Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài toán về dân số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA * LÊ NGUYỄN HẠNH VY PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM VÀ ỨNG DỤNG TRONG NGHIÊN CỨU CÁC BÀI TOÁN VỀ DÂN SỐ Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2016 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: TS LÊ XUÂN ĐẠI (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Cán chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Bá Thi (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Cán chấm nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Văn Kính (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa - Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh ngày 08 tháng 01 năm 2017 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) PGS TS Nguyễn Đình Huy - Chủ tịch hội đồng TS Nguyễn Bá Thi - Phản biện PGS TS Nguyễn Vãn Kính - Phản biện TS Đặng Vãn Vinh - Thư ký TS Đậu Thế Phiệt - ủy viên Xác nhận Chủ tịch Hội đồng đánh giá luận văn Bộ môn quản lý chuyên ngành sau luận văn sửa chữa (nếu có) Chủ tịch Hội đồng Trưởng khoa TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH Độc lập - Tự - Hạnh Phúc —oOo— NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ I TÊN ĐỀ TÀI: Phương trình vi phân có chậm ứng dụng nghiên cứu Chuyên ngành: Toán ứng dụng MN:sinh: 60 46Định 01 12 Ngày, tháng, năm sinh: 27-01Nơi Bình tốn dân số 1991 Họ tên học viên: LÊ NGUYỄN HẠNH VY MSHV: 13241382 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Nghiên cứu phương pháp hàm Lyapunov ương toán dân số II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 08 năm 2016 III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: Ngày 15 tháng 12 năm 2016 IV HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI Nội dung đề cương Luận văn thạc sĩ Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua Tp HCM, ngày 15 tháng 12 năm 2016 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN TS Lê Xuân Đại CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH KHOA QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH PGS TS Nguyễn Đình Huy TS Huỳnh Quang Linh Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn - Tiến sĩ Lê Xuân Đại, người tận tình hướng dẫn, cung cấp cho nhiều nguồn tài liệu phong phú tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới tập thể Thầy, Cô giáo Bộ môn Toán ứng Dụng - Khoa Khoa Học ứng Dụng - Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Tp.Hồ Chí Minh tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức cho tơi suốt khóa học Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân ln động viên, khuyến khích giúp đỡ tơi suốt thời gian vừa qua Tôi xin gửi lời cám ơn đến tập thể lớp cao học Toán ứng Dụng K2013 đồng hành, giúp đỡ chia sẻ khó khăn tơi suốt q trình học tập Vì thời gian thực luận văn kiến thức cịn hạn chế nên q trình thực khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận đóng góp tận tình từ q Thầy Cơ bạn đọc để luận văn bổ sung hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 12 năm 2016 Học viên Lê Nguyễn Hạnh Vy TÓM TĂT LUẬN VĂN THẠC SĨ Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu tính ổn định phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân có chậm ứng dụng vào mơ hình phát triển ổn định toán dân số Phương pháp nghiên cứu chủ yếu sử dụng luận văn dựa phương pháp hàm Lyapunov sử dụng phần mềm Matlab, Maple Kết thu là: Tiêu chuẩn ổn định phương trình vi phân có chậm thơng qua hàm Lypunov Khảo sát tính ổn định mơ hình Lotka-Volterra có chậm đơn có chậm kép Mơ quĩ đạo nghiệm cho tốn Lotka-Volterra mặt phẳng Pha ABSTRACT THESIS In our thesis, we study some problems: The stability of Lyapunov function method for delay differential equations The application for the stable development models in the population problem The main method to study in the thesis based on Lyapunov function method and using Matlab and Maple We obtained some results: The stable criterion of delay differential equations through Lyapunov function To study the stability of the Lotka-Volterra model, which include the single delay model and two delays model To simulate the orbit solution for Lotka-Volterra problem in the Phase plane Lời cam đoan Trong trình thực luận văn, tham khảo tài liệu mục tài liệu tham khảo tài liệu có nguồn gốc rõ ràng, tơi khơng chép luận văn khác Tơi cam đoan rằng: Luận văn viết tìm hiểu tổng hợp tài liệu thân hướng dẫn TS Lê Xuân Đại Hồ Chí Minh, ngày 15 tháng 12 năm 2016 Học viên Lê Nguyễn Hạnh Vy Lời mở đầu Nhiều tượng thực tế sống vật lý, kỹ thuật, sinh học, y học, v.v mơ hình hóa toán giá trị ban đầu, cho phương trình vi phân thường có dạng: ±(t) = g(t,x(tf), t>t0 x(t0) = Xo, Tuy nhiên, để mơ hình phù hợp với thực tế hơn, người ta sử dụng mơ hình hóa phương trình vi phân có chậm sau: ±(t) = fịt,Xi), t>t0 Lý thuyết phương trình vi phân có chậm phát triển rộng rãi Bellman Cooke [13], Hale[14], Dirver [15], El’sgol’ts Norkin [16] có số sách nói vấn đề Hale Verduyn Lunel [17], Kolmanowskii Myshkis [18],v.v Việc nghiên cứu yêu cầu địi hỏi khơng mặt lý thuyết mà tính ứng dụng rộng rãi, thu hút quan tâm nhiều nhà toán học đưa nhiều kết quan trọng Nó góp phần xây dựng lý thuyết chung cho ngành toán học ngành khoa học khác Nó có mặt góp phần nâng cao tính hấp dẫn, lý thú, tính đầy đủ sâu sắc, tính hiệu quả, giá trị nhiều ngành tối ưu, điều khiểu tối ưu, giải tích số, tính tốn khoa học, Vì vậy, lý thuyết trở thành lĩnh vực toán học đại nhất, có khả ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Vật lý học, Cơ học, kinh tế học, sinh thái học, hóa học, v.v Luận văn trình bày dựa vào tài liệu báo sau: - [1] Yang Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, 1992 - [4]Yanbin Tang, Edoardo Beretta Fortunata Solimano ,Stability analysis of a volterra predator prey system with two delays, Volume 9, number 1, Spring 2001 - [5] Yang Kuang*, Edoardo Berrtta , Convergence Results in a Well-Known Delayed Predator- Prey Sytem, Received July 25, 1995 Đầu kỷ 20, mơ hình tốn biến động dân số thiết lập mơ hình Lotka - Volterra nhiều mơ hình sinh thái học quan trọng khác Luận văn tập trung nghiên cứu phương trình vi phân có chậm thơng qua việc nghiên cứu tính ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định tiệm cận toàn cục dựa định lý hàm Lyapunov phương pháp định tính để ứng dụng vào mơ hình dân số Trong luận văn, sử dụng phần mềm Maple để tính thơng số cần thiết cho mơ hình, sau ta đưa thơng số cần tính vào phần mềm mơ Matlab thơng qua việc lập code Kết thu quĩ đạo nghiệm biểu đồ phase mơ hình Nó cho ta thấy mức độ tăng trưởng dân số phụ thuộc vào thời gian có chậm Ngồi ra, mơ hình quan trọng việc đưa vào ứng dụng thực tiễn: thể tăng trưởng lồi khơng có có thời gian có chậm, tạo nhiều bước phát triển cho ngành khoa học khác Luận văn gồm lời nói đầu, ba chương, phụ lục tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn trình bày sau: Lời nói đầu Chương 1: Kiến thức phương trình vi phân có chậm Chương 2: Phương pháp Lyapunov phương trình vi phân có chậm Chương 3: ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải tốn mơ hình phát triển ổn định dân số Phụ lục Kết luận hướng phát triển Tài liệu tham khảo Muc luc Lời mở đầu Kiến thức phương trình vi phân có chậm 10 1.1 Giới thiệu số ứng dụng phương trình vi phân có chậm 10 1.2 Sơ lược phương trình vi phân có chậm 10 1.3 Một số tính chất phương trình vi phân có chậm 11 1.3.1 Tính dao động: 11 1.3.2 Nghiệm khoảng thời gian ngắn: 12 1.4 Sự biến động dân số 13 1.5 Hệ có chậm Lotka-Volterra kẻ săn mồi - mồi 14 1.6 Một số nhận xét quan trọng: 15 Phương pháp Lyapunov phương trình vi phân có chậm 16 2.1 Một số kiến thức bản, định nghĩa ký hiệu 16 2.2 Sự tồn tính 17 2.3 Hệ động lực học bất biến 17 2.4 Tính ổn định Lyapunov phương trình vi phân có chậm 18 2.4.1 Định nghĩa tính ổn định 18 2.4.2 Định nghĩa tính ổn định 2.4.3 Định lý tính ổn định Lyapunov 19 Lyapunov 19 2.5 Tính ổn định tồn cục cho mơ hình nhiều lồi 23 2.6 Tính ổn định theo hàm Lyapunov 23 Ung dụng phương trình vi phân có chậm giải tốn mơ hình phát triển ổn định dân số 28 3.1 Giới thiệu sơ lược 28 MỤC LỤC 3.2 MỰC LỤC Mơ hình Lotka - Volterra có chậm: 29 3.2.1 Mơ hình động vật ăn thịt mồi Lotka - Volterra có chậm đơn: 29 3.2.2 Mơ hình động vật ăn thịt mồi Lotka - Volterra có chậm kép 39 Kết luận 56 Phụ lục 57 Tài liệu tham khảo 63 Luận văn cao học IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy Mơ hình Lotka - Volterra có chậm 60 GVHD: TS Lê Xuân Đại Luận văn cao học Mơ hình Lotka - Volterra có chậm > > grid on » plot(b,' r'y » plot(cy » subplot(2,1,2); » hold on » grid on » plot(bl,'r'y » plot(ciy Biểu đồ pha >> for X = : 0.1 : > > tam = [x2 * a?]; >> solvel = dde23(@ddexlde, tam, @ddexlhist, [1,280]); >> hold on » al = solvel.y, >> bl = al(l,:); >> cl = al(2,:); > > grid on » plotfbl, cl); >> iea?t(0.5,0.5/x') » end IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy 61 GVHD: TS Lê Xuân Đại Luận văn cao học Mơ hình Lotka - Volterra có chậm Tài liêu tham khảo [1] Yang Kuang, Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics, 1992 [2] Thomas Erneux, Applied delay differential equations, Volume 3, January 2008 [3] H.I Freedman and Y Kuang, Stability switches in linear scalar neutral delay equations, Funkcial Ekvac 34, 1991, 187 - 209 [4] Yanbin Tang, Edoardo Beretta Fortunata Solimano Stability analysis of a volterra preda tor - prey system with two delays, Volume 9, number 1, Spring 2001 [5] Yang Kuang, Edoardo Berrtta , Convergence Results in a Well-Known Delayed PredatorPrey Sytem, Received July 25, 1995 [6] Natali Hritonenko, Yuri Yatsenko, Mathematical modeling in econnomics, ecology and the environment, Volume 88, Springer Science + Business Media New York 1999, 2013 [7] Hal Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences , July, 2010 [8] Xiang-Piang Yan*, Yan-Dong Chu, Stability and bifurcation analysis for a delayed LotkaVolterra predator-prey system, China, 31 August, 2005 [9] Qingkai Kong, A short course in Ordinary Differential Equations, Springer, 2014 [10] Jean-Jacques E.Slotine, Weiping, Applied nonlinear control, 1991 [11] C.M.Evans, G.L.Findley, Analytic solutions to the Lotka-Volterra model for sustained chemical oscillation, 1997 [12] Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Num erial methods for delay differential equations, Italy, IIV: Lẽ Nguyễn Hạnh Vy 62 GVHD: TS Lê Xuân Đại 2003 [13] R.Bellman K.L.Cooke, Differential-Difference Equation, Academic Press, New York- London, 1963 [14] J.K.Hale, Theory of Functiona; Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1977 [15] R.D.Driver, Existence theory for a delay-differential system, Contributions to Differential Equations, 1963, 317-336 [16] L.E El’sgol’ts S.B Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York, 1973 [17] J.K Hale S.M Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential Equations, Applied Mathematical Sciences 99, Spring-Verlag, New York, 1977 [18] V Kolmanovskii A Myshkis, Applied Theory of Functional Diffenrential Equations, Kluwer, Dordrecht, 1992 Lý lịch trích ngang I- Sơ lược cá nhân: Nguyễn Hạnh Vy HọLê tên: 27-01-1991 Ngày sinh: Địa Trần Phú,- Bình phường Bình Định, thị xã An Nhơn, tỉnh Bình Định Nhơn Định Nơi sinh:thường trú: 104An II- Quá trình đào tạo: ĐẠI HỌC Chế độ học: quy Thời gian học: Từ 09/2009 đến 06/2013 Nơi học: Trường Đại học Quy Nhơn Ngành học: Sư phạm Toán học TRÊN ĐẠI HỌC Ngành toán ứng dụng trường Đại học Bách khoa TPHCM khóa 2013 III- Quá trình cơng tác Từ năm 2014 đến nay: Dạy gia sư thành phố Hồ Chí Minh ... thức phương trình vi phân có chậm 10 1.1 Giới thiệu số ứng dụng phương trình vi phân có chậm 10 1.2 Sơ lược phương trình vi phân có chậm 10 1.3 Một số tính chất phương trình vi phân có. .. Kiến thức phương trình vi phân có chậm Chương 2: Phương pháp Lyapunov phương trình vi phân có chậm Chương 3: ứng dụng phương trình vi phân có chậm giải tốn mơ hình phát triển ổn định dân số Phụ... số ứng dụng kỹ thuật phương trình vi phân có chậm nghiên cứu Kolmanovskii Nosov (1986) - Năm 1920, ứng dụng phương trình vi phân vào biến động dân số nghiên cứu lại, đến năm 1927, Volterra nghiên