Phương trình vi phân trên thang thời gian

Vui lòng liên hệ ZALO 0353764719 hoặc GMAIL: 123docntcgmail.com để mua tài liệu trực tiếp với giá ưu đãi, GIẢM GIÁ 2050% . Xin cám ơn Vui lòng liên hệ ZALO 0353764719 hoặc GMAIL: 123docntcgmail.com để mua tài liệu trực tiếp với giá ưu đãi, GIẢM GIÁ 2050% . Xin cám ơn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— NGUYỄN THỊ BẢO CHÂU PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ BẢO CHÂU PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 08 năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Bảo Châu ii LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp TGTK39 nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập lớp Nguyễn Thị Bảo Châu TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Ngành : Tốn Giải Tích Khóa: K39 Họ tên học viên: Nguyễn Thị Bảo Châu Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng Tóm tắt *Những kết luận văn: Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “Phương trình vi phân thang thời gian” đạt số kết sau đây: • Trình bày cách có hệ thống phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2, gồm định nghĩa, công thức nghiệm chứng minh chi tiết kết quả, đưa số ví dụ cụ thể cho phương trình vi phân • Giới thiệu phép tính vi tích phân thang thời gian số định lí, tính chất để giải phương trình vi phân thang thời gian, chứng minh kết cụ thể • Trình bày khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp thang thời gian, chứng minh kết đưa số ví dụ cụ thể giải phương trình vi phân tuyến tính thang thời gian *Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn: • Trình bày cách có hệ thống định nghĩa phương trình vi phân • Cụ thể chứng minh giúp cho người khơng chun tốn cần tìm hiểu thang thời gian phương trình vi phân thang thời gian • Tìm hiểu đưa định lý, chứng minh phương pháp giải phương trình vi phân thang thời gian Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực luận văn Nguyễn Thị Bảo Châu THE INFORMATION OF NEW CONTRIBUTIONS OF THE THESIS Thesis title : DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES Major : Analysis Code: K39 Name of Master student: Nguyen Thi Bao Chau Name of Scientific Supervisor: Dr Phan Duc Tuan Educational Institution: The University of Danang, University of Education Summary *Content of thesis: The thesis “Dynamic Equations on Time Scales” has achieved some following results: • Presenting about differential equations, first and second order linear dynamic equations on time scales, including definitions, solution formulas and detailed proof of results, giving some examples for differential equations • Introducing calculus on time scales and some theorems and properties to solve differential equations on time scale, prove specific results • Presenting the basic definitions of linear differential equations of first and second order of linear differential equations on time scales, prove the results and give some examples of solving differential equations on the time scale *Sciencetific and pratical meaning of thesis: • Systematically presenting the definitions of basic differential equations • Giving the proofs which can help non-mathematicians, who need to learn about time scales and differential equations on time scales • Giving theorems, proofs and methods of solving differential equations on time scales Signature of Supervisor Researcher Nguyen Thi Bao Chau iii MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm sở 1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân 4 1.1.2 Phương trình vi phân cấp 1.1.3 Phương trình vi phân cấp 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 12 Chương Phép tính vi tích phân thang thời gian 18 2.1 Khái niệm thang thời gian 18 2.2 Giới hạn liên tục 21 2.3 Đạo hàm thang thời gian 24 2.4 Tích phân thang thời gian 31 Chương Phương trình vi phân thang thời gian 37 3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 37 3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 46 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Quyết định giao đề tài luận văn (Bản sao) 57 DANH MỤC KÝ HIỆU T Thang thời gian R Tập hợp số thực ∆-đạo hàm Đạo hàm Hilger IVP W (y1 , y2 ) Bài toán giá trị ban đầu Định thức Wronskian a := b a gán b MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Sự phát triển thang thời gian cịn giai đoạn sơ khai, nhà tốn học dành nhiều quan tâm thang thời gian Các phương pháp đưa vào phương trình vi phân thang thời gian, giải thích số sai lệch gặp phải kết phương trình vi phân đối chứng chúng xem xét độc lập Những lời giải thích khác biệt tình cờ tạo kết thống thông qua phương pháp thang thời gian Chủ đề đưa Phương trình vi phân thang thời gian: Giới thiệu ứng dụng ca (Martin Bohner v Allan Peter - Son, Birkhăauser, 2001 86]) viết nhóm 21 chuyên gia quốc tế lĩnh vực họ, cung cấp nhìn tổng quan tiến gần lý thuyết quy mô thời gian cung cấp nhìn tổng quan tiến gần lý thuyết quy mô thời gian Các chủ đề bao gồm hàm số mũ thang thời gian, xác suất giá trị biên, nghiệm dương, nghiệm nghiệm phương trình vi phân, lý thuyết tích phân thang thời gian, phương trình vi phân bậc cao hơn, Việc nghiên cứu phương trình vi phân thang thời gian chủ đề nghiên cứu lĩnh vực phát triển nhanh chóng Nó tạo để thống phân tích liên tục rời rạc, cho phép xử lý đồng thời phương trình phân số sai phân, mở rộng lý thuyết trở thành phương trình vi phân Với mong muốn làm rõ cá sở tốn học, ý tưởng việc ứng dụng phương trình vi phân thang thời gian lĩnh vực nghiên cứu, với gợi ý TS Phan Đức Tuấn, tơi chọn đề tài: “Phương trình vi phân thang thời gian” cho luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nội dung nghiên cứu: Mục tiêu đề tài nghiên cứu mô hình tốn học lý thuyết phương trình vi phân thang thời gian Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Phép tính vi tích phân thang thời gian - Giải phương trình vi phân thang thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương trình vi phân thang thời gian - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu Phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp Phương pháp nghiên cứu: Thu thập tài liệu sưu tầm được, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hệ thống khoa học Trong luận văn có sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân, Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn đối tượng có chuyên ngành liên quan để ứng dụng cho toán thực tiễn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: - Chương 1, trình bày khái niệm chung phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân tuyến tính cấp - Chương 2, trình bày phép tính vi tích phân thang thời gian gồm: Khái niệm thang thời gian, giới hạn liên tục, đạo hàm tích phân thang thời gian - Chương 3, trình bày phương trình vi phân thang thời gian gồm: Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp W (x) = ′ ′ ky2 y2 Do W (x) có hai cột tỉ lệ nên W (x) = Định lý 1.3.4 (xem [2]) Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, hàm số p, q liên tục I Giả sử y1 , y2 hai nghiệm phương trình vi phân độc lập tuyến tính I Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình vi phân y = C1 y1 + C2 y2 , C1 , C2 số 15 Chứng minh Xét hàm số có dạng y = C1 y1 + C2 y2 với C1 C2 số Áp dụng định lý tổ hợp nghiệm, ta có y nghiệm phương trình vi phân Coi Φ nghiệm tùy ý phương trình vi phân Ta chứng minh Φ có dạng y = C1 y1 + C2 y2 với C1 C2 số Hai hàm y1 , y2 độc lập tuyến tính nên tồn xo ∈ I thỏa mãn W (y1 , y2 ) (x0 ) ̸= ⇔ y1 y2′ (xo ) − y1′ (xo ) y2 (xo ) ̸= Gọi k1 = Φ (xo ) k2 = Φ′ (xo ) Xét nghiệm y3 = C1 y1 + C2 y2 phương trình vi phân với số C1 , C2 chọn cho   y (x ) = k C y (x ) + C y (x ) = k o 1 o 2 o ⇔ y ′ (x ) = k C y ′ (x ) + C y ′ (x ) = k 1 o 2 o o  k1 y2′ (xo ) − k2 y2 (xo )   C1 = y1 (xo ) y2′ (xo ) − y1′ (xo ) y2 (xo ) ⇔ y1 (xo ) k2 − y1′ (xo ) k1   C2 = y1 (xo ) y2′ (xo ) − y1′ (xo ) y2 (xo ) (Trong mẫu số W (y1 , y2 ) (xo ) nên khác 0) Xét toán  ′′ ′   y + a(x)y + b(x)y = y (xo ) = k1   y ′ (xo ) = k2 Ta thấy Φ y3 nghiệm toán trên, Φ y3 trùng Vậy I ta có Φ = C y1 + C y2 Định nghĩa 1.3.4 (xem [2]) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng phương trình dạng y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x), (1.10) p, f q hàm số theo biến x f (x) hàm liên tục 16 Phương trình tương ứng y ′′ + py ′ + qy = (1.11) gọi phương trình bổ trợ đóng vai trị quan trọng việc giải phương trình không Định lý 1.3.5 (xem [2]) Nghiệm tổng qt phương trình khơng viết dạng y(x) = yp (x) + yc (x), yp nghiệm riêng phương trình khơng (1.10) yc nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (1.11) Chứng minh Giả sử y(x) nghiệm tổng quát yp (x) nghiệm riêng phương trình (1.10) Ta chứng minh y −yp nghiệm phương trình (1.11) Thật vậy, ′′ ′ (y − yp ) + p (y − yp ) + q (y − yp ) = y ′′ − yp′ + py ′ − pyp′ + qy − cyp = (y ′′ + py ′ + qy) − yp′′ + pyp′ + qyp
= f (x) − f (x) = Điều chứng tỏ y − yp nghiệm phương trình (1.11) Nhưng y nghiệm tổng quát (1.10) nên nghiệm tổng quát phương trình (1.11) Tức y − yp = yc hay y = yp + yc Ví dụ 1.3.5 Giải phương trình y ′′ + y ′ − 2y = x2 Phương trình đặc trưng y ′′ +y ′ −2y = r2 +r−2 = (r−1)(r+2) = 0, có nghiệm r1 = r2 = −2 Vì nghiệm tổng quát phương trình tương ứng yc = C1 ex + C2 e−2x Bởi f (x) = x2 đa thức bậc nên tìm nghiệm riêng dạng yp = Ax2 + Bx + C 17 Khi yp′ = 2Ax + B yp′′ = 2A, thay vào phương trình vi phân cho, ta
(2A) + (2Ax + B) − Ax2 + Bx + C = x2 Hay −2Ax2 + (2A − 2B)x +(2A + B − 2C) = x2 Các đa thức hệ số nhau, −2A = 1; 2A − 2B = 0; 2A + B − 2C = Nghiệm hệ phương trình đại số A=− ; B=− ; C=− Nghiệm riêng phương trình khơng 1 yp (x) = − x2 − x − , 2 theo Định lý 1.3.5, nghiệm tổng quát 1 y = yc + yp = − x2 − x − + C1 ex + C2 e−2x 2 18 Chương PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Trong chương này, tơi giải thích ngắn gọn phép tính tỷ lệ thời gian cho việc nghiên cứu phương trình tích phân thang thời gian Phần trình bày chương cho nhìn sâu sắc kỹ lưỡng phép tính tỷ lệ thời gian 2.1 Khái niệm thang thời gian Định nghĩa 2.1.1 (xem [3]) Thang thời gian tập đóng tùy ý khác rỗng tập số thực R, ký hiệu T Ta giả sử xun suốt thang thời gian T có tơpơ mà cảm sinh từ tơpơ tập số thực R với tơpơ tiêu chuẩn Phép tính vi tích phân thang thời gian đề xướng Stefan Hilger nhằm tạo lý thuyết thống phân tích rời rạc liên tục Thật vậy, đạo hàm Delta f ∆ cho hàm f định nghĩa thang thời gian T sau f ∆ = f ′ đạo hàm thông thường T = R f ∆ = ∆f tốn tử vi phân thơng thường T = Z Định nghĩa 2.1.2 (xem [3]) Toán tử σ : T 7−→ T xác định σ(t) := inf{s ∈ T : s > t}, gọi toán tử nhảy tiến thang thời gian T Lưu ý σ(t) ≥ t với t ∈ T Ví dụ 2.1.3 Nếu T = Z σ(n) = n + 19 Nếu T = R σ(t) = t Định nghĩa 2.1.4 (xem [3]) Toán tử ρ : T 7−→ T xác định ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}, gọi toán tử nhảy lùi thang thời gian T Lưu ý ρ(t) ≤ t với t ∈ T Ví dụ 2.1.5 Nếu T = Z ρ(n) = n − Nếu T = R ρ(t) = t Định nghĩa 2.1.6 (xem [3]) Điểm t ∈ T gọi điểm cô lập phải (rightscattered) σ(t) > t, trù mật phải (right-dense) t < sup T σ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) ρ(t) < t, trù mật trái (left-dense) t > inf T ρ(t) = t Điểm vừa cô lập phải vừa cô lập trái gọi điểm cô lập (isolated), điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi điểm trù mật (dense) √ √ Ví dụ 2.1.7 Cho T = { 2n + : n ∈ N} Nếu t = 2n + với n ∈ N, n = t 2−1 √ √ √ √ σ(t) = inf{l ∈ N : 2l + > 2n + 1} = 2n + = t2 + với n ∈ N, √ √ √ √ ρ(t) = sup{l ∈ N : 2l + < 2n + 1} = 2n − = t2 − với n ∈ N, n ≥ Cho n = ta có: √ √ ρ( 3) = sup ∅ = inf T = Vì p p − < t < t2 + với n ≥ 2, √ ta kết luận điểm 2n + 1, n ∈ N, n ≥ 2, điểm cô lập phải √ điểm cô lập trái, tức là, điểm 2n + 1, n ∈ N, n ≥ điểm lập Bởi Ta có điểm t2 √ √ √ √ √ = ρ( 3) < σ( 3) = điểm cô lập phải 20 Định nghĩa 2.1.8 (xem [3]) Hàm số µ : T → R+ xác định µ(t) := σ(t) − t, với t ∈ T, gọi hàm hạt (graininess) thang thời gian T Ký hiệu (a, b)T = {t ∈ T : a < t < b} Để cho đơn giản, ngoại trừ trường hợp cần nhấn mạnh, từ trở ta viết (a, b); (a, b]; [a, b); [a, b] thay cho (a, b)T ; (a, b]T ; [a, b)T ; [a, b]T Nếu thang thời gian T có phần tử lớn M điểm lập trái ta đặt Tk = T\{M }; Tk = T trường hợp lại Chẳng hạn, [a, b]k = [a, b] b điểm trù mật trái [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] b lập trái  Ví dụ 2.1.9 Cho T = 2n+1 : n ∈ N t = 2n+1 ∈ T với n ∈ N Khi  σ(t) = inf 2l+1 : 2l+1 > 2n+1 , l ∈ N = 2n+2 = 2t Như vậy, µ(t) = σ(t) − t = 2t − t = t
µ 2n+1 = 2n+1 , n ∈ N Định lý 2.1.1 (xem [3]) (Nguyên lý quy nạp) Với t0 ∈ T Giả sử {S(t) : t ∈ [t0 , ∞)} họ khẳng định thoả mãn: Khẳng định S (t0 ) đúng, Nếu t ∈ [t0 , ∞) điểm cô lập phải S(t) S(σ(t)) đúng, Nếu t ∈ [t, ∞) điểm trù mật phải S(t) tồn lân cận U t cho S(s) với s ∈ U ∩ (t, ∞), Nếu t ∈ (t0 , ∞) điểm trù mật trái S(s) với s ∈ [t0 , t) S(t) Khi đó, S(t) với t ∈ [t0 , ∞) 21 Chứng minh Cho  S ∗ := t ∈ [t0 , ∞) : S(t) không Ta S ∗ = ∅ Để thấy mâu thuẫn, ta giả sử S ∗ ̸= ∅ Nhưng S ∗ vừa đóng rỗng, ta có inf S ∗ =: t∗ ∈ T Nếu t∗ = t0 , S (t∗ ) với (1) Nếu t∗ ̸= t0 ρ (t∗ ) = t∗ , S (t∗ ) với (4) Cuối cùng, ρ (t∗ ) < t∗ , S (t∗ ) với (2) Do đó, trường hợp, t∗ ∈ / S ∗ Như vậy, t∗ không điểm cô lập phải, t∗ ̸= max T Từ t∗ điểm trù mật phải Ví dụ 2.1.10 Cho n ∈ N0 , số điều hòa Hn xác định sau: H0 = 0, Hn = n X k=1 k Khi H = {Hn : n ∈ N} thang thời gian Pn+1 Ta có σ (Hn ) = k=1 k1 , (P n−1 ρ (Hn ) = µ (Hn ) = k=1 k n ⩾ n ∈ {0, 1} n+1 2.2 Giới hạn liên tục Trong phần này, ta khái quát khái niệm giới hạn tính liên tục thực cổ điển phân tích cách đưa giới hạn trù mật (giới hạn d) tính liên tục trù mật (d-liên tục) Hơn nữa, ta đưa khái niệm tương tự tính liên tục trù mật bên phải bên trái phép tính tỷ lệ thời gian cổ điển Trong suốt phần lại, ta giả sử ⟨T, E, α⟩ thang 22 thời gian Thơng thường, khơng có nhầm lẫn liên quan đến E α, ta kí hiệu ⟨T, E, α⟩ đơn giản T Khi ta viết limr→t nghĩa t, r ∈ T Định nghĩa 2.2.1 (xem [5]) Cho A tập T Điểm t ∈ T gọi là: (i) Điểm giới hạn trù mật tiến, gọi điểm f d - giới hạn A t ∈ T\{α} điểm giới hạn A ∩ Tt ∩ (α, t), (ii) Điểm giới hạn trù mật lùi, gọi điểm bd-giới hạn A t ∈ T\{α, inf T, sup T } điểm giới hạn A ∩ Tt \[α, t], (iii) Điểm giới hạn trù mật, gọi điểm d - giới hạn A điểm giới hạn A ∩ Tt Các tập hợp f d − L(A), bd −L(A) d − L(A) biểu thị tất điểm f d-giới hạn, bd-giới hạn d-giới hạn A tương ứng Bổ đề sau nghiên cứu số tính chất điểm giới hạn trù mật Bổ đề 2.2.1 (xem [5]) Cho T ⊋ {t} Ta có mệnh đề sau: (i) Nếu t ∈ d − L(T), Tt lân cận t, (ii) t ∈ d−L(T) thuộc trường hợp: t trù mật, t ∈ / {inf T, sup T} điểm trù mật tiến, t ∈ / {inf T, sup T} điểm trù mật lùi, (iii) Nếu t ̸= α, t điểm trù mật tiến t ∈ f d − L(T), (iv) Nếu t ∈ / {α, inf T , sup T }, t điểm trù mật lùi t ∈ bd − L(T ) Trong suốt phần này, X biểu thị không gian Banach Định nghĩa 2.2.2 (xem [5]) Cho f : T −→ X Giả sử t ∈ f d − L(T)(t ∈ bd − L(T)) Ta nói giới hạn trù mật tiến (hoặc lùi); f d-giới hạn (hay bd-giới hạn) f tồn t, có phần tử l ∈ X cho với ε > có lân cận U t Tt cho: ∥f (r) − l∥ < ε với r ∈ U ∩ (α, t) (r ∈ U \[α, t]) 23 Ví dụ 2.2.3 Xét thang thời gian ⟨T, E, α⟩ Ta có T1 = (0, ∞), T0 = [0, 1), Tt = [t] với t ∈ T\{0, 1} Lưu ý t ∈ / Tt′ với t ∈ T\{0, 1}, ∈ T0′ ∈ T1′ , tức d − L(T) = S = {0, 1} Giả sử f : T −→ R, ta có d − lim f (r) = lim f (r), r→1 r→1 d − lim f (r) = lim+ f (r), r→0 r→0 giới hạn tồn Bây giờ, ta định nghĩa f ( t, t ∈ T ∩ Q, f (t) = −t, ngược lại, Khi limr→t khơng tồn với t ∈ T, d-lim với t ∈ T\{0, 1} r→t f (r) = f (t) Định nghĩa 2.2.4 (xem [5]) Cho f : T −→ X Khi f gọi là: (i) Điều hịa A ⊆ T giới hạn f d - limr→t f (r) với t ∈ fd-L (A) ⃗ dbd- limr→t f (r) với t ∈ bd −L(A) tồn tại, α ∈ d − L(A) lim f (r) tồn tại, (ii) Liên tục trù mật; liên tục d ; điểm t ∈ T với ε > 0, có lân cận U t Tt cho ∥f (r) − f (t)∥ < ε r ∈ U f cho liên tục d A ⊆ T liên tục d điểm thuộc A, (iii) Liên tục trù mật tiến; f d-liên tục; A ⊆ T với điều kiện điều hịa A liên tục d tất điểm trù mật tiến A Nhận xét 2.2.5 (xem [5]) Đối với hàm f : T −→ X, ta lưu ý điều sau: (i) f liên tục d A ⊆ T liên tục điểm d − L(A) (ii) f liên tục d A ⊆ T liên tục d tất điểm trù mật tiến A tất điểm trù mật lùi A, tức f liên tục d A f f d-liên tục bd-liên tục A, (iii) Nói chung, tính liên tục f d (bd-liên tục) khơng bao hàm tính liên tục d, 24 (iv) Tính liên tục ngụ ý tính liên tục d, điều ngược lại khơng thiết phải đúng, (v) f liên tục A ⊆ T f liên tục d tất điểm trù mật tiến A tất bd-giới hạn tồn tất điểm trù mật lùi A\{inf T, sup T} 2.3 Đạo hàm thang thời gian Định nghĩa 2.3.1 (xem [4]) Xét hàm số f : T → R ∆ - đạo hàm (còn gọi đạo hàm Hilger) f t ∈ Tk số (nếu tồn tai), ký hiệu f ∆ (t), với ε > cho trước tồn lân cận U t cho