Luận văn thạc sĩ phương pháp thứ hai của lyapunov và ứng dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm và phương trình vi phân hàm có xung

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN CAO TH± ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THÚ HAI CUA LYAPUNOV VÀ ÚNG DUNG TRONG VIfiC NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CĨ XUNG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN CAO TH± ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THÚ HAI CUA LYAPUNOV VÀ ÚNG DUNG TRONG VIfiC NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CĨ XUNG Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS Đ¾NG ĐÌNH CHÂU Mnc lnc Lài nói đau Lài cam ơn M®t so đ%nh lý ban cua phương pháp thÉ hai cua Lyapunov Rn 1.1 H¾ rút GQN 1.2 Các khái ni¾m ve őn đ%nh 1.3 Các hàm xác đ%nh dau 1.4 Đ%nh lý thú nhat cna Lyapunov ve sn őn đ%nh .10 1.5 Đ%nh lý thú hai cna Lyapunov ve sn őn đ%nh ti¾m c¾n 12 1.6 Đ%nh lý thú ba cna Lyapunov ve sn không őn đ%nh .15 1.7 Sn őn đ%nh mũ 17 Ve phương pháp hàm Lyapunov đoi vái phương trình vi phân hàm 2.1 2.2 20 Sn ton tai nhat nghi¾m cna tốn vói giá tr% ban đau .20 2.1.1 Đ%nh nghĩa ký hi¾u 20 2.1.2 Đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m 21 Các đ%nh lý ban ve phương pháp hàm Lyapunov đoi vói phương trình vi phân hàm 23 2.2.1 2.2.2 Các khái ni¾m ve őn đ%nh .23 Các đ%nh lý ve sn őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân hàm 25 2.3 Đ%nh lý Razumikhin 33 Phương pháp hàm Lyapunov đoi vái phương trình vi phân hàm có xung 38 3.1 Sn ton tai nhat nghi¾m cna phương vi phân hàm có xung38 3.2 Các đ%nh lý őn đ%nh kieu Lyapunov-Razumikhin cna h¾ phương trình vi phân hàm có xung 41 3.3 Phương trình vi phân có ch¾m-Logistic vói nhieu xung 46 3.3.1 Tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m vói nhieu xung 46 3.3.2 Sn dao đng nghiắm cna phng trỡnh vi phân tuyen tính50 3.3.3 Phương trình Logistic có ch¾m vói nhieu xung 51 Ket lu¾n 55 Lài nói đau M®t nhung ngưịi có cơng đau viắc nghiờn cỳu mđt cỏch hắ thong v hon thi¾n tốn nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân nhà tốn HQc ngưịi Nga A.Lyapunov Vào năm 1982, ông công bo ket qua nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m lu¾n văn tien sĩ khoa HQc női tieng cna Trong ban lu¾n văn ơng đưa phương pháp khác đe giai quyet tốn ve tính n %nh nghiắm cna cỏc phng trỡnh vi phõn Mđt phương pháp phương pháp hàm Lyapunov, nhị phương pháp có the xác đ%nh tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân thơng qua tính chat tương úng cna m®t phiem hàm đưoc kí hi¾u V (t, x) mà khơng can thiet phai biet rõ nghi¾m tưịng minh cna phương trình vi phân xét Tù đen có rat nhieu cơng trình nghiên cúu khoa HQc tiep theo ve phng phỏp ny Ngoi viắc mo rđng v hon thiắn phương pháp hàm Lyapunov ngưịi ta phát trien cho nhung mơ hình nghiên cúu mói đe có the úng dung toán thnc te đa dang v phỳc tap hn Nđi dung chớnh cna luắn l trỡnh by mđt cỏch hắ thong cỏc ket qua ban ve phương pháp hàm Lyapunov cho dang phương trình vi phân thưịng Rn, phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm b% nhieu có xung Ngồi vi¾c trình bày đ%nh lý ve tính őn đ%nh, tính őn đ%nh ti¾m c¾n cna Lyapunov cho dang phương trình vi phân mói trên, chúng tơi ó ginh mđt sn quan tõm ắc biắt oi vúi phương pháp hàm Lyapunov kieu Razumikhin Phương pháp tao nờn mđt u the cho chỳng ta viắc nghiờn cúu tính őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm sau phương trình vi phân hàm b % nhieu có xung Phan cuoi cna lu¾n văn trình bày m®t minh HQA cho mơ hình dân so dang đơn gian (phương trình Logistis) Trong mơ hình chi kha úng dung cna lý thuyet đ%nh tính cna phương trình vi phân cho phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m vói nhieu cú xung Ton bđ nđi dung luắn gom ba chương: Chương 1: M®t so đ%nh lý ban cna phương pháp thú hai cna Lyapunov R n Chương 2: Ve phương pháp hàm Lyapunov đoi vói phương trình vi phân hàm Chương 3: Phương pháp hàm Lyapunov đoi vói phương trình vi phân hàm có xung Lài cam ơn Em xin chân thành cam ơn ban chn nhi¾m Khoa tốn , đong nghi¾p tao đieu ki¾n cho em hồn thành tot ban lu¾n văn Em xin bày to lòi cam ơn sâu sac tói thay hưóng dan PGS TS Đ¾ng Đình Châu gia đình, ban bè hưóng dan t¾n tình nh đng viờn em quỏ trỡnh lm luắn Chương M®t so đ%nh lý ban cua phương pháp thÉ hai cua Lyapunov Rn 1.1 H¾ rút gQN Gia su cho h¾ vi phân phi tuyen thnc: dy dx = Y (t, y) (1.1) Trong Y ∈ Ct(0,1)(Ω) Ω = {a < t < ∞, y ∈ G} (a so hay −∞, G t¾p mo y khơng gian Euclide thnc n chieu Rn y ), moi điem (t0, y0) ∈ Ω thoa mãn đ%nh lý đ%a phương ve sn ton tai nhat nghi¾m y = y(t, t0, y0) đoi vói h¾ (1.1) vói đieu ki¾n ban đau y(t0, y0) = y0 Trong chương ta giói han chi xét nghi¾m thnc Gia su η = η(t) (t ≤ +∞, t > a) nghi¾m cna h¾ (1.1) (chuyen đ®ng khơng b% nhieu) mà ta phai nghiên cúu tính őn đ%nh cna nó, nua gia su H lân c¾n cna nghi¾m cho UH (η(t)) ⊆ G vói t ∈ [t0, ∞), UH (η(t)) = {(t, y) : t0 ≤ t < +∞ : ||y − η(t)|| < H ≤ ∞} Ta đ¾t: x=y − η(t), (1.2) ϕ ∈ C([−τ, 0), R) Dna theo lý lu¾n cna Corduneanu and Luca đưoc trình bày [1] nghi¾m đưoc cho boi x(t) = U (t)x0 + y(t, ϕ) + U (t − s)h(s)ds ∫ (3.15) t U , y(t, ϕ) , h(t) đưoc xác đ%nh boi phương trình dU (t) + aU (t− τ ) = dt (3.16) U (t) = 0, t ∈ [−τ, 0), U (0+) = ∫ y(t, ϕ) = −a U (t − τ − s)ϕ(s)ds, − τ ∞ Σ h(t) = t>0 (3.17) bi x(t−i )δ(t − ti ), t>0 (3.18) j=1 Chú ý rang (do < aτ < π/2) tù tính őn đ%nh ti¾m c¾n mũ cna nghi¾m tam thưịng cna (3.10) trưịng hop khơng có xung ta suy y(t, ϕ) → t → ∞ Trong bieu thúc cna (3.15), không mat tính tőng qt có the gia su rang ϕ(t) = [−τ, 0) (3.15) (3.18) có dang sau: x(t) = U (t)x(0+), t ∈ [0, t1) x(t) = U (t)x(0+ ) + U (t − t1 )b1 x(t−1 ), t2 ) (3.20) (3.19) t ∈ [t1 , Theo (3.10) ta có x(t+) = (1 + bj)x(t−), 2, 3, (3.21) j j = 1, j Tù (3.19), (3.20) ta có x(t) = U (t)(1 + b1)x(0+),t ∈ [t1, t2) Tương tn Gia su (3.22) x(t) = U (t)(1 + b1)(1 + b2)x(0+) , t ∈ [t2, t 3) (3.23) k Y x(t) = U (t) (1 + bj)x(0+), t ∈ [tk, tk+1) j=1 bj x(t−j )U (t − tj ) vói t ∈ [tk+1, tk+2) ta có x(t) = U (t)x(0 ) + + Σ tk+1 vói MQI t ≥ t∗ (neu x(t) < xét −x(t)) Tù tính cuoi dương cna nghi¾m x(t) > 0, x˙ (t) ≤ 0, vói mQI t đn lón, x(t) hàm khơng tăng khoang (tj , tj+1 ), j = 1, 2, 3, Chúng ta se chúng minh đ%nh lý trưòng hop τ ≥ T Lay tích phân phương trình đau cna (3.26) (ti, ti + T ) x(ti + T ) − x(ti + 0) + ti + ∫0 ti +T p(s)x(s − τ )ds = (3.29) Theo tính khơng tăng cna x, tù (3.29) ta có p(s)d x(ti + T − τ ) ≤0 x(ti + T ) − x(ti + 0) + Σ ti + s ∫ ti +T x(ti + T ) − x(ti + 0) + x(ti − 0) Σ p(s)ds ≤ (3.30) ti + T ∫ti +0 Su dung đieu ki¾n cna (3.26) ta đưoc x(ti−) = x(ti+) 1+b thay vào (3.30) ta có i ∫ ti +T Σ Σ x(ti + T ) + x(ti + 0) 1+ b i p(s)ds − 1t ≤ (3.31) i Tuy nhiên (3.31) mâu thuan vói tính dương cna x (3.27) Tương tn ta có sn mâu thuan trưịng hop < τ ™ T V¾y nghiắm x(t)) cna (3.26) l dao đng 3.3.3 Phng trỡnh Logistic có ch¾m vái nhieu xung Xét phương trình bi [x(ti −) − K]δ(t −i t ) , dx(t) = rx(t) d ,t Σ∞ + 1− (3.32) x(t − τ ) K r, K, τ hang so dương, bi, ti so thnc cho < t1 < t2 < < tj → ∞ j → ∞ Chúng ta chn yeu quan tâm đen dáng đi¾u ti¾m c¾n cna (3.32) đ¾c bi¾t trang thái őn đ%nh K vói sn tương úng nghi¾m cna (3.32) vói tốn gía tr% ban đau ϕ(s) ≥ [−τ, 0), ϕ(0) > ϕ ∈ C[−τ, 0] Neu cho x(t) = K[1 + y(t)] (3.32) y đưoc cho boi ∞ i d t dy(t) i i i i= = −r[1 + y(t)]y(t − τ ) + Σ b y(t−)δ(t − t ), t ƒ= t (3.33) đieu ki¾n đn đe xét dáng đi¾u ti¾m c¾n cna nghi¾m tam thưịng cna (3.33) Xét phương trình dz dt = −r[1 + z(t)]z(t − τ ) (3.34) Neu z(t) l mđt nghiắm cna (3.34) thỡ phng trỡnh bien phân tương úng vói nghi¾m z(t) cna (3.34) có dang: du(t) = −rz(t − τ )u(t) − r[1 + z(t)]u(t − τ ) d t Chúng ta biet ket qua neu ϕ "nho" neu < rτ < π/2 (3.35) (3.36) theo [13] [8] MQI nghi¾m z(t) cna (3.34) se xap xi mũ ve không t → ∞ Đoi vói z v¾y, nghi¾m tam thưịng (3.34) őn đ%nh ti¾m c¾n đeu (xem [3]) Túc ton tai hang so dương M ≥ α > cho vói (t0 , ϕ) ∈ [0, ∞)× C[−τ, 0] ϕ nho ||u(t, t0, ϕ) ≤ M||ϕ||exp[−α(t − t0)]||, t ≥ t0 (3.37) Chúng tơi có ket qua sau Đ%nh lý 3.3.3 Gia su hang so dương r, τ thóa mãn < rτ < π/2 Và α hang so dương (3.37) Cho N = sup1 + M|bi|, i = 1, 2, 3, ti+1 − ti ≥ T.i = 1, 2, 3, , ϕ "nhó" −α + [lnN/T ] < (3.38) Khi MQI nghi¾m cua (3.33) xap xs mũ đen không t → ∞ Chúng minh Theo công thúc bien thiên hang so (xem [10], [4]), tù (3.33) (3.34) ta có y(t) = z(t) + ∫t ∞ T (t, s, ys)X0 n(t) Σ Σi=1 = z(t) + bi y( s− i ) δ(s − ti )ds T (t, tj , ytj )X0 bj y(t−j ), t > n(t) (3.39) j=1 T (t, tj , ytj )X0 nghi¾m cna (3.35) vói giá tr% ban đau thoa mãn u(t) = [−τ, 0) u(0+) = Tù (3.39) ta có y(t) = z(t) (0, t1) (3.40) y(t) = z(t) + T (t, t1 , yt1 )X0 b1 y(t−1 ) (t1 , t2 ) (3.41) |y(t)| ≤ M||z0||e−αt + M 2|b1|||z0||e−αt + M|b2|e−α(t−t2)||z0||M (1 + M|b1|)e−αt1 ≤ M (1 + M|b1|)(1 + M|b2|)e−αt||z0||, (t2, t3) (3.42) Bang phương pháp quy nap ta có the chúng minh rang n Y |y(t)| ≤ M||z0|| (1 + M|bi|)e−αt, (tn, tn+1) (3.43) i=1 Neu cho (3.43) tro thành N = sup1 + M|bi|, i = 1, 2, 3, |y(t)| ≤ MNn(t)e−αt||z0|| (3.44) ti+1 − ti ≥ T n(t) ≤ t/T ta có |y(t)| ≤ M||z0||exp[−αt + (tlnN )/T ] = M||z0||exp[−{α − (lnN/T )}t] (3.45) Chúng ta có ket qua sau, mà chúng minh cna tương tn chúng minh cna đ%nh lý (3.3.2) (trang 48-49) Đ%nh lý 3.3.4 Xét h¾ có ch¾m logistic vái xung dang dy(t) + p(t)[1 + y(t)]y(t − τ ) = 0, t ƒ= ti d t y(ti + 0) − y(ti − 0) = biy(ti − 0), < t2 < < tj → ∞ j → ∞ gia su i) ti+1 − ti ≥ T, τ ≥ T, i = 1, 2, 3, < t1 (3.46) ii) p ∈ C(R+, R+) iii) lim sup ti+T ∫ p(s)ds > i→∞ + bi ti Khi MQI nghi¾m cua (3.46) dao đng Ket luắn Nđi dung chớnh cna luắn gom: Trỡnh by mđt cỏch hắ thong lai phng phỏp hàm lyapunov đe nghiên cúu dang phương trình vi phân sau: h¾ phương trình vi phân Rn, phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm vói nhieu có xung Trình bày m®t ket qua cai tien cna phương pháp hàm Lyapunov vi¾c nghiên cúu tính őn đ%nh cna phương pháp hàm hàm LyapunovRazumikhin Thơng qua ví du cu the trình bày kha úng dung cna phương pháp xap xi thú nhat cna Lyapunov đoi vói mơ hình dân so Logistic b% nhieu vói xung Trên so có the phát trien phương pháp xap xi thú nhat cna Lyapunov tiep tuc nghiên cúu mơ hình úng dung đoi vói phương trình vi phân tuyen tính có xung (Do thịi gian có han chúng tơi xin phép đưoc tiep tuc nghiên cúu toán sau hồn thành vi¾c bao v¾ lu¾n văn) Tài li¾u tham khao [1]C.Corduneanu and N.Nuca, (1975), "The stability of some feedback systems with delay", J.Math Anal Appl 51, 377 [2]W A Coppel, (1965), Stability and asymptotic behavior differential equation, D C Heath and company Boston [3]R D Driver, (1977), "Ordinary and delay differential equations", App Math Sci Vol 20, Springer-Verlag, New York [4]S P Hastings, (1986), Variation of parameters for nonlinear differentialdifference equations, Proc Amer Math Soc 19 , 1211-1216 [5]V B Kolmanovskii and V R Nosov, (1986), Stability of Functional Differ- ential equations, Academic Press, London [6]Jack K.Hale, Sjoerd M.Verluyn Lunel, (1999), Introduction to Functional Differential Equation, Springer-Verlag, Newwork [7]A K Gopalasamy and B G Zhang, (1989), "On delay differetial equations with impulse", Journal of mathematical analysis and application 139, 110122 [8]K Gopalasamy, (1986), "On the global attractivity in a generalised deleylogistic differential equations", Math Proc Cambridge Philos Soc 100, 183-192 [9]A Ivanka Stamova, (2000), Stability analysis of impulsive functional differential equations, Walter de Gruyter [10]G A Shanholt, (1972), "A nonlinear variation of constants formula for functional differential equations", Math Systems Theory 6, 343-352 [11]Jianhua Shen and Jurang Yan, (1998), "Razumikhin type stability theorems for impulsive functional differential equations", Nonlinear Analysis 33, 519531 [12]A Yang Kuang, (1993), Delay differential equations with application in population dynamics, Academic press, Inc [13]B G Zhang and K Gopalasamy, "Global attractivity in the delay logistic equation with variable parameter", Math Proc Cambridege Philos Sc., submitted ... ban ve phương pháp hàm Lyapunov cho dang phương trình vi phân thưịng Rn, phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm b% nhieu có xung Ngồi vi? ?c trình bày đ%nh lý ve tính őn đ%nh, tính őn... HOC TU NHIÊN CAO TH± ĐÔNG PHƯƠNG PHÁP THÚ HAI CUA LYAPUNOV VÀ ÚNG DUNG TRONG VIfiC NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CĨ XUNG Chun ngành: TỐN GIAI... phương trình vi phân hàm có xung 41 3.3 Phương trình vi phân có ch¾m-Logistic vói nhieu xung 46 3.3.1 Tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính có ch¾m vói nhieu xung