Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán Trung học phổ thông

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN VŨ TH± KIM NGAN M®T SO PHƯƠNG PHÁP GIÁI Hfi PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HOC PHO THƠNG Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CAP Mã so: 60 46 01 13 LU¼N VĂN THAC SY KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS PHAM VĂN QUOC HÀ N®I - 2015 Mnc lnc Lài cám ơn Má đau M®t so kien thNc bán 1.1 H¾ phương trình bán 1.1.1 H¾ phương trình b¾c nhat hai an 1.1.2 H¾ phương trình đoi xúng .4 1.1.3 H¾ phương trình cap 1.1.4 H¾ phương trình dang hốn v% vòng quanh .7 1.2 Phương pháp bán 1.2.1 Phương pháp c®ng đai so .9 1.2.2 Phương pháp the 10 Mđt so phng phỏp giỏi hắ phng trình 13 2.1 Phương pháp đ¾t an phu 13 2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tú .20 2.3 Phương pháp sú dung hang thúc 28 2.4 Phương pháp sú dung tính đơn đi¾u cna hàm so 34 2.5 Phương pháp khác 43 2.5.1 Phương pháp đánh giá 43 2.5.2 Phương pháp lưong giác hóa 47 2.5.3 Phương pháp sú dung so phúc .49 M®t so phương pháp xây dNng h¾ phương trình 54 3.1 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đ¾t an phu 54 3.2 Xây dnng h¾ phương trình tù thúc 58 3.3 Sú dung tính đơn đi¾u cna hàm so đe xây dnng h¾ phương trình 64 3.4 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đánh giá 67 3.5 Sú dung so phúc đe xây dnng h¾ phương trình 71 Ket lu¾n 77 Tài li¾u tham kháo 78 Lài cám ơn Lòi đau tiên, tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói TS Pham Văn Quoc - ngưòi thay truyen cho tơi niem say mê nghiên cúu Tốn hoc Thay t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tác giá suot trình hoc t¾p hồn thi¾n lu¾n văn Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, Phòng Đào tao Sau đai hoc, Khoa Toán - Cơ - Tin hoc, thay giáo tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi hồn thành bán lu¾n văn M¾c dù có nhieu co gang, thòi gian trình đ® han che nên lu¾n văn khó tránh khói nhung thieu sót Vì v¾y tác giá rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Em xin chân thnh cỏm n! Mỏ au Hắ phng trỡnh l mđt n®i dung co đien quan cna Tốn hoc Ngay tù đau, sn đòi phát trien cna h¾ phương trình đ¾t dau an quan trong Tốn hoc Chúng có súc hút manh me đoi vói nhung ngưòi u Tốn, ln thơi thúc ngưòi làm Tốn phái tìm tòi, sáng tao Bài tốn ve h¾ phương trình thưòng xun xuat hi¾n kỳ thi hoc sinh giói, Olympic kỳ thi tuyen sinh Đai hoc, Cao H¾ phương trình đưoc đánh giá tốn phân loai hoc sinh giói, đòi hói ky thu¾t xú lý nhanh xác nhat Là m®t giáo viên Trung hoc thơng, tơi muon nghiên cúu sâu ve h¾ phương trình nham nâng cao chun mơn, phuc vu cho q trình giáng day boi dưõng hoc sinh giói cna Vói nhung lý trên, lna chon nghiên cúu đe tài "Mđt so phng phỏp giỏi hắ phng trỡnh chng trình tốn Trung hoc thơng" làm lu¾n văn thac sĩ cna Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương M®t so kien thúc bán Chương Mđt so phng phỏp giỏi hắ phng trỡnh Chng Mđt so phng phỏp xõy dnng hắ phng trỡnh H Nđi, ngy 01 thỏng nm 2015 Tỏc giỏ luắn văn Vũ Th% Kim Ngan Chương M®t so kien thNc bán 1.1 1.1.1 H¾ phương trình bán H¾ phương trình b¾c nhat hai an H¾ phương trình b¾c nhat hai an h¾ có dang a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Phương pháp giái: Đe giái h¾ phương trình này, ta thưòng sú dung phương pháp sau: - Phương pháp the, - Phương pháp c®ng đai so, - Phương pháp dùng đ%nh thúc a1 c1 a1 c1 Ký hi¾u: D = ; Dx = ; Dy = b1 b1 2 a b Trưòng hop : D ƒ= c2 b2   x = Dx a H¾ phương trình có nghi¾m nhat  y= D Dy c  D Trưòng hop : D = Dx = Dy = H¾ phương trình có vơ so nghi¾m dang {(x0; y0) |a1x0 + b1y0 = c1} Trưòng hop : D = 0; Dx ƒ= ho¾c D = 0; Dy ƒ= ho¾c D = 0; Dx ƒ= 0; Dy ƒ= H¾ phương trình vơ nghi¾m 1.1.2 H¾ phương trình đoi xNng H¼ phương trình đoi xNng loai I H¾ phương trình đoi xúng loai I đoi vói hai bien x y h¾ phương trình mà neu ta thay x bói y, thay y bói x h¾ khơng thay đoi Phương pháp giái: - Đ¾t x+y=S xy = P - Tìm S, P, , đieu ki¾n S2 ≥ 4P - Khi đó, x, y nghi¾m cna phương trình u2 − Su + P = Ví dn 1.1 (Trích đe thi Hoc vi¾n An ninh năm 2001) Giái h¾ phương trình x + y = − 2xy (x, y ∈ R) x2 + y = x+y=S Giái , đieu ki¾n S ≥ 4P xy = P Đ¾t S = − 2P Ta đưoc h¾ phương trình S2 − 2P = ⇔ S = − 2P (1 − 2P ) − 2P = ⇔  S.= − 2P   P=0 ⇔ Vói S = 1; P = ⇒  P = x+y= ⇒ S = − 2P 4P − 6P = S = 1; P = S = −2; P = xy = Khi (x, y) nghi¾m.cna phương trình: u=0 u2 − u = ⇒ x = 0; y = u = x = 1; y = ⇔ Vói S = −2; P = ta loai trưòng hop khơng thóa mãn đieu ki¾n S V¾y h¾ phương trình có hai nghi¾m (x; y) = (0; 1) ; (1; 0) ≥ 4P Hẳ phng trỡnh oi xNng loai II Hắ phng trình đoi xúng loai II đoi vói x y h¾ phương trình mà neu ta thay x bói y, thay y bói x phương trình bien thành phương trình ngưoc lai Phương pháp giái: - Trù theo ve hai phương trình cna h¾, ta đưoc m®t phương trình tích dang: (x − y) f (x; y) = - Sau lan lưot thay x = y; f (x, y) = 0, vào m®t hai phng trỡnh cna hắ, ta oc mđt phng trình biet cách giái giái tiep tìm nghi¾m cna h¾ Ví dn 1.2 (Trích đe thi đai hoc khoi B năm 2003) Giái h¾ phương trình   3y = y2 + (x, y ∈ R)   3x =   x2 x2 + y2 Giái Đieu ki¾n: x > 0; y > H¾ phương trình tương đương vói 3x2y = y2 + 3y2x = x2 + 3xy (x − y) = (y − x) (y + x) 3y x = x2 + (x − y) (x + y + 3xy) = ⇔ 3y2x = x2 + ⇔   x=y ⇔  x= x + y + 3xy = 3y2 x = x2 + x=y y Vó i 3y2x = x2 + ⇔ Vó i 3x3 − x2 − = ⇔ x = y = x + y + 3xy = 3y2x = x2 + Vì x + y + 3xy > 0; ∀x > 0; y > nên trưòng hop vơ nghi¾m V¾y h¾ phương trình có nghi¾m nhat (x; y) = (1; 1) 1.1.3 H¾ phương trình cap f (x, y) = a H¾ phương trình g (x, y) = b g(x, y) đưoc goi h¾ cap b¾c k neu f (x, y); bieu thúc cap b¾c k Chú ý : Bieu thúc f (x, y) đưoc goi cap b¾c k neu f (mx, my) = mkf (x, y) Phương pháp giái: - Xét y = (ho¾c x = 0) thay vào h¾ phương trình tìm nghi¾m - Xét y ƒ= Đ¾t x.= ty, ta có f (ty, y) = y kf (t, 1) ⇒ g (ty, y) = y kg (t, 1) y kf (t, 1) = a y kg (t, 1) = b a Chia theo ve hai phương trình cna h¾ ta đưoc: f (t, 1) = g (t, 1) b Giái phương trình tìm t roi thay ngưoc lai ta tìm đưoc nghi¾m (x, y) Ví dn 1.3 (Trích đe thi đe ngh% Olympic 30/4/2009) Giái h¾ phương trình x3 + 8y3 − 4xy2 = (x, y ∈ R) 2x4 + 8y4 − 2x − y = Giái - Xét y = Thay vào h¾ phương trình ta đưoc: x3 = 2x4 − 2x = ⇔ x = Suy (1; 0) mđt nghiắm cna hắ - Xột y = x = ty, ta có: ⇔ t3y3 + 8y3 − 4ty3 = 2t4y4 + 8y4 − 2ty −y=0  3.3  y t + − 4t =  y3 2t4 + = 2t + (Do y ƒ= 0) Chia theo ve hai phương trình cna h¾ ta đưoc: t +8− 4t = 2t4 + 2t + ⇔ t.3 − 8t2 + 12t = t=0 t =2 ⇔ t = Vói t = ta có (x; y) = 0; Vói t = ta có (x; y) = 1; √ ; √ Vói t = ta có (x; y) 25 21 25 = 3 V¾y h¾ phương trình có bon nghi¾m (x; y) = (1; 0) ; 0; 1.1.4 ; 1; √3 √3 25 25 ; ; H¾ phương trình dang hốn v% vòng quanh H¾ phương trình dang hốn v% vòng quanh h¾ có dang:  f (x1) = g (x2)  f (x ) = g (x )   f (xn 1) − = g (xn)  f (xn) = g (x1) (Khi ta hốn v% vòng quanh bien h¾ phương trình khơng đoi) Cu the, ta xét h¾ hốn v% vòng quanh ba an sau x = f (y) y = f (z) z = f (x) Phương pháp giái: Giá sú f hàm so xác đ%nh t¾p D có t¾p giá tr% T , T ⊆ D f hàm so đong bien D - Cách : Đốn nghi¾m chúng minh nghi¾m nhat Đe chúng minh h¾ có nghi¾m nhat ta thũng cđng theo ve ba phng trỡnh cna hắ, sau suy x = y = z - Cách : Tù T ⊆ D ta suy f (x), f (f (x)) f (f (f (x))) thuđc D e (x, y, z) l nghiắm cna hắ x ∈ T Neu x > f (x) f tăng D nên f (x) > f (f (x)) Do đó, f (f (x)) > f (f (f (x))) Suy ra: x > f (x) > f (f (x)) > f (f (f (x))) = x Đieu mâu thuan Chúng tó khơng the có x > f (x) Tương tn ta chúng minh đưoc rang khơng the có x < f (x) Do đó, x = f (x) Vi¾c giái h¾ phương trình ban đau đưoc quy ve vi¾c giái phương trình x = f (x) Hơn nua ta có: x=f (y) y=f (z) z=f (x) x=f (y) y=f ⇔ (z) z=f (z) x = f (y) y = f (z) z = f (f (y)) ⇔ ⇔ x=f (y) z=y ⇔ z=f (z) ⇔ Ví dn 1.4 (Trích đe thi HSG QG 2006) Giái h¾ phương trình √ x = f (y) y = f (z) z = f (f (f (z))) x=y=z z = f (z) x2 − 2x + 6log3 (6 − y) = x, y2 − 2y + 6log3 (6 − z) = y √ z − 2z + 6log3 (6 − x) = z  (x, y, z ∈ R) Giái Đe (x, y, z) nghi¾m cna h¾ phương trình đieu ki¾n x, y, z < H¾ phương trình cho tương đương vói  x  log (6 − y) = √ x2 y2x +   − log3 (6 − z) =, y − 2y +  z  log (6 − x) = − 2z + √ z log (6 − y) = f (x) 3log3 (6 − z) hay = f (y) log3 (6 − x) = f (z) x vói f (x) = x2 − 2x + ; g (x) = (6 − x) log3 √ 6−x Ta có f t (x) = √ > 0; ∀x < (x2 − 2x + 6) x2 − 2x +6 Suy f (x) hàm tăng g(x) hàm giám vói x < Neu (x, y, z) l mđt nghiắm cna h¾ phương trình, ta chúng minh x = y = z Khơng mat tính tong qt, giá sú x = max(x, y, z) Ta xét hai trưòng hop sau: Trưòng hop : x ≥ y ≥ z Do f (x) hàm tăng nên f (x) ≥ f (y) ≥ f (z) Suy log3 (6 − y) ≥ log3 (6 − z) ≥ log3 (6 − x) Do g(x) giám nên − y ≤ − z ≤ − x ⇔ x ≤ z ≤ y ⇒ x = y = z Trưòng hop : x ≥ z ≥ y Tương tn ta suy x = y = z Phương trình f (x) = g(x) có nghi¾m nhat x = V¾y h¾ phương trình có nghi¾m nhat (x, y, z) = (3, 3, 3) 1.2 1.2.1 Phương pháp bán Phương pháp c®ng đai so Đe giái hắ phng trỡnh bang phng phỏp cđng so, ta có the ket hop hai phương trình h¾ bang phép tốn c®ng, trù, nhân, chia đe thu đưoc phương trình h¾ q đơn gián hơn, de giái Ví dn 1.5 (Trích đe thi đai hoc an ninh nhân dân năm 1999) Giái , phương trình , h¾ x2 + x + y + + x + y2 + x + y + + y = 18 , , x2 + x + y + − x + y2 + x + y + −y=2 Giái Đieu ki¾n: x2 + x + y + ≥ 0; y2 + x + y + ≥ C®ng, trù theo ve hai phương trình cna h¾ ta đưoc (x, y ∈ R) Tài li¾u tham kháo [1] Nguyen Tài Chung (2015), Sáng tao giái phương trình, h¾ phương trình, bat phương trình, NXB Tong hop TPHCM [2] Hà Văn Chương (2012), Tuyen chon giái h¾ phương trình, h¾ bat phương trình, phương trình, bat phương trình khơng mau mnc, NXB ĐHQGHN [3] Nguyen Văn L®c (2012), Tuyen chon thi vơ đ%ch Tốn ó đ %a phương, NXB ĐHQGHN [4] Nguyen Vũ Lương (Chn biên)- Pham Văn Hùng - Nguyen Ngoc Thang (2006), H¾ phương trình phương trình chúa thúc, NXB ĐHQGHN [5] Nguyen Văn M¾u, Phương pháp giái phương trình bat phương trình, NXB GD [6] Đ¾ng Thành Nam (2014), Nhung đieu can biet luy¾n thi Đai hoc ky thu¾t giái nhanh h¾ phương trình, NXB ĐHQGHN [7] Lê Xuân Sơn (2014), Phương pháp hàm so giái Toán, NXB ĐHQGHN [8] Mai Xuân Vinh (Chn biên) - Pham Kim Chung - Pham Chí Tuân - Đào Văn Chung - Dương Văn Sơn (2015), Tư logic tìm tòi lòi giái h¾ phương trình, NXB ĐHQGHN [9] Ban to chúc kỳ thi, Tuyen t¾p đe thi Olympic 30 tháng 4, NXB GD 78 ... Phương pháp bán 1.2.1 Phương pháp c®ng đai so .9 1.2.2 Phương pháp the 10 M®t so phương pháp giái h¾ phương trình 13 2.1 Phương pháp đ¾t an phu 13 2.2 Phương pháp. .. 47 2.5.3 Phương pháp sú dung so phúc .49 M®t so phương pháp xây dNng h¾ phương trình 54 3.1 Xây dnng h¾ phương trình bang phương pháp đ¾t an phu 54 3.2 Xây dnng h¾ phương trình tù thúc... "M®t so phương pháp giái h¾ phương trình chương trình tốn Trung hoc thơng" làm lu¾n văn thac sĩ cna Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương M®t so kien thúc bán Chương M®t so phương pháp giái