Chuyên đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam c Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.. Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng

Trang 1

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam

b) Dãy số không đổi  u n , với u n 0, có giới hạn là 0

c) Dãy số  u n có giới hạn là 0 nếu u n có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn

2 Một số dãy số có giới hạn 0

Định lí 4.1

Cho hai dãy số  u n và  v n

Nếu u n v n với mọi n và limv n 0 thì limu n 0

3

1lim 0

n c)lim 1k 0

n  với mọi số nguyên dương k cho trước

Trường hợp đặc biệt : lim1 0

n  d) lim 0

k n

n

a  với mọi k * và mọi a1cho trước

II DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN

1 Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn là số thực L nếu limu nL0

Kí hiệu: limu n L

Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn

a) Dãy số không đổi  u n với u n c , có giới hạn là c

b) limu n L khi và chỉ khi khoảng cách u nLtrên trục số thực từ điểm u n đến L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm u n “

chụm lại” quanh điểm L

Trang 2

c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa q 1

Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

c)limn k  với một số nguyên dương k cho trước

Trường hợp đặc biệt : limn 

d)limq n   nếu q1

2 Dãy số có giới hạn 

Ta nói rằng dãy số  u n có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy

số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó

Trang 3

b) Nếu limu n  thì u trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn Đo đó n 1 1

Nếu limun   và limvn   thì limu v được cho trong bảng sau: n n

limun limvn limu v n n

Nếu limun   và limvn  L 0 thì limu v được cho trong bảng sau: n n

limun Dấu của L limu v n n

v được cho trong bảng sau:

Dấu của L Dấu củavn

lim n n

u v

B CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ

DẠNG 1 TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

Trang 4

lim 5n n   1 (theo quy tắc 2)

Câu 3: limu n, với

2 2

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 3

1 71

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho n4 (n4 là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được

3 2 12

Trang 5

A. 3

Hướng dẫn giải Chọn C

Chia cả tử và mẫu cho n2 (n2 là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được

2

2 13

3 2 1

.1

Ta có  3 3 

lim n 8n 3n2 3

2 3

3 2limn 1 8

Trang 6

lim n n 4n1 bằng:

A. 1 B. 3 C.  D. 

Hướng dẫn giải Chọn C

Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của 3 3 2

3

13

         

 

Trang 7

Ví dụ 16

1

4.3 7lim

Chia cả tử và mẫu cho 3n ta được

21



 

Dạng 2 Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Ví dụ 19 Cho dãy số  u n được xác định bởi  

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được u n 0 với mọi n

Đặt limu n  L 0 Ta có  

1

2 2 1lim lim

3

n n

n

u u

L L

L







Trang 8

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được u n 0 với mọi n

Đề bài không cho biết dãy số  u n có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài cho đều là các giới hạn hữu hạn Do đó có thể khẳng định được dãy số  u n có giới hạn hữu hạn Đặt limu n  L 0

( loại trường hợp L  2) Vậy limu n  2

Ví dụ 21 Cho dãy số  u xác định bởi n u11 và 1 2 1

u   được không? Câu trả lời là không?

Vì không khó để chứng minh được rằng u n 0 với mọi n Do đó nếu dãy số có giới hạn L thì

Trang 9

Do đó  2

limv nlim 3.2n   Suy ra limu n  

Ví dụ 22 Cho dãy số  u n xác định u10, u2 1, u n1 2u nu n12 với mọi n2 Tìm giới hạn của

dãy số  u n

Đáp án D

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L

Ta có: limu n12 limu nlimu n1  2 L 2L L   2 0 2(Vô lý)

Vậy có thể dự đoán dãy có giới hạn vô cực Tuy nhiên có hai đáp án vô cực ( và ), vậy chưa thể đoán là đáp án nào Ta xem hai cách giải sau

Dạng 3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ 23 Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a2,151515 (chu kỳ 15), a được biểu diễn dưới dạng

phân số tối giản, trong đó m n, là các số nguyên dương Tìm tổng m n

2

1 331



Trang 10

n

n n

Trang 11

Ví dụ 28 Cho dãy số  u n với 1 2 2

1

n

n u

2

n

n n u

Tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng  u n với n1, u n 4n3 và công bội 4

3 3 3 3

lim

1 2 2 2

n n

Ta có tử thức là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân  u n với u1 3 và q3

Trang 12

A limu n 0 nếu u có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi n

B limu n 0 nếu u có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi n

C limu n 0 nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

D limu n 0 nếu u n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

Câu 2: Chọn khẳng định đúng

A limu n   nếu u n có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

B limu n   nếu u n có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

C limu n   nếu u có thể bé hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi n

D limu n   nếu u có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở n

đi

A limu n a nếu u na có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

B limu n a nếu u na có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

C limu n a nếu u na có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

D limu n a nếu u na có thể lớn hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

A limq n 0nếu q1 B limq n 0nếu q1

C limq n 0nếu q 1 D limq n 0nếu q 1

Trang 13

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 5: Chọn khẳng định đúng

A limq n  nếu q1 C limq n  nếu q1

B limq n  nếu q 1 D limq n  nếu q 1

Câu 6: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

A Nếu q 1 thì limqn 0

B Nếu limu n a, limv n b thì lim(u v n n)ab

C Với k là số nguyên dương thì lim 1k 0

n 

D Nếu limu n  a 0, limv n  thì lim(u v n n) 

Câu 7: Biết limu n 3 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A lim3 1 3

1

n n

u u

1lim

n n

u u

2lim

n

n n D

3 2

2 3lim

2 1

n

Câu 13: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu n thì limu n B Nếu limu n a thì limu n a

C Nếu limu n 0 thì limu n 0 D Nếu limu n thì limu n

Câu 14: Cho dãy số u với n 42 22

8

u bằng bao nhiêu?

Trang 14

A

3

12

18

2 2

n u

Trang 15

DẠNG 2: BÀI TẬP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

Câu 28: Trong các dãy số sau đây, dãy số nào có giới hạn?

C limu n  1 D Không đủ cơ sở để kết luận về giới hạn của dãy số (u n)

Câu 31: Giới hạn nào dưới đây bằng ?

A lim(3n2n3) C lim(3n2n) B lim(n24n3) D lim(3n3n4)

Câu 32:

2 2

(2 1) ( 1)lim

 C

2 3

2 3lim

2 1lim

5

n n n



D lim3 cos1

3

n n

Hỏi bạn Nam đã làm sai từ bước nào?

A Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4

Câu 36: lim( 3n 1 2n1)bằng?

Trang 16

n là phân số tối giản, m và n là các số

nguyên dương Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

DẠNG 2: TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Câu 43: Cấp số nhân lùi vô hạn 1 1 1 1 1

A 542 B 543 C 544 D 545

Câu 45: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 2, tổng của 3 số hạn đầu tiên của nó là 9

4 Số hạn đầu của cấp số nhân đó là?

Trang 17

S   

 

Câu 47: Cho tam giác đều A B C1 1 1 cạnh a Người ta dựng tam giác đều A B C2 2 2có cạnh bằng đường cao

của tam giác A B C1 1 1; dựng tam giác đều A B C3 3 3 có cạnh bằng đường cao của tam giác A B C2 2 2

và cứ tiếp tục như vậy Tính tổng diện tích S của tất cả các tam giác đều A B C1 1 1, A B C2 2 2,

DẠNG 4: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI

Câu 48: Cho số thực a và dãy số (u n) xác định bởi: u1a và 1 1

2

n n

Câu 49: Cho dãy số (u n) xác định bởi u13, 2u n1 u n 1 với mọi n1 Gọi S n là tổng n số hạng đàu

tiên của dãy số (u n) Tìm limS n

A limS n   C limS n 1 B limS n   D limS n  1

Câu 50: Cho dãy số (u n) xác định bởi 1

 bằng

DẠNG 5: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CÓ CHỨA THAM SỐ

Câu 53: Cho dãy số (u n) được xác định bởi 1

với mọi n1, trong đó a và

b là các số thực cho trước, a b Tìm giới hạn của (u n)

Trang 18

Câu 55: Cho dãy số (u n) với

2 2

 



 , trong đó a là tham số Để (u n) có giới hạn bằng 2 thì

giá trị của tham số a là?

a b





 



DẠNG 6: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ MÀ SỐ HẠNG TỔNG QUÁT LÀ TỔNG CỦA

N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ KHÁC

Câu 61: lim 1 2 3

2 4 6 2

n n

1 2 2 2lim

1 5 5 5

n n

n k k

u

nu 

A 1 B 1

Trang 19

Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam Câu 66:

2 2 1

1 3 3 3lim

5

k n

k k

I Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm

1 Giới hạn hữu hạn tại một điểm

- Giới hạn của hàm số được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy số

- Hàm số không nhất thiết phải xác định tại x0

Định nghĩa 2 (Giới hạn một bên):

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng    

3 Lưu ý:

a) f x không nhất thiết phải xác định tại điểm   x

Trang 20

b) Ta chỉ xét giới hạn của f x tại điểm   x0 nếu có một khoảng  a b (dù nhỏ) chứa ; x0 mà f x xác  định trên  a b hoặc trên ;    a b; \ x0

Chẳng hạn, hàm số f x  x có tập xác định là D0; Do đó ta không xét giới hạn của hàm số tại điểm x0 0, do không có một khoảng  a b nào chứa điểm ; 0 mà f x xác định trên đó cả Tương  

tự vậy ta cũng không xét giới hạn của f x tại mọi điểm   x0 0

c) Ta chỉ xét giới hạn bên phải của f x tại điểm   x0 nếu có một khoảng x b (khoảng nằm bên phải 0; 

g x  x , tại điểm x0 1, ta chỉ xét giới hạn bên trái

d) lim ( ) lim ( ) lim ( )

II Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực

1 Giới hạn hữu hạn tại vô cực

  được phát biểu hoàn toàn tương tự

2 Giới hạn vô cực tại vô cực

  (c là hằng số, k nguyên dương )

Trang 21

LƯU Ý: Định lí 2, định lí 3 vẫn đúng khi thay xx o bởi xxo,xxo

V Quy tắc về giới hạn vô cực

Các định lí và quy tắc dưới đây được áp dụng cho mọi trường hợp:

xx xx x x x  và x 

Tuyên nhiên, để cho gọn, ta chỉ phát biểu cho trường hợp xx o

Quy tắc 1 ( Quy tắc tìm giới hạn của tích )

STUDY TIP: Giới hạn của tích hai hàm số

- Tích của một hàm số có giới hạn hữu hạn khác 0 với một hàm số có giới hạn vô cực là một hàm số có giới hạn vô cực

Trang 22

- Dấu của giới hạn theo quy tắc dấu của phép nhân hai số

Quy tắc 2 (Quy tắc tìm giới hạn của thương)

Trang 23

Ví dụ 2: Cho hàm số

2

3

1( ) , lim ( )

3

n n

Trang 24

A.  B  C 3 D 2

Đáp án A

Lời giải Cách 1: Theo nhận xét trên thì  4 2 

lim 3 2 1

     (x , k chẵn và a k 0) Thật vậy, ta có 3x4 2x2 1 x4 3 22 14

x  x là một hàm đa thức của x nên có giới hạn tại vô

cực Mà x22x 5 0 với mọi x nên giới hạn của   2

Trang 25

2

x

x x

Hỏi lời giải trên của bạn Hà đã sai từ bước thứ mấy ?

A. Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D Bước 4

Đáp án B

Lời giải

Trang 26

4

x

x x

4

x

x x

Trang 27

 Ta thấy khi A 1thì biểu thức nhận giá trị bằng 2 Vậy chọn đáp án C

Ví dụ 14: Cho hàm số f x có đồ thị như hình dưới đây: 

Quan sát đồ thị và cho biết trong các giới hạn sau, giới hạn nào là  ?

x x f x x x g x , trong đó f x và   g x là các đa thức hoặc căn thức. 

Phương pháp giải (tự luận)

Trang 28

 Phân tích tử và mậu thành tích các nhân tử và giản ước Cụ thể, vì    

4lim

x x không tồn tại

Trang 29

Trang 30

Ví dụ 5 Tính giới hạn

3

2 1

6 5 4 3lim

Trang 31

2 Các i toán iên quan đến giới hạn đặc iệt

Trong sách giáo khoa đại số và giải tích có nêu một giới hạn đặc biệt dạng 0

  Sau đây ta xét một số ví dụ áp dụng kết quả này

Ví dụ 8: Cho a và b là các số thực khác 0 Khi đó

0

limsin

x

ax bx

Ta có

lim

1 cos

x

x ax

Trang 32

Mà

sin2

Với những bài dạng này, s khó sử dụng MTCT để tìm đáp án đúng

Trang 33

1 3lim

3lim

Lời giải Cách 1 : Theo cách ghi kết quả ở trên thì

Trang 34

Cách 1 : Theo ví dụ đã trình bày ở dạng thì lim ( 2 4 2 1)

b  Dễ dàng suy ra được tích của ab là 8

Chú ý : Nếu sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại x1010 thì ta thu được kết quả như hình bên Do đó, nếu không có kiến thưc về giới hạn hàm số, rất khó tìm ra được đáp án đúng nếu chỉ dùng MTCT Ngược lại nếu có kiến thức vững vàng, bạn đọc s nhanh chóng tìm ra đáp án, thậm chí là trong chớp mắt ! Vì vậy, tôi xin nhắc lại, tôi khuyến nghị các bạn đọc nên giải bài tập theo kiểu tự luận một cách căn cơ để có thể đối mặt với các bài toán „‟chống MTCT‟‟

1( )

u x x

1( )

u x x

v x

   để đưa về dạng 



Trang 35

Tuy nhiên, trong nhiều bài tập, ta chỉ cần biến đổi đơn giản như đưa biểu thức vào trong/ ra ngoài dâu căn, quy đồng mẫu thức … à đưa được về dạng quen thuộc

Ví dụ 1 : Giới hạn

0

1 1lim ( 1)

2

( 2) ( 2)( 2)

Ví dụ 3: Giới hạn lim ( 1) 23 1

x

x x



B

105



C

55

Trang 36

xx  nên lim sin1 0

x x  Ta có dạng 0. ời giải như sau :

ời giải :

Cách 1 : Ta có :

1sin1

lim ( sin ) lim

1

x x

Trang 37

2

t t

Phương pháp : Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp (nếu có căn thức) hoặc qui đồng để đưa

về cùng một phân thức ( nếu chứa nhiều phân thức)

Phân tích: Ta thấy xlim x2  x ; limx x2  1 nên bài này thuộc dạng    Tương

tự như giới hạn dãy số, ta nhân chia với biểu thưc liên hợp Lời giải cụ thể như sau:

Ta có:  2 2 

2

11

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	2,21 MB