1 u, từ (3.4) có xn+1 − x+ = βn xn − x+ , xn+1 − x+ + (1 − βn ) αn u + (1 − αn )tn − x+ , xn+1 − x+ + xn+1 − x+ 2 tn − x+ + xn+1 − x+ + (1 − βn )(1 − αn ) + + + αn (1 − βn ) u − x , xn+1 − x ≤ βn xn − x+ xn − x+ 2 + xn+1 − x+ ≤ βn xn − x+ + (1 − βn )(1 − αn ) 2 + xn+1 − x+ + + + αn (1 − βn ) u − x , xn+1 − x Do đó, [1 + αn (1 − βn )] xn+1 − x+ ≤ [1 − αn (1 − βn )] xn − x+ + 2(1 − βn )αn u − x+ , xn+1 − x+ Suy xn+1 − x+ ≤ [1 − αn (1 − βn )] xn − x+ 2 u − x+ , xn+1 − x+ + (1 − βn )αn + (1 − βn )αn (3.14) 69 Cho sn = xn − x+ cn = 1+αn (1−βn ) u − x+ , xn+1 − x+ Khi đó, bất đẳng thức (3.14) viết lại sau sn+1 ≤ [1 − αn (1 − βn )]sn + αn (1 − βn )cn (3.15) Bây giờ, lim supn→∞ cn ≤ Thật vậy, giả sử {xnk } dãy {xn } thỏa mãn lim sup u − x+ , xn − x+ = lim u − x+ , xnk − x+ k→∞ n→∞ Do {xnk } bị chặn, tồn dãy {xnkl } {xnk } thỏa mãn xnkl Khơng tính tổng qt xnk x∗ x∗ Từ ω(xn ) ⊆ Ω so x∗ ∈ Ω Do x+ = PΩH1 u (3.2), suy lim sup u − x+ , xn − x+ = u − x+ , x∗ − x+ ≤ 0, n→∞ với (3.12), điều kiện (C2 ), (C3), có lim supn→∞ cn ≤ Do ∞ điều kiện (C2 ), ta có ∞ n=1 αn (1 ∞ n=1 αn = − βn ) = ∞ Nên, tất điều kiện Bổ đề 3.1.5 thỏa mãn Hơn nữa, suy sn → 0, xn → x+ = PΩH1 Định lý chứng minh Định lý 3.2.2 (xem [12]) Nếu điều kiện (C1)-(C4) thỏa mãn, dãy {en } tạo    un = JγAA en ,  n    B v = Jγ B (T un ), n n   wn = un + δT ∗ (vn − T un ),     e n+1 = βn en + (1 − βn )[αn f (en ) + (1 − αn )wn ], n ≥ 0, (3.16) với f : H1 → H1 ánh xạ co H1 vào với hệ số co c ∈ (0, 1), hội tụ mạnh tới x∗ ∈ Ω = A−1 ∩ T −1 (B −1 0) nghiệm toán bất đẳng thức biến phân sau (I − f )x∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ Ω (3.17) 70 Chứng minh Do PΩH1 f ánh xạ co, áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach, PΩH1 f có điểm bất động x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (3.17) Từ Định lý 3.2.1, thay u f (x∗ ) (3.2), ta có dãy {xn } hội tụ mạnh tới x∗ = PΩH1 f (x∗ ) Bây giờ, ta cần chứng minh en − xn → 0, n → ∞ Chú ý en+1 − xn+1 ≤ βn en − xn + (1 − βn )[αn c en − x∗ + (1 − αn ) wn − tn ] (3.18) Từ Bổ đề 3.1.3 (iii), ta có wn − t n = un − yn 2 + δ T ∗ [(vn − T un ) − (zn − T yn )] + 2δ un − yn , T ∗ [(vn − T un ) − (zn − T yn )] ≤ un − yn − δ(2 − δ T ) (vn − T un ) − (zn − T yn ) ≤ un − yn (3.19) Từ tính khơng giãn ánh xạ JγAA , ta có n un − yn ≤ en − xn (3.20) Từ (3.18)-(3.20), ta en+1 − xn+1 ≤ βn en − xn + (1 − βn )[αn c en − x∗ + (1 − αn ) en − xn ] ≤ [1 − αn (1 − βn )] en − xn + αn (1 − βn )c( en − xn + xn − x∗ ]) = [1 − αn (1 − βn )(1 − c)] en − xn + αn (1 − βn )c( xn − x∗ ]) Từ Bổ đề 3.1.5, ta limn→∞ en − xn = Do đó, limn→∞ en − x∗ = 0, ta có {en } tạo (3.16) hội tụ mạnh tới x∗ = PΩH1 f (x∗ ) 71 3.3 Ví dụ số minh họa Trong phần này, để minh họa cho hội tụ phương pháp lặp (3.2) (3.16) Định lý 3.2.1 3.2.2 tương ứng, chúng tơi xin trình bày ví dụ số minh họa cho tốn khơng điểm chung tách tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Euclid Chúng tơi thực lập trình phần mềm MATLAB R2016a laptop với Intel(R) Core(TM) i3-5200U CPU @ 2.20 GHz, RAM 10 GB Ví dụ 3.3.1 (xem [12]) Cho H1 = R2 , H2 = R5 Ánh xạ f : R2 → R2 , với f (x) = x ánh xạ co với hệ số co c = 21 Trong không gian R2 , ánh xạ đơn điệu cực đại A xác định A(x1 , x2 ) = (2x1 + 2x2 , 2x1 + 2x2 )T , không gian H2 , ánh xạ đơn điệu cực  0 0  0 1   Bx =  −1  0 0  0 0 đại B xác định   0    x,  1  với x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) ∈ R5 Cho T : R2 → R5 ánh xạ tuyến tính bị chặn xác định T (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , 2x1 , 3x1 + 4x2 , 0, x1 + x2 )T , thỏa mãn Ω = A−1 ∩ T −1 (B −1 0) = ∅ Chúng sử dụng phương pháp lặp (3.2) để tìm khơng điểm x+ ∈ Ω thỏa mãn x+ = PΩH1 u với u, x0 ∈ H1 , nghiệm xác toán x∗ = (0, 0) ∈ R2 Bảng trình bày kết chạy ví dụ số với xấp xỉ xn = (x1n , x2n ) ∈ R2 tham số thỏa mãn 72 Iter(n) x1n x2n Iter(n) x1n x2n -2.0000 1.0000 50 -0.052869 0.039805 -1.4022 0.79506 100 -0.0066537 0.0049955 -1.0927 0.68717 300 -6.6336e-06 -1.2403e-06 10 -0.45866 0.34394 500 -1.7653e-06 -2.4079e-06 Bảng 3.1: Bảng kết minh họa phương pháp lặp (3.2) với x0 = (−2, 1)T , u = (−1/100, −1/100)T , δ = 0.05, γnA = γnB = 1, βn = 12 , αn = n+1 Tiếp theo, chúng tơi tìm x∗ ∈ Ω nghiệm bất đẳng thức biến phân (I − f )x∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ Ω Sử dụng (3.16), chúng tơi có bảng kết xấp xỉ sau Iter(n) x1n+1 x2n+1 Iter(n) x1n+1 x2n+1 -2.0000 1.0000 50 -0.13956 0.10517 -1.6519 0.92031 100 -0.020987 0.015816 -1.4221 0.87588 300 -1.5558e-05 1.1725e-05 10 -0.80129 0.6003 500 -1.3146e-08 9.9068e-09 Bảng 3.2: Bảng kết minh họa phương pháp lặp (3.16) với x0 = (−2, 1)T , δ = 0.05, γnA = γnB = 1, βn = , αn = n+1 Kết luận Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp lặp giải tốn khơng điểm chung tách từ phương pháp lặp để giải toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Chúng tiến hành vài thử nghiệm số để minh họa cho hội tụ thuật toán 73 KẾT LUẬN Luận văn đạt mục tiêu đề “Nghiên cứu phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân số phương pháp giải tốn liên quan khác; đưa tính tốn ví dụ minh họa.” Kết luân văn Luận văn trình bày phương pháp lặp giải tốn bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert thực Cụ thể: Giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert số tốn có liên quan, trình bày số kiến thức không gian Hilbert thực số tốn tử khơng gian Trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu mạnh; chứng minh hội tụ mạnh phương pháp; đưa ví dụ số minh họa khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều Trình bày phương pháp giải tốn khơng điểm chung tách phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân; chứng minh hội tụ mạnh phương pháp; đưa ví dụ số minh họa khơng gian Hilbert thực hữu hạn chiều 74 Danh mục cơng trình khoa học liên quan tới luận văn N.T Dinh, P.T Hieu, "A strong convergence and numerical illustration for the iterative methods to solve a split common null point problem and a variational inequality in Hilbert spaces", TNU Journal of Science and Technology, 226(15), pp 20-27, 2021, https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4619 N.T Dinh, "Modified projection algorithms for strongly psedomonotone variational inequalities", Scientific journal of Tan Trao University, 24(7), pp 173-180, 2021, https://doi.org/10.51453/2354-1431/2021/610 75 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Tối ưu phi tuyến, NXB Bách khoa Hà Nội, 2021 Tiếng Anh [3] R.P Agarwal, D O’Regan, D.R Sahu, Fixed point theory for lipschitziantype mappings with applications, Springer, 2009 [4] J.B Baillon, R.E Bruck and S Reich, "On the asymptotic behavior of nonexpansive mappings and semigroups in Banach spaces", Houston J Math., 4, pp 1–9, 1978 [5] J.B Baillon, G Haddad, "Quelques proprietes des operateurs angle–bornes et cycliquement monotones", Isr J Math., 26, pp 137–150, 1997 [6] J.Y Bello Cruz, A.N Iusem, Convergence of direct methods for paramonotone variational inequalities Comput Optim Appl., 46, pp 247263, 2010 76 [7] C Byrne, "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Problems, 18(2), pp 441–453, 2002 [8] Y Censor, T Elfving, "A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms, 8(2-4), pp 221– 239, 1994 [9] C.E Chidume, "Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations", Springer Verlag Series, Lecture Notes in Mathematics, ISBN 978-1-84882-189-7, 2009 [10] S Dafermos, "Traffic equilibrium and variational inequalities", Transportation Science, 14, pp 42–54, 1980 [11] N.T Dinh, D.H Linh, "Low computational cost algorithms for solving variational inequalities over the fixed point set", Journal of Science and Technology Technical Universities, 32(1), pp 102-110, 2022 [12] N.T Dinh, P.T Hieu, "A strong convergence and numerical illustration for the iterative methods to solve a split common null point problem and a variational inequality in Hilbert spaces", TNU Journal of Science and Technology, 226(15), pp 20-27, 2021 [13] N.T Dinh, "Modified projection algorithms for strongly psedomonotone variational inequalities", Scientific journal of Tan Trao University, 24(7), pp 173-180, 2021 [14] T.N Hai, "On gradient projection methods for strongly pseudomonotone variational inequalities without Lipschitz continuity", Optim Lett., 14, pp 1177–1191, 2020 [15] P Hartman, G Stampacchia, "On some nonlinear elliptic differential functional equations", Acta Math., 115, pp 271–310, 1966 77 [16] C Izuchukwu, "Strong convergence theorem for a class of multiple-sets split variational inequality problems in Hilbert spaces", Int J Nonlinear Anal Appl., 9, pp 27-40, 2018 [17] H Iiduka, "Fixed point optimization algorithm and its application to power control in CDMA data networks", Math Program., 133, pp 227242, 2012 [18] H Iiduka, I Yamada, "An ergodic algorithm for the power-control games for CDMA data networks", J Math Model Algorithms, 8(1), pp 1-18, 2009 [19] I.V Konnov, E Laitinen, Theory and applications of variational inequalities, Preprint, Department of Mathematical Sciences Faculty of Science University of Oulu, 2002 [20] G.M Korpelevich, "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekon Mat Metody, 12, pp 747-756, 1976 [21] P.E Maingé, "Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization", Set–Valued Anal., 16, pp 899–912, 2008 [22] A Moudafi, "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl., 150, pp 275–283, 2011 [23] M Smith, "Existence, uniqueness, and stability of traffic equilibria", Transportation Research, 13, pp 295–304, 1979 [24] W Takahashi, H.K Xu, J.C Yao, "Iterative methods for generalized split feasibility problems in Hilbert spaces", Set–Valued Var Anal., 23, pp 205–221, 2015 78 [25] M Tian, B–N Jiang, "Weak convergence theorem for a class of split variational inequality problems and applications in Hilbert space", J Ineq Appl., 123, https://doi.org/10.1186/s13660-017-1397-9, 2017 [26] H.K Xu, "Iterative methods for the split feasibility problem in infinite dimensional Hilbert spaces", Inverse Problems, 26, 105018, 2010 [27] H.K Xu, "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", J Math Anal Appl., 298, pp 279–291, 2004 [28] H.K Xu, "Iterative algorithms for nonlinear operators", J Lond Math Soc., 66, pp 1–17, 2002 [29] H Zhou, "Convergence theorems of fixed points for κ–strict pseudo–contractions in Hilbert spaces", Nonlinear Anal., 69, pp 456–462, 2008 ... thức biến phân mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân với tốn khác Chương ? ?Phương pháp tự thích nghi giải toán bất đẳng thức biến phân tốn liên quan? ?? trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng. .. Chương Phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân số toán liên quan Chương trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động phương pháp lặp giải toán bất. .. Mối liên hệ với toán khác 27 Chương Phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân số toán liên quan 2.1 2.2 34 Phương pháp tự thích nghi giải tốn bất đẳng thức biến phân