Phương pháp hình học giải bài toán cực trị và một số vấn đề liên quan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THÚY DIỆU PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định − Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THÚY DIỆU PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định − Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THÚY DIỆU PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8460113 : Người hướng dẫn: TS NGUYỄN HỮU TRỌN Bình Định − Năm 2022 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nội dung luận văn "Phương pháp hình học giải toán cực trị số vấn đề liên quan" thân thực theo logic riêng hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Trọn Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc rõ ràng Bình Định, tháng 07 năm 2022 Tác giả Bùi Thúy Diệu i Mục lục MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bất đẳng thức tam giác 1.2 Bất đẳng thức đường gấp khúc 1.3 Khoảng cách hai tập hợp, khoảng cách từ điểm 1.4 1.5 đến tập hợp Phương trình đường 1.4.1 Phương trình đường thẳng 1.4.2 Các đường conic Số phức số vấn đề liên quan 1.5.1 Khái niệm số phức 1.5.2 Biểu diễn hình học số phức 1.5.3 Số phức liên hợp môđun số phức 1.5.4 Các phép toán số phức 1.5.5 Biểu diễn hình học số phức 10 Phương pháp hình học giải tốn cực trị 12 2.1 Nội dung phương pháp 12 2.2 Một số phương pháp hình học giải tốn cực trị 13 2.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức tam giác 14 2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý trắc địa 2.2.3 Phương pháp sử dụng tính chất hình chiếu 20 19 2.2.4 Phương pháp đường đồng mức 26 2.2.5 Phương pháp sử dụng tính chất hình tròn khoảng cách 27 2.2.6 Phương pháp sử dụng tính chất diện tích hình 31 2.2.7 Phương pháp sử dụng tính chất vectơ 34 Ứng dụng việc giải toán cực trị liên quan đến mơđun số phức 35 3.1 Bài tốn liên quan đến khoảng cách điểm đường thẳng 36 3.2 Bài toán liên quan đến khoảng cách điểm đường trịn, hình trịn 47 3.3 Bài toán liên quan đến khoảng cách đường thẳng đường tròn 57 3.4 Bài toán liên quan đến khoảng cách điểm elip 60 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 MỞ ĐẦU Bài toán cực trị toán quan trọng toán học, thực tế Có nhiều phương pháp khác để giải toán Một phương pháp trực quan, dễ hiểu, tạo hứng thú cho học sinh giáo viên bậc phổ thông để giải tốn cực trị phương pháp hình học Trong chương trình tốn bậc phổ thơng, toán cực trị xuất cách thường xuyên, với tần suất ngày cao đề thi THPT QG đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó, đặc biệt tốn cực trị liên quan đến môđun số phức Đây thường tốn khó học sinh phải đối mặt với nhiều dạng toán khác mà phương pháp giải chúng lại chưa hệ thống đầy đủ Sách giáo khoa Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy học sinh, giáo viên bậc phổ thông, luận văn tập trung nghiên cứu cách có hệ thống phương pháp hình học để giải tốn liên quan Vì tơi hồn thành luận văn với đề tài: Phương pháp hình học giải toán cực trị số vấn đề liên quan Ngồi lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn bố cục thành chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trình bày kiến thức dùng chương sau như: Bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức đường gấp khúc, khoảng cách hai tập hợp, khoảng cách từ điểm đến tập hợp, hình chiếu điểm lên tập hợp, phương trình đường, số phức số vấn đề liên quan Chương 2: Phương pháp hình học giải tốn cực trị Trong chương tác giả trình bày phương pháp hình học giải tốn cực trị số toán liên quan Chương 3: Ứng dụng việc giải toán cực trị liên quan đến mơđun số phức Trong chương tác giả trình bày số tốn cực trị liên quan đến mơđun số phức giải phương pháp hình học Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy TS Nguyễn Hữu Trọn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy nhận lời hướng dẫn, giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn chân thành quý thầy cô khoa Tốn Thống kê, phịng Sau đại học trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt quý thầy cô trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao học Tốn chun ngành Phương pháp tốn sơ cấp khóa 23 Cuối tơi xin cảm ơn đến gia đình, người thân bạn bè ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện cho mặt thời gian qua Trong thời gian ngắn hoàn thành luận văn này, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn, phê bình q báu q thầy bạn học viên để luận văn hoàn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Bình Định, tháng 07 năm 2022 Học viên thực Bùi Thúy Diệu Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tơi trình bày kiến thức dùng chương sau như: Bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức đường gấp khúc, khoảng cách hai tập hợp, khoảng cách từ điểm đến tập hợp, hình chiếu điểm lên tập hợp, phương trình đường, số phức số vấn đề liên quan Các nội dung tham khảo từ tài liệu ([1], [2], [3], [4]) 1.1 Bất đẳng thức tam giác Định lý 1.1.1 Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại Xét tam giác ABC , ta có bất đẳng thức |AB − AC| ≤ BC < AB + AC (Dấu "=" xảy A, B, C thẳng hàng C nằm hai điểm A, B ) Định lý 1.1.2 Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Định lý 1.1.3 Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn 1.2 Bất đẳng thức đường gấp khúc Định lý 1.2.1 (Nguyên lý trắc địa) Đoạn thẳng nối hai điểm có độ dài ngắn so với đường gấp khúc nối hai điểm Cho điểm A1 , A2 , , An Xét đường gấp khúc A1 A2 An ta có bất đẳng thức đường gấp khúc: A1 A2 + A2 A3 + + An−1 An ≥ A1 An −−−→ −−−→ −−−−−→ Dấu "=" xảy A1 A2 , A2 A3 , , An−1 An vectơ hướng 1.3 Khoảng cách hai tập hợp, khoảng cách từ điểm đến tập hợp Trong phần này, tơi trình bày số cơng thức tính khoảng cách hai điểm, từ điểm đến đường thẳng mặt phẳng Tổng quát khoảng cách từ điểm đến tập hợp mặt phẳng Định nghĩa 1.3.1 (Khoảng cách hai điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M (xM ; yM ) điểm N (xN ; yN ) Khi khoảng cách hai điểm M N MN = q (xN − xM )2 + (yN − yM )2 Định nghĩa 1.3.2 (Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng) Cho đường thẳng d : Ax + By + C = điểm M (x0 ; y0 ) Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d d (M, d) = |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B Định nghĩa 1.3.3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A tập Ω Khi đó, khoảng cách từ A đến Ω d (A, Ω) = inf d (A, a) Nếu có a∈Ω điểm M ∈ Ω cho AM = d(A, Ω) ta nói M hình chiếu A lên Ω 1.4 1.4.1 Phương trình đường Phương trình đường thẳng Định nghĩa 1.4.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d qua điểm M (x0 ; y0 ) nhận ⃗n = (a; b) vectơ pháp tuyến ⃗a = (A; B) vectơ phương Phương trình tổng qt đường thẳng d có dạng: ax + by + c = với a2 + b2 ̸= Phương trình tham số đường thẳng d có dạng:   x = x + At  y = y0 + Bt ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN BÙI THÚY DIỆU PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8460113 : Người... hình chiếu điểm lên tập hợp, phương trình đường, số phức số vấn đề liên quan Chương 2: Phương pháp hình học giải tốn cực trị Trong chương tác giả trình bày phương pháp hình học giải tốn cực trị. .. trị số toán liên quan Chương 3: Ứng dụng việc giải tốn cực trị liên quan đến mơđun số phức Trong chương tác giả trình bày số tốn cực trị liên quan đến mơđun số phức giải phương pháp hình học