Tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

Header Page of 27 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TĂNG THỊ NGA TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Toán học Hà Nội - 2015 Footer Page of 27 Header Page of 27 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TĂNG THỊ NGA TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngành: Toán học Cán hướng dẫn: GS TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội- 2015 Footer Page of 27 Header Page of 27 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TS Nguyễn Hữu Dư người Thầy đáng kính ln tận tình bảo giúp đỡ em suốt thời gian qua Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, song q trình thực khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp Thầy Cơ bạn bè đồng nghiệp, để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 06 tháng 06 năm 2015 Sinh viên Tăng Thị Nga Footer Page of 27 Header Page of 27 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm xác suất 1.2 Các khái niệm ổn định Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ sai phân ngẫu nhiên 2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov 2.2 Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo moment phương trình tựa tuyến tính 2.3 Phương pháp sử dụng Martingale bất đẳng thức 2.3.1 Dáng điệu đuôi phân phối xác suất 2.3.2 Ổn định tiệm cận hầu chắn 2.3.3 Không ổn định hầu chắn 5 12 14 14 19 36 36 40 43 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Footer Page of 27 Header Page of 27 Mở đầu Nghiên cứu tính ổn định hệ động lực toán quan trọng lý thuyết lẫn thực hành Năm 1892, nhà toán học tiếng A.M Lyapunov, luận án tiến sỹ mình, đưa hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Đó phương pháp số mũ phương pháp hàm Lyapunov [12] Từ đến nay, tốn thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học có nhiều kết sâu sắc lý thuyết lẫn ứng dụng Chúng ta kể đến nhà tốn học có nhiều đóng góp lĩnh vực Hahn (1967) Lakshmikantham et al (1989) [10, 11] nhiều nhà toán học khác X Mao [18]; L Arnol [2] Trong hệ động lực, hệ mô tả phương trình sai phân đóng vai trò quan trọng Chúng ta thấy xuất nhiều tốn thực tế mơ hình tăng trưởng quần thể kiểu Leslie, mơ hình động học kinh tế đa lĩnh vực Leontief ta rời rạc hóa để tính tốn nghiệm phương trình vi phân, phân tích hệ thống liệu mẫu thống kê Việc phân tích liệu khí, điện, kĩ thuật điều khiển vấn đề thực tế khác phải cần đến nghiên cứu phương trình sai phân ngẫu nhiên Chính vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình sai phân toán nhiều người quan tâm phát triển nhiều phương pháp để nghiên cứu toán Cũng hệ động lực khả vi, phương pháp Lyapunov sử dụng để nghiên cứu tính ổn định Với phương pháp hàm Lyapunov, người ta xây dựng phiếm hàm (gọi hàm Lyapunov) Phiếm hàm đóng vai trò "chuẩn" hay "phiếm hàm lượng" quỹ Footer Page of 27 Header Page of 27 đạo dọc theo hàm giảm tăng Điều cho phép biết hệ ổn định không ổn định Nhược điểm phương pháp điều kiện đưa phụ thuộc vào hàm chọn nên nói chung điều kiện đủ Phương pháp thứ hai sử dụng phương pháp so sánh Ở ta so sánh quỹ đạo hệ với quỹ đạo hệ chiều Ưu điểm phương pháp dễ dàng biết hệ chiều có ổn định hay khơng thơng qua tiêu chuẩn đơn giản Tuy nhiên việc so sách lúc thực quỹ đạo hệ nhiều chiều nói chung phức tạp Phương pháp sử dụng định lý giới hạn có lý thuyết hội tụ trình ngẫu nhiên (chủ yếu định lý giới hạn lý thuyết martingale) Với phương pháp người ta phân tích trình thành tổng trình tăng (hoặc giảm) với martingale Từ ta đưa kết luận hệ hội tụ hay khơng Nội dung luận văn bao gồm chương Trong chương đưa vào kiến thức tối thiểu để sử dụng sau Chương nội dung Luận văn Phần 2.1 chương đề cập đến sử dụng hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định Trong chúng tơi trình bày điều kiện đáp ứng trạng thái để xích Markov ổn định Trong mục 2.2 sử dụng phương pháp so sánh với hệ chiều Đây tổng quát hóa định lý so sánh Ma Caughey’s [14] sử dụng định lý để nghiên cứu định lý ổn định chung phương trình sai phân ngẫu nhiên phi tuyến Mục 2.3 tái lập lại ý tưởng từ lý thuyết martingale với kết tập hội tụ Nội dung phần hai kết ổn định tiệm cận hầu chắn Mặc dù cố gắng thời gian thực khóa luận khơng nhiều nên khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý bảo thầy cô Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page of 27 Header Page of 27 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm xác suất Giả sử Ω tập tuỳ ý khác rỗng, F σ-đại số tập Ω Khi đó, cặp (Ω, F) gọi khơng gian đo Giả sử (Ω, F) không gian đo Một ánh xạ P : F → R gọi độ đo xác suất F (i) P(A) với ∀A ∈ F (tính khơng âm); (ii) P(Ω) = (tính chuẩn hố); (iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = Ai Aj = ∅ (i = j) ∞ P(∪∞ n=1 An ) = n=1 P(An ) (tính cộng tính đếm được) Các điều kiện (i)-(iii) gọi hệ tiên đề Kolmogorov xác suất Bộ ba (Ω, F, P) gọi không gian xác suất Định nghĩa 1.1 Giả sử (Ω1 , F1 ) (Ω2 , F2 ) hai không gian đo Ánh xạ X : Ω1 −→ Ω2 gọi ánh xạ F1 /F2 đo với B ∈ F2 X −1 (B) ∈ F1 Mệnh đề 1.1 Giả sử F1 , G1 hai σ-đại số tập Ω1 , F2 , G2 hai σ-đại số tập Ω2 Khi đó, F1 ⊂ G1 , G2 ⊂ F2 X : Ω1 → Ω2 ánh xạ F1 /F2 đo X ánh xạ G1 /G2 đo Giả sử X : Ω1 → Ω2 ánh xạ F1 /F2 đo được, Y : Ω2 → Ω3 ánh xạ F2 /F3 đo Khi Y ◦ X : Ω1 → Ω3 ánh xạ F1 /F3 đo Giả sử F2 = σ(C) Khi ánh xạ X : Ω1 → Ω2 F1 /F2 đo X −1 (C) ∈ F1 với C ∈ C Footer Page of 27 Header Page of 27 Định nghĩa 1.2 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, G σ- đại số σ- đại số F Khi ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên G- đo ánh xạ G/B(R) đo (tức với B ∈ B(R) X −1 (B) ∈ G) Trong trường hợp đặc biệt, X biến ngẫu nhiên F- đo được, X gọi cách đơn giản biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.3 Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất, X : Ω → R biến ngẫu nhiên G σ−trường F Khi đó, kỳ vọng có điều kiện X σ−trường G biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn: (i) Y biến ngẫu nhiên G−đo được; (ii) Với A ∈ G, ta có Y dP = A XdP A Ký hiệu Y = E(X|G) Trong toàn luận văn này, xét không gian xác suất đầy đủ có lọc (Ω, F, (Fn )n∈N , P) Định nghĩa 1.4 Dãy biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N gọi (Fn )−martingale (i) X = (Xn ) ∈ N trình (Fn )−phù hợp; (ii) E|Xn | < ∞ với n ∈ N; (iii) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = Xm h.c.c Martingale X = (Xn ) ∈ N gọi martingale bình phương khả tích E(|xn |2 ) < ∞; ∀ n ∈ N Ký hiệu tập tất martingale bình phương khả tích M2 Định nghĩa 1.5 Dãy biến ngẫu nhiên X = (Xn ) ∈ N gọi (Fn )−martingale điều kiện (i) (ii) thỏa mãn (iii’) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≤ Xm h.c.c Định nghĩa 1.6 Dãy biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N gọi (Fn )−martingale điều kiện (i) (ii) thỏa mãn (iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) ≥ Xm h.c.c Footer Page of 27 Header Page of 27 Định nghĩa 1.7 Dãy biến ngẫu nhiên X = (Xn )n∈N gọi (Fn )−hiệu martingale điều kiện (i) (ii) thỏa mãn (iii”) Với m < n, m, n ∈ N, E(Xn |Fm ) = h.c.c Bổ đề 1.1 Giả sử {Xn }n∈N Fn -martingale, xác định ξn = Xn − Xn−1 Khi {ξn }n∈N Fn -hiệu-martingale Bổ đề 1.2 Giả sử {ξn }n∈N , n ∈ N môt dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho Eξn = E |ξn | < ∞, với n ∈ N Định nghĩa Zn = ni=1 ξi Khi {Zn }n∈N Fn -martingale {ξn }n∈N , n ∈ N Fn -hiệu-martingale Bổ đề 1.3 Giả sử {ξn }n∈N môt dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho Eξn = E |ξn | < ∞, với n ∈ N (Fn )n∈N lọc sinh {ξn }n∈N Giả sử {yn }n∈N dãy biến ngẫu nhiên Fn đo Đặt Zn+1 = ni=0 yi ξi+1 Khi {Zn }n∈N Fn -martingale Bổ đề 1.4 Giả sử {Xn }n∈N dãy biến ngẫu nhiên độc lập Fn -đo Nếu EXn = Zn = ni=1 Xi , với n ∈ N Khi {Zn }n∈N Fn -martingale Bổ đề 1.5 Giả sử {ξn }n∈N hiệu-martingale, bình phương khả tích Khi tồn dãy {µn }n∈N Fn -hiệu-martingale dãy ngẫu nhiên dương Fn−1 -đo {ηn }n∈N cho với n = 1, 2, hầu chắn ξn2 = µn + ηn , ηn = E ξn2 /Fn−1 , µn = ξn2 − E ξn2 /Fn−1 Bổ đề 1.6 Nếu {Xn }n∈N dãy ngẫu nhiên tăng với E |Xn | < ∞ với ∀n ∈ N {Xn }n∈N martingale Bổ đề 1.7 Nếu {Xn }n∈N Fn -martingale khơng âm, limn→∞ Xn tồn tại, h.c.c Định lý 1.1 Giả sử {Xn }n∈N Fn -martingale Khi tồn Fn -martingale {Mn }n∈N dãy ngẫu nhiên tăng Fn−1 -đo {An }n∈N cho với ∀n = 1, 2, Xn = Mn + An , hầu chắn Footer Page of 27 (1.1) Header Page 10 of 27 Định lý 1.2 Giả sử {Xn }n∈N Fn -martingale không âm với khai triển Doob’s (1.1) Khi đó, {A∞ < ∞} ⊆ {Xn →} Trong {Xn →} tập tất ω ∈ Ω mà lim Xn (ω) tồn hữu hạn n→∞ Bổ đề 1.8 Giả sử {Zn }n∈N q trình Fn -đo khơng âm, với E |Zn | < ∞ với n ∈ N Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1 , n = 0, 1, 2, , {ςn }n∈N Fn -hiệu-martingale, {un }n∈N , {υn }n∈N q trình Fn -đo khơng âm E |un | , E |υn | < ∞ với n ∈ N Khi ∞ ∞ un < ∞ ω: ⊆ υn < ∞ ω: n=1 ∩ {Zn →} n=1 Ở {Zn →} tập ω ∈ Ω limn→∞ Zn tồn hữu hạn Chứng minh Ta có Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − + ςn+1 ) = Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1 , (1.2) wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 trình Fn+1 -đo n Vì dãy Zn = i=1 wi dãy tăng Fn -đo với E |Zn | ≤ n i=1 E |wi | < ∞ với n ∈ N, nên theo bổ đề 1.6 {Zn }n∈N Fn -martingale Do đó, theo Định lý 1.1 có biểu diễn (1) Zn+1 = Cn + Mn+1 , (1) Mn+1 n∈N Fn -martingale {Cn }n∈N trình tăng Fn -đo Kết hợp với (1.2) ta thu (1) Zn+1 = Z0 + Un − (Vn + Cn ) + (Mn+1 − Mn+1 ), (1.3) Un = ni=1 ui , Vn = ni=1 υi , Mn = ni=1 ςi Chúng ta định nghĩa (1) M n = Mn − Mn , U n = Z0 + Un Khi đó theo phương trình (1.3) với n ∈ N Zn+1 + (Vn + Cn ) = U n + M n+1 = Yn+1 Footer Page 10 of 27 (1.4) Header Page 11 of 27 Tài liệu tham khảo [1] V Anantharam and T Konstantopoulos, Stations solutions of stochastic recursions describing discrete event systems Stochastic Processes and Applications, 68 (1997), 181-194 [2] L Arnold, Random Dynamical Systems (Springer- Verlag, Berlin, 1998) [3] J D A Appleby, G Berkolaiko, and A Rokina, Non-exponential stability and decay rates in nonlinear stochastic difference equation with unbounded noise, Stochastic: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, 81 (2), (2009), 99-127 [4] J A D Appleby, X Mao, and Rodkina, On stochastic stabilization of difference equations, Discrete Contin, Dyn Syst., 15(3), (2006), 843-857 [5] G Berkolaiko, C Kelly and A Rodkina, Sharp pathwise asymptotic stability criteria for planar systems of linear stochastic difference equations, Discrete and continuous dynamical systems, Supplement 2011 pp 163-173 [6] L Cesari, Asymptotic Behavior and Stability Problems in Odinary Diferential Equation, Springer-Verlag, New York, 1973 [7] F G Foster: On the stochastic matrices associated with certain queueing processes The Annals of Mathematical Statistics, 24 (1953), 355-360 46 Footer Page 11 of 27 Header Page 12 of 27 [8] S Foss and T Konstantopoulos, An overview of some stochastic stability methods, Journal of the Operations Research Society of Japan, Vol 47, No 4(2004), 275-303 [9] Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol Academic Press, New York, 1975 [10] V Lakshmikantham and S Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol Academic Press, New York, 1969 [11] V Lakshmikantham and D Trigiante, Theory of Difference Equations, Academic Press, San Diego, 1988 [12] A M Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), Doctoral dissertation, Univ Kharkov 1892 English translations: A T Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992 [13] F Ma, Stability theory of stochastic difference system, in Probabilistic Analysis ang Related Topics, (A T Bharucha-Reid, Ed.), Vol pp 127-160, Academic Press, New York/London, 1983 [14] F Ma and T K Caughey, On the stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 16 (1981), 139-153 [15] F Ma and T K Caughey, On the stability of linear and nonlinear stochastic tranformation, Internat J Control 34 (1981), 501-511 [16] F Ma and T K Caughey, Mean stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 17 (1982), 69-84 [17] S P Meyn and R L Tweedie: Markov Chains and Stochastic Stability (Springer, New York, 1993) [18] X Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester, 1997 [19] A G Pakes: Some conditions for ergodicity and recurrence of Markov chains Operations Research, 17 (1969), 1048-1061 47 Footer Page 12 of 27 Header Page 13 of 27 [20] T Taniguchi, E Stanley Lee, Stability theorems of stochastic defference equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications And Applications 147, 81-96 (1990) [21] R L Tweedie, Criteria for classifying general Markov chains Advances in Applied Probability (1976), 737-771 48 Footer Page 13 of 27  ... khái niệm ổn định Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định hệ sai phân ngẫu nhiên 2.1 Phương pháp sử dụng hàm Lyapunov 2.2 Phương pháp so sánh nghiên cứu tính ổn định theo... QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC TĂNG THỊ NGA TỔNG QUAN VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ Ngành: Toán học Cán... đề nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình sai phân toán nhiều người quan tâm phát triển nhiều phương pháp để nghiên cứu toán Cũng hệ động lực khả vi, phương pháp Lyapunov sử dụng để nghiên