Một số bài tập điển hình về giới hạn và tích phân trong chương trình toán trung học phổ thông

hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Mở View Menu, Chọn Zoom to ! Chọn tỷ lệ có sẵn hộp kích th thưước muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cấp TI Mt s bi in hỡnh v gii hn v tớch phõn chng trỡnh Toỏn trung hc ph thụng LI CM N Trong quỏ trỡnh thc hin khúa lun tt nghip em ó gp rt nhiu khú khn v b ng Nh vo s giỳp v ng viờn ca nhiu thy cụ giỏo bn bố v gia ỡnh ó giỳp em hon thnh khúa lun ny Li u tiờn, em xin t lũng bit n sõu sc n Thy Th.S Nguyn Quc Tun, ngi ó ch dy cho em nhng kin thc, kinh nghim hc v nghiờn cu khoa hc, ó ng viờn tn tỡnh hng dn sut thi gian hc v c bit l quỏ trỡnh hon thnh khúa lun tt nghip Em xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu, cỏn b, ging viờn Trng i Hc Qung Bỡnh, ging viờn khoa Khoa hc t nhiờn ó tn tỡnh ging dy, truyn t kin thc sut quỏ trỡnh hc Vi kin thc c tip thu quỏ trỡnh hc khụng ch l nn tng cho quỏ trỡnh nghiờn cu khúa lun m cũn l hnh trang quớ bỏu em bc vo i mt cỏch vng chc v t tin Xin cm n gia ỡnh v nhng ngi bn ó giỳp ng viờn v tinh thn cng nh phng tin vt cht sut quỏ trỡnh lm ti tt nghip Trong thi gian cú hn em ó c gng hon thnh khúa lun ny, nhng khụng trỏnh nhng khim khuyt, thiu sút kớnh mong nhn c s gúp ý ch bo ca cỏc thy cụ, ca cỏc bn sinh viờn khoa v nhng quan tõm n ti ny Cui cựng em xin cm n cỏc thy cụ l ch tch hi ng, phn bin v y viờn hi ng ó b thi gian quý bỏu c, nhn xột v tham gia hi ng chm khúa lun ng Hi, ngy 20 thỏng nm 2014 Sinh viờn Hong Th M L MC LC M U PHN GII HN CHNG I: GII HN CA DY S 1.1 Cỏc kin thc c bn v dóy s 1.1.1 Dóy s 1.1.2 Dóy s b chn 1.1.3 Dóy s n iu 1.1.4 Dóy 1.1.5 Gii hn hu hn ca dóy s 1.2 Cỏc nh lớ 1.3 Cỏc nguyờn lớ 1.3.1 Nguyờn lớ Weiestrass 1.3.2 Nguyờn lớ Bolzano Weiestrass 1.4 Gii hn mt s dóy s thng gp BI TP CHNG I GII HN CA DY S 10 CHNG II: GII HN CA HM S 17 2.1 Cỏc kin thc c bn v hm s 17 2.1.1 Hm s 17 2.1.2 th ca hm s 17 2.1.3 Hm s chn, hm s l 17 2.1.4 Hm s b chn 17 2.1.5 Hm s n iu 18 2.1.6 Gii hn ca hm s 18 2.1.6.1 Gii hn ca hm s ti mt im 18 2.1.6.2 Gii hn ca hm s ti vụ cc 18 2.2 Cỏc nguyờn lớ c bn v gii hn hm s 19 2.3 Mt vi gii hn c bit ca hm s 19 BI TP CHNG II GII HN CA HM S 20 CHNG III: HM S LIấN TC 24 3.1 nh ngha 24 3.1.1 Hm s liờn tc ti mt im 24 3.1.2 Hm s liờn tc trờn mt khong 24 3.1.3 Hm s liờn tc trờn mt on 24 3.2 Cỏc phộp toỏn s hc vi hm liờn tc 25 3.3 Cỏc nh lớ c bn v hm liờn tc 25 BI TP CHNG III HM S LIấN TC 26 PHN NGUYấN HM - TCH PHN 31 Nguyờn hm 31 1.1 Cỏc khỏi nim 31 1.2 Bng nguyờn hm cỏc hm s thng gp 32 1.3 Mt s phng phỏp tỡm nguyờn hm 33 1.3.1 Phng phỏp i bin s 33 1.3.2 Phng phỏp tớnh nguyờn hm tng phn 33 Tớch phõn 33 2.1 nh ngha 33 2.2 Tớnh cht 33 2.3 Mt s phng phỏp tớnh tớch phõn 34 BI TP NGUYấN HM - TCH PHN 35 KT LUN 47 TI LIU THAM KHO 48 M U Gii tớch toỏn hc, cũn gi n gin l gii tớch, l ngnh toỏn hc nghiờn cu v cỏc khỏi nim gii hn, o hm, tớch phõn Nú cú vai trũ ch o giỏo dc i hc hin Phộp toỏn c bn ca gii tớch l "phộp ly gii hn" nghiờn cu gii hn ca mt dóy s, hm s, ta phi "o" c " xa gn" gia cỏc i tng cn xột gii hn ú Do vy, nhng khỏi nim nh l mờtric, tụpụ c to mụ t mt cỏch chớnh xỏc, y vic o xa, gn y Cỏc yu t c nghiờn cu gii tớch thng mang tớnh cht "ng" hn l tớnh cht "tnh" nh i s Gii tớch cú ng dng rt rng khoa hc k thut, gii quyt cỏc bi toỏn m vi phng phỏp i s thụng thng t khụng hiu qu Nú c thit lp da trờn cỏc ngnh i s, lng giỏc, hỡnh hc gii tớch v cũn c gi l "ngnh toỏn nghiờn cu v hm s" toỏn hc cao cp Gii hn l mt nhng c bn ca gii tớch Cú th núi: Khụng cú gii hn thỡ khụng cú gii tớch, hu ht cỏc khỏi nim ca Gii tớch u liờn quan n gii hn Trong Toỏn hc, khỏi nim "gii hn" c s dng ch giỏ tr m mt hm s hoc mt dóy s tin gn n bin s tng ng tin gn n mt giỏ tr no ú Trong mt khụng gian y , khỏi nim gii hn cho phộp ta xỏc nh mt im mi t mt dóy Cauchy cỏc im ó c xỏc nh trc Gii hn l khỏi nim quan trng ca Gii tớch v c s dng nh ngha v tớnh liờn tc, o hm v phộp tớnh tớch phõn Tớch phõn l mt khỏi nim toỏn hc, v cựng vi nghch o ca nú vi phõn úng vai trũ l phộp tớnh c bn v ch cht lnh vc gii tớch Cú th hiu n gin tớch phõn nh l din tớch hoc din tớch tng quỏt húa Gi s cn tớnh din tớch mt hỡnh phng c bao bi cỏc on thng, ta ch vic chia hỡnh ú thnh cỏc hỡnh nh n gin hn v ó bit cỏch tớnh din tớch nh hỡnh tam giỏc, hỡnh vuụng, hỡnh thang, hỡnh ch nht Tip theo, xột mt hỡnh phc hn m nú c bao bi c on thng ln ng cong, ta cng chia nú thnh cỏc hỡnh nh hn, nhng bõy gi kt qu cú thờm cỏc hỡnh thang cong Tớch phõn giỳp ta tớnh c din tớch ca hỡnh thang cong ú Ch Gii hn v Nguyờn hm - Tớch phõn l mt nhng phn quan trng v c bn chng trỡnh toỏn ph thụng nú úng vai trũ quan trng Toỏn hc cng nh thc tin Gii hn l khõu u tiờn, l tin quan trng xõy dng cho hc sinh kh nng dng vng chc, cú hiu qu cỏc kin thc Gii tớch toỏn hc ph thụng Ch Gii hn cú vai trũ ht sc quan trng chng trỡnh Toỏn ph thụng cũn cú l vỡ khỏi nim Gii hn l c s, hm s liờn tc l vt liu xõy dng cỏc khỏi nim o hm v tớch phõn Tớch phõn cú mt chng trỡnh ph thụng ch vi t cỏch l nhng kin thc thc hnh, l cụng c tớnh toỏn s dng hỡnh hc, vt lớ v k thut Ni dung nguyờn hm, tớch phõn lp 12 THPT l mt ni dung mi i vi hc sinh, hn na õy li l mt ni dung khú, tru tng Vi nhng lớ trờn tụi chn ti lm ti khúa lun l: Mt s bi in hỡnh v gii hn v tớch phõn chng trỡnh Toỏn trung hc ph thụng Mc ớch ca ti l nờu cỏc nh ngha, nh lớ, quy tc, phng phỏp tớnh gii hn, nguyờn hm v tớch phõn Sau ú l cỏch nhn din, phõn dng cỏc bi Ngoi phn m u, kt lun v ti liu tham kho, ti c chia thnh hai phn ln ú l phn Gii hn v phn Nguyờn hm - Tớch phõn Trong phn Gii hn gm cú ba chng, chng gii thiu mt s bi toỏn v gii hn dóy s, chng gii thiu mt s bi toỏn v gii hn hm s v chng gii thiu cỏc bi toỏn v tớnh liờn tc ca hm s Trong phn Nguyờn hm - Tớch phõn gii thiu cỏc quy tc, phng phỏp v bi tớnh nguyờn hm, tớch phõn Mc dự ó rt c gng, nhng vi thi gian, kin thc v kinh nghim ca bn thõn cũn khiờm tn nờn tn ti nhiu thiu sút khúa lun l iu khú trỏnh Tụi rt mong nhn c s thụng cm, gúp ý chõn thnh ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v cỏc bn ti c hon thin, cú hiu qu v cú th ng dng ging dy ph thụng sau ny PHN GII HN CHNG I: GII HN CA DY S Trong chng ny tụi gii thiu gii hn ca dóy s v nờu mt s nh lớ, quy tc tỡm gii hn sau ú ỏp dng gii mt s bi tỡm gii hn ca dóy s 1.1 Cỏc kin thc c bn v dóy s 1.1.1 Dóy s nh x f : n f (n) gi l dóy s Ta thng ghi un f (n) Kớ hiu l un ( hay u1, u2 , , un , ) 1.1.2 Dóy s b chn Dóy un gi l b chn trờn nu tn ti s M cho: un M, n Dóy un gi l b chn di nu tn ti s M cho: un M, n Dóy un gi l b chn nu nú va b chn trờn v va b chn di, tc l tn ti s dng k cho: un k , n 1.1.3 Dóy s n iu Dóy un gi l tng (tng nghiờm ngt) nu: un un 1, n ( un un 1, n ) Dóy un gi l gim (gim nghiờm ngt) nu: un un 1, n ( un un 1, n ) Cỏc dóy tng v gim gi chung l dóy n iu 1.1.4 Dóy nk nk Cho cỏc dóy un v k nk thỡ dóy un gi l dóy ca un k Ta d dng kim tra c rng: nk k , k Mi dóy u l mt dóy ca chớnh nú Mi dóy ca mt dóy b chn thỡ b chn Mi dóy ca mt dóy n iu l dóy n iu 1.1.5 Gii hn hu hn ca dóy s Dóy un c gi l hi t n a ( hay cú gii hn a ) nu lim un a Kớ hiu : lim un a hay un a n Dóy s cú gii hn gi l dóy hi t v dóy khụng cú gii hn gi l dóy phõn kỡ 1.2 Cỏc nh lớ nh lớ 1: Gii hn ca mt dóy hi t l nht nh lớ 2: Mi dóy hi t u b chn nh lớ 3: Dóy un hi t v ch mi dóy ca nú u l dóy hi t v cú chung mt gii hn nh lớ 4: Mi dóy u cú ớt nht mt dóy n iu nh lớ ( nh lớ kp v gii hn ca dóy s): a f ( x)dx a b a a b b f ( x)dx f ( x)dx c b a c f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a b b b k f ( x)dx k f ( x)dx a b b a a a [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx a 2.3 Mt s phng phỏp tớnh tớch phõn Phng phỏp i bin s: Cụng thc i bin s b u (b ) a u (a) f u x u ' x dx f u du Trong ú f ( x) l hm s liờn tc v u( x) cú o hm liờn tc trờn khong K cho hm hp f u x xỏc nh trờn K; a, b K Phng phỏp i bin s thng ỏp dng theo hai cỏch Cỏch t n ph u u( x) ( u l mt hm ca x ) Cỏch t n ph x x(t ) ( x l mt hm s ca t) Phng phỏp tớch phõn tng phn nh lý: Nu u( x), v( x) l hai hm s cú o hm liờn tc trờn khong K v a, b b l hai s thuc K thỡ u x v ' x dx u x v x a b a b v x u ' x dx a 34 BI TP NGUYấN HM - TCH PHN Bi 1: Tớnh cỏc nguyờn hm a I x dx x x x dx x x x dx x 2 x3 x 3 b x x I dx x x x C x x2 dx x dx x x x 1 x 1 x 2 dx arcsin x x 1 x2 x 2 dx C Bi 2: Tớnh cỏc nguyờn hm a I x dx x xe x t t xe x thỡ x t dt dx x x e e x Khi ú I dt dt dt t t t t ln t ln t C 35 dx xe x ln xe ln xe C ln C xe x x x x2 dx b I x t x tan t Khi ú I dx dt dt 4 sin t cos t cos4t t u tan 2t du Nờn I dt tan t dt cos t dt cos2 2t du u arctan C 2 2u 2t 2x Vy I arctan tan arctan C x2 2 c I e2 x ex dx t t e x t e x 4t 3dt e x dx Nờn I t t t dt t t 2dt 4t 4t dt 4 t7 t3 C d I x2 a2 x2 44 x e e x C dx 36 C t x asin t dx a cos tdt vi t ; 2 a3 sin t.cos t Ta cú I a dt a sin tdt cos2t dt cos t e I a3 a3 t sin 2t C a3 x a3 x arcsin sin 2arcsin C a a dx x2 a2 x2 t x a tan t dx Nờn I a dt cos 2t a sin t.a tan t dt cos t C dt sin t sin t x sin arctan a Bi 3: Tớnh cỏc nguyờn hm a I xearctan x x 2 dx t t arc tan x x tan t dx x dt dt cos2t et sin t.cos3t Nờn I dt et sin t dt cos t.cos t u et du et dt t dv sin tdt v cos t Ta cú I et cos t et cos tdt et cos t et sin t et sin dt 37 C et sin t cos t I C b I earctan x sin arctan x cos arctan x C arctan e x ex ex x u arctan e du e2 x dt t dv dx v ex ex Ta cú I arctan e x dx e2 x ex arctan e x e2 x dx ex e2 x arctan e x e2 x e2 x dx ex e2 x e x d (e x ) Ta cú J dx e2 x (e x )2 t t e x thỡ J td (t ) 1 ln t C1 ln e2 x C1 t 2 arctan e x Vy I x ln e2 x C x e c I sin xdx t x t thỡ x t dx 3t 2dt 38 Nờn I t sin tdt u t du 2tdt t dv sin tdt v cos t Ta cú I 3t cos t t cos tdt 3t cos t 6t sin t sin tdt 3t cos t 6t sin t 6cos t C 3 x cos x x sin x 6cos x C d I arcsin x x dx t arcsin x t thỡ x sin t dx cos tdt Vy I t cos t t dt dt cos t cos 2t u t du dt t dt dv v tan t cos2t Nờn I t tan t tan tdt t tan t sin t dt cos t t tan t ln cos t C arcsin x.tan arcsin x ln cos arcsin x C Bi 4: Tớnh cỏc nguyờn hm a I x3 28 dx dx x 5x x 3( x 3) x 2( x 2) x 28 ln( x 3) ln x ln( x 2) 39 x4 dx b I dx x x4 t J dx dx x4 x2 x x2 x 2x 2x 1 2 dx 2 dx x 2x x 2x dx x 2 x2 x ln arctan x 2x c I x x 2 dx x 2 arctan 2x x2 x ln arctan Vy I x x 2x x2 2 ln x2 x ln x2 x 4 2x dx dx x x2 x x2 x x x x ln x x x C d I x3.arccos x x2 dx 40 2x C arctan 2x C t t arccos x dt dx x2 Vy I t cos3 tdt t (1 sin t )cos tdt t cos tdt t cos t sin tdt I1 I Tớnh I1 t cos tdt u t du dt t dv cos tdt v sin t Nờn I1 t sin t sin tdt t sin t cos t C Tớnh I t cos t sin tdt u t du dt t dv sin td sin t v sin t t Nờn I sin t sin tdt 3 t t 1 sin t cos2t d (cos t ) sin t cos t cos3t 3 3 t 1 Do vy I t sin t cos t sin t cos t cos3t 3 arccos x sin arccos x cos arccos x 1 cos arccos x cos3 arccos x Bi 5: Tớnh cỏc gii hn 41 arccos x sin arccos x n n n a lim n n n 22 n2 n2 n n n n n 22 n2 n2 t Sn 1 1 thỡ Sn 2 n 2 n n n n n n i1 i n dx arctan x x Vy lim Sn n b lim Sn , vi Sn n Ta cú Sn n n n n 2 n n n n n n n n 2 n n n n n n n n 2 n n 1 1 2n n n n k n n k n n k n n k n 2 nk 1 n k 1 n k 1 nk n k n k 1 nk kn 42 2 n n i 1 nk Vy lim Sn x dx lim n k n n k n n n n n n i 1 nk Ta cú lim k n n n n nk i Nờn lim Vy lim Sn x dx n 2x 1 ln ln 1p p n p c lim Sn , vi Sn n n p1 1p p n p n i x p1 1 p x dx Ta cú Sn 0 n k n p p n p1 p 1 xn dx Bi 6: Chng minh lim n x Gii: t t x thỡ x t xn t dt Nờn dx x t 1 2 Ta cú n t 1n dt t 1n dt t t t 1n dt t n 43 xn dx Vỡ vy lim n x Bi 7: Chng minh f , g kh tớch cựng cỏc bỡnh phng ca chỳng thỡ: b b b 2 f ( x).g ( x)dx f ( x)dx. g ( x)dx a a a Gii: Ta cú f ( x).t g ( x) , vi t Nờn f ( x).t f ( x).g ( x).t g ( x) , vi t b b b Vỡ vy f ( x)dx t f ( x).g ( x)dx t g ( x) a a a Xem v trỏi l tam thc bc ỳng vi mi t thỡ ta cú kt qu Bi 8: Chng minh rng 1 1 p , vi mi p , p p Gii: Xột hm s y Ta cú S trờn 1, pn x 1 thỡ S l tng din tớch cỏc hỡnh ch nht cú chiu p di l n v , chiu cao ln lt l 1, 1 1 p p 1 1 , , , Cho nờn ta c p dx x x 44 p 1 p vi mi p thỡ 1 p p Bi 9: Tớnh cỏc tớch phõn a I ln tan x dx Ta cú: tan x sin x cos x 2cos x cos x Nờn ln tan x ln ln cos x 4 Suy I ln 2dx ln cos x dx ln 2dx ln 2.x 04 ln 0 cos3 x dx 3 sin x c os x b I Gii: sin x dx 3 sin x c os x Ta xột J t t x dt dx x t i cn x t 45 sin x cos3 x dx dx Khi ú J sin x c os x 3 0 sin x cos x 2 Nờn I J Mt khỏc I J dx x Vy I 46 KT LUN ti ó t c nhng kt qu ch yu sau: - Nhc li cỏc kin thc c bn v dóy s, cỏc nh lớ c bn v gii hn dóy s, nờu gii hn ca mt vi dóy s thng gp v bi v tỡm gii hn ca dóy s - Nhc li cỏc kin thc c bn v hm s, cỏc nguyờn lớ c bn v gii hn hm s, gii hn ca mt cỏc hm s thng gp v bi v tỡm gii hn ca hm s - Nhc li nh ngha v hm s liờn tc, cỏc phộp toỏn vi hm s liờn tc, v cỏc bi toỏn v chng minh tớnh liờn tc ca hm s v ng dng tớnh liờn tc ca hm s chng minh s nghim ca phng trỡnh - ti ó trỡnh by mt cỏch tng quan v Nguyờn hm v tớch phõn nh khỏi nim nguyờn hm, bng cỏc nguyờn hm thng gp, phng phỏp tớnh nguyờn hm; nh ngha tớch phõn, tớnh cht, phng phỏp tớnh tớch phõn v mt s bi v tớnh nguyờn hm v tớch phõn Kt qu cú c ca ti l s c gng ca bn thõn, nhiờn cũn nhiu hn ch nht nh Em rt mong nhn c s gúp ý quý bỏu ca cỏc thy cụ v cỏc bn ti c hon thin hn Cui cựng, mt ln na em xin by t lũng bit n sõu sc n Thy giỏo hng dn TH.S Nguyn Quc Tun v cỏc Thy Cụ giỏo ó ging dy em sut quỏ trỡnh hc v hon thnh ti 47 TI LIU THAM KHO [1] Nguyn ỡnh Trớ, Bi toỏn cao cp, Nh xut bn giỏo dc [2] Nguyn ỡnh Trớ, Toỏn hc cao cp, Nh xut bn giỏo dc [3] Tụ Vn Ban, Gii tớch nhng bi nõng cao, Nh xut bn giỏo dc [4] Vừ Giang Giai Nguyn Ngc Thu, Mt s bi toỏn v dóy s cỏc thi Olympic 30 4, Nh xut bn i hc quc gia H Ni [6] W.J.Kaczkor (2003), Bi gii tớch 1, Nh xut bn i hc s phm [7] Y.Y.Liasko (1978), Gii tớch toỏn hc, cỏc vớ d v bi toỏn, Nh xut bn i hc v Trung hc chuyờn nghip (Ting vit) 48 [...]...   Và khi đó ta có m  n  no thì xm  xn   Theo tiêu chuẩn Cauchy thì dãy xn hội tụ b Gọi lim xn  C thì xn  C   (n) , với  (n)  0 khi n   n  Nên 1  1 1 1     C  ln n   (n) 2 3 n 16 CHƯƠNG II: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Trong chương này tôi giới thiệu giới hạn của dãy số và nêu một số định lí, quy tắc tìm giới hạn sau đó áp dụng để giải một số bài tập tìm giới hạn của hàm số 2.1... nó tăng thực sự hoặc giảm thực sự 2.1.6 Giới hạn của hàm số 2.1.6.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm Giả sử  a; b  là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập  a; b  \  x0  Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số  xn  trong tập hợp  a; b  \  x0  ( tức là xn   a; b  và xn  x0 với mọi n ) mà lim xn  x0 ,... cos  n sin x Nên lim un  0 n 4 2 2 2 2 23 CHƯƠNG III: HÀM SỐ LIÊN TỤC Trong chương này tôi giới thiệu hàm số liên tục và nêu một số định lí, quy tắc và bài tập chứng minh hàm số liên tục 3.1 Định nghĩa 3.1.1 Hàm số liên tục tại một điểm Giả sử hàm số f xác định trên một lân cận của x0 Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu: 1 Tồn tại giới hạn lim f  x  ; x  x0 2 f  x   lim f  x... Các kiến thức cơ bản về hàm số 2.1.1 Hàm số Cho X  Ta gọi một ánh xạ f từ X vào là một hàm số Tập X được gọi là tập xác định của hàm f Đặt Y   f  x  : x  X  , Y được gọi là tập giá trị của hàm f Kí hiệu y  f  x  2.1.2 Đồ thị của hàm số Đồ thị của hàm số f là tập hợp G   x, f ( x)  : x  X  trong hệ tọa độ Descartes Vẽ đồ thị của một hàm số chính là biểu diễn tập hợp tất cả các điểm...  un  um   Nguyên lí Cauchy: Dãy un  hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy 8 1.4 Giới hạn một số dãy số thường gặp 1  0 n  n p a Nếu p  0 thì lim b Nếu p  0 thì lim n  n p  lim n n  n  1 p  0 n c Nếu  thì lim  0 n  1  p n   d Nếu q  1 thì lim q n  0 n  9 BÀI TẬP CHƯƠNG I – GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài 1: Tìm giới hạn 2n  1  1 3 5 a lim un với un    2  3  ... trên  a, b  và f  a   A  B  f  b  Khi ấy f nhận mọi giá trị trung gian giữa A và B Định lí 2: ( Định lí về giá trị trung gian) Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trong khoảng  ,   Giả sử có hai điểm a, b   ,   sao cho f  a  f  b   0 Khi đó có điểm c giữa a và b sao cho f  c   0 25 BÀI TẬP CHƯƠNG III – HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét sự liên tục của hàm số a f ( x) ... cho f ( x0 )  x0 30 PHẦN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN Trong phần này tôi giới thiệu định nghĩa nguyên hàm, tích phân, bảng các nguyên hàm thường gặp, các phương pháp và bài tập tính nguyên hàm và tích phân 1 Nguyên hàm 1.1 Các khái niệm Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của  Cho hàm số f  x  xác định trên K Hàm số F  x  xác định trên K được gọi là một nguyên hàm của f  x  trên K nếu...  dx 2 Tích phân 2.1 Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a , b là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b)  F (a) được gọi là tích phân b của f ( x) từ a đến b và ký hiệu là  f ( x)dx Trong trường hợp a  b thì b  f ( x)dx a a là tích phân của f trên  a; b 2.2 Tính chất Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc...  x0 2.1.6.2 Giới hạn của hàm số tại vô cực Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a;    Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến  nếu với mọi dãy số  xn  trong khoảng  a;    ( tức là xn  a với mọi n ) mà lim xn   , ta đều có lim f  xn   L 18 Khi đó ta viết : lim f  x   L hay f  x   L khi x   x  2.2 Các nguyên lí cơ bản về giới hạn hàm số Định lí 1:... là một hàm đơn điệu trên khoảng (a, b) và c là một điểm nằm trong đó Nếu f thì tồn tại các giới hạn từng phía (hữu hạn) lim f  x  và x c lim f  x  x c Định lí 2: Giả sử hàm f  x  bị “kẹp” giữa hai hàm g  x  , h  x  (tức là g  x   f  x   h  x  ) và tồn tại lim h  x   lim g  x   L Khi ấy tồn tại giới hạn x a x a của f khi x tiến tới a và lim f  x   L x a 2.3 Một vài