Phương trình vi phân cấp một và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN    LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Giảng viên hướng dẫn : TS Lê Hải Trung Sinh viên thực : Tăng Thị Diễm Thuý Lớp : 18ST MSSV : 3110118038 ĐÀ NẴNG, ngày 29 tháng 12 năm 2021 LỜI CẢM ƠN Được đồng ý phân cơng Khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, khoảng thời gian qua em thực khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Phương trình vi phân cấp vấn đề liên quan” Để hồn thành khố luận, em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Tốn q trình giảng dạy trang bị cho em nhiều kiến thức quý báu Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Hải Trung, thầy dẫn cho em tận tình, chu em hồn thành khố luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài khơng khỏi tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn Khoa Sinh viên Tăng Thị Diễm Thuý Trang MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ……………………………………………………………… …… MỞ ĐẦU …………………………………………………………………… …… Lí chọn đề tài ………………………………………………………………… Mục tiêu nghiên cứu đề tài ……………………………………………… Đối tượng phạm vi nghiên cứu ….…………………………………….……… 3.1 Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………………….… 3.2 Phạm vi nghiên cứu …………….……………………………………………… Phương pháp nghiên cứu ………………………………………………………… Đóng góp đề tài ……………………………………………………………… 6 Cấu trúc luận văn …………………………………………………………… Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT ………………………… 1.1 Sơ lược phương trình vi phân …….………………………………………… 1.2 Những khái niệm phương trình vi phân cấp ……………… … 11 1.2.1 Những khái niệm …………………………………………………… 11 1.2.2 Trường hướng ……………………………………………………………… 12 1.2.3 Bài toán Cauchy …………………………………………………………… 13 1.3 Phân loại nghiệm phương trình vi phân cấp ………………………… 14 1.4 Phương trình với biến số phân ly …………………………………………… 15 1.5 Phương trình vi phân ……………………………………………… 17 1.6 Phương trình đưa dạng ………………………………………… 19 1.7 Phương trình vi phân tồn phần ……………………………………………… 21 1.8 Thừa số tích phân …………………………………………………………… 24 1.9 Phương trình vi phân tuyến tính cấp …………………………………… 26 1.10 Phương trình Bernoulli ……………………………………………………… 28 1.11 Phương trình Darboux ………………….…………………………………… 30 1.12 Phương trình Riccati ………………………………………………………… 31 Trang 1.13 Phương trình dạng y  f ( y ') ……………………………………………… 32 1.14 Phương trình dạng x  f ( y ') …………………………………………… … 34 1.15 Phương trình dạng y  f ( x, y ') ………………………………………… … 36 1.16 Phương trình dạng x  f ( y, y ') ……………………………………….… … 37 1.17 Phương trình Lagrange ………………………………………………… … 38 1.18 Phương trình Clairut (1713 – 1765) …………………………………… … 40 Chương MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNHG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT ………………………………………………………………… 43 2.1 Định luật làm mát Newton …………………………………………………… 43 2.2 Sự chuyển đổi hoá chất đơn giản ………………………………………… 45 2.3 Tăng trưởng logistic giá hàng hố ……………………………………… 46 2.4 Sự phân rã phóng xạ …………………………….…………………………… 49 2.5 Sự phát triển dịch bệnh …………………………………………………… 49 KẾT LUẬN ……………………………………………………………………… 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………….…… 53 Trang MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Sự phát triển tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rực rỡ vào kỷ XX, phát triển ngành Giải tích tốn học Với đời ngành Giải tích tốn học, đặc biệt giải tích hàm tốn thực tế sống giải nhanh gọn xác Ngành Giải tích tốn học nghiên cứu nhiều kĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phương trình vi phân, … Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng riêng việc nghiên cứu ứng dụng Trong phương trình vi phân cấp đóng góp vai trị đặc biệt mang đến ứng dụng tiêu biểu như: giải toán phân huỷ chất phóng xạ, nghiên cứu phát triển dân số, nghiên cứu lây lan dịch bệnh, Vì vậy, để tìm hiểu thêm phương trình vi phân cấp một, em chọn đề tài: “Phương trình vi phân cấp số vấn đề liên quan” để thực khố luận tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu đề tài - Tìm hiểu dạng phương trình vi phân cấp - Ứng dụng phương trình vi phân để giải số vấn đề thực tế lĩnh vực Vật Lý, Hoá học, Kinh tế, … Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu phương trình vi phân cấp số ứng dụng phương trình vi phân cấp Trang 3.2 Phạm vi nghiên cứu Các dạng phương trình vi phân cấp số ứng dụng thực tiễn phương trình vi phân cấp lĩnh vực Vật lí, Hố học, Kinh tế, … Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, phương pháp nằm lĩnh vực sau đây: Toán học giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, … Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên giáo viên giảng dạy quan tâm phương trình vi phân cấp số ứng dụng phương trình vi phân cấp Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn gồm hai chương Mở đầu Giới thiệu sở khoa học tính thực tiễn đề tài, mục đích đề tài, nội dung số vấn đề khác theo quy định Chương 1: Phương trình vi phân cấp Trình bày sơ lược phương trình vi phân, khái niệm bản, dạng phương trình vi phân cấp như: phương trình với biến số phân ly, phương trình vi phân nhất, phương trình Bernoulli, … Trang Chương 2: Một số ứng dụng phương trình vi phân cấp Trình bày số ứng dụng phương trình vi phân cấp như: định luật làm mát Newton, chuyển đổi số hoá chất đơn giản, phân huỷ chất phóng xạ, phát triển dịch bệnh Kết luận Nêu tóm tắt kết mà luận văn đạt Tài liệu tham khảo Trang CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1 Sơ lược phương trình vi phân Trong thực tế, nghiên cứu quy luật tượng tự nhiên xã hội, thông thường ta không tìm mối liên hệ đại lượng xét, lại thiết lập mối liên hệ đại lượng với đạo hàm vi phân chúng Như ta nhận phương trình có chứa hàm số chưa biết đạo hàm vi phân chúng Các phương trình phương trình vi phân Các hàm số thỏa mãn phương trình vi phân gọi nghiệm phương trình vi phân Việc tìm nghiệm phương trình vi phân gọi giải phương trình vi phân (các nghiệm thường tìm qua tích phân nên cịn gọi tích phân phương trình vi phân) Phương trình vi phân đơn giản có dạng: y '  f ( x) f ( x) hàm số biến số, x , y hàm số chưa biết thỏa mãn phương trình Sau số phương trình vi phân thường gặp, xuất phát từ toán thực tế:  Phương trình chuyển động chất điểm: ms ''(t )  F t , s(t ), s '(t ) ; Trong t thời gian chuyển động, s(t ) quãng đường chất điểm thời điểm t, m khối lượng chất điểm, s '(t ) vận tốc chuyển động, Trang s ''(t ) gia tốc chuyển động, F hàm số biến số t , s, s ' biểu thị lực tác dụng Đặc biệt, phương trình chuyển động vật rơi s ''(t )   g ;  g gia tốc trọng trường Phương trình dao động tự lắc: d 2 g  sin   0; dt l Trong t thời gian dao động, g gia tốc trọng trường, l độ dài lắc,  (t ) góc lệch lắc thời điểm t so với phương thẳng đứng  Phương trình điện lượng dịng điện mạch đơn: L Trong d 2Q dQ R  Q  E (t ); dt dt C t thời gian, Q(t ) điện lượng tụ điện thời điểm t , E (t ) hiệu số điện dòng điện, L tụ cảm, R điện trở, C điện dung Trang  Phương trình phân hủy chất phóng xạ: dR(t )  kR(t ); dt Trong t thời gian , R (t ) lượng chất phóng xạ thời điểm t , k hệ số phóng xạ  Phương trình truyền nhiệt dây dẫn: u( x, t )  2u ( x, t ) 2 ; t x Trong t thời gian truyền nhiệt, x vị trí điểm thuộc dây dẫn (đặt trục số), u ( x, t ) nhiệt độ dây dẫn thời điểm t vị trí x ,  hệ số truyền nhiệt  Phương trình truyền sóng (chẳng hạn dây đàn)  2u ( x, t )  u ( x, t )   ; t x Trong t thời gian truyền sóng, x vị trí điểm nhận sóng truyền tới, u ( x, t ) độ lệch dây so với vị trí thăng thời điểm t vị trí x  Phương trình  u ( x, y )  u ( x, y )   0; x y Trang 10 Công việc ta cần xác định hàm p  x; C  , y  xf  p  x, C     p  x, C   nghiệm cần tìm Yêu cầu đưa ta đến việc lấy vi phân hai vế (1.38) theo x , ta nhận được: dy dp dp  p  f  p   xf '  p    '( p) dx dx dx Từ ta nhận được: p  f  p   xf '  p  dp dp   '( p) , dx dx đó: f ' p dx  '( p) x  dp p  f ( p) p  f ( p) Phương trình cuối hính phương trình tiếp tuyến cấp với x xem hàm theo biến p Gọi x  x  p, C  nghiệm tổng qt phương trình trên, hệ:  x  x  p, C  ,   y  x  p, C  f ( p)   ( p) (1.39) cho ta nghiệm tổng quát phương trình Lagrange dạng tham số Sau khử p hệ ta nhận nghiệm tổng quát (1.37) dạng   x, y, C   Ví dụ 1.17.1 Giải phương trình: y  xy ' sin y ' Đặt y '  p  hay dy dp dp  p  x  cos p  p dx dx dx dp dx x cos p dx x  cos p hay 2   x  cos p    p   2   p  0 dx dp p p dp p p Trang 39 Xét dx x C  2  ln | x | 2ln | p |  ln C1  x  dp p p Coi C  C ( p) thay vào phương trình đầu  dC cos p  p p dp hay C    p cos pdp  C1   p sin p  cos p  C1 Vậy phương trình có nghiệm viết dạng tham số :   x    p sin p  cos p  C1  p   y  px  sin p  Ngồi phương trình có nghiệm p  tức y  1.18 Phương trình Clairaut (1713 – 1765) Định nghĩa 1.18.1 Phương trình có dạng: y  xy '   y ' (1.40) gọi phương trình Clairaut Trong (1.40) ta đặt y '  p , với p  p( x) , phương trình (1.40) trở thành: y  xp    p  (1.41) Ta tiến hành tìm p Vi phân hai vế phương trình (1.41) theo x : dy dp dp  p  p  x   '( p) , dx dx dx dp  x   '( p)  dx Trang 40 Phương trình cuối ta cho hai nghiệm Từ dp  nhận p  const  C , dx đó: y  Cx   (C ) (1.42) Từ x   '( p)  ta nhận x   '( p) Khi hệ:  x   '( p),   y   p '( p)   ( p), (1.43) nghiệm (1.40) dạng tham số Ta thấy nghiệm không chứa dạng tổng quát (1.40): y  Cx   (C ) gọi nghiệm đặc biệt phương trình Clairaut Nghiệm đặc biệt phương trình Clairaut tìm theo nghiệm tổng quát cách vi phân hai vế (1.42) theo C , ta nhận được:  x   '(C ) từ hệ:  x   '(C ),   y   '(C )C   (C ) (1.44) nghiệm đặc biệt (1.40) dạng tham số Ví dụ 1.18.1 Xét phương trình y   x  1 y ' y '2 Đây phương trình Clairaut với f (t )  t  t Thay y ' C ta nghiệm tổng quát họ đường thẳng y  C  x  1  C Trang 41 Để tìm nghiệm kỳ dị, tức bao hình họ đường thẳng ta xét hệ  x  2C  1,   y  C  x  1  C Khử C từ hệ phương trình ta bao hình parabol  x  1 y Trang 42 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT Phương trình vi phân nói chung phương trình vi phân cấp nói riêng có vai trị quan trọng lĩnh vực ngành nghề, từ Sinh học, Y học, Kinh tế học, Vật lý học Hóa học Kỹ thuật Một khả đặc biệt quan trọng phương trình vi phân chúng dự đoán giới xung quanh chúng ta, sau số ví dụ cho khả đặc biệt 2.1 Định luật làm mát Newton Định luật làm mát Newton phương trình vi phân dự đoán lạnh vật thể ấm đặt môi trường lạnh Theo định luật, tốc độ giảm nhiệt độ vật thể tỉ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ vật thể môi trường Định luật biểu diễn: dT  k T  Te  dt (2.1) k số tỉ lệ, T nhiệt độ vật thể lúc đo, Te nhiệt độ môi trường lúc đo Để giải phương trình (2.1) ta dùng phương pháp tách biến Ta có: dT  T  Te   kdt, nên ln T  Te  kt  C Trang 43 Nghiệm tổng quát phương trình T có dạng: T  Te  Ce kt Ví dụ 2.1.1 Cây kem đem từ tủ lạnh có nhiệt độ -180C, nhiệt độ mơi trường bên ngồi 320C, sau phút nhiệt độ kem -80C Vậy sau phút nhiệt độ kem bao nhiêu? Theo định luật làm mát Newton ta có phương trình vi phân: dT  k T  32   kT  32k dt Nghiệm tổng quát phương trình T có dạng: T  Ce kt  32 Từ thời điểm T  18 với giá trị t  , ta có: 18  C  32  C  50 Khi T  8 với giá trị t  1, ta có: 8  50e k +32  k=ln  5  ln t  T=-50e   t 4  32  50    32 5 4 Vậy sau phút ta có nhiệt độ kem là: T=-50    32  15.6C 5 Trang 44 2.2 Sự chuyển đổi hoá chất đơn giản Kết thí nghiệm ra, phản ứng hố học chất A chuyển thành chất khác tốc độ chuyển hố tỷ lệ với lượng chất khơng bị chuyển hố x Giả sử lượng chất không bị biến đổi thời điểm t  x0 Khi lượng x thời điểm t  xác định phương trình vi phân: dx  kx dt (2.2) điều kiện x  x0 t  Vì lượng x giảm thời gian tăng lên nên số tỷ lệ (2.2) xác định k Từ (2.2) ta có nghiệm x  Ce kt Từ x  x0 ta t  ta suy C  x0 Vì ta có : x  x0e kt Ta giả sử t  30s (2.3) lượng chất ban đầu x0 vừa bị biến đổi Ta xác định lượng chất khơng bị biến đổi cịn lại t  60s Khi lượng chất bị biến đổi lượng chất cịn lại khơng bị biến đổi Do 3 x  x0 t  30 Từ (2.3) ta có: x0  x0e30t Trang 45 Từ ta có k  ln Khi với t đo giây lượng chất không bị biến 30 đổi xác định phương trình   t ln   30  x  x0 exp  (2.4) Tại t  60   60ln   x0 exp  2ln 3  30  x  x0 exp  2.3 Tăng trưởng logistic giá hàng hoá Nhiều nỗ lực thực để phát triển mơ hình nghiên cứu phát triển dân số Một mơ hình đơn giản cho việc nghiên cứu là: giả sử tỷ lệ sinh đẻ trung bình số dương tỷ lệ tử vong trung bình với tỷ lệ với dân số Nếu x  t  dân số thời điểm t giả sử dẫn đến phương trình vi phân dx  b  ax x dt (2.5) Trong b a số dương Phương trình gọi phương trình logistic phát triển dân số xác định phương trình (2.5) gọi tăng trưởng logistic Từ (2.5) ta có dx  dt x  b  ax  a  1    dx  bdt  x b  ax  Trang 46 Từ ta có ln x  bt  C b  ax x  eC ebt b  ax (2.6) Giả sử t  dân số x0 Khi ta có x0 x  ebt b  ax b  ax0 Từ ta có x(t )  bx0ebt b  ax0  ax0ebt (2.7) Ta thấy bx0ebt b2 x0ebt a lim x(t )  lim  lim  t  t  b  ax  ax ebt t  abx ebt b 0 Phương trình logistic (2.5) cho biết tăng trường hay suy giảm dân số phụ thuộc vào dân số ban đầu hay lớn a b Ví dụ 2.3.1 Xét mơ hình kinh tế thị trường hành hố định Giả sử giá P , nguồn cung S nhu cầu D hàng hoá hàm thời gian biến thiên giá tỷ lệ với độ chênh nhu cầu nguồn cung Nghĩa là: dP  k  D  S  dt (2.8) Giả sử số k dương giá tăng nhu cầu vượt nguồn cung Trang 47 Nhiều mơ hình khác thị trường hàng hoá kết phụ thuộc vào tính chất hàm cung hàm cầu Ví dụ, giả sử D  c  dP S  a  bP (2.9) a , b , c d số dương Ta có phương trình vi phân tuyến tính P dP  k  c  a    d  b  P  dt (2.10) (2.8) phản ánh xu hướng nhu cầu giảm giá tăng nguông cung tăng giá tăng Giả sử  P  c để D không âm d Từ (2.9) ta có dP  k  d  b P  k c  a  dt (2.11) Nghiệm tổng quát (2.10) ca  k d b t P  t   C1e    d b Giả sử t  P  P0 Khi ta có: P0  C1  ca d b Do C1  P0  ca d b Vì   P(t )   P0  c  a   k  d b t c  a e  d  b  d b (2.12) Trang 48 Phương trình (2.12) giả định (2.8) (2.9) giá định giá trị ca t lớn d b 2.4 Sự phân rã phóng xạ Vì tốc độ phân rã chất phóng xạ, chẳng hạn Radium, tỉ lệ thuận với khối lượng nên dựa vào phương trình vi phân ta tìm quy luật phân rã Radium Ta kí hiệu R (t ) khối lượng Radium thời điểm t , R0 khối lượng Radium ban đầu (tại thời điểm t  ) Khi tốc độ phân rã theo thời gian dR Tốc độ dt đại lượng âm R giảm dần theo thời gian Gọi k hệ số tỉ lệ, ta có phương trình vi phân: dR  kR dt Giải phương trình vi phân ta có: R(t )  R0e kT 2.5 Sự phát triển dịch bệnh Phương trình vi phân dùng để dự báo phát triển dân số, vật nuôi, vi khuẩn chịu tác động yếu tố khách quan Hàm số logarit mô tả thành phần tác động thành phần ngăn cản, dùng để dự báo tốc độ phát triển dịch bệnh Gọi N  N (t ) số người nhiễm bệnh thời điểm t , P tổng thể người (hằng số), c số phát triển Ta có phương trình vi phân mô sau: dN  xPN  cN dt Trang 49 Ví dụ 2.5.1 Giả sử thành phố có 50000 dân bị lây nhiễm AIDS Virus 100 người nhiễm bệnh lây lan lúc ban đầu thống kê cho thấy 1000 người mắc bệnh sau 10 tuần - Viết phương trình vi phân mơ tả giải phương trình - Dự báo xem nửa dân số thành phố mắc phải AIDS Lời giải: - Phương trình vi phân mơ tả: dN  50000 PN  cN dt Ta có: dN  dt 50000cN  cN  dN  dt 50000cN  cN   t  C1  ln N  ln 50000  N 50000c hay N t   50000  50000C1.e50000c.t Thay t  , N (0)  100 ta được: 100   N (t )  50000 499  C1   50000C1 50000 50000 50000  499 50000c.t  499.e50000c.t  50000 .e 50000 Trang 50 Thay t  10 , N (10)  1000 ta được: 1000  50000 c 50000c.t 49   499.e 50000ln    499   c  0,46416.e5 Khi đó: N (t )  50000  499.e0.232080.t - Dự báo xem nửa dân số thành phố mắc phải AIDS Dựa vào hàm N (t ) , giải phương trình N (t )  25000 Tìm t : 25000  50000  e0.232080.t  0.232080.t 499  499.e Vậy t  26,76924  27 tuần Trang 51 KẾT LUẬN Phương trình vi phân cấp một kiến thức Giải tích Tốn học Vì có nhiều ứng dụng Vật lí, Sinh học, Hố học, nên coi cầu nối lý thuyết ứng dụng Trên em trình bày xong tồn khố luận là: “PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN” Trong khố luận em trình bày phương trình vi phân cấp số ứng dụng phương trình vi phân cấp Hi vọng vấn đề trình bày đề tài nhận quan tâm từ phía thầy giảng viên bạn sinh viên Khoa Trong trình nghiên cứu, thời gian kiến thức hạn chế nên em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến q thầy để khố luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm thầy Lê Hải Trung – giảng viên trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng tận tình giúp đỡ hướng dẫn để em hồn thành tốt khóa luận Trang 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thế Hoàn – Phạm Thu (2003), Cơ sở Phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB Đại học Sư phạm [3] Lê Hải Trung (2019), Giáo trình phương trình vi phân – sai phân, NXB Thông tin Truyền thông [4] Earl D Rainville – Phillip E Bedient – Richard E Bedient (1981) , Elementary Differential Equation, the United States of America Trang 53 ... thêm phương trình vi phân cấp một, em chọn đề tài: ? ?Phương trình vi phân cấp số vấn đề liên quan? ?? để thực khoá luận tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu đề tài - Tìm hiểu dạng phương trình vi phân cấp. .. phương trình với biến số phân ly, phương trình vi phân nhất, phương trình Bernoulli, … Trang Chương 2: Một số ứng dụng phương trình vi phân cấp Trình bày số ứng dụng phương trình vi phân cấp như:... nhận phương trình có chứa hàm số chưa biết đạo hàm vi phân chúng Các phương trình phương trình vi phân Các hàm số thỏa mãn phương trình vi phân gọi nghiệm phương trình vi phân Vi? ??c tìm nghiệm phương