Phương trình vi phân cấp một và ứng dụng trong vật lí

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ĐỒN THỊ HIỀN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ĐOÀN THỊ HIỀN PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS HÀ THANH HÙNG HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy khoa Vật lý, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Đặc biệt, em xin trân thành cảm ơn thầy HÀ THANH HÙNG tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành tốt đề tài khóa luận Mặc dù cố gắng, xong điều kiện thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đƣợc nhƣng ý kiến đóng góp thầy bạn khoa Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 27 tháng năm 2017 Sinh viên Đồn Thị Hiền LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em đƣợc hồn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình thầy HÀ THANH HÙNG với cố gắng thân em Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả (đã nêu mục tài liệu tham khảo) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân em không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 27 tháng năm 2017 Sinh viên Đoàn Thị Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1 Khái niệm phƣơng trình vi phân cấp 1.2 Nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân cấp 1.3 Các dạng phƣơng trình vi phân cấp thƣờng gặp .8 1.3.1 Phương trình vi phân cấp một, bậc 1.3.2 Phương trình vi phân cấp một, bậc cao 25 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 33 2.1 Ứng dụng phƣơng trình phân li biến số 33 2.2 Ứng dụng phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp .34 2.3 Ứng dụng phƣơng trình Becnuly 37 2.4 Ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao 39 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO .43 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Dƣới phát triển không ngừng khoa học vào kỉ XIX, số chuyên ngành vật lý đời, khẳng định mối liên hệ chặt chẽ vật lý học tốn học, ngành “ Vật lý lý thuyết” Nó diễn tả đƣợc quy luật vật lý, học thuyết tổng quát có ý nghĩa to lớn khoa học đời sống nhƣ kĩ thuật Bên cạnh nhờ suy luận logic cịn tìm đƣợc quy luật chƣa thể tìm thực nghiệm Sự phát triển tốn học có bƣớc thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt đƣợc rực rỡ vào kỉ XX phát triển ngành giải tích tốn học Với đời ngành giải tích hàm toán thực tế sống, vật lý, khoa học, đƣợc giải nhanh gọn xác Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực nhƣ: lớp hàm liên tục, khả vi, phƣơng trình vi phân Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng riêng việc nghiên cứu ứng dụng Trong đó, phƣơng trình vi phân phần giải tích Có thể nghiên cứu phần để tìm thấy hay môn học vào thực tế nhƣ mơn học khoa học khác Phƣơng trình vi phân có nhiều ứng dụng nhƣ: giải tốn dao động lị xo, lắc đơn, Chính em chọn đề tài: “ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày số ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp vật lý Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp vật lý - Phạm vi nghiên cứu: Phƣơng trình vi phân cấp ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp vật lý Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dạng phƣơng trình vi phân cấp - Sử dụng phƣơng trình vi phân cấp để xây dựng giải thích số toán vật lý Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp vật lý lý thuyết Cấu trúc khóa luận CHƢƠNG : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1 Khái niệm phƣơng trình vi phân cấp 1.2 Nghiệm tổng quát phƣơng trình vi phân cấp 1.3 Các dạng phƣơng trình vi phân cấp thƣờng gặp 1.3.1 Phƣơng trình vi phân cấp một, bậc 1.3.1.1 Phƣơng trình phân li biến số 1.3.1.2 Phƣơng trình vi phân tồn phần 1.3.1.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính 1.3.1.4 Phƣơng trình vi phân 1.3.1.5 Phƣơng trình đẳng cấp 1.3.1.6 Phƣơng trình Becnuly 1.3.1.7 Phƣơng trình Miscelaneous 1.3.2 Phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao 1.3.2.1 Phƣơng trình giải nghiệm 1.3.2.2 Phƣơng trình giải nghiệm 1.3.2.3 Phƣơng trình giải nghiệm 1.3.2.4 Phƣơng trình Clairaut’s CHƢƠNG : ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2.1 Ứng dụng phƣơng trình phân li biến số 2.2 Ứng dụng phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2.3 Ứng dụng phƣơng trình Becnuly 2.4 Ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao NỘI DUNG CHƢƠNG : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1 Khái niệm phƣơng trình vi phân cấp Trong phần này, tìm hiểu để xác hóa khái niệm phƣơng trình vi phân Phƣơng trình vi phân thuật ngữ dùng để phƣơng trình có chứa đạo hàm Trong toán học, đạo hàm hàm nhiều biến nói chung thƣờng tồn hai dạng đạo hàm toàn phần đạo hàm riêng phần Do vậy, dùng thuật ngữ phƣơng trình vi phân thông thƣờng ( ordinary differential equations ( ODEs )) để phƣơng trình vi phân khơng chứa đạo hàm riêng phần Ở dạng đơn giản phƣơng trình vi phân thơng thƣờng mơ tả mối quan hệ biến phụ thuộc, thƣờng gọi , biến độc lập, thƣờng gọi Nghiệm phƣơng trình vi phân đƣợc tìm dƣới dạng hàm biến độc lập , thƣờng kí hiệu ( ) Phƣơng trình vi phân đƣợc phân loại thành dạng khác nhau, dựa vào đặc tính chung Một đặc điểm quan trọng thƣờng đƣợc sử dụng để phân loại phƣơng trình vi phân cấp ( order ) phƣơng trình vi phân Cấp phƣơng trình vi phân cấp cao đạo hàm có phƣơng trình vi phân Do phƣơng trình vi phân thơng thƣờng ( ODEs ) chứa mà khơng có đạo hàm cấp cao đƣợc gọi phƣơng trình vi phân cấp Theo đó, phƣơng trình vi phân thông thƣờng ( ODEs ) chứa đạo hàm cấp cao đƣợc gọi phƣơng trình vi phân cấp hai Một đặc điểm khác thƣờng đƣợc sử dụng để phân loại phƣơng trình vi phân bậc ( dergee ) phƣơng trình vi phân Bậc phƣơng trình vi phân mũ đạo hàm cao có phƣơng trình vi phân Khi xác định bậc phƣơng trình vi phân phải ý viết phƣơng trình vi phân dƣới dạng hợp lý, tức số mũ đạo hàm phải số nguyên Theo đó, giả sử ta có phƣơng trình vi phân: ( ) Đây phƣơng trình vi phân cấp ba bậc hai, viết dƣới dạng hợp lý hóa, phƣơng trình chứa số ( ) Nghiệm tổng quát (general solutions) phƣơng trình vi phân hàm biến , kí hiệu ( ), đƣợc xác định đặc điểm phƣơng trình vi phân Nghiệm tổng qt thơng thƣờng chứa số tích phân, số tích phân đƣợc xác định áp dụng điều kiện biên cho phƣơng trình vi phân ban đầu Chẳng hạn với phƣơng trình vi phân cấp một, ln xác định đƣợc số tích phân chọn Việc khó khăn ta thực với phƣơng trình vi phân cấp , biểu thức nghiệm chứa số tích phân để xác định điều kiện biên Khi số tích số tích phân cần phải phân đƣợc xác định xác từ điều kiện biên thay vào công thức nghiệm tổng quát, tƣơng ứng có nghiệm cụ thể ( particular solution ) phƣơng trình vi phân Một số phƣơng trình vi phân bậc hai trở lên cịn có nghiệm kỳ dị ( singular solutions ), nghiệm có dạng khác với nghiệm tổng quát thƣờng đƣợc tìm dựa đặc điểm phƣơng trình vi phân Phƣơng trình vi phân cấp có dạng tổng qt ( hàm ) đƣợc xác định miền từ (1) ta giải đƣợc (1) 1.3.2.3 Phương trình giải nghiệm y Phƣơng trình giải nghiệm có dạng ( ) (10.1) Cách giải Phân tích vế (10.1) theo biến , ta đƣợc (10.2) Sắp xếp lại kết phƣơng trình (10.2) dƣới dạng ( ) kết hợp với (10.1) để loại bỏ  Với nhân tố chứa biểu thức ( ) giải phƣơng trình vi phân nhân tố chứa lại (10.1) để loại bỏ , ta rút cách , sau thay ngƣợc trở đƣa đƣợc nghiệm tổng quát phƣơng trình (10.1)  Với nhân tố lại biểu thức ( ) , ta rút thay ngƣợc trở lại phƣơng trình (10.1) để loại bỏ theo và đƣa đƣợc nghiệm kỳ dị phƣơng trình (10.1) Nhƣ vậy, thơng thƣờng nghiệm kỳ dị phƣơng trình đƣợc tìm đồng thời nghiệm tổng quát Nghiệm kỳ dị khơng chứa số tùy ý Ví dụ Giải phƣơng trình (10.3) Phƣơng trình viết lại thành Đạo hàm hai vế theo biến , ta đƣợc Phân tích thừa số phƣơng trình ta đƣợc 29 ( )( )  Xét Thay vào (10.3), ta đƣợc ( ) ( ) Đây nghiệm tổng quát phƣơng trình (10.3)  Xét Suy Thế vào (10.3), ta đƣợc nghiệm nghiệm kỳ dị phƣơng trình (10.3) Đó nghiệm kỳ dị phƣơng trình (10.3) 1.3.2.4 Phương trình Clairaut’s Cuối cùng, xét đến phƣơng trình Clairaut’s, có dạng 30 ( ) (11.1) Cách giải Lấy đạo hàm hai vế (11.1) , ta đƣợc Suy ( )  Xét yếu tố chứa Suy (11.2) Vì Nếu thay (11.2) vào (11.1) ta có ( ) Khi đó, nghiệm tổng qt phƣơng trình Clairaut’s ( )  Xét yếu tố (11.3) Rút từ (11.3) sau thay ngƣợc trở phƣơng trình ( ta tìm đƣợc nghiệm kỳ dị phƣơng trình ( Ví dụ Giải phƣơng trình 31 ) ) để khử (11.4) Lấy đạo hàm hai vế ta đƣợc ( )  Xét Khi nghiệm tổng qt phƣơng trình có dạng (11.4)  Xét Thay vào (11.4) ta đƣợc ( ) ( ) Đây nghiệm kỳ dị phƣơng trình (11.4) 32 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2.1 Ứng dụng phƣơng trình phân li biến số  Xét toán phân rã Radium Ngƣời ta xác lập đƣợc vận tốc phân hủy Radium tỉ lệ thuận với khối lƣợng thời điểm Hãy tìm quy luật biến đổi khối lƣợng Radium theo thời gian, khối lƣợng Radium lúc Giải Vận tốc phân hủy đƣợc xác định nhƣ sau : giả sử thời điểm , khối lƣợng , thời điểm khối lƣợng phân hủy khối lƣợng Trong thời gian , Tỉ số vận tốc phân hủy trung bình Giới hạn tỉ số : vận tốc phân hủy Radium thời điểm Theo điều kiện toán (12.1) hệ số tỉ lệ ( ) Ta lấy dấu trừ thời gian tăng khối lƣợng Radium giảm vào Phƣơng trình (12.1) phƣơng trình với biến số phân ly đƣợc Ta có (12.2) 33 Vì , khối lƣợng radium Thay giá trị , nên phải thỏa mãn hệ thức vào (12.2), ta đƣợc phụ thuộc phải tìm khối lƣợng radium theo thời gian :  Vận dụng Ta tìm thời gian phân hủy nửa radium, tức khoảng thời gian mà sau khối lƣợng radium cịn nửa khối lƣợng ban đầu Biết Phƣơng trình xác định thời gian phân hủy nửa của radium Theo giả thiết 2.2 Ứng dụng phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp  Xét tốn Một mạch điện kín có chứa điện trở , tụ điện , nguồn điện có hiệu điện thay đổi theo thời gian ( ) Điện tích tụ tuân theo phƣơng trình ( ) 34 (13.1) Tại thời điểm ban đầu tụ khơng tích điện ( ) ( ) Tìm quy luật biến đổi điện tích tụ theo thời gian Giải Chia hai vế phƣơng trình (13.1) cho , ta đƣợc ( ) (13.2) Phƣơng trình có dạng phƣơng trình tuyến tính cấp Ta đặt (13.3) Thay (13.3) vào (13.2) ta có ( ) ( Ta có phƣơng trình để xác định ) ( ) : Lấy tích phân, ta đƣợc Hay Thay biểu thức vào (13.4), ta có phƣơng trình xác định 35 (13.4) ( ) ( ( ∫ ) ) ∫ ( ) ∫ ( )  Tính tích phân ( ( ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( )) )) Vậy ( ) ( ( ) ( )) Mà Nên ( ( ) ) ( 36 ( ( ( ) ) ( ( )) )) 2.3 Ứng dụng phƣơng trình Becnuly  Xét tốn Một vật có khối lƣợng ( có gia tốc ) ( ) Trong thực tế lực cản tỉ lệ với vận tốc có dạng là vận tốc vật , số phụ thuộc vào môi trƣờng chuyển động Phƣơng trình chuyển động vật đƣợc cho dƣới dạng ( Tìm quy luật biến đổi vận tốc tốc vật ) (14.1) theo thời gian ? Biết rằng, vận Giải Chia hai vế phƣơng trình (14.1) cho ( , ta đƣợc ) ( ) Phƣơng trình có dạng phƣơng trình Becnuly Chia hai vế cho ta đƣợc ( (14.2) ) Đổi biến số (14.3) Thay ( ) vào (14.2) ta có ( 37 ) ( (14.4) ) Đây phƣơng trình tuyến tính Đặt Thay vào (14.4), ta có ( ) Cho không biểu thức dấu ngoặc Để xác định , ta có biểu thức ( ( Lấy vi phân hai vế, ta đƣợc 38 ) ) ( ) ( ) ( ) Khi Vậy √ Hay √ Tại , √ Do 2.4 Ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao  Xét toán Một gƣơng phản xạ thƣờng đƣợc tạo thành từ mặt cong nhẵn Ở dạng tổng quát mặt cong thƣờng đƣợc biểu thị hàm ( ) theo biến số độc lập Để tia sáng phát từ nguồn điểm trục cho tia phản xạ song song với trục hàm cần tìm ( ) thỏa mãn phƣơng trình sau 39 Bằng cách giải phƣơng trình theo , tìm đƣờng cong ( ) Giải Xét phƣơng trình (15.1) Đây phƣơng trình giải nghiệm Phƣơng trình viết lại Lấy vi phân hai vế phƣơng trình theo , ta đƣợc Nhân phƣơng trình với ( ( , ta đƣợc ) )( ( ) )  Xét 40 (15.2) Thay (15.2) vào (15.1) ta đƣợc Đây nghiệm tổng quát phƣơng trình (15.1)  Xét Thay vào phƣơng trình (15.1) ta đƣợc Thay ngƣợc trở lại phƣơng trình (15.1), ta đƣợc ( ) Đây nghiệm kỳ dị phƣơng trình (15.1) 41 KẾT LUẬN Với đề tài “ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ” em hoàn thành việc nghiên cứu vấn đề sau: - Sơ lƣợc lý thuyết phƣơng trình vi phân cấp - Phân loại dạng phƣơng trình cấp đƣa phƣơng pháp giải cho dạng - Vận dụng số phƣơng trình để ứng dụng vào số toán Vật lý Do vậy, đề tài bổ sung thêm vào nguồn tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên trình tìm hiểu phƣơng trình vi phân cấp ứng dụng Vật lý 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N.X.PIXCUNOP, Phép tính vi phân tích phân, NXB giáo dục [2] K.F.RILEX, M.P.HOBSON and S.J.BENCE (2006), Mathematical Methods for Physic and Engineering, CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tuấn, Phép tính vi phân hàm biến hàm nhiều biến, NXB ĐHQG, Hà Nội 43 ... Phương trình vi phân cấp một, bậc 1.3.2 Phương trình vi phân cấp một, bậc cao 25 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 33 2.1 Ứng dụng phƣơng trình phân li... phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2.3 Ứng dụng phƣơng trình Becnuly 2.4 Ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp một, bậc cao NỘI DUNG CHƢƠNG : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 1.1 Khái niệm phƣơng trình vi. .. cứu, trình bày số ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp vật lý Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Đối tƣợng nghiên cứu: Ứng dụng phƣơng trình vi phân cấp vật lý - Phạm vi nghiên cứu: Phƣơng trình vi phân