Luận văn thạc sĩ tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC TĂNG TH± NGA TONG QUAN VE M®T SO PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH NGAU NHIÊN LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngành: Tốn HQC Hà N®i - 2015 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HOC TĂNG TH± NGA TONG QUAN VE M®T SO PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH NGAU NHIÊN LU¼N VĂN THAC SY Ngành: Tốn HQC Cán b® hưáng dan: GS TS Nguyen HEu Dư LèI CAM ƠN Trưóc trình bày nđi dung chớnh cna khúa luắn, em xin by to lịng biet ơn sâu sac tói GS TS Nguyen Huu Dư ngưịi Thay đáng kính ln t¾n tình chi bao giúp đõ em suot thòi gian qua Nhân d%p em xin đưoc gui lòi cam ơn chân thành tói gia đình, ban bè ln bên em, cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ em suot q trình HQ c t¾p thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p M¾c dù có nhieu co gang, song q trình thnc hi¾n khóa lu¾n em khơng tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, em rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna Thay Cơ ban bè đong nghi¾p, đe khóa lu¾n đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 06 tháng 06 năm 2015 Sinh viên Tăng Th% Nga Mnc lnc Kien thÉc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m ban ve xác suat 1.2 Các khái ni¾m ban ve őn đ %nh 12 Các phương pháp nghiên cÉu tính on đ%nh cua h¾ sai phân ngau nhiên 14 2.1 Phương pháp su dung hàm Lyapunov 14 2.2 Phương pháp so sánh nghiên cúu tính őn đ%nh theo moment cna phương trình tna tuyen tính 19 2.3 Phương pháp su dung Martingale bat thúc 36 2.3.1 Dáng đi¾u cna phân phoi xác suat 36 2.3.2 Őn đ%nh ti¾m c¾n hau chac chan 40 2.3.3 Không őn đ%nh hau chac chan 43 Ket lu¾n 45 Tài li¾u tham khao 46 Ma đau Nghiên cúu tính őn đ%nh cna mđt hắ đng lnc l mđt bi toỏn het sỳc quan TRQNG ca lý thuyet lan thnc hành Năm 1892, nhà toán HQc női tieng A.M Lyapunov, ban lu¾n án tien sy cna mình, đưa hai phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh cna nghi¾m cna phương trình vi phân Đó phương pháp so mũ phương pháp hàm Lyapunov [12] Tù đen nay, toán thu hút đưoc sn quan tâm nghiên cúu cna nhieu nhà tốn HQc có nhieu ket qua sâu sac ve ca lý thuyet lan úng dung Chúng ta có the ke đen nhà tốn HQc có nhieu đóng góp lĩnh vnc Hahn (1967) Lakshmikantham et al (1989) [10, 11] nhieu nhà toán hQc khác X Mao [18]; L Arnol [2] Trong cỏc hắ đng lnc, hắ oc mơ ta boi phương trình sai phân đóng vai trị het súc quan TRQNG Chúng ta có the thay sn xuat hi¾n nhieu tốn thnc te mơ hình tăng trưong cna quan the kieu Leslie, mơ hình đ®ng HQc kinh te đa lĩnh vnc Leontief ho¾c ta rịi rac hóa đe tính toỏn nghiắm cna mđt phng trỡnh vi phõn, phõn tích h¾ thong du li¾u mau cna thong kê Vi¾c phân tích du li¾u khí, đi¾n, kĩ thu¾t đieu khien van đe thnc te khác phai can đen nghiên cúu cna phương trình sai phân ngau nhiên Chính v¾y, van đe nghiên cúu tính őn đ%nh đoi vói nghi¾m cna phương trình sai phân tốn đưoc rat nhieu ngưịi quan tâm phát trien nhieu phương pháp đe nghiên cúu bi toỏn ny Cng nh hắ đng lnc kha vi, phương pháp Lyapunov đưoc su dung đe nghiên cúu tính őn đ%nh Vói phương pháp hàm Lyapunov, ngưịi ta xây dnng m®t phiem hàm (GQI hàm Lyapunov) Phiem hàm đóng vai trị m®t "chuan" hay "phiem hàm lưong" quy đao DQc theo hàm se giam ho¾c tăng Đieu cho phép biet đưoc h¾ se őn đ%nh ho¾c khơng őn đ%nh Nhưoc điem cna phương pháp ny l cỏc ieu kiắn a phu thuđc vo hàm đưoc cHQN nên nói chung chi đieu ki¾n đn Phương pháp thú hai đưoc su dung phương pháp so sánh e ta so sánh quy ao cna hắ vúi cỏc quy ao cna hắ mđt chieu Ưu điem cna phương pháp có the de dàng biet h¾ chieu có őn đ%nh hay không thông qua tiêu chuan đơn gian Tuy nhiên vi¾c so sách khơng phai lúc thnc hi¾n đưoc quy đao cna h¾ nhieu chieu nói chung rat phúc tap Phương pháp tiep theo su dung đ%nh lý giói han có lý thuyet h®i tu cna q trình ngau nhiên (chn yeu đ%nh lý giói han lý thuyet martingale) Vói phương pháp ngưịi ta phân tích q trình thành tőng cna m®t q trình tng (hoắc giam) vúi mđt martingale Tự ú ta cú the a ket luắn hắ hđi tu hay khụng Nđi dung chớnh cna luắn bao gom chng Trong chương đưa vào kien thúc toi thieu đe su dung ve sau Chương nđi dung chớnh cna ban Luắn Phan 2.1 cna chương đe c¾p đen su dung hàm Lyapunov đe nghiên cúu tính őn đ%nh Trong chúng tơi trình bày đieu ki¾n đáp úng trang thái đe xích Markov őn đ%nh Trong muc 2.2 su dung phương pháp so sánh vói h¾ chieu Đây m®t tőng qt hóa cna đ%nh lý so sánh cna Ma Caughey’s [14] su dung đ%nh lý đe nghiên cúu đ%nh lý őn đ%nh chung cna phương trình sai phân ngau nhiên phi tuyen Muc 2.3 chúng tơi tái l¾p lai ý tưong ban tù lý thuyet cna martingale vói ket qua ve hđi tu Nđi dung chớnh cna phan hai ket qua ve őn đ%nh ti¾m c¾n hau chac chan M¾c dù co gang het súc thịi gian thnc hi¾n khóa lu¾n khơng nhieu nên khóa lu¾n khơng tránh khoi nhung han che sai sót Em rat mong nh¾n đưoc nhung góp ý sn chi bao cna thay Em xin chân thành cam ơn! Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Các khái ni¾m ban ve xác suat Gia su l mđt tu ý khỏc rong, F l mđt -ai so cỏc cna Ω Khi đó, c¾p (Ω, F ) đưoc GQi m®t khơng gian đo Gia su (Ω, F ) m®t khơng gian đo M®t ánh xa P : F → R đưoc GQI đ® đo xác suat F neu (i) P(A) “ vói ∀A ∈ F (tính khơng âm); (ii) P(Ω) = (tính chuan hố); (iii) Neu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅ j) (i Σ P(∪∞n=1An ) = ∞n=1 P(An ) (tớnh cđng tớnh em oc) Cỏc ieu kiắn (i)-(iii) đưoc GQI h¾ tiên đe Kolmogorov ve xác suat B® ba (Ω, F , P) đưoc gQI khơng gian xác suat Đ%nh 1.1 Gia su (Ω1, F1 ) (Ω2 , F2) hai không gian đo Ánh xanghĩa X −1 : Ω1 −→ Ω2 GQI ánh xa F1 /F2 đo đưoc neu vái MQI B ∈ F2 X (B) ∈ F1 M¾nh đe σ-đai 1.1 1.soGia F1,con G1 cua hai so conGcua , F2 , G2 hai cácsut¾p Ω σ-đai Khi đó, neut¾p F1 ⊂ , GΩ ⊂ F2 X : Ω1 → Ω2 ánh xa F1/F2 đo2 đưac X ánh xa1 G1/G đo đưac su X : Ω1Khi →Ω ánh /F2Ωđolàđưac, Ω2/F→ đo Ω3đưac ánh xa F2Gia /F3 đo đưac đó2 Ylà ◦ X xa : ΩF11→ ánh Yxa: F 3 −1σ(C) Khi ánh xa X : Ω1 → Ω2 F1/F2 đo đưac khi3 vàGia chssu khiF2X= (C) ∈ F vái MQI C ∈ C Đ%nh nghĩa 1.2 Gia su (Ω, F , P) không gian xác suat, G σđai so cua σ- đai so F Khi ánh xa X : Ω → R đưac GQI bien ngau nhiên G- đo đưoc neu ánh xa G/B(R) đo đưac (túc vái MQI B ∈ B(R) X−1(B) ∈ G) Trong trưàng hap đ¾c bi¾t, X bien ngau nhiên F- đo đưac, X đưac GQI m®t cách đơn gian bien ngau nhiên Đ%nh nghĩa 1.3 Gia su (Ω, F , P) không gian xác suat, X : Ω → R bien ngau nhiên G σ−trưàng cua F Khi đó, kỳ vQNG có đieu ki¾n cna X đoi vói σ−trưịng G bien ngau nhiên Y thóa mãn: (i) Y bien ngau nhiên G−đo đưac; (ii) Vái mői A ∈ G, ta có ∫ Ký hi¾u Y = E(X|G) Y dP = ∫ XdP A A Trong toàn bđ luắn ny, chỳng ta xột mđt khụng gian xác suat đay đn có LQc (Ω, F , (Fn )n∈N , P) Đ%nh nghĩa 1.4 Dãy bien ngau nhiên X = (Xn )n∈N đưac (Fn)−martingale neu (i) X = (Xn) ∈ N trình (Fn)−phù hap; (ii) E|Xn| < ∞ vái MQI n ∈ N; (iii) Vái MQI m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) = Xm h.c.c GQI tích neubình E(|x n | ) < ∞; ∀ n ∈ N Ký hi¾u t¾p tat ca martingale Martingale X = (Xn ) ∈ N đưac GQI martingale bình phương kha phương kha tích M Đ%nh nghĩa 1.5 Dãy bien ngau nhiên X = (Xn ) ∈ N đưac GQI (Fn)−martingale dưói neu đieu ki¾n (i) (ii) đưac thóa mãn (iii’) Vái m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) ≤ Xm h.c.c Đ%nh nghĩa 1.6 Dãy bien ngau nhiên X = (Xn )n∈N đưac GQI (Fn)−martingale neu đieu ki¾n (i) (ii) đưac thóa mãn (iii”) Vái m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) ≥ Xm h.c.c Đ%nh nghĩa 1.7 Dãy bien ngau nhiên X = (Xn )n∈N đưac GQI (Fn)−hi¾u martingale neu đieu ki¾n (i) (ii) đưac thóa mãn (iii”) Vái m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Fm) = h.c.c Bo đe 1.1 Gia su {Xn}n∈N m®t Fn-martingale, xác đ%nh ξn = Xn − Xn−1 Khi {ξn}n∈N l mđt Fn-hiắu-martingale Bo e 1.2 Gia su {n}nN, n ∈ N mơt dãy bien ngau nhiên đ®c l¾p cho Eξn = E |ξn| < ∞, vái mői n ∈ N Đ%nh nghĩa Σn Zn = ξi Khi {Zn} m®t Fn-martingale {ξn} , n N i= l mđt Fn-hiắu-martingale nN n∈N Bo đe 1.3 Gia su {ξn }n∈N môt dóy cỏc bien ngau nhiờn đc lắp cho En = E |ξn | < ∞, vái mői n ∈ N (Fn )n∈N b® LQc đưac sinh bái {ξn }n∈N Gia su {yn }n∈N m®t dãy bien ngau nhiên Fn n∈ mđt Fn-martingale o ac Zn+1 = i= yii+1 Khi N Σn {Zn} Bo đe 1.4 Gia su {Xn}nN l mđt dóy cỏc bien ngau nhiờn đc lắp Qn Fn-đo đưac Neu EXn = Zn = i= Xi, vái mői n ∈ N Khi {Zn}n∈N m®t Fn-martingale Bo đe 1.5 Gia su {ξn}n∈N l mđt hiắu-martingale, bỡnh phng kha tớch Khi ú ton tai mđt dóy {àn}nN cua Fn-hiắu-martingale v mđt dóy ngau nhiên dương Fn−1-đo đưac {ηn}n∈N cho vái mői n = 1, 2, hau chac chan ξn2 = µn + ηn, ηn = E Σ n 2/Fn−1 ξ Σ , µn = ξn2 − E Σ nξ2/Fn−1 Σ Bo đe 1.6 Neu {Xn}n∈N m®t dãy ngau nhiên tăng vái E |Xn| < ∞ vái ∀n ∈ N {Xn}n∈N m®t martingale dưái Bo đe 1.7 Neu {Xn}n∈N m®t Fn-martingale khơng âm, limn→∞Xn ton tai, h.c.c ton tai m®t Fn-martingale n∈N m®t dãy ngau nhiên tăng Fn−1-đo Đ%nh lý 1.1 Gia su rang{M {Xn} n}n∈N m®t Fn-martingale dưái Khi đưac {An}n∈N cho vái ∀n = 1, 2, Xn = Mn + An, hau chac chan (1.1) Đ%nh lý 1.2 Gia su {Xn}n∈N m®t Fn-martingale dưái khơng âm vái khai trien Doob’s (1.1) Khi đó, {A∞ < ∞} ⊆ {Xn →} Trong {Xn →} t¾p tat ca ω ∈ Ω mà lim Xn(ω) ton tai huu han n→ ∞ Bo đe 1.8 Gia su {Zn}n∈N m®t q trình Fn-đo đưac khơng âm, vái E |Zn| < ∞ vái mői n ∈ N Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1, n = 0, 1, 2, , {ςn}n∈N mđt Fn-hiắu-martingale, {un}nN, {n}nN l cỏc quỏ trỡnh Fn-o ac không âm E |un| , E |υn| < ∞ vái mői n ∈ N Khi Σ Σ ω : ∞u < ∞ ⊆ ω : ∞υ Σ n →} n n=1 < ∞Σ ∩ n=1 {Zn {Zn →} t¾p ω ∈ Ω limn→∞Zn ton tai huu han Chúng minh Ta có Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − + (1.2) ςn+1) = Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1, wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 m®t q trình Fn+1-đo Σn đưoc Vì dãy Zn = i= wi dãy tăng Fn-đo đưoc vói E |Zn| ≤ Σi= 1 m®t n E |wi | < ∞ vói MQI n ∈ N, nên theo bő đe 1.6 {Zn }n∈N Fn-martingale dưói Do đó, theo Đ%nh lý 1.1 có bieu dien n∈N ,Mn+(1) , Zn+1 = Cn + M (1) n+ , l mđt Fnmartingale v {Cn}nN 2.3.2 On %nh tiắm cắn hau chac chan Trong phan phát bieu ket qua ve őn đ%nh ti¾m c¾n hau khap nơi Đ%nh lý 2.13 đưoc đưa mà khơng có han che ve đuôi cna phân phoi lúc đ%nh lý 2.14 địi hoi toc đ® dan đen cna hàm phân phoi Trưóc het ta đe c¾p đen őn đ%nh hau khap nơi vói hắ so d%ch chuyen lm trđi cỏc ieu kiắn Gia thiet 2.3 Các h¾ so cua phương trình (2.11) thóa mãn 2a1,1 + b 1, + b 2, 1, 2a2,2 + b + b + |a1,2 + a2,1| < 0, (2.21) + |a1,2 + a2,1| < (2.22) 2, Đ%nh lý 2.13 Vái Gia thiet 2.3, ton tai h0 cho vái MQI h < h0 , limn→∞(X2n+ Y n2) = hau chac chan Chúng minh Theo (2.18) ưóc lưong Q(Xn, Yn) Chúng ta đ¾t ≤ X2n 2 [2a1,1 + b + b + |a1,2 + a2,1| + O(h)] 1,1 2,1 Zn + 2Yn [2a2,2 + b2 + b Zn := Q(Xn, Yn) 1, + |a1,2 + a2,1| + O(h)] 2,2 Wn := Zn, un := 0, := −hZnQ(Xn, Yn), √ )νn ς n:= hZ n− G( n− , X 1 Yn−1 Gia thiet 2.3 đam bao rang ton tai h0 > β > cho, vói MQI h < h0, ≥ β(X + Y 2) hau chac chan Áp dung bő đe 1.8 cho (2.20) ta thu đưoc n n P{ lim (X2 + Y 2)(ω) = c(ω)} = 1, n→∞ n n c(ω) ≥ m®t bien ngau nhiên bat kỳ huu han hau chac chan Neu P {c(ω) > 0} > se mâu thuan vói bő đe 1.8 Do c(ω) = hau chac chan Tiep đen ta đe c¾p đen őn đ%nh hau khap nơi vói đong thịi h¾ so d%ch chuyen h¾ so khuyech tán tham gia lm trđi Gia thiet 2.4 Cỏc hắ so cua (2.11) thóa mãn 2a1,1 + b22, + |a1,2 + a2,1| − < 0, (2.23) 2a2,2 + b21, b2 < 0, (2.24) 1, + |a1,2 + a2,1| −2, 2 + 2(a1,1 + a2,2) + 1, b b2 1, b2 2, + |a1,2 + a2,1| − (b2 −7/5, 1, = 7/2, + b 2, ) h < h0 , lim (X2 + Y 2) = hau chac chan n→∞ n n Chúng minh Vì moi thành phan cna (2.20) dương, ta có vói α ∈ (0, 1), α Z1n+ α = Z [1 + hQ(Xn , )+ Yn √ hG(X , ) Yn (h)]α (2.26) n n νn+1 Áp dung công thúc Itơ rịi rac đưoc đưa đ%nh lý 1.3, ta thu đưoc √ E Σ.1 + hQ(Xn, Yn) + hG(Xn, YnΣ νn+1(h))α/FnΣ =1+ αhQ(Xn , − α(1 − ) Yn α) hG2(X , Yn ) n (2.27) +hQ(Xn, Yn)O(h) + hG2(Xn, Yn)O(h) Thay giá tr% cna Q(Xn, Yn) G(Xn, Yn) tù (2.18) (2.19) vào , = , Yn) 1− Jn Q(Xn Yn ) α G (X Ta có đánh giá sau − n J(2a≤ n (X2 [X +Y 2)2 + +| a b2 1, 2, + a | − (1 − 2α)b 1,2 2, + O(h)) 1,1 n n n + Yn4(2a2,2 + 1, b2 + |a1,2 + a2,1| − (1 2 −2 2α)b 2 + X Y (2(a1,1 +a )+ b n n 2,2 1,1 2, + O(h)) + |a1,2 + a2,1| + b2 2,2 (2.28) − (1 − 2α)(b1,2 + b2,1) + O(h))] ta ket lu¾n rang ton tai h0 = h0 (a i,j , bi,j ) α ∈ (0, 1) cho vói MQI Tù (2.27),(2.28) đieu ki¾n (2.23)-(2.25) gia thiet 2.4 chúng h ≤ h0 có m®t ε(h) > ε(h X 4n+ Y 4n + nX Y n ) − n < − J < ε(h) 2 (X n + Yn ) Do có the ưóc lưong , )+ , E Σ.1 + Yn √ hQ(Xn nYn hG(X ) vói MQI n ∈ N (h) Σα Σ n 0, δ > N = N (ω) cho vói n ≤ N (ω), ω ∈ Ω1 (X2 + Y 2)α > δ n n Khi vói moi k > N (ω) ω ∈ Ω1 có k k ∞ Σ Σ v i iv > > i= αhε( h) Σ i=N (ω) n n α (X + Y 2) ≥ αhε(h)δ (k−N (ω)) → i=N ∞ α ta (X2thuan + Y 2)vói = (3.24) 0Σ = minh ∞ ,n→∞ Khicók P→Σlim mâu Do Đ%nh đó, vói lýα đưoc (0, 1)chúng đn nho, chúng n n 2.3.3 Không on đ%nh hau chac chan Gia thiet 2.5 Các h¾ so cua phương trình (2.11) thóa mãn |a1,2 + a2,1| − − b 2a1,1 + b 2, 1,1 > 0, |a + a | − 1,2 2,1 − b2,2 > 0, 2a + b 1, 2,2 2(a1,1 + a2,2) + 1, + b 22 2, − |a1,2 + a2,1| − + b 2, (2.30) (2.31) ) > (2.32) (b1,2 b2 Đ%nh lý 2.15 Gia su rang gia thiet 2.2 vái h¾ so kξ, kξ,kζ, kζ > 2 gia thiet 2.5 đưac thóa mãn Khi ton tai h0 > cho, vái h < h0, = Σ= P lim (X + Y ) Chúng minh Chúng ta đ¾t √ n−1 Σ1 + hQ(X , Y ) + hG(X , Y )ν i i Y ΣΣ Mn = √ i i + hQ(X , Y ) hG(X , i i i i=1 E + Yi)νn+1(h) Σ n→∞ n n α n+1 (h) Σ−α Σ−α Σ /Fi ý rang Mn m®t Fn-martingale dương Do đó, theo bő đe 1.7 h®i tu hau chac chan đen m®t giói han huu han Do phương trình (2.26) có the đưoc viet sau n−1 1 Y Σ, ΣΣ Σ− √ α /Fi + hQ(Xi, Yi) hG(Xi, i=1 E + đe chúng minh Zα khơng h®i tu đen hau chac chan, đn đe chi n rang ΣΣ1 + hQ(Xi, Yi) √ < ∞, hau chac hG(Xi, Y + Σ /FiΣ chan n−1 α α Zn+ = Zn Mn E i=1 − Yi)νn+1(h) α Áp dung cơng thúc Itơ rịi rac đưoc đưa đ%nh lý 1.3, thu đưoc MQI E ΣΣ1 + hQ(X , Y ) + i =1− αhQ(Xn i √ hG(X , Y )ν i i n+ , Yn ) + α(1 + α) hG2(X (h)Σ−α/F i Σ n , Yn) +hQ(Xn, Yn)O(1) + hG2(Xn, Yn)O(1) (2.33) Thay giá tr% cna Q(Xn, Yn) G(Xn, Yn) vào Jn := Q(Xn, Yn) − ˜ 1+α G2(Xn, Yn) ưóc lưong J≥˜n + Y 2) (X O(h)) n 2 [Xn(2a1,1 + b2,1 − |a1,2 + a2,1| − (1 + 2α)b1,1 + + Y 4(2an2,2 + b2 − 2,|a1,2 + a2,1| − 1, 2 (1 + 2α)b + X Y (2(a1,1 + a2,2) + b2 a2,1| n n 2 1,1 + O(h)) + b2 − |a1,2 + 2,2 (2.34) − (1 + 2α)(b1,2 + b2,1) + O(h))] ta rang ton tai h0 = (ai,j , bi,j ) α ∈ (0, 1) cho vói suy MQI Tù (2.33), (2.34) cáchđieu ki¾n (2.30)-(2.32) gia thiet 2.5 chúng √ (h)Σ−α/F Σ < − αhε˜(h) < 1, E ΣΣ1 + hQ(X , Y ) + hG(X , i i i Y )ν ˜i >n+ h ≤ h , ton tai ε˜(h) > mà J tù ta đưoc đieu phai chúng minh ε˜(h), i Chú ý 2.3 Khi b1,2 = b2,1 = 0, tham so h có the đưac xem bưác cua úng dnng Euler-Maruyama rài rac cho h¾ hai phương trình vi phân Itơ ngau nhiên tuyen tuyen tính: vái t ≤ 0, dX(t) = (a1,1X(t) + a1,2Y (t))dt + b1,1X(t)dB1(t), (2.35) dY (t) = (a2,1X(t) + a2,2Y (t))dt + b2,2Y (t)dB2(t), B1(t) B2(t) l quỏ trỡnh Wiener đc lắp Cỏc ieu kiắn (2.23)-(2.25) trùng vái đieu ki¾n őn đ%nh hau chan cua h¾ (2.35) [15] Tương tn, đieu ki¾n (2.30)-(2.32) trùng vái đieu ki¾n őn đ%nh hau chac cua (2.35) Ket luắn Sau mđt thũi gian lm viắc dưói sn hưóng dan cna GS.TS Nguyen Huu Dư lu¾n văn đưoc hồn thành Ket qua cna lu¾n văn đưa đưoc ba phương pháp nghiên cúu ve tính őn đ%nh cna h¾ sai phân ngau nhiên: Phương pháp su dung hàm Lyapunov, phương pháp bien thiên hang so nghiên cúu tính őn đ%nh theo moment cna phương trình tna tuyen tính, phương pháp su dung Martingale bat thúc Phương pháp hàm Lyapunov xây dnng m®t "phiem hàm lưong" quy đao DQc theo hàm se giam ho¾c tăng, cho phép biet h¾ se őn đ%nh hay khơng Tính őn đ%nh theo moment đưoc nghiên cúu theo phương pháp so sỏnh vúi hắ mđt chieu Phng phỏp thỳ ba su dung tính chat cna Martingale bat thúc Martingale đưa đieu ki¾n ve h¾ so cna h¾ phương trình (2.11) đe suy tính őn đ%nh không őn đ%nh hau chac chan Và moi liên h¾ đoi vói phương trình vi phân ngau nhiên Tài li¾u tham khao [1] V Anantharam and T Konstantopoulos, Stations solutions of stochastic recursions describing discrete event systems Stochastic Processes and Applications, 68 (1997), 181-194 [2] L Arnold, Random Dynamical Systems (Springer- Verlag, Berlin, 1998) [3] J D A Appleby, G Berkolaiko, and A Rokina, Non-exponential stability and decay rates in nonlinear stochastic difference equation with unbounded noise, Stochastic: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, 81 (2), (2009), 99-127 [4] J A D Appleby, X Mao, and Rodkina, On stochastic stabilization of difference equations, Discrete Contin, Dyn Syst., 15(3), (2006), 843-857 [5] G Berkolaiko, C Kelly and A Rodkina, Sharp pathwise asymptotic stability criteria for planar systems of linear stochastic difference equations, Discrete and continuous dynamical systems, Supplement 2011 pp 163-173 [6] L Cesari, Asymptotic Behavior and Stability Problems in Odinary Diferential Equation, Springer-Verlag, New York, 1973 [7] F G Foster: On the stochastic matrices associated with certain queueing processes The Annals of Mathematical Statistics, 24 (1953), 355-360 [8] S Foss and T Konstantopoulos, An overview of some stochastic stability methods, Journal of the Operations Research Society of Japan, Vol 47, No 4(2004), 275-303 [9] Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol Academic Press, New York, 1975 [10] V Lakshmikantham and S Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol Academic Press, New York, 1969 [11] V Lakshmikantham and D Trigiante, Theory of Difference Equations, Academic Press, San Diego, 1988 [12] A M Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), D octoral dissertation, Univ Kharkov 1892 English translations: A T Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992 [13] F Ma, Stability theory of stochastic difference system, in Probabilis- tic Analysis ang Related Topics, (A T Bharucha-Reid, Ed.), Vol pp 127-160, Academic Press, New York/London, 1983 [14] F Ma and T K Caughey, On the stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 16 (1981), 139-153 [15] F Ma and T K Caughey, On the stability of linear and nonlinear stochastic tranformation, Internat J Control 34 (1981), 501-511 [16] F Ma and T K Caughey, Mean stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 17 (1982), 69-84 [17] S P Meyn and R L Tweedie: Markov Chains and Stochastic Stability (Springer, New York, 1993) [18] X Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester, 1997 [19] A G Pakes: Some conditions for ergodicity and recurrence of Markov chains Operations Research, 17 (1969), 1048-1061 [20] T Taniguchi, E Stanley Lee, Stability theorems of stochastic defference equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications And Applications 147, 81-96 (1990) [21] R L Tweedie, Criteria for classifying general Markov chains Advances in Applied Probability (1976), 737-771 ... 12 Các phương pháp nghiên cÉu tính on đ%nh cua h¾ sai phân ngau nhiên 14 2.1 Phương pháp su dung hàm Lyapunov 14 2.2 Phương pháp so sánh nghiên cúu tính őn đ%nh theo moment cna phương trình... mình, đưa hai phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh cna nghi¾m cna phương trình vi phân Đó phương pháp so mũ phương pháp hàm Lyapunov [12] Tù đen nay, toán thu hút đưoc sn quan tâm nghiên cúu cna nhieu... cna phương trình sai phân ngau nhiên Chính v¾y, van đe nghiên cúu tính őn đ%nh đoi vói nghi¾m cna phương trình sai phân tốn đưoc rat nhieu ngưịi quan tâm phát trien nhieu phương pháp đe nghiên