Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ KIM NGẦN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM VĂN QUỐC HÀ NỘI - 2015 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Hệ phương trình 1.1.1 Hệ phương trình bậc hai ẩn 1.1.2 Hệ phương trình đối xứng 1.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp 1.1.4 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh 1.2 Phương pháp 1.2.1 Phương pháp cộng đại số 1.2.2 Phương pháp Một số phương pháp giải hệ phương trình 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.2 Phương pháp phân tích thành nhân tử 2.3 Phương pháp sử dụng đẳng thức 2.4 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số 2.5 Phương pháp khác 2.5.1 Phương pháp đánh giá 2.5.2 Phương pháp lượng giác hóa 2.5.3 Phương pháp sử dụng số phức Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình 3.1 Xây dựng hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 3.2 Xây dựng hệ phương trình từ đẳng thức 3.3 Sử dụng tính đơn điệu hàm số để xây dựng hệ phương trình 3.4 Xây dựng hệ phương trình phương pháp đánh giá 3.5 Sử dụng số phức để xây dựng hệ phương trình 4 4 9 10 13 13 20 28 34 43 43 47 49 54 54 58 64 67 71 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 Lời cảm ơn Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Phạm Văn Quốc - người thầy truyền cho niềm say mê nghiên cứu Toán học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học, thầy cô giáo tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Mở đầu Hệ phương trình nội dung cổ điển quan trọng Toán học Ngay từ đầu, đời phát triển hệ phương trình đặt dấu ấn quan trọng Toán học Chúng có sức hút mạnh mẽ người yêu Toán, thúc người làm Toán phải tìm tòi, sáng tạo Bài toán hệ phương trình thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi, Olympic kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Hệ phương trình đánh giá toán phân loại học sinh giỏi, đòi hỏi kỹ thuật xử lý nhanh xác Là giáo viên Trung học phổ thông, muốn nghiên cứu sâu hệ phương trình nhằm nâng cao chuyên môn, phục vụ cho trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Với lý trên, lựa chọn nghiên cứu đề tài "Một số phương pháp giải hệ phương trình chương trình toán Trung học phổ thông" làm luận văn thạc sĩ Luận văn chia làm ba chương: Chương Một số kiến thức Chương Một số phương pháp giải hệ phương trình Chương Một số phương pháp xây dựng hệ phương trình Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2015 Tác giả luận văn Vũ Thị Kim Ngần Chương Một số kiến thức 1.1 1.1.1 Hệ phương trình Hệ phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng a1 x + b y = c a2 x + b y = c Phương pháp giải: Để giải hệ phương trình này, ta thường sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp thế, - Phương pháp cộng đại số, - Phương pháp dùng định thức a b c b a c Ký hiệu: D = a1 b1 ; Dx = c1 b1 ; Dy = a1 c1 2 2 2 Trường hợp : D =  Dx    x= D Hệ phương trình có nghiệm    y = Dy D Trường hợp : D = Dx = Dy = Hệ phương trình có vô số nghiệm dạng {(x0 ; y0 ) |a1 x0 + b1 y0 = c1 } Trường hợp : D = 0; Dx = D = 0; Dy = D = 0; Dx = 0; Dy = Hệ phương trình vô nghiệm 1.1.2 Hệ phương trình đối xứng Hệ phương trình đối xứng loại I Hệ phương trình đối xứng loại I hai biến x y hệ phương trình mà ta thay x y , thay y x hệ không thay đổi Phương pháp giải: - Đặt x+y =S , điều kiện S ≥ 4P xy = P - Tìm S, P, - Khi đó, x, y nghiệm phương trình u2 − Su + P = Ví dụ 1.1 (Trích đề thi Học viện An ninh năm 2001) Giải hệ phương trình x + y = − 2xy x2 + y = Giải Đặt (x, y ∈ R) x+y =S , điều kiện S ≥ 4P xy = P S = − 2P S − 2P = S = − 2P S = − 2P ⇔ ⇔ 4P − 6P =  (1 − 2P ) − 2P =   S = − 2P S = 1; P = P =0 ⇔ ⇒ S = −2; P =   P= 2 x+y =1 xy = Ta hệ phương trình Với S = 1; P = ⇒ Khi (x, y) nghiệm phương trình: u2 − u = ⇔ u=0 ⇒ u=1 x = 0; y = x = 1; y = ta loại trường hợp không thỏa mãn điều kiện S ≥ 4P Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) = (0; 1) ; (1; 0) Với S = −2; P = Hệ phương trình đối xứng loại II Hệ phương trình đối xứng loại II x y hệ phương trình mà ta thay x y , thay y x phương trình biến thành phương trình ngược lại Phương pháp giải: - Trừ theo vế hai phương trình hệ, ta phương trình tích dạng: (x − y) f (x; y) = - Sau thay x = y; f (x, y) = 0, vào hai phương trình hệ, ta phương trình biết cách giải giải tiếp tìm nghiệm hệ Ví dụ 1.2 (Trích đề thi đại học khối B năm 2003) Giải hệ phương trình  y2 +   3y =   x2 (x, y ∈ R)  x +2    3x = y2 Giải Điều kiện: x > 0; y > Hệ phương trình tương đương với 3x2 y = y + 3y x = x2 + 3xy (x − y) = (y − x) (y + x) 3y x = x2 + ⇔ (x − y) (x + y + 3xy) = 3y x = x2 + ⇔   Với Với x=y x + y + 3xy = ⇔  3y x = x2 + x=y x=y ⇔ ⇔ x = y = 3y x = x2 + 3x3 − x2 − = x + y + 3xy = 3y x = x2 + Vì x + y + 3xy > 0; ∀x > 0; y > nên trường hợp vô nghiệm Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 1) 1.1.3 Hệ phương trình đẳng cấp Hệ phương trình f (x, y) = a gọi hệ đẳng cấp bậc k f (x, y); g(x, y) g (x, y) = b biểu thức đẳng cấp bậc k Chú ý : Biểu thức f (x, y) gọi đẳng cấp bậc k f (mx, my) = mk f (x, y) Phương pháp giải: - Xét y = (hoặc x = 0) thay vào hệ phương trình tìm nghiệm - Xét y = Đặt x = ty , ta có f (ty, y) = y k f (t, 1) ⇒ g (ty, y) = y k g (t, 1) y k f (t, 1) = a y k g (t, 1) = b a b Chia theo vế hai phương trình hệ ta được: f (t, 1) = g (t, 1) Giải phương trình tìm t thay ngược lại ta tìm nghiệm (x, y) Ví dụ 1.3 (Trích đề thi đề nghị Olympic 30/4/2009) Giải hệ phương trình x3 + 8y − 4xy = 2x4 + 8y − 2x − y = (x, y ∈ R) Giải - Xét y = Thay vào hệ phương trình ta được: x3 = ⇔ x = 2x4 − 2x = Suy (1; 0) nghiệm hệ - Xét y = Đặt x = ty , ta có: t3 y + 8y − 4ty = 2t4 y + 8y − 2ty − y = ⇔   y t3 + − 4t =  y 2t4 + = 2t + (Do y = 0) Chia theo vế hai phương trình hệ ta được: t3 + − 4t = 2t + 2t + ⇔ t3 − 8t2 + 12t = t=0 ⇔ t=2 t = Với t = ta có (x; y) = 0; Với t = ta có (x; y) = 1; Với t = ta có (x; y) = √ ; √ 3 25 25 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm (x; y) = (1; 0) ; 0; 1.1.4 1 ; 1; ; 2 √ ; √ 3 25 25 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh hệ có dạng:  f (x1 ) = g (x2 )    f (x2 ) = g (x3 )    f (xn−1 ) = g (xn ) f (xn ) = g (x1 ) (Khi ta hoán vị vòng quanh biến hệ phương trình không đổi) Cụ thể, ta xét hệ hoán vị vòng quanh ba ẩn sau x = f (y) y = f (z) z = f (x) Phương pháp giải: Giả sử f hàm số xác định tập D có tập giá trị T , T ⊆ D f hàm số đồng biến D - Cách : Đoán nghiệm chứng minh nghiệm Để chứng minh hệ có nghiệm ta thường cộng theo vế ba phương trình hệ, sau suy x = y = z - Cách : Từ T ⊆ D ta suy f (x), f (f (x)) f (f (f (x))) thuộc D Để (x, y, z) nghiệm hệ x ∈ T Nếu x > f (x) f tăng D nên f (x) > f (f (x)) Do đó, f (f (x)) > f (f (f (x))) Suy ra: x > f (x) > f (f (x)) > f (f (f (x))) = x Điều mâu thuẫn Chứng tỏ có x > f (x) Tương tự ta chứng minh có x < f (x) Do đó, x = f (x) Việc giải hệ phương trình ban đầu quy việc giải phương trình x = f (x) Hơn ta có: ⇔ x = f (y) y = f (z) ⇔ z = f (x) x = f (y) y = f (z) ⇔ z = f (z) x = f (y) x = f (y) y = f (z) y = f (z) ⇔ z = f (f (y)) z = f (f (f (z))) x = f (y) x=y=z z=y ⇔ z = f (z) z = f (z) Ví dụ 1.4 (Trích đề thi HSG QG 2006) Giải hệ phương trình √  x2 − 2x + 6log3 (6 − y) = x y − 2y + 6log3 (6 − z) = y √ (x, y, z ∈ R) z − 2z + 6log3 (6 − x) = z Giải Để (x, y, z) nghiệm hệ phương trình điều kiện x, y, z < Hệ phương trình cho tương đương với  x  √ log (6 − y) =    x2 − 2x +  y log3 (6 − z) = y − 2y +   z    log3 (6 − x) = √ hay với f (x) = √ x x2 − 2x + z − 2z + log3 (6 − y) = f (x) log3 (6 − z) = f (y) log3 (6 − x) = f (z) ; g (x) = log3 (6 − x) 6−x √ > 0; ∀x < (x2 − 2x + 6) x2 − 2x + Suy f (x) hàm tăng g(x) hàm giảm với x < Ta có f (x) = Nếu (x, y, z) nghiệm hệ phương trình, ta chứng minh x = y = z Không tính tổng quát, giả sử x = max(x, y, z) Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp : x ≥ y ≥ z Do f (x) hàm tăng nên f (x) ≥ f (y) ≥ f (z) Suy log3 (6 − y) ≥ log3 (6 − z) ≥ log3 (6 − x) Do g(x) giảm nên − y ≤ − z ≤ − x ⇔ x ≤ z ≤ y ⇒ x = y = z Trường hợp : x ≥ z ≥ y Tương tự ta suy x = y = z Phương trình f (x) = g(x) có nghiệm x = Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (3, 3, 3) 1.2 1.2.1 Phương pháp Phương pháp cộng đại số Để giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số, ta kết hợp hai phương trình hệ phép toán cộng, trừ, nhân, chia để thu phương trình hệ đơn giản hơn, dễ giải Ví dụ 1.5 (Trích đề thi đại học an ninh nhân dân năm 1999) Giải hệ phương trình x2 + x + y + + x + x2 + x + y + − x + y + x + y + + y = 18 y2 + x + y + − y = Giải Điều kiện: x2 + x + y + ≥ 0; y + x + y + ≥ Cộng, trừ theo vế hai phương trình hệ ta (x, y ∈ R) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Tài Chung (2015), Sáng tạo giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, NXB Tổng hợp TPHCM [2] Hà Văn Chương (2012), Tuyển chọn giải hệ phương trình, hệ bất phương trình, phương trình, bất phương trình không mẫu mực, NXB ĐHQGHN [3] Nguyễn Văn Lộc (2012), Tuyển chọn thi vô địch Toán địa phương, NXB ĐHQGHN [4] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên)- Phạm Văn Hùng - Nguyễn Ngọc Thắng (2006), Hệ phương trình phương trình chứa thức, NXB ĐHQGHN [5] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB GD [6] Đặng Thành Nam (2014), Những điều cần biết luyện thi Đại học kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình, NXB ĐHQGHN [7] Lê Xuân Sơn (2014), Phương pháp hàm số giải Toán, NXB ĐHQGHN [8] Mai Xuân Vinh (Chủ biên) - Phạm Kim Chung - Phạm Chí Tuân - Đào Văn Chung - Dương Văn Sơn (2015), Tư logic tìm tòi lời giải hệ phương trình, NXB ĐHQGHN [9] Ban tổ chức kỳ thi, Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, NXB GD 78