Phương pháp xác suất trong toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ BÍCH NGỌC PHÂN TÍCH LIÊN TIẾP Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội – Năm 2014 Mục lục MỞ ĐẦU 1.1 Giới thiệu phân tích liên tiếp 1.2 Thí dụ: Kiểm tra sản phẩm 1.2.1 Phân phối cỡ mẫu PHÂN TÍCH LIÊN TIẾP: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT ĐƠN 11 2.1 Tiêu chuẩn liên tiếp tỉ số xác suất(SPRT) 11 2.2 SPRT: Kết thúc hữu hạn bị chặn 13 2.3 Hàm OC (θ) 17 2.4 Số trung bình mẫu 20 2.5 Đồng thức Wald 28 2.5.1 Ứng dụng đồng thức 28 Các cận cận số trung bình mẫu 31 2.6 PHÂN TÍCH LIÊN TIẾP: KIỂM ĐỊNH CHO GIẢ THIẾT HỢP 35 3.1 3.2 Phương pháp hàm trọng lượng 35 3.1.1 Ứng dụng phương pháp hàm trọng lượng 36 Tiêu chuẩn liên tiếp t t2 37 3.2.1 Sự khai triển tiệm cận nghịch đảo tích phân 40 3.2.2 Tiệm cận chuẩn thống kê T 41 3.2.3 Tiêu chuẩn liên tiếp t 45 3.2.4 Tiêu chuẩn liên tiếp t2 (tiêu chuẩn hai phía) ƯỚC LƯỢNG LIÊN TIẾP 46 49 4.1 Các khái niệm 49 4.2 Tính đủ hoàn toàn đầy đủ 50 4.3 Cận Cramer-Rao 59 4.4 Quy trình hai bước 64 4.4.1 Quy trình Stein cho ước lượng trung bình phân phối chuẩn với phương sai chưa biết 64 4.4.2 Quy trình ước lượng hiệu hai trung bình 68 4.4.3 Quy trình cho ước lượng trung bình chung 70 4.4.4 Khoảng tin cậy chiều dài cố định dựa SPRT 75 KẾT LUẬN 82 Tài liệu tham khảo 83 Lời nói đầu Ngày với phát triển xã hội gia tăng nhu cầu việc ứng dụng phương pháp thống kê toán để phân tích số liệu thống kê thu lĩnh vực khoa học tự nhiên, kinh tế xã hội Trong luận văn tác giả trình bày thống kê liên tiếp, dùng để xử lí liệu số lượng quan trắc không cố định Luận văn chia thành bốn chương: Chương 1: Mở đầu Chương giới thiệu chung phương pháp phân tích liên tiếp thống kê, đặc điểm phân tích liên tiếp, ứng dụng kiểm tra sản phẩm Chương 2: Phân tích liên tiếp: kiểm định giả thiết đơn Nội dung chương sử dụng phân tích liên tiếp để kiểm định toán giả thiết đơn, đối thiết đơn Đưa cách xây dựng tiêu chuẩn liên tiếp tỉ số xác suất (SPRT) ví dụ minh họa, tính hữu hạn, bị chặn SPRT Sau xét hàm OC, hàm ASN, đồng thức Wald Chương 3: Phân tích liên tiếp: kiểm định cho giả thiết hợp Nội dung chương ứng dụng SPRT kiểm định giả thiết hợp, đưa phương pháp hàm trọng lượng ( Phân phối tiên nghiệm ) để xây dựng SPRT tối ưu ứng dụng phương pháp hàm trọng lượng Chương đưa tiêu chuẩn liên tiếp t t2 tính chất Chương 4: Ước lượng liên tiếp Chương bao gồm khái niệm ước lượng liên tiếp, nghiên cứu tính đủ đầy đủ, cận Cramer - Rao, quy trình hai bước Và cách xác định khoảng tin cậy độ dài cố định dựa SPRT Luận văn thực trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội, hướng dẫn nhiệt tình GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên để hoàn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 08 năm 2014 Tác giả luận văn Lê Thị Bích Ngọc Chương MỞ ĐẦU 1.1 Giới thiệu phân tích liên tiếp Phân tích liên tiếp khác với quy trình thống kê khác cỡ mẫu không cố định trước Người thí nghiệm chọn dãy quan sát (hoặc số cố định quan sát) thời điểm định xem: ngừng lấy mẫu đưa định tiếp tục lấy mẫu đưa định sau Những toán định mà người thí nghiệm liên tục thay đổi phương pháp xử lí mức khó hơn, gọi toán thiết kế liên tiếp Chẳng hạn xét toán sau Bài toán 1.1: Nếu ta muốn so sánh vài loại thuốc khác phương pháp điều trị(như kiểm tra liên tiếp loại thuốc ung thư)để biết có nên giảm số loại thuốc khỏi giai đoạn đầu thử nghiệm, kết loại thuốc so với loại thuốc khác Vậy nét đặc trưng phân tích liên tiếp số quan sát cần tìm để kết thúc thí nghiệm biến ngẫu nhiên Vì phụ thuộc vào kết quan sát Phương pháp liên tiếp giúp ta đưa dự đoán sớm dùng phương pháp cỡ mẫu cố định Trong thí nghiệm liên tiếp ta cần xác định: Kích cỡ mẫu ban đầu Một quy tắc cho kết thúc thí nghiệm Số lượng quan sát làm thêm thí nghiệm tiếp tục Một quy tắc định cuối Trong thí nghiệm có số lượng quan sát phụ thuộc liên tiếp, đòi hỏi định lý đơn giản áp dụng chung, toán thiết kế liên tiếp số phép thử mà số phương pháp xử lí phụ thuộc liên tiếp Nếu thí nghiệm tiếp tục quan sát X1 , , Xn , c tiêu chuẩn liên tiếp hoàn toàn xác định tập rời Rm , Rm Rm ∈ Rn - không gian Euclid m chiều với m = 1,2 X1 , , Xn phụ thuộc vào Rm , ta chấp nhận giả thiết H, bác bỏ H phụ thuộc vào Rm Và ta tiếp c tục lấy mẫu nằm Rm Bởi tập rời hợp chúng Rm suy cần xác định hai tập ba tập Vấn đề lựa chọn tập thích hợp hai tập Tiêu chuẩn lựa chọn tập định đặc trưng sử dụng(OC) cỡ mẫu trung bình(ASN), hàm xây dựng sau: Giả sử hàm phân bố tham số giá trị thực giả sử nhà thống kê lựa chọn hai giả thiết H0 H1 Hàm OC(θ) xác suất chấp nhận H0 θ giá trị thực tham số Với mong muốn hàm OC phải giá trị cao θ cho phù hợp với H0 giá trị thấp θ cho phù hợp với H1 Ví dụ người ta yêu cầu OC(θ) ≥ − α, ∀θ ∈ H0 OC(θ) ≤ β, ∀θ ∈ H1 , α β xác suất phạm sai lầm Một tiêu chuẩn liên tiếp S gọi chấp nhận hàm OC thỏa mãn tiêu chuẩn Như nói số lượng quan sát cần tìm phân tích liên tiếp biến ngẫu nhiên quan trọng giá trị kì vọng θ tham số giá trị thực Giá trị kì vọng hàm điển hình θ gọi hàm ASN(hàm cỡ mẫu trung bình) Với mong muốn có hàm ASN nhỏ với α, β cho trước, cỡ mẫu dự kiến nhỏ so với quy trình cỡ mẫu cố định Cho ν(θ|D) kí hiệu cỡ mẫu kì vọng quy trình D θ giá trị thực Nếu D0 chấp nhận ν(θ|D) = M inD ν(θ|D) D0 xem tiêu chuẩn tốt Tuy nhiên, nói chung không tồn tiêu chuẩn tốt Tiêu chuẩn tìm thấy phân tích liên tiếp tối ưu, H0 H1 giả thiết đơn Phép kiểm định theo tỉ số xác suất liên tiếp Wald cho ASN nhỏ với hai H0 H1 Hiệu quy trình D θ xác định tỉ lệ số lượng mẫu dự kiến nhỏ D θ với số lượng mẫu dự kiến D θ Wald’s SPRT có hiệu với hai giả thiết H0 H1 1.2 Thí dụ: Kiểm tra sản phẩm Phân tích liên tiếp sớm phương pháp lấy mẫu đôi Dodge Romig kiểm tra chất lượng sản phẩm Lấy n sản phẩm bác bỏ mẫu số lượng phế phẩm mẫu ≥ c (và chấp nhận < c ) Một phương pháp khác : lấy sản phẩm cách riêng biệt thời điểm khác nhau, bác bỏ mẫu mà số lượng phế phẩm mẫu ≥ c, chấp nhận mẫu mà số lượng thành phẩm mẫu ≥ n − c + 1, cỡ mẫu cần thiết c nhiều n Phương pháp gọi kiểm tra rút ngắn 1.2.1 Phân phối cỡ mẫu Kí hiệu N cỡ mẫu ngẫu nhiên cần thiết để kết thúc thí nghiệm, đó: Pθ (N = c bác bỏ H0 ) = θc Pθ (N = c + r bác bỏ H0 ) = c+r−1 c−1 (1.1) r θc (1 − θ) (1.2) với r = 1, 2, n − c Pθ (N = n − c + + s chấp nhận H0 ) = với s = 0, 1, c − n−c+s s θs (1 − θ) n−c+1 n : Eθ (N) = mPm m=1 Pm xác suất mà định đạt lần thử thứ m (1.3) Kí hiệu : P (N = m| bác bỏ H0 ) = với m < c P (N = m| chấp nhận H0 ) = với m < n − c + nữa: Pm = P0 (bác bỏ giai đoạn m) + P (chấp nhận giai đoạn m, m ≥ c) = m−1 c−1 m−c θc (1 − θ) m−1 n−c + (1 − θ) n−c+1 m−(n−c+1) θ (1.4) Do đó: n Eθ (N ) =c θ c m=1 m c m−c (1 − θ) n + (n − c + 1) (1 − θ) n−c+1 m=n−c+1 n=c =c θc r=0 r+c c (1 − θ) θm−(n−c+1) (1.5) θr (1.6) r c−1 + (n − c + 1) (1 − θ) m n−c+1 n−c+1+r n−c+1 r r=0 Người ta thường ưa dùng kế hoạch lấy mẫu rút ngắn kế hoạch lấy mẫu đơn tương đương E(N|θ)của kế hoạch lấy mẫu rút ngắn nhỏ cỡ mẫu kế hoạch lấy mẫu đơn Xét trường hợp c = 1: n−1 r (r + 1) (1 − θ) + n (1 − θ) E (N |θ) = θ n r=0 n−1 (r + 1) y r + ny r , y = − θ = (1 − y) r=0 n−1 n r jy j + ny n (r + 1) y − = r=0 j=1 n−1 n−1 r jy j (r + 1) y − = r=0 j=0 n−1 yr = = r=0 − yn 1−y (1.7) E (N |θ) tăng với y E (N |θ) giảm với θ c = Tuy nhiên điều không với c > Cho P1 (θ) = P (chấp nhận mẫu sử dụng quy trình mẫu cố định|θ) c−1 = r=0 n r θr (1 − θ) n−r (1.8) P2 (θ) = P (chấp nhận mẫu sử dụng luật liên tiếp|θ) n = P (chấp nhận mẫu vàN = m|θ) m=n−c+1 n m−1 n−c = m=n−c+1 θm−1−(n−c) (1 − θ) n−1 = (1 − θ) r=n−c c−1 = (1 − θ) r n−c n−c+1 n−c+1 r=0 n−c (1 − θ) θr−(n−c) r+n−c r θr (1.9) Khi có bổ đề sau: Bổ đề 1.2.1 P1 (θ) = P2 (θ) ∀ n,c Chứng minh cho c=1,P1 (θ) = P2 (θ) = (1 − θ)n cho c = 2,P1 (θ) = P2 (θ) = (1 − θ)n + nθ(1 − θ)n−1 Giả sử với c xét trường hợp c + giả sử c−1 k=0 n k c−1 k n−k θ (1 − θ) n−c+1 = (1 − θ) r=0 r+n−c r θr (1.10) ta cần chứng minh: c−1 k=0 n k c k θ (1 − θ) n−k n−c = (1 − θ) r=0 r+n−c−1 r θr (1.11) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Đào Hữu Hồ, Hoàng Hữu Như (2004), Thống kê toán học, NXB ĐHQGHN [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQGHN [3] Đào Hữu Hồ, Xác suất Thống kê (2007), NXB ĐHQGHN [4] Đặng Hùng Thắng ( 2000), Thống kê ứng dụng, NXB Giáo dục [5] Wald, Abraham (1947),Sequential Analysis, John Wiley and Sons [6] Aivazyan, S.A (1959) A comparison of the optimal properties of the Neyman - Pearson and the Wald sequential probability ratio test Theor Probability Appl 86 - 93 [105] [7] Anscome, F.J (1953), Sequential estimaion, J.Roi.Statist.Soc.Ser B 15 129.[200] [8] Wilks S.S (1967), Mathematical statistics (bản dịch tiếng nga), Moskow [9] Zakula Govindarajulu, Sequential Statistics handp 83 [...]...Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Đào Hữu Hồ, Hoàng Hữu Như (2004), Thống kê toán học, NXB ĐHQGHN [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQGHN [3] Đào Hữu Hồ, Xác suất Thống kê (2007), NXB ĐHQGHN [4] Đặng Hùng Thắng ( 2000), Thống kê và ứng dụng, NXB Giáo dục [5] Wald, Abraham (1947),Sequential Analysis,