Tổng quan về một số phương pháp nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C TĂNG TH NGA T NG QUAN V M T S PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U TÍNH N Đ NH NG U NHIÊN LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C Ngành: Toán h c Hà N i - 2015 Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C TĂNG TH NGA T NG QUAN V M T S PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C U TÍNH N Đ NH NG U NHIÊN LU N VĂN TH C S Ngành: Toán h c Cán b hư ng d n: GS TS Nguy n H u Dư Hà N i- 2015 L I C M ƠN Trư c trình bày n i dung c a khóa lu n, em xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i GS TS Nguy n H u Dư ngư i Th y đáng kính t n tình ch b o giúp đ em su t th i gian qua Nhân d p em xin đư c g i l i c m ơn chân thành t i gia đình, b n bè bên em, c vũ, đ ng viên, giúp đ em su t trình h c t p th c hi n khóa lu n t t nghi p M c dù có nhi u c g ng, song trình th c hi n khóa lu n em không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đư c ý ki n đóng góp c a Th y Cô b n bè đ ng nghi p, đ khóa lu n đư c hoàn thi n Em xin chân thành c m ơn! Hà N i, ngày 06 tháng 06 năm 2015 Sinh viên Tăng Th Nga M cl c Ki n th c chu n b 1.1 Các khái ni m b n v xác su t 1.2 Các 12 khái ni m b n v n đ nh Các phương pháp nghiên c u tính n đ nh c a h sai phân ng u nhiên 14 14 2.1 Phương pháp s d ng hàm Lyapunov 2.2 Phương pháp so sánh nghiên c u tính n đ nh theo mo- 19 ment c a phương trình t a n tính 36 2.3 Phương pháp s d ng Martingale b t đ ng th c 36 2.3.1 Dáng u đuôi c a phân ph i xác su t 2.3.2 n đ nh ti m c n h u ch c ch n 2.3.3 Không n đ nh h u ch c ch n 40 43 K t lu n 45 Tài li u tham kh o 46 M đu Nghiên c u tính n đ nh c a m t h đ ng l c m t toán h t s c quan tr ng c lý thuy t l n th c hành Năm 1892, nhà toán h c n i ti ng A.M Lyapunov, b n lu n án ti n s c a mình, đưa hai phương pháp nghiên c u tính n đ nh c a nghi m c a phương trình vi phân Đó phương pháp s mũ phương pháp hàm Lyapunov [12] T đ n nay, toán thu hút đư c s quan tâm nghiên c u c a nhi u nhà toán h c có nhi u k t qu sâu s c v c lý thuy t l n ng d ng Chúng ta có th k đ n nhà toán h c có nhi u đóng góp lĩnh v c Hahn (1967) Lakshmikantham et al (1989) [10, 11] nhi u nhà toán h c khác X Mao [18]; L Arnol [2] Trong h đ ng l c, h đư c mô t b i phương trình sai phân đóng vai trò h t s c quan tr ng Chúng ta có th th y s xu t hi n nhi u toán th c t mô hình tăng trư ng c a qu n th ki u Leslie, mô hình đ ng h c kinh t đa lĩnh v c Leontief ho c ta r i r c hóa đ tính toán nghi m c a m t phương trình vi phân, phân tích h th ng d li u m u c a th ng kê Vi c phân tích d li u khí, n, kĩ thu t u n v n đ th c t khác ph i c n đ n nghiên c u c a phương trình sai phân ng u nhiên Chính v y, v n đ nghiên c u tính n đ nh đ i v i nghi m c a phương trình sai phân toán đư c r t nhi u ngư i quan tâm phát tri n nhi u phương pháp đ nghiên c u toán Cũng h đ ng l c kh vi, phương pháp Lyapunov đư c s d ng đ nghiên c u tính n đ nh V i phương pháp hàm Lyapunov, ngư i ta xây d ng m t phi m hàm (g i hàm Lyapunov) Phi m hàm đóng vai trò m t "chu n" hay "phi m hàm lư ng" qu đ o d c theo hàm s gi m ho c tăng Đi u cho phép bi t đư c h s n đ nh ho c không n đ nh Như c m c a phương pháp u ki n đưa ph thu c vào hàm đư c ch n nên nói chung ch u ki n đ Phương pháp th hai đư c s d ng phương pháp so sánh ta so sánh qu đ o c a h v i qu đ o c a h m t chi u Ưu m c a phương pháp có th d dàng bi t h chi u có n đ nh hay không thông qua tiêu chu n đơn gi n Tuy nhiên vi c so sách không ph i lúc th c hi n đư c qu đ o c a h nhi u chi u nói chung r t ph c t p Phương pháp ti p theo s d ng đ nh lý gi i h n có lý thuy t h i t c a trình ng u nhiên (ch y u đ nh lý gi i h n lý thuy t martingale) V i phương pháp ngư i ta phân tích trình thành t ng c a m t trình tăng (ho c gi m) v i m t martingale T ta có th đưa k t lu n h h i t hay không N i dung c a lu n văn bao g m chương Trong chương đưa vào ki n th c t i thi u đ s d ng v sau Chương n i dung c a b n Lu n văn Ph n 2.1 c a chương đ c p đ n s d ng hàm Lyapunov đ nghiên c u tính n đ nh Trong trình bày u ki n đáp ng tr ng thái đ xích Markov n đ nh Trong m c 2.2 s d ng phương pháp so sánh v i h chi u Đây m t t ng quát hóa c a đ nh lý so sánh c a Ma Caughey's [14] s d ng đ nh lý đ nghiên c u đ nh lý n đ nh chung c a phương trình sai phân ng u nhiên phi n M c 2.3 tái l p l i ý tư ng b n t lý thuy t c a martingale v i k t qu v t p h i t N i dung c a ph n hai k t qu v n đ nh ti m c n h u ch c ch n M c dù c g ng h t s c th i gian th c hi n khóa lu n không nhi u nên khóa lu n không tránh kh i nh ng h n ch sai sót Em r t mong nh n đư c nh ng góp ý s ch b o c a th y cô Em xin chân thành c m ơn! Chương Ki n th c chu n b 1.1 Các khái ni m b n v xác su t Gi s Ω m t t p tuỳ ý khác r ng, Φ m t σ-đ i s t p c a Ω Khi đó, c p (Ω, Φ) đư c g i m t không gian đo Gi s (Ω, Φ) m t không gian đo M t ánh x P : Φ → R đư c g i đ đo xác su t Φ n u (i) P(A) v i ∀A ∈ Φ (tính không âm); (ii) P(Ω) = (tính chu n hoá); (iii) N u An ∈ Φ (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅ (i = j) ∞ P(∪ n =1A )= n ∞ =1 P(An) (tính c ng tính đ m đư c) n Các u ki n (i)-(iii) đư c g i h tiên đ Kolmogorov v xác su t B ba (Ω, Φ, P) đư c g i không gian xác su t Đ nh nghĩa 1.1 Gi s (Ω1, Φ1) (Ω2, Φ2) hai không gian đo Ánh − x X : Ω1 −→ Ω2 g i ánh x Φ1/Φ2 đo đư c n u v i m i B ∈ Φ2 X 1(B) ∈ Φ1 M nh đ 1.1 Gi s Φ1, Γ1 hai σ-đ i s t p c a Ω1, Φ2, Γ2 hai σ-đ i s t p c a Ω2 Khi đó, n u Φ1 ⊂ Γ1, Γ2 ⊂ Φ2 X : Ω1 → Ω2 ánh x Φ1/Φ2 đo đư c X ánh x Γ1/Γ2 đo đư c Gi s X : Ω1 → Ω2 ánh x Φ1/Φ2 đo đư c, Y : Ω2 → Ω3 ánh x Φ2/Φ3 đo đư c Khi Y ◦ X : Ω1 → Ω3 ánh x Φ1/Φ3 đo đư c Gi s Φ2 = σ(Χ) Khi ánh x X : Ω1 → Ω2 Φ1/Φ2 đo đư c ch − X 1(C) ∈ Φ1 v i m i C ∈ Χ Đ nh nghĩa 1.2 Gi s (Ω, Φ, P) không gian xác su t, Γ σ- đ i s c a σ- đ i s Φ Khi ánh x X : Ω → R đư c g i bi n ng u nhiên Γ- đo đư c n u ánh x Γ/Β(R) đo đư c (t c v i m i B ∈ Β(R) − X 1(B) ∈ Γ) Trong trư ng h p đ c bi t, X bi n ng u nhiên Φ- đo đư c, X đư c g i m t cách đơn gi n bi n ng u nhiên Đ nh nghĩa 1.3 Gi s (Ω, Φ, P) không gian xác su t, X : Ω → R bi n ng u nhiên Γ σ−trư ng c a Φ Khi đó, kỳ v ng có u ki n c a X đ i v i σ−trư ng Γ bi n ng u nhiên Y th a mãn: (i) Y bi n ng u nhiên Γ−đo đư c; (ii) V i m i A ∈ Γ, ta có A Y dP = A XdP Ký hi u Y = E(X|Γ) Trong toàn b lu n văn này, xét m t không gian xác su t đ y đ có l c (Ω, Φ, (Φn)n∈N, P) Đ nh nghĩa 1.4 Dãy bi n ng u nhiên X = (Xn)n∈N đư c g i (Φn)−martingale n u (i) X = (Xn) ∈ N trình (Φn)−phù h p; (ii) E|Xn| < ∞ v i m i n ∈ N; (iii) V i m i m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Φm) = Xm h.c.c Martingale X = (Xn) ∈ N đư c g i martingale bình phương kh tích n u E(|xn|2) < ∞; ∀ n ∈ N Ký hi u t p t t c martingale bình phương kh tích Μ2 Đ nh nghĩa 1.5 Dãy bi n ng u nhiên X = (Xn) ∈ N đư c g i (Φn)−martingale dư i n u u ki n (i) (ii) đư c th a mãn (iii') V i m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Φm) ≤ Xm h.c.c Đ nh nghĩa 1.6 Dãy bi n ng u nhiên X = (Xn)n∈N đư c g i (Φn)−martingale n u u ki n (i) (ii) đư c th a mãn (iii") V i m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Φm) ≥ Xm h.c.c Đ nh nghĩa 1.7 Dãy bi n ng u nhiên X = (Xn)n∈N đư c g i (Φn)−hi u martingale n u u ki n (i) (ii) đư c th a mãn (iii") V i m < n, m, n ∈ N, E(Xn|Φm) = h.c.c B đ 1.1 Gi s {Xn}n∈N m t Φn-martingale, xác đ nh ξn = Xn − Xn−1 Khi {ξn}n∈N m t Φn-hi u-martingale B đ 1.2 Gi s {ξn}n∈N, n ∈ N môt dãy bi n ng u nhiên đ c l p cho Eξn = E |ξn| < ∞, v i m i n ∈ N Đ nh nghĩa Zn = n=1 ξi Khi {Zn}n∈N m t Φn-martingale {ξn}n∈N, n ∈ N i m t Φn-hi u-martingale B đ 1.3 Gi s {ξn}n∈N môt dãy bi n ng u nhiên đ c l p cho Eξn = E |ξn| < ∞, v i m i n ∈ N (Φn)n∈N b l c đư c sinh b i {ξn}n∈N Gi s {yn}n∈N m t dãy bi n ng u nhiên Φn- đo đư c Đ t Zn+1 = n=0 yiξi+1 Khi {Zn}n∈N m t Φn-martingale i B đ 1.4 Gi s {Xn}n∈N m t dãy bi n ng u nhiên đ c l p Φn-đo đư c N u EXn = Zn = n=1 Xi, v i m i n ∈ N Khi i {Zn}n∈N m t Φn-martingale B đ 1.5 Gi s {ξn}n∈N m t hi u-martingale, bình phương kh tích Khi t n t i m t dãy {µn}n∈N c a Φn-hi u-martingale m t dãy ng u nhiên dương Φn−1-đo đư c {ηn}n∈N cho v i m i n = 1, 2, h u ch c ch n µ n = ξ − E ξ /Φ n −1 ηn = E ξ2/Φn−1 , n ξ = µ n + ηn , n n n B đ 1.6 N u {Xn}n∈N m t dãy ng u nhiên tăng v i E |Xn| < ∞ v i ∀n ∈ N {Xn}n∈N m t martingale dư i B đ 1.7 N u {Xn}n∈N m t Φn-martingale không âm, limn Xn →∞ t n t i, h.c.c Đ nh lý 1.1 Gi s r ng {Xn}n∈N m t Φn-martingale dư i Khi t n t i m t Φn-martingale {Mn}n∈N m t dãy ng u nhiên tăng Φn−1-đo đư c {An}n∈N cho v i ∀n = 1, 2, h u ch c ch n Xn = M n + An, (1.1) Đ nh lý 1.2 Gi s {Xn}n∈N m t Φn-martingale dư i không âm v i khai tri n Doob's (1.1) Khi đó, {A < ∞} ⊆ {Xn →} Trong ∞ {Xn →} t p t t c ω ∈ Ω mà nlim Xn(ω) t n t i h u h n →∞ B đ 1.8 Gi s {Zn}n∈N m t trình Φn-đo đư c không âm, v i E |Zn| < ∞ v i m i n ∈ N Zn+1 ≤ Zn + un − υn + ςn+1, n = 0, 1, 2, , {ςn}n∈N m t Φn-hi u-martingale, {un}n∈N, {υn}n∈N trình Φn-đo đư c không âm E |un| , E |υn| < ∞ v i m i n ∈ N Khi ∞ ω: n=1 ∞ un < ∞ ω: ⊆ n=1 υn < ∞ {Zn →} t p ω ∈ Ω limn ∩ {Zn →} Z t n t i h u h n →∞ n Ch ng minh Ta có Zn+1 = Zn + un − υn + ςn+1 − (Zn − Zn+1 + un − + ςn+1) (1.2) = Zn + un − υn + ςn+1 − wn+1, wn+1 = Zn − Zn+1 + un − υn + ςn+1 m t trình Φn+1-đo n đư c Vì dãy Zn = w dãy tăng Φ -đo đư c v i E |Z | ≤ i=1 i n n n E |w | < ∞ v i m i n ∈ N, nên theo b đ 1.6 {Z } i=1 i m t Φn-martingale dư i Do đó, theo Đ nh lý 1.1 có bi u di n Zn+1 = Cn + Mn(1) , +1 n n∈ Mn(1) n∈N N m t Φn-martingale {Cn}n∈N trình tăng +1 Φn-đo đư c K t h p v i (1.2) ta thu đư c Zn+1 = Z0 + Un − (Vn + Cn) + (Mn+1 − Mn(1) ), +1 (1.3) Un = n=1 ui, Vn = n=1 υi, Mn = n=1 ςi Chúng ta đ nh nghĩa (1) i i i M n = Mn − Mn , U n = Z0 + Un Khi đó theo phương trình (1.3) v i m i n ∈ N Zn+1 + (Vn + Cn) = U n + M n+1 = Yn+1 (1.4) m i ξ ξ ζ ζ n µ(h) ν(h) th a mãn gi thi t 2.2 v i k < 39 {k ,k ,k ,k }+1 1212 2.3.2 n đ nh ti m c n h u ch c ch n Trong ph n phát bi u k t qu v n đ nh ti m c n h u kh p nơi Đ nh lý 2.13 đư c đưa mà h n ch v đuôi c a phân ph i lúc đ nh lý 2.14 đòi h i t c đ d n đ n c a đuôi hàm phân ph i Trư c h t ta đ c p đ n n đ nh h u kh p nơi v i h s d ch chuy n làm tr i u ki n Gi thi t 2.3 Các h s c a phương trình (2.11) th a mãn 2a1,1 + b2,1 + b2,1 + |a1,2 + a2,1| < 0, (2.21) 2a2,2 + b2,2 + b2,2 + |a1,2 + a2,1| < (2.22) 2 Đ nh lý 2.13 V i Gi thi t 2.3, t n t i h0 cho v i m i h < h0, limn →∞ (Xn + Yn2) = h u ch c ch n Ch ng minh Theo (2.18) c lư ng Q(Xn, Yn) ≤ Xn [2a + b2 + b2 + |a + a | + O(h)] 1,1 2,1 1,2 2,1 Z n 1,1 Yn2 [2a + b + b + |a + a | + O(h)] n 2,2 +Z := Q(Xn, Yn) 1,2 2,2 1,2 2,1 Chúng ta đ t un := 0, := −hZnQ(Xn, Yn), √ ςn := hZn−1G(Xn−1, Yn−1)νn Wn := Zn, Gi thi t 2.3 đ m b o r ng t n t i h0 > β > cho, v i m i h < h0, ≥ β(Xn + Yn2) h u ch c ch n Áp d ng b đ 1.8 cho (2.20) ta thu đư c P{nlim (Xn + Yn2)(ω) = c(ω)} = 1, →∞ c(ω) ≥ m t bi n ng u nhiên b t kỳ h u h n h u ch c ch n N u P {c(ω) > 0} > s mâu thu n v i b đ 1.8 Do c(ω) = h u ch c ch n 40 Ti p đ n ta đ c p đ n n đ nh h u kh p nơi v i đ ng th i h s d ch chuy n h s khuy ch tán tham gia làm tr i Gi thi t 2.4 Các h s c a (2.11) th a mãn 2a1,1 + b , + |a1,2 + a2,1| − b (2.23) , < 0, 2a2,2 + b2,2 + |a1,2 + a2,1| − b2,2 < 0, (2.24) 2(a1,1 + a2,2) + b2,1 + b2,2 + |a1,2 + a2,1| − (b2,2 + b2,1) < (2.25) Ví d 2.2 N u a1,2 + a2,1 = 0, a1,1 = 1, b2,1 = 1, b2,1 = 4, a2,2 = ξ ξ ζ ζ Đ nh lý 2.14 Gi s r ng gi thi t 2.2 v i h s k , k ,k , k > 1212 gi thi t 2.4 đư c th a mãn Khi t n t i h0 cho, v i m i h < h0, lim (Xn + Yn2) = h u ch c ch n n→∞ Ch ng minh Vì m i thành ph n c a (2.20) dương, ta có v i α ∈ (0, 1), √ α α α (2.26) Z +1 = Z [1 + hQ(Xn, Yn) + hG(Xn, Yn)νn+1(h)] n n Áp d ng công th c Itô r i r c đư c đưa đ nh lý 1.3, ta thu đư c √ α E + hQ(Xn, Yn) + hG(Xn, Yn νn+1(h)) /Φn (2.27) = + αhQ(Xn, Yn) − α(1 α)hG2(Xn, Yn) − +hQ(Xn, Yn)O(h) + hG2(Xn, Yn)O(h) Thay giá tr c a Q(Xn, Yn) G(Xn, Yn) t (2.18) (2.19) vào Jn = Q(Xn, Yn) − − αG2(Xn, Yn) Ta có đánh giá sau Jn ≤ (Xn + Yn2) [Xn(2a1,1 + b2,1 + |a1,2 + a2,1| − (1 − 2α)b1,1 + O(h)) 2 2 + Yn4(2a2,2 + b2,2 + |a1,2 + a2,1| − (1 − 2α)b2,2 + O(h)) + XnYn2(2(a1,1 + a2,2) + b2,1 + b2,2 + |a1,2 + a2,1| 2 − (1 − 2α)(b2,2 + b2,1) + O(h))] 41 (2.28) T (2.27),(2.28) u ki n (2.23)-(2.25) gi thi t 2.4 k t lu n r ng t n t i h0 = h0(ai,j, bi,j) α ∈ (0, 1) cho v i m i h ≤ h0 có m t ε(h) > Jn < −ε(h)Xn + Yn++YX)nYn < −ε(2h) (X2 22 n n Do có th c lư ng √ E + hQ(Xn, Yn) + hG(Xn, Yn)νn+1(h) α /Φn < − αhε(h) v i m i n ∈ N α Đ t Wn := Z , un := 0, n ςn+1 : = Zα n α n := −E Z α hG(Xn, Yn)νn+1 − √ α + hQ(Xn, Yn) + hG(Xn, Yn)νn+1 − /Φn , + hQ(Xn, Yn) + −EZ α √ n + hQ(Xn, Yn) + √ hG(Xn, Yn)vn+1 α − /Φn , n∈N n ∈ N Khi Wn+1 = Wn + un − − ςn+1 Chú ý r ng, v i m i n ∈ N, α α ≥ −Z E + hQ(Xn, Yn) + hG(Xn, Yn)νn+1 − 1/Φn ≥ αhε(h)Z , n α √ {ςn}n∈N m t Φn-hi u-martingale Áp d ng b đ 1.8 k t lu n r ng, v i m i n ∈ N, α đ nh , h ≤ h0, ∞ P {W → 0} = 1, P i=1 vi < ∞ = Gi s r ng P {W → 0} < suy t n t i Ω1 ∈ Ω, P [Ω1] > 0, δ > N = N (ω) cho v i n ≤ N (ω), ω ∈ Ω1 α (Xn + Yn2) > δ Khi v i m i k > N (ω) ω ∈ Ω1 có k i=1 vi > k i=N (ω) ∞ α 2 vi > αhε(h) (X + Y ) ≥ αhε(h)δ (k−N (ω)) → ∞ n 2 i =N(ω) n Khi k → ∞, mâu thu n v i (3.24) Do đó, v i α ∈ (0, 1) đ nh , chúng (2.29) n ta có P limn α →∞ (Xn + Yn2) = = Đ nh lý đư c ch ng minh 42 2.3.3 Không n đ nh h u ch c ch n Gi thi t 2.5 Các h s c a phương trình (2.11) th a mãn 2a1,1 + b2,1 − |a1,2 + a2,1| − b2,1 > 0, (2.30) 2a2,2 + b2,2 − |a1,2 + a2,1| − b2,2 > 0, (2.31) 1 2(a1,1 + a2,2) + b2,1 + b2,2 − |a1,2 + a2,1| − (b2,2 + b2,1) > ξ ξ ζ (2.32) ζ Đ nh lý 2.15 Gi s r ng gi thi t 2.2 v i h s k , k ,k , k > 1212 gi thi t 2.5 đư c th a mãn Khi t n t i h0 > cho, v i m i h < h0 , P limn α →∞ (Xn + Yn2) = = Ch ng minh Chúng ta đ t √ + hQ(Xi, Yi) + hG(Xi, Yi)νn+1(h) √ n −1 Mn = i=1 E −α −α + hQ(Xi, Yi) + hG(Xi, Yi)νn+1(h) /Φi ý r ng Mn m t Φn-martingale dương Do đó, theo b đ 1.7 h i t h u ch c ch n đ n m t gi i h n h u h n Do phương trình (2.26) có th đư c vi t sau Z α +1 = Z M n n α n−1 n i=1 E + hQ(Xi, Yi) + √ , −α hG(Xi, Yi)νn+1(h) /Φ i α đ ch ng minh Z không h i t đ n h u ch c ch n, đ đ ch n r ng n−1 E + hQ(Xi, Yi) + √ hG(X , Y )ν (h) i i n+1 −α /Φi < ∞, h u ch c ch n i=1 Áp d ng công th c Itô r i r c đư c đưa đ nh lý 1.3, thu đư c √ E + hQ(Xi, Yi) + hG(Xi, Yi)νn+1(h) −α = − αhQ(Xn, Yn) + α(1 α)hG2(Xn, Yn) + /Φi (2.33) +hQ(Xn, Yn)O(1) + hG2(Xn, Yn)O(1) 43 Thay giá tr c a Q(Xn, Yn) G(Xn, Yn) vào Jn := Q(Xn, Yn) − α 1+ G (X , Y ) c lư ng Jn ≥ nn [Xn(2a1,1 + b2,1 − |a1,2 + a2,1| − (1 + 2α)b2,1 + O(h)) (Xn + Y 2)2 n + Yn4(2a2,2 + b2,2 − |a1,2 + a2,1| − (1 + 2α)b2,2 + O(h)) + XnYn2(2(a1,1 + a2,2) + b2,1 + b2,2 − |a1,2 + a2,1| 2 − (1 + 2α)(b2,2 + b2,1) + O(h))] (2.34) T (2.33), (2.34) u ki n (2.30)-(2.32) gi thi t 2.5 suy r ng t n t i h0 = h0(ai,j, bi,j) α ∈ (0, 1) cho v i m i h ≤ h0, t n t i ε(h) > mà J > ε(h), E + hQ(Xi, Yi) + √ hG(Xi, Yi)νn+1(h) −α /Φi < − αhε(h) < 1, t ta đư c u ph i ch ng minh Chú ý 2.3 Khi b1,2 = b2,1 = 0, tham s h có th đư c xem bư c c a ng d ng Euler-Maruyama r i r c cho h hai phương trình vi phân Itô ng u nhiên n n tính: v i t ≤ 0, dX(t) = (a1,1X(t) + a1,2Y (t))dt + b1,1X(t)dB1(t), dY (t) = (a2,1X(t) + a2,2Y (t))dt + b2,2Y (t)dB2(t), (2.35) B1(t) B2(t) trình Wiener đ c l p Các u ki n (2.23)(2.25) trùng v i u ki n n đ nh h u ch n c a h (2.35) [15] Tương t , u ki n (2.30)-(2.32) trùng v i u ki n n đ nh h u ch c c a (2.35) 44 K t lu n Sau m t th i gian làm vi c dư i s hư ng d n c a GS.TS Nguy n H u Dư lu n văn đư c hoàn thành K t qu c a lu n văn đưa đư c ba phương pháp nghiên c u v tính n đ nh c a h sai phân ng u nhiên: Phương pháp s d ng hàm Lyapunov, phương pháp bi n thiên h ng s nghiên c u tính n đ nh theo moment c a phương trình t a n tính, phương pháp s d ng Martingale b t đ ng th c Phương pháp hàm Lyapunov xây d ng m t "phi m hàm lư ng" qu đ o d c theo hàm s gi m ho c tăng, cho phép bi t h s n đ nh hay không Tính n đ nh theo moment đư c nghiên c u theo phương pháp so sánh v i h m t chi u Phương pháp th ba s d ng tính ch t c a Martingale b t đ ng th c Martingale đưa u ki n v h s c a h phương trình (2.11) đ suy tính n đ nh không n đ nh h u ch c ch n Và m i liên h đ i v i phương trình vi phân ng u nhiên 45 Tài li u tham kh o [1] V Anantharam and T Konstantopoulos, Stations solutions of stochastic recursions describing discrete event systems Stochastic Processes and Applications, 68 (1997), 181-194 [2] L Arnold, Random Dynamical Systems (Springer- Verlag, Berlin, 1998) [3] J D A Appleby, G Berkolaiko, and A Rokina, Non-exponential stability and decay rates in nonlinear stochastic difference equation with unbounded noise, Stochastic: An International Journal of Probability and Stochastic Processes, 81 (2), (2009), 99-127 [4] J A D Appleby, X Mao, and Rodkina, On stochastic stabilization of difference equations, Discrete Contin, Dyn Syst., 15(3), (2006), 843-857 [5] G Berkolaiko, C Kelly and A Rodkina, Sharp pathwise asymptotic stability criteria for planar systems of linear stochastic difference equations, Discrete and continuous dynamical systems, Supplement 2011 pp 163-173 [6] L Cesari, Asymptotic Behavior and Stability Problems in Odinary Diferential Equation, Springer-Verlag, New York, 1973 [7] F G Foster: On the stochastic matrices associated with certain queueing processes The Annals of Mathematical Statistics, 24 (1953), 355-360 46 [8] S Foss and T Konstantopoulos, An overview of some stochastic stability methods, Journal of the Operations Research Society of Japan, Vol 47, No 4(2004), 275-303 [9] Friedman, Stochastic Differential Equations and Applications, Vol Academic Press, New York, 1975 [10] V Lakshmikantham and S Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol Academic Press, New York, 1969 [11] V Lakshmikantham and D Trigiante, Theory of Difference Equations, Academic Press, San Diego, 1988 [12] A M Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (In Russian), Doctoral dissertation, Univ Kharkov 1892 English translations: A T Fuller trans.) Taylor & Francis, London 1992 [13] F Ma, Stability theory of stochastic difference system, in Probabilistic Analysis ang Related Topics, (A T Bharucha-Reid, Ed.), Vol pp 127-160, Academic Press, New York/London, 1983 [14] F Ma and T K Caughey, On the stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 16 (1981), 139-153 [15] F Ma and T K Caughey, On the stability of linear and nonlinear stochastic tranformation, Internat J Control 34 (1981), 501-511 [16] F Ma and T K Caughey, Mean stability of stochastic difference systems, Internat J Non-Linear Mech 17 (1982), 69-84 [17] S P Meyn and R L Tweedie: Markov Chains and Stochastic Stability (Springer, New York, 1993) [18] X Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester, 1997 [19] A G Pakes: Some conditions for ergodicity and recurrence of Markov chains Operations Research, 17 (1969), 1048-1061 47 [20] T Taniguchi, E Stanley Lee, Stability theorems of stochastic defference equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications And Applications 147, 81-96 (1990) [21] R L Tweedie, Criteria for classifying general Markov chains Advances in Applied Probability (1976), 737-771 48 ... Các phương pháp nghiên c u tính n đ nh c a h sai phân ng u nhiên 14 14 2.1 Phương pháp s d ng hàm Lyapunov 2.2 Phương pháp so sánh nghiên c u tính n đ nh theo mo- 19 ment c a phương. .. mình, đưa hai phương pháp nghiên c u tính n đ nh c a nghi m c a phương trình vi phân Đó phương pháp s mũ phương pháp hàm Lyapunov [12] T đ n nay, toán thu hút đư c s quan tâm nghiên c u c a nhi u... trình sai phân ng u nhiên Chính v y, v n đ nghiên c u tính n đ nh đ i v i nghi m c a phương trình sai phân toán đư c r t nhi u ngư i quan tâm phát tri n nhi u phương pháp đ nghiên c u toán Cũng