Tổng quan về vài phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TĂNG THỊ NGA TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Toán học Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TĂNG THỊ NGA TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngành: Toán học Cán hướng dẫn: GS TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội- 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Hữu Dư người Thầy đáng kính tận tình bảo giúp đỡ em suốt thời gian qua Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, song trình thực khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cô bạn bè đồng nghiệp, để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng 06 năm 2015 Sinh viên Tăng Thị Nga Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm xác suất 1.2 Các khái niệm ổn định Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ sai phân ngẫu nhiên 2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov 2.2 Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo moment phương trình tựa tuyến tính 2.3 Phương pháp sử dụng Martingale bất đẳng thức 2.3.1 Dáng điệu đuôi phân phối xác suất 2.3.2 Ổn định tiệm cận hầu chắn 2.3.3 Không ổn định hầu chắn 5 12 14 14 19 36 36 40 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Nghiên cứu tính ổn định hệ động lực toán quan trọng lý thuyết lẫn thực hành Năm 1892, nhà toán học tiếng A.M Lyapunov, luận án tiến sỹ mình, đưa hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Đó phương pháp số mũ phương pháp hàm Lyapunov [12] Từ đến nay, toán thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học có nhiều kết sâu sắc lý thuyết lẫn ứng dụng Chúng ta kể đến nhà toán học có nhiều đóng góp lĩnh vực Hahn (1967) Lakshmikantham et al (1989) [10, 11] nhiều nhà toán học khác X Mao [18]; L Arnol [2] Trong hệ động lực, hệ mô tả phương trình sai phân đóng vai trò quan trọng Chúng ta thấy xuất nhiều toán thực tế mô hình tăng trưởng quần thể kiểu Leslie, mô hình động học kinh tế đa lĩnh vực Leontief ta rời rạc hóa để tính toán nghiệm phương trình vi phân, phân tích hệ thống liệu mẫu thống kê Việc phân tích liệu khí, điện, kĩ thuật điều khiển vấn đề thực tế khác phải cần đến nghiên cứu phương trình sai phân ngẫu nhiên Chính vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình sai phân toán nhiều người quan tâm phát triển nhiều phương pháp để nghiên cứu toán Cũng hệ động lực khả vi, phương pháp Lyapunov sử dụng để nghiên cứu tính ổn định Với phương pháp hàm Lyapunov, người ta xây dựng phiếm hàm (gọi hàm Lyapunov) Phiếm hàm đóng vai trò "chuẩn" hay "phiếm hàm lượng" quỹ đạo dọc theo hàm giảm tăng Điều cho phép biết hệ ổn định không ổn định Nhược điểm phương pháp điều kiện đưa phụ thuộc vào hàm chọn nên nói chung điều kiện đủ Phương pháp thứ hai sử dụng phương pháp so sánh Ở ta so sánh quỹ đạo hệ với quỹ đạo hệ chiều Ưu điểm phương pháp dễ dàng biết hệ chiều có ổn định hay không thông qua tiêu chuẩn đơn giản Tuy nhiên việc so sách lúc thực quỹ đạo hệ nhiều chiều nói chung phức tạp Phương pháp sử dụng định lý giới hạn có lý thuyết hội tụ trình ngẫu nhiên (chủ yếu định lý giới hạn lý thuyết martingale) Với phương pháp người ta phân tích trình thành tổng trình tăng (hoặc giảm) với martingale Từ ta đưa kết luận hệ hội tụ hay không Nội dung luận văn bao gồm chương Trong chương đưa vào kiến thức tối thiểu để sử dụng sau Chương nội dung Luận văn Phần 2.1 chương đề cập đến sử dụng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định Trong trình bày điều kiện đáp ứng trạng thái để xích Markov ổn định Trong mục 2.2 sử dụng phương pháp so sánh với hệ chiều Đây tổng quát hóa định lý so sánh Ma Caughey’s [14] sử dụng định lý để nghiên cứu định lý ổn định chung phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến Mục 2.3 tái lập lại ý tưởng từ lý thuyết martingale với kết tập hội tụ Nội dung phần hai kết ổn định tiệm cận hầu chắn Mặc dù cố gắng thời gian thực khóa luận không nhiều nên khóa luận không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý bảo thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm xác suất Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng, F σ-đại số tập Ω Khi đó, cặp (Ω, F) gọi không gian đo Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F (i) P(A) với ∀A ∈ F (tính không âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hoá); (iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j) ∞ P(∪∞ n=1 An ) = n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được) Các điều kiện (i)-(iii) gọi hệ tiên đề Kolmogorov xác suất Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Định nghĩa 1.1 Giả sử (Ω1 , F1 ) (Ω2 , F2 ) hai không gian đo Ánh xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 đo với B ∈ F2 X −1 (B) ∈ F1 Mệnh đề 1.1 Giả sử F1 , G1 hai σ-đại số tập Ω1 , F2 , G2 hai σ-đại số tập Ω2 Khi đó, F1 ⊂ G1 , G2 ⊂ F2 X : Ω1 → Ω2 ánh xạ F1 /F2 đo X ánh xạ G1 /G2 đo Giả sử X : Ω1 → Ω2 ánh xạ F1 /F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 ánh xạ F2 /F3 đo Khi Y ◦ X : Ω1 → Ω3 ánh xạ F1 /F3 đo Giả sử F2 = σ(C) Khi ánh xạ X : Ω1 → Ω2 F1 /F2 đo X −1 (C) ∈ F1 với C ∈ C Định nghĩa 1.2 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ- đại số σ- đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G- đo ánh xạ G/B(R) đo (tức với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ G) Trong trường hợp đặc biệt, X biến ngẫu nhiên F- đo được, X gọi cách đơn giản biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.3 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X : Ω → R biến ngẫu nhiên G σ−trường F Khi đó, kỳ vọng có điều kiện X σ−trường G biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn: (i) Y biến ngẫu nhiên G−đo được; (ii) Với A ∈ G, ta có Y dP = A XdP A Ký hiệu Y = E(X|G) Trong toàn luận văn này, xét không gian xác suất đầy đủ có lọc (Ω, F, (Fn )n∈N , P) Định nghĩa 1.4 Dãy biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N gọi (Fn )−martingale (i) X = (Xn ) ∈ N trình (Fn )−phù hợp; (ii) E|Xn | < ∞ với n ∈ N; (iii) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = Xm h.c.c Martingale X = (Xn ) ∈ N gọi martingale bình phương khả tích E(|xn |2 ) < ∞; ∀ n ∈ N Ký hiệu tập tất martingale bình phương khả tích M2 Định nghĩa 1.5 Dãy biến ngẫu nhiên X = (Xn ) ∈ N gọi (Fn )−martingale điều kiện (i) (ii) thỏa mãn (iii’) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≤ Xm h.c.c Định nghĩa 1.6 Dãy biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N gọi (Fn )−martingale điều kiện (i) (ii) thỏa mãn (iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≥ Xm h.c.c Định nghĩa 1.7 Dãy biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N gọi (Fn )−hiệu martingale điều kiện (i) (ii) thỏa mãn (iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = h.c.c Bổ đề 1.1 Giả sử {Xn }n∈N Fn -martingale, xác định ξn = Xn − Xn−1 Khi {ξn }n∈N Fn -hiệu-martingale Bổ đề 1.2 Giả sử {ξn }n∈N , n ∈ N môt dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho Eξn = E |ξn | < ∞, với n ∈ N Định nghĩa Zn = ni=1 ξi Khi {Zn }n∈N Fn -martingale {ξn }n∈N , n ∈ N Fn -hiệu-martingale Bổ đề 1.3 Giả sử {ξn }n∈N môt dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho Eξn = E |ξn | < ∞, với n ∈ N (Fn )n∈N lọc sinh {ξn }n∈N Giả sử {yn }n∈N dãy biến ngẫu nhiên Fn đo Đặt Zn+1 = ni=0 yi ξi+1 Khi {Zn }n∈N Fn -martingale Bổ đề 1.4 Giả sử {Xn }n∈N dãy biến ngẫu nhiên độc lập Fn -đo Nếu EXn = Zn = ni=1 Xi , với n ∈ N Khi {Zn }n∈N Fn -martingale Bổ đề 1.5 Giả sử {ξn }n∈N hiệu-martingale, bình phương khả tích Khi tồn dãy {µn }n∈N Fn -hiệu-martingale dãy ngẫu nhiên dương Fn−1 -đo {ηn }n∈N cho với n = 1, 2, hầu chắn ξn2 = µn + ηn , ηn = E ξn2 /Fn−1 , µn = ξn2 − E ξn2 /Fn−1 Bổ đề 1.6 Nếu {Xn }n∈N dãy ngẫu nhiên tăng với E |Xn | < ∞ với ∀n ∈ N {Xn }n∈N martingale Bổ đề 1.7 Nếu {Xn }n∈N Fn -martingale không âm, limn→∞ Xn tồn tại, h.c.c Định lý 1.1 Giả sử {Xn }n∈N Fn -martingale Khi tồn Fn -martingale {Mn }n∈N dãy ngẫu nhiên tăng Fn−1 -đo {An }n∈N cho với ∀n = 1, 2, Xn = Mn + An , hầu chắn (1.1) Định lý 1.2 Giả sử {Xn }n∈N Fn -martingale không âm với khai triển Doob’s (1.1) Khi đó, {A∞ < ∞} ⊆ {Xn →} Trong {Xn →} tập tất ω ∈ Ω mà lim Xn (ω) tồn hữu hạn n→∞ Bổ đề 1.8 Giả sử {Zn }n∈N trình Fn -đo không âm, với E |Zn | < ∞ với n ∈ N Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1 , n = 0, 1, 2, , {ςn }n∈N Fn -hiệu-martingale, {un }n∈N , {υn }n∈N trình Fn -đo không âm E |un | , E |υn | < ∞ với n ∈ N Khi ∞ ∞ un < ∞ ω: ⊆ υn < ∞ ω: n=1 ∩ {Zn →} n=1 Ở {Zn →} tập ω ∈ Ω limn→∞ Zn tồn hữu hạn Chứng minh Ta có Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − + ςn+1 ) = Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1 , (1.2) wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 trình Fn+1 -đo n Vì dãy Zn = i=1 wi dãy tăng Fn -đo với E |Zn | ≤ n i=1 E |wi | < ∞ với n ∈ N, nên theo bổ đề 1.6 {Zn }n∈N Fn -martingale Do đó, theo Định lý 1.1 có biểu diễn (1) Zn+1 = Cn + Mn+1 , (1) Mn+1 n∈N Fn -martingale {Cn }n∈N trình tăng Fn -đo Kết hợp với (1.2) ta thu (1) Zn+1 = Z0 + Un − (Vn + Cn ) + (Mn+1 − Mn+1 ), (1.3) Un = ni=1 ui , Vn = ni=1 υi , Mn = ni=1 ςi Chúng ta định nghĩa (1) M n = Mn − Mn , U n = Z0 + Un Khi đó theo phương trình (1.3) với n ∈ N Zn+1 + (Vn + Cn ) = U n + M n+1 = Yn+1 (1.4) Định nghĩa 2.11 Nghiệm ∆υn = G(n, υn ) gọi (BB1 ) Bị chặn với ρ > bất kì, tồn β(ρ) > cho < υk < β(ρ) với k ∈ N0 với điều kiện < υ0 < ρ, (BB2 ) Đến cuối bị chặn bị chặn, tồn số thực dương B > với ρ > bất kỳ, tồn T (ρ) > cho < υk < B với k ≥ T (ρ) với điều kiện < υ0 < ρ Bây chứng minh định lý tính bị chặn ngẫu nhiên phương trình (2.7) Định lý 2.9 Giả sử điều kiện (i) (ii) định lý 2.2 điều kiện sau thỏa mãn phương trình sai phân ngẫu nhiên 2.7: (i) Nghiệm phương trình sai phân ∆υn = CF (n, υn ) bị chặn (tương ứng: đến cuối bị chặn) Khi nghiệm phương trình (2.7) bị chặn (tương ứng: đến cuối bị chặn) trung bình cấp Chứng minh Tương tự chứng minh định lý 2.2 có n−1 E( xn ) ≤ C E( x0 ) + CF (s, E( xs ) với n ∈ N0 s=0 Giả sử υn nghiệm phương trình sai phân ∆υn = CF (n, υn ) với giá trị ban đầu υ0 = C E( x0 ) Khi theo bổ đề 2.3 với ρ(n) ≡ 1, n ∈ N0 E( xn ) ≤ υn , từ suy nghiệm phương trình (2.7) đến cuối bị chặn trung bình cấp theo điều kiện (i) định lý 34 Hệ 2.7 Giả sử điều kiện (i) (ii) định lý 2.2 thỏa mãn phương trình sai phân ngẫu nhiên (2.7) Nếu chuỗi ∞ i=0 B(i) hội tụ, nghiệm (2.7) bị chặn trung bình cấp Định lý 2.10 Giả sử điều kiện (i),(ii) định lý 2.3 (hoặc (i),(ii) định lý 2.10) điều kiện sau thỏa mãn phương trình sai phân ngẫu nhiên (2.7): (i) Nghiệm phương trình sai phân ∆υn = 2p KG(n, υn ) (hoặc ∆υn = 2p KF (n, υn )) (đến cuối cùng) bị chặn Khi nghiệm (2.9) bị chặn (đến cuối cùng) trung bình cấp p Chứng minh Tương tự cách chứng minh định lý 2.3 (hoặc định lý 2.10) có n−1 p p p 2p KG(s, E( xs p )) với n ∈ N0 E( xn ) ≤ K E( x0 ) + s=0 (hoặc E( xn p ) ≤ 2p K E( x0 p )+ n−1 2p KF (s, E( xs p )) với n ∈ N0 ) s=0 Từ suy nghiệm (2.7)bị chặn (tương ứng: đến cuối bị chặn) trung bình cấp p theo điều kiện (i) định lý bổ đề 2.3 Cuối đưa định lý bị chặn đến cuối phương trình sai phân ngẫu nhiên (2.7) Định lý 2.11 Giả sử điều kiện (i),(ii) định lý 2.4 điều kiện sau thỏa mãn phương trình sai phân (2.7): (i) Nghiệm (2.7) bị chặn trung bình cấp một, (ii) Tồn B > với ρ > bất kỳ, tồn T (ρ) > 0) cho υ0 < ρ, δ n υn < B với n ≥ T (ρ), υn nghiệm phương trình sai phân ∆υn = CF (n, υn ) Khi nghiệm (2.7)bị chặn (tương ứng: đến cuối bị chặn) trung bình cấp p 35 Định lý 2.12 Giả sử điều kiện (i), (ii) định lý 2.6 điều kiện sau thỏa mãn phương trình sai phân (2.7): (i) Nghiệm (2.7) bị chặn trung bình cấp p, (ii) Tồn B > với ρ > bất kỳ, tồn T (ρ) > cho υ0 < ρ, δ n υn < B với n ≥ T (ρ), υn nghiệm phương trình sai phân ∆υn = 2p KF (n, υn ) Khi nghiệm (2.7)bị chặn (tương ứng: đến cuối bị chặn) trung bình cấp p 2.3 Phương pháp sử dụng Martingale bất đẳng thức Trong phần này, xét tính ổn định hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên tuyến tính chịu nhiễu ồn trắng √ √ (1) (2) Xn+1 = Xn + ha1,1 Xn + ha1,2 Yn + hb1,1 Xn ξn+1 + hb1,2 Yn ξn+1 , n ∈ N, √ √ (1) (2) Yn+1 = Yn + ha2,1 Xn + ha2,2 Yn + hb2,1 Xn ζn+1 + hb2,2 Yn ζn+1 , n ∈ N (2.11) (i) (j) Trong ξn ζn dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối, biến dãy độc lập với Nghiệm phương trình (2.11) xác định không gian xác suất đầy đủ có lọc (Ω, F, (Fn )n∈N , P) Trong (Fn )n∈N lọc tự (1) (2) (1) (2) nhiên sinh dãy ngẫu nhiên (ξn , ξn , ζn , ζn )n∈N Lưu ý phương trình (2.11) có nghiệm tầm thường (X, Y ) ≡ (0, 0) Mục đích phần phát biểu điều kiện tham số hệ để h đủ nhỏ, nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận hầu chắn, không ổn định hầu chắn 2.3.1 Dáng điệu đuôi phân phối xác suất Trong phần tất trình ngẫu nhiên sử dụng giả thiết thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) (i) Giả thiết 2.1 ξn ζn biến ngẫu nhiên độc lập với nhau; với (i) (i) (i) i = 1, 2, biến ngẫu nhiên ξn ζn phân phối; E(ξn ) = (i) (i) (i) 0, E(ζn ) = 0, E(ξn )2 = E(ζn )2 = 36 Ta đưa vào khái niệm biến ngẫu nhiên có đuôi nặng (tương tự biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn) Giả thiết 2.2 Z biến ngẫu nhiên có đuôi nặng, tức hàm mật độ xác suất fZ thỏa mãn |x|kZ fZ (x) → |x| → ∞ với kZ > số tự nhiên Bổ đề 2.4 Giả sử An , Bn , Cn Dn biến ngẫu nhiên bị chặn đều, Fn -đo có phân phối liên tục Giả sử {ξn }n∈N {ζn }n∈N dãy biến ngẫu nhiên độc lập, tất ξn phân phối với hàm mật độ fξ , tất ζn phân phối với hàm mật độ fζ Giả sử giả thiết 2.2 thỏa mãn với ξn ζn , với k = kξ k = kζ tương ứng Cuối đặt Fn = σ {ξ1 , ζ1 , , ξn , ζn } (i) Giả sử Wn+1 = An ξn+1 + Bn ζn+1 k < {kξ , kζ } Khi dãy hàm mật độ có điều kiện fWn+1 (x/Fn ) Wn thỏa mãn lim xk fWn+1 (x/Fn ) = 0, x→∞ theo n (ii) Giả sử Qn+1 = (Wn+1 + Cn )2 + Dn , k < kW +1 = min{kξ ,kζ }+1 Khi lim xk fQn+1 (x/Fn ) = 0, n→∞ theo n Bình phương hai vế phương trình (2.11) áp dụng 37 bổ đề 1.5 ta thu Xn+1 =Xn2 + 2ha1,1 Xn2 + 2ha1,2 Xn Y n + hb21,1 Xn2 + hb21,2 Yn2 + h2 a21,1 Xn2 (1) (2) + 2h2 a1,1 a1,2 Xn Yn + h2 a21,2 Yn2 + 2hb1,1 b1,2 Xn Yn ξn+1 ξn+1 √ √ (1) (2) + 2(Xn + ha1,1 Xn + ha1,2 Yn )( hb1,1 Xn ξn+1 + hb1,2 Yn ξn+1 ) (1) (2) + hb21,1 Xn2 [(ξn+1 )2 − 1] + hb21,2 Yn2 [(ξn+1 )2 − 1], Yn+1 =Yn2 + 2ha2,2 Yn2 + 2ha2,1 Xn Y n + hb22,1 Xn2 + hb22,2 Yn2 + h2 a22,1 Xn2 (1) (2) + h2 a22,2 Yn2 + 2h2 a2,1 a2,2 Xn Yn + 2hb2,1 b2,2 Xn Yn ζn+1 ζn+1 √ √ (1) (2) + 2(Yn + ha2,1 Xn + ha2,2 Yn )( hb2,1 Xn ζn+1 + hb2,2 Yn ζn+1 ) (1) (2) + hb22,1 Xn2 [(ζn+1 )2 − 1] + hb22,2 Yn2 [(ζn+1 )2 − 1] (2.12) Ta sử dụng ký hiệu sau Zn := Xn2 + Yn2 , (2.13) √ (1) √ √ (1) (2) hµn+1 (h) :=[( hb1,1 Xn ξn+1 + hb1,2 Yn ξn+1 )+(Xn + ha1,1 Xn + ha1,2 Yn )]2 − h[b21,1 Xn2 + b21,2 Yn2 ] − (Xn + ha1,1 Xn + ha1,2 Yn )2 , (2.14) √ √ √ (2) (1) (2) hµn+1 (h) :=[( hb2,1 Xn ζn+1 + hb2,2 Yn ζn+1 )+(Yn + ha2,1 Xn + ha2,2 Yn )]2 − h[b22,1 Xn2 + b22,2 Yn2 ] − (Yn + ha2,1 Xn + ha2,2 Yn )2 (2.15) Cuối (1) (2) µ (h) + µn+1 (h) , µn+1 (h) := n+1 Zn νn+1 (h) := µn+1 (h) (2) E(µn+1 (h)/Fn ) (2.16) Chú ý 2.1 Từ điều kiện dãy {ξn } {ζn } độc lập lẫn với phân phối liên tục, phương trình (2.12) (2.13) đảm bảo Zn > hầu chắn với giá trị ban đầu với n ∈ N Chú ý 2.2 Lưu ý E(µ2n+1 (h)/F n ) 4Xn4 4Yn4 4Xn4 Yn2 = b1,1 + b2,2 + (b1,2 + b22,1 ) + O(h) Zn Zn Zn 38 Cộng vế với vế hai phương trình (2.12) sử dụng kí hiệu định nghĩa (2.13) - (2.16) thu Zn+1 Xn2 = Zn + hZn ( [2a1,1 + b21,1 + b22,1 + O(h)] Zn Yn2 + [2a2,2 + b21,2 + b22,2 + O(h)] Zn √ 2Xn Yn + [a1,2 + a2,1 + O(h)]) + hZn µn+1 (h) Zn (2.17) Cuối cùng, cách đưa vào ký hiệu Xn2 Yn2 2 Q(Xn , Yn ) := [2a1,1 + b1,1 + b2,1 + O(h)] + [2a2,2 + b21,2 + b22,2 + O(h)] Zn Zn 2Xn Yn + [a1,2 + a2,1 + O(h)] Zn (2.18) E(µ2n+1 (h)/Fn ); G(Xn , Yn ) := (2.19) biểu diễn (2.17) dạng √ Zn+1 = Zn [1 + hQ(Xn , Yn ) + hG(Xn , Yn )νn+1 (h)] (2.20) Áp dụng bổ đề 1.1-1.4 bổ đề 2.4 có kết sau (i) (i) ; {ζn }n∈N ,i = 1, 2, thỏa mãn giả Bổ đề 2.5 Giả sử dãy ξn n∈N (1) (2) {µn (h)}n∈N , {µn (h)}n∈N , {µn (h)}n∈N thiết 2.1 Và {νn (h)}n∈N tương ứng xác định (2.14), (2.15), (2.16) Khi µ(1) (h), µ(2) (h), µ(h), ν(h) Fn -hiệu-martingale; E[µ2n (h)] < ∞, E[νn2 (h)] = 1; (1) (2) (1) (2) Ngoài ra, ξn , ξn , ζn ζn thỏa mãn giả n∈N n∈N n∈N n∈N thiết 2.2 với hệ số kξ1 > 1, kξ2 > 1, kζ1 > 1, kζ2 > 1, tương ứng, µ(1) (h) µ(2) (h), µ(h) thỏa mãn giả thiết 2.2 với k1 < k2 < min{k1ζ ,k2ζ }+1 min{k1ξ ,k2ξ }+1 tương ứng; µ(h) ν(h) thỏa mãn giả thiết 2.2 với k < 39 min{k1ξ ,k2ξ ,k1ζ ,k2ζ }+1 2.3.2 Ổn định tiệm cận hầu chắn Trong phần phát biểu kết ổn định tiệm cận hầu khắp nơi Định lý 2.13 đưa mà hạn chế đuôi phân phối lúc định lý 2.14 đòi hỏi tốc độ dần đến đuôi hàm phân phối Trước hết ta đề cập đến ổn định hầu khắp nơi với hệ số dịch chuyển làm trội điều kiện Giả thiết 2.3 Các hệ số phương trình (2.11) thỏa mãn 2a1,1 + b21,1 + b22,1 + |a1,2 + a2,1 | < 0, (2.21) 2a2,2 + b21,2 + b22,2 + |a1,2 + a2,1 | < (2.22) Định lý 2.13 Với Giả thiết 2.3, tồn h0 cho với h < h0 , limn→∞ (Xn2 + Yn2 ) = hầu chắn Chứng minh Theo (2.18) ước lượng Q(Xn , Yn ) ≤ Xn2 [2a1,1 + b21,1 + b22,1 + |a1,2 + a2,1 | + O(h)] Zn Yn2 + [2a2,2 + b21,2 + b22,2 + |a1,2 + a2,1 | + O(h)] Zn := Q(Xn , Yn ) Chúng ta đặt un := 0, := −hZn Q(Xn , Yn ), √ ςn := hZ n−1 G(Xn−1 , Yn−1 )νn Wn := Zn , Giả thiết 2.3 đảm bảo tồn h0 > β > cho, với h < h0 , ≥ β(Xn2 + Yn2 ) hầu chắn Áp dụng bổ đề 1.8 cho (2.20) ta thu P{ lim (Xn2 + Yn2 )(ω) = c(ω)} = 1, n→∞ c(ω) ≥ biến ngẫu nhiên hữu hạn hầu chắn Nếu P {c(ω) > 0} > mâu thuẫn với bổ đề 1.8 Do c(ω) = hầu chắn 40 Tiếp đến ta đề cập đến ổn định hầu khắp nơi với đồng thời hệ số dịch chuyển hệ số khuyếch tán tham gia làm trội Giả thiết 2.4 Các hệ số (2.11) thỏa mãn 2a1,1 + b22,1 + |a1,2 + a2,1 | − b21,1 < 0, (2.23) 2a2,2 + b21,2 + |a1,2 + a2,1 | − b22,2 < 0, (2.24) 2(a1,1 + a2,2 ) + b21,1 + b22,2 + |a1,2 + a2,1 | − (b21,2 + b22,1 ) < (2.25) Ví dụ 2.2 Nếu a1,2 + a2,1 = 0, a1,1 = 1, b22,1 = 1, b21,1 = 4, a2,2 = −7/5, b21,2 = 7/2, b22,2 = 1, (2.23)-(2.25) thỏa mãn Định lý 2.14 Giả sử giả thiết 2.2 với hệ số k1ξ , k2ξ ,k1ζ , k2ζ > giả thiết 2.4 thỏa mãn Khi tồn h0 cho, với h < h0 , lim (Xn2 + Yn2 ) = n→∞ hầu chắn Chứng minh Vì thành phần (2.20) dương, ta có với α ∈ (0, 1), √ α Zn+1 = Znα [1 + hQ(Xn , Yn ) + hG(Xn , Yn )νn+1 (h)]α (2.26) Áp dụng công thức Itô rời rạc đưa định lý 1.3, ta thu √ E + hQ(Xn , Yn ) + hG(Xn , Yn νn+1 (h))α /Fn α(1 − α) hG (Xn , Yn ) +hQ(Xn , Yn )O(h) + hG2 (Xn , Yn )O(h) = + αhQ(Xn , Yn ) − (2.27) Thay giá trị Q(Xn , Yn ) G(Xn , Yn ) từ (2.18) (2.19) vào Jn = Q(Xn , Yn ) − 1−α G (Xn , Yn ) Ta có đánh giá sau Jn ≤ [X4n (2a1,1 + b22,1 + |a1,2 + a2,1 | − (1 − 2α)b21,1 + O(h)) (Xn2 + Yn2 ) + Yn4 (2a2,2 + b21,2 + |a1,2 + a2,1 | − (1 − 2α)b22,2 + O(h)) + Xn2 Yn2 (2(a1,1 + a2,2 ) + b21,1 + b22,2 + |a1,2 + a2,1 | − (1 − 2α)(b21,2 + b22,1 ) + O(h))] (2.28) 41 Từ (2.27),(2.28) điều kiện (2.23)-(2.25) giả thiết 2.4 kết luận tồn h0 = h0 (ai,j , bi,j ) α ∈ (0, 1) cho với h ≤ h0 có ε(h) > Jn < −ε(h) Xn4 + Yn4 + Xn2 Yn2 ε(h) < − (Xn2 + Yn2 ) Do ước lượng √ E + hQ(Xn , Yn ) + hG(Xn , Yn )νn+1 (h) với n ∈ N Đặt Wn := Znα , un := 0, ςn+1 : = Znα α /Fn < − √ αhε(h) α hG(Xn , Yn )νn+1 − √ α + hQ(Xn , Yn ) + hG(Xn , Yn )νn+1 − /Fn , + hQ(Xn , Yn ) + − E Znα n∈N := −E Znα √ + hQ(Xn , Yn ) + α hG(Xn , Yn )vn+1 − /Fn , n ∈ N Khi Wn+1 = Wn + un − − ςn+1 Chú ý rằng, với n ∈ N, √ α αhε(h) α Zn , ≥ −Znα E + hQ(Xn , Yn ) + hG(Xn , Yn )νn+1 − 1/Fn ≥ {ςn }n∈N Fn -hiệu-martingale Áp dụng bổ đề 1.8 kết luận rằng, với n ∈ N, α đủ nhỏ, h ≤ h0 , ∞ P {W → 0} = 1, vi < ∞ P = (2.29) i=1 Giả sử P {W → 0} < suy tồn Ω1 ∈ Ω, P [Ω1 ] > 0, δ > N = N (ω) cho với n ≤ N (ω), ω ∈ Ω1 (Xn2 + Yn2 )α > δ Khi với k > N (ω) ω ∈ Ω1 có k k vi > i=1 i=N (ω) αhε(h) vi > ∞ α (Xn2 + Yn2 ) ≥ i=N (ω) αhε(h)δ (k−N (ω)) → ∞ Khi k → ∞, mâu thuẫn với (3.24) Do đó, với α ∈ (0, 1) đủ nhỏ, chúng α ta có P limn→∞ (Xn2 + Yn2 ) = = Định lý chứng minh 42 2.3.3 Không ổn định hầu chắn Giả thiết 2.5 Các hệ số phương trình (2.11) thỏa mãn 2a1,1 + b22,1 − |a1,2 + a2,1 | − b21,1 > 0, (2.30) 2a2,2 + b21,2 − |a1,2 + a2,1 | − b22,2 > 0, (2.31) 2(a1,1 + a2,2 ) + b21,1 + b22,2 − |a1,2 + a2,1 | − (b21,2 + b22,1 ) > (2.32) Định lý 2.15 Giả sử giả thiết 2.2 với hệ số k1ξ , k2ξ ,k1ζ , k2ζ > giả thiết 2.5 thỏa mãn Khi tồn h0 > cho, với h < h0 , α P limn→∞ (Xn2 + Yn2 ) = = Chứng minh Chúng ta đặt n−1 Mn = i=1 E −α √ + hQ(Xi , Yi ) + hG(Xi , Yi )νn+1 (h) −α √ + hQ(Xi , Yi ) + hG(Xi , Yi )νn+1 (h) /Fi ý Mn Fn -martingale dương Do đó, theo bổ đề 1.7 hội tụ hầu chắn đến giới hạn hữu hạn Do phương trình (2.26) viết sau α Zn+1 = Znα Mn n−1 i=1 E + hQ(Xi , Yi ) + √ , −α hG(Xi , Yi )νn+1 (h) /Fi để chứng minh Znα không hội tụ đến hầu chắn, đủ để n−1 √ E + hQ(Xi , Yi ) + −α hG(Xi , Yi )νn+1 (h) /Fi < ∞, hầu chắn i=1 Áp dụng công thức Itô rời rạc đưa định lý 1.3, thu √ −α E + hQ(Xi , Yi ) + hG(Xi , Yi )νn+1 (h) /Fi α(1 + α) hG (Xn , Yn ) +hQ(Xn , Yn )O(1) + hG2 (Xn , Yn )O(1) = − αhQ(Xn , Yn ) + 43 (2.33) Thay giá trị Q(Xn , Yn ) G(Xn , Yn ) vào Jn := Q(Xn , Yn ) − 1+α 2 G (Xn , Yn ) ước lượng Jn ≥ 2 [Xn (2a1,1 + b2,1 − |a1,2 + a2,1 | − (1 + 2α)b1,1 + O(h)) 2 (Xn + Yn ) + Yn4 (2a2,2 + b21,2 − |a1,2 + a2,1 | − (1 + 2α)b22,2 + O(h)) + Xn2 Yn2 (2(a1,1 + a2,2 ) + b21,1 + b22,2 − |a1,2 + a2,1 | − (1 + 2α)(b21,2 + b22,1 ) + O(h))] (2.34) Từ (2.33), (2.34) điều kiện (2.30)-(2.32) giả thiết 2.5 suy tồn h0 = h0 (ai,j , bi,j ) α ∈ (0, 1) cho với h ≤ h0 , tồn ε(h) > mà J > ε(h), √ E + hQ(Xi , Yi ) + −α hG(Xi , Yi )νn+1 (h) /Fi < − αhε(h) < 1, từ ta điều phải chứng minh Chú ý 2.3 Khi b1,2 = b2,1 = 0, tham số h xem bước ứng dụng Euler-Maruyama rời rạc cho hệ hai phương trình vi phân Itô ngẫu nhiên tuyến tuyến tính: với t ≤ 0, dX(t) = (a1,1 X(t) + a1,2 Y (t))dt + b1,1 X(t)dB1 (t), dY (t) = (a2,1 X(t) + a2,2 Y (t))dt + b2,2 Y (t)dB2 (t), (2.35) B1 (t) B2 (t) trình Wiener độc lập Các điều kiện (2.23)-(2.25) trùng với điều kiện ổn định hầu chắn hệ (2.35) [15] Tương tự, điều kiện (2.30)-(2.32) trùng với điều kiện ổn định hầu (2.35) 44 Kết luận Sau thời gian làm việc hướng dẫn GS.TS Nguyễn Hữu Dư luận văn hoàn thành Kết luận văn đưa ba phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ sai phân ngẫu nhiên: Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov, phương pháp biến thiên số nghiên cứu tính ổn định theo moment phương trình tựa tuyến tính, phương pháp sử dụng Martingale bất đẳng thức Phương pháp hàm Lyapunov xây dựng "phiếm hàm lượng" quỹ đạo dọc theo hàm giảm tăng, cho phép biết hệ ổn định hay không Tính ổn định theo moment nghiên cứu theo phương pháp so sánh với hệ chiều Phương pháp thứ ba sử dụng tính chất Martingale bất đẳng thức Martingale đưa điều kiện hệ số hệ phương trình (2.11) để suy tính ổn định không ổn định hầu chắn Và mối liên hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên 45 Tài liệu tham khảo [1] V Anantharam and T Konstantopoulos, Stations solutions of stochastic recursions describing discrete event systems Stochastic Processes and Applications, 68 (1997), 181-194 [2] L Arnold, Random Dynamical Systems (Springer- Verlag, Berlin, 1998) [3] J D A Appleby, G Berkolaiko, and A Rokina, Non-exponential stability and decay rates in nonlinear stochastic difference equation with unbounded noise, Stochastic: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, 81 (2), (2009), 99-127 [4] J A D Appleby, X Mao, and Rodkina, On stochastic stabilization of difference equations, Discrete Contin, Dyn Syst., 15(3), (2006), 843-857 [5] G Berkolaiko, C Kelly and A Rodkina, Sharp pathwise asymptotic stability criteria for planar systems of linear stochastic difference equations, Discrete and continuous dynamical systems, Supplement 2011 pp 163-173 [6] L Cesari, Asymptotic Behavior and Stability Problems in Odinary Diferential Equation, Springer-Verlag, New York, 1973 [7] F G Foster: On the stochastic matrices associated with certain queueing processes The Annals of Mathematical Statistics, 24 (1953), 355-360 46 [8] S Foss and T Konstantopoulos, An overview of some stochastic stability methods, Journal of the Operations Research Society of Japan, Vol 47, No 4(2004), 275-303 [9] Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol Academic Press, New York, 1975 [10] V Lakshmikantham and S Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol Academic Press, New York, 1969 [11] V Lakshmikantham and D Trigiante, Theory of Difference Equations, Academic Press, San Diego, 1988 [12] A M Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), Doctoral dissertation, Univ Kharkov 1892 English translations: A T Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992 [13] F Ma, Stability theory of stochastic difference system, in Probabilistic Analysis ang Related Topics, (A T Bharucha-Reid, Ed.), Vol pp 127-160, Academic Press, New York/London, 1983 [14] F Ma and T K Caughey, On the stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 16 (1981), 139-153 [15] F Ma and T K Caughey, On the stability of linear and nonlinear stochastic tranformation, Internat J Control 34 (1981), 501-511 [16] F Ma and T K Caughey, Mean stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 17 (1982), 69-84 [17] S P Meyn and R L Tweedie: Markov Chains and Stochastic Stability (Springer, New York, 1993) [18] X Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester, 1997 [19] A G Pakes: Some conditions for ergodicity and recurrence of Markov chains Operations Research, 17 (1969), 1048-1061 47 [20] T Taniguchi, E Stanley Lee, Stability theorems of stochastic defference equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications And Applications 147, 81-96 (1990) [21] R L Tweedie, Criteria for classifying general Markov chains Advances in Applied Probability (1976), 737-771 48 [...]... = Định nghĩa 1.9 (i) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định ngẫu nhiên hay ổn định theo xác suất nếu với mỗi cặp ∈ (0; 1) và r > 0 tồn tại δ = δ( , r, n0 ) > 0 sao cho P{|xn | < r với mọi n ≥ n0 } ≥ 1 − khi |x0 | < δ Ngược lại, nghiệm của phương trình được gọi là không ổn định (ii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định tiệm cận ngẫu nhiên nếu nó ổn định. .. ta thấy Xn sẽ quay trở lại dương 2.2 Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo moment của phương trình tựa tuyến tính Giả sử Ak (ω), ω ∈ Ω (k = 0, 1, 2, ) là ma trận ngẫu nhiên độc lập cỡ n × n tương ứng Ta ký hiệu N0 là tập các số nguyên không âm, R+ là tập các số thực không âm 19 Xét phương trình sai phân ngẫu nhiên tuyến tính và phương trình sai phân ngẫu nhiên có nhiễu dưới đây k ∈ N0 xk+1... cấp p với p > 0 nếu nó ổn định moment cấp p và ổn định tựa tiệm cận moment cấp p 13 Chương 2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định của hệ sai phân ngẫu nhiên 2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov Cho {Xn } là một xích Markov thuần nhất trong một không gian Balan X , và V : X → R+ là một hàm đo được được hiểu như là một "chuẩn", một “hàm Lyapunov” hoặc "hàm năng lượng" Trong các định lý ở mục này, chúng... ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của phương trình sai phân được định nghĩa giống như (S3 ) trong định nghĩa 2.7 Chúng ta bắt đầu với việc nghiên cứu tính ổn định của trung bình cấp 1 của phương trình (2.8) Định lý 2.2 Giả sử rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn đối với phương trình sai phân ngẫu nhiên (2.7) : (i) Nghiệm của phương trình (2.6) là ổn định mạnh trung bình cấp một với bậc C, (ii)... định ngẫu nhiên và với mọi ∈ (0; 1) tồn 12 tại δ = δ( , n0 ) > 0 sao cho P{ lim xn = 0} ≥ 1 − n→∞ khi |x0 | < δ (iii) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định hầu chắc chắn nếu nó ổn định ngẫu nhiên và với mọi x0 ∈ Rd thì P{ lim xn = 0} = 1 n→∞ Định nghĩa 1.10 Nghiệm tầm thường của phương trình (1.10) được gọi là ổn định mũ hầu chắc chắn nếu lim sup n→∞ 1 log |xn | < 0 h.c.c n Định. .. tầm thường của ∆υn = CF (n, υn ) là ổn định theo bổ đề 2.1 Do đó các điều kiện của định lý 2.2 được thỏa mãn, hệ quả được chứng minh Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh định lý ổn định theo trung bình cấp p của phương trình sai phân ngẫu nhiên (2.7) Định lý 2.3 Giả sử rằng các điều kiện dưới đây được thỏa mãn đối với phương trình sai phân ngẫu nhiên (2.7) (i) Nghiệm của phương trình (2.6) dần đến 0 nhanh... ≤ βm tn Phần tiếp theo chúng ta đưa ra các định nghĩa liên quan đến tính ổn định ngẫu nhiên đối với nghiệm tầm thường của phương trình(2.7) Định nghĩa 2.6 Nghiệm tầm thường của (2.7) được gọi là (S1 ) Ổn định trung bình cấp p với p > 0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại một δ(ε) > 0 sao cho E( xk p ) < ε với mọi k ∈ N0 với điều kiện là E( x0 p ) < δ0 , (S2 ) Ổn định tựa-tiệm cận trung bình cấp p với p > 0... chung, định nghĩa ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình sai phân ∆υn = F (n, υn ) được đưa ra cho hàm F khi miền xác định của F là N0 × R1 và miền ảnh của F là R1 Tuy nhiên trong các bài toán liên quan đến kinh tế, vật lí và các hệ điều khiển, người ta đòi hỏi tính không âm của các biến và các giá trị của F Vì thế, chúng ta có các định nghĩa sau về ổn định của nghiệm tầm thường của phương. .. cùng chúng ta chứng minh định lý ổn định trung bình cấp p sau đối với phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến Định lý 2.8 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn đối với phương trình sai phân ngẫu nhiên (2.7): (i) Nghiệm của phương trình (2.6) tiếp cận đến 0 với tốc độ nhanh cấp (K, p), (ii) E( f (n, x) p ) ≤ F (n, E( x p )) với mọi n ∈ N0 , trong đó x : Ω → Rd là một biến ngẫu nhiên và F (n, u) : N0... kiện 0 < υ0 < ρ Bây giờ chúng ta chứng minh định lý về tính bị chặn ngẫu nhiên của phương trình (2.7) Định lý 2.9 Giả sử các điều kiện (i) và (ii) của định lý 2.2 và các điều kiện sau được thỏa mãn đối với phương trình sai phân ngẫu nhiên 2.7: (i) Nghiệm của phương trình sai phân ∆υn = CF (n, υn ) bị chặn (tương ứng: đến cuối cùng bị chặn) Khi đó nghiệm của phương trình (2.7) bị chặn (tương ứng: đến ... ba phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ sai phân ngẫu nhiên: Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov, phương pháp biến thiên số nghiên cứu tính ổn định theo moment phương trình tựa tuyến tính, phương. .. khái niệm ổn định Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ sai phân ngẫu nhiên 2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov 2.2 Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo... đề nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình sai phân toán nhiều người quan tâm phát triển nhiều phương pháp để nghiên cứu toán Cũng hệ động lực khả vi, phương pháp Lyapunov sử dụng để nghiên