Với mục đích giúp học sinh học có hiệu quả hơn và có cái nhìn tổng quan hiểu được bản chất vấn đề đặt ra từ đó đưa ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với những mẫu bài thi giúp học sinh tự tin và có phương pháp phù hơn khi gặp các bài toán liên quan đến tiếp tuyến đường cong. Sau đây là sáng kiến kinh nghiệm về kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề tiếp tuyến của đường cong y = f(x) và bài toán liên quan các bạn học sinh hãy tham khảo để hiểu rõ hơn .
S GIÁO D C VÀ ÀO T O LÀO CAI TR NG THPT S TP LÀO CAI Tên sáng ki n: Lê Th Hi n Lào Cai, n m 2011 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU Chủ ñề Trang Tính cấp thiết đề tài 2 Tình hình nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG Đặt vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến ñường cong y = f(x) ñiểm M0(x0;y0) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc k 14 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(xA;yA) 18 PHẦN KẾT LUẬN 23 PHẦN DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 - Trang - Đề tài: KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Y = F(x) VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phần MỞ ĐẦU Tính cấp thiết ñề tài Trang bị tri thức, phương pháp phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh mục tiêu ñược ñặt lên hàng ñầu mục tiêu dạy học mơn tốn Phương trình tiếp tuyến đường cong y = f(x) tốn liên quan vấn ñề ñược giáo viên học sinh thâm nhập với lượng thời gian không nhiều (khoảng tiết) vấn đề phát triển khả tư toán học cho học sinh áp dụng nhiều kì thi tốt nghiệp Đại học Trong trình giảng dạy mơn tốn 12, tơi nhận thấy học sinh cịn lúng túng lựa chọn cho phương pháp phù hợp có hiệu để giải toán tiếp tuyến toán liên quan ñến tiếp tuyến ñường cong y = f(x) Từ đó, tơi lựa chọn đề tài “Kinh nghiệm giảng dạy chuyên ñề tiếp tuyến ñường cong y = f(x) toán liên quan” với mong muốn giúp học sinh: Tổng hợp kiến thức, khơng cịn bị động q trình nắm bắt kiến thức, hiểu nhớ kiến thức cách chủ ñộng Rút ngắn thời gian giải tốn với độ xác cao Tình hình nghiên cứu Trong chương trình dạy học mơn Tốn nói chung ơn thi tốt nghiệp Đại học-Cao ñẳng cho học sinh khối 12 nói riêng, - Trang - cần phải cho học sinh ñề cập ñến chuyên ñề “Tiếp tuyến ñường cong y = f(x) toán liên quan” Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy mơn Tốn 12 ơn thi Đại học – Cao ñẳng cho học sinh khối 12 trường THPT số TP Lào Cai, tơi nhận thấy trình ñộ nhận thức, kỹ thực hành, phương pháp tư số học sinh tốn tiếp tuyến đường cong y = f(x) tốn liên quan cịn yếu Có nhiều ngun nhân ñể dẫn ñến tình trạng như: học sinh giải tốn kém, khơng phát huy tính tư sáng tạo mình, học tập cịn thụ động, đối phó Điều liên quan ñến người dạy, người học nhiều vấn đề khác Nhưng theo tơi ngun nhân chủ yếu học sinh học kém, nắm kiến thức không vững, thiếu cố gắng học tập, chưa có ý thức học tập cách tích cực, chủ động, ngại phát giải vấn ñề dựa tảng kiến thức cũ, thời lượng cho chun đề khơng nhiều, tài liệu tham khảo chung chung, nhiều thầy, chưa thực sâu chun đề Dựa tình hình thực tế đó, từ năm học 2007 – 2008 tơi đăng ký với tổ chun mơn sâu nghiên cứu, tìm tịi chun đề nhằm với q thầy, trường với em học sinh khắc phục phần tồn Mục đích nghiên cứu Với mục đích giúp cho học sinh học có hiệu có nhìn tổng quan, hiểu chất vấn đề đặt ra, từ đưa phương pháp giải mạch lạc phù hợp với địi hỏi thi, giúp học sinh tự tin có phương pháp phù hợp gặp phải tốn liên quan đến tiếp tuyến đường cong u cầu ñặt phải trang bị cho học sinh, ñặc biệt ñối với học sinh khối 12 phương pháp giải dạng tốn tiếp tuyến đường cong y = f(x) toán liên quan - Trang - Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số vấn ñề Phương pháp giải toán tiếp tuyến toán liên quan Những toán tiếp tuyến toán liên quan nội dung hấp dẫn khó giải Một nguyên nhân gây khó giải thời gian tiếp cận chúng khơng nhiều thường hỏi theo nhiều khía cạnh khác nhau, mổ xẻ vấn đề khơng phải phương pháp thơng thường hay ñược áp dụng ñại số Để giải phần khó khăn trên, qua nghiên cứu SGK(Đại số 11-12), SGV(Đại số 1112), chuẩn kiến thức kĩ năng, tài liệu tham khảo qua nhiều năm giảng dạy thân giảng ñồng nghiệp, viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm cung cấp phương pháp học giải tập tiếp tuyến ñường cong y = f(x) tốn liên quan giúp bạn u thích tốn học, thầy, cô giáo, em học sinh trường THPT em học sinh ñang học lớp 12 ôn thi tốt nghiệp Đại học làm tài liệu tham khảo tiếp tục phát triển Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp giải tập tiếp tuyến ñường cong y = f(x) toán liên quan nội dung quan trọng ñại số 12 chương trình Tốn THPT Dưới tơi xin trao đổi với q đồng nghiệp số tốn phương pháp giải cho toán về: ‘‘Tiếp tuyến ñường cong y = f(x)” (thường toán thường gặp kỳ thi tốt nghiệp, thi Đại học) mà thời gian qua tơi sử dụng ñể hướng dẫn học sinh giải dạng toán - Trang - Phần NỘI DUNG Đặt vấn ñề Học tập hoạt ñộng học sinh, hoạt ñộng học tập nhằm lĩnh hội ñiều mà hoạt ñộng dạy truyền thụ biến ñiều tiếp thu ñược thành ‘‘năng lực thể chất lực tinh thần” Với tư cách hoạt ñộng, việc học xảy mà hành ñộng người ñược ñiều khiển mục ñích tự giác lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, hành vi hoạt ñộng ñịnh Chính vậy, dạy nội dung kiến thức ñi sâu rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh, giáo viên trực tiếp giảng dạy, tơi thường đạt câu hỏi “làm giúp học sinh hiểu nắm bắt ñược phương pháp giải tốn nhanh có hiệu nhất” Muốn vậy, giáo viên phải nắm vững ñược kiến thức hiểu rõ nội dung sách giáo khoa Rồi từ lựa chọn phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh với dạng tốn cụ thể giúp em ñịnh hướng ñược phương pháp giải nhanh có hiệu Sau số tốn “Tiếp tuyến đường cong y = f(x)” phương pháp giải mà ñã sử dụng ñể hướng dẫn học sinh thực thời gian qua Đề tài: KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Y = F(x) VÀ BÀI TỐN LIÊN QUAN Viết phương trình tiếp tuyến ñường cong y = f(x) ñiểm M0(x0;y0) Phương pháp chung: *) Xác định hệ số góc k = f’(x) *) Thay giá trị x0; y0, f’(x0) vào phương trình y = f’(x0)(x – x0) + y0 Bài 1: Cho hàm số y = x3 – x2 + x – - Trang - a Lập phương trình tiếp tuyến độ thị hàm số ñiểm M(1;-5) b Lập phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số giao ñiểm ñồ thị với trục tung c Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao ñiểm ñồ thị với trục hồnh Giải a Tiếp tuyến điểm M(1 ;-5) có dạng : y = y’(1)(x – 1) – Ta có y’ = 3x2 – 2x + ⇒ y’(1) = Do phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = 2(x – 1) – b Tọa ñộ giao ñiểm ñồ thị hàm số với trục oy nghiệm hệ : y = x − x2 + x − y = −6 ⇔ ⇒ M (0; −6) x = x = Tiếp tuyến ñiểm M(0;-6) có dạng : y = y’(0)(x – 0) – Ta có y’ = 3x2 – 2x + ⇒ y’(0) = Do phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = 1(x – 0) – ⇔ y = x−6 c Tọa ñộ giao ñiểm ñồ thị hàm số với trục ox nghiệm hệ : y = x − x2 + x − x = ⇔ ⇒ M (2; 0) y = y = Tiếp tuyến điểm M(2;0) có dạng : y = y’(2(x – 2) Ta có y’ = 3x2 – 2x + ⇒ y’(2) = Do phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = 9(x – 2) Bài Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + a Lập phương trình tiếp tuyến ñộ thị hàm số ñiểm uốn Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ b Chứng minh đồ thị khơng tồn hai điểm mà tiếp tuyến hai điểm vng góc với - Trang - c Tìm k để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến vng góc với ñường thẳng (d) : y = kx Giải a Ta có y’ = 3x2 + 6x + ⇒ y’’ = 6x + ⇒ y " = ⇔ x = −1 ⇒ y = Vậy tọa ñộ ñiểm uốn I(-1;4) Tiếp tuyến ñiểm I(-1;4) có dạng : y = y’(-1)(x + 1) + Ta có y’ = 3x2 + 6x + ⇒ y’(-1) = Do phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = Giả sử M0(x0 ;y0) điểm nằm đồ thị phương trình tiếp tuyến điểm M0(x0 ;y0) có dạng : y = f’(x0)(x-x0)+y0 2 ⇒ f’(x0) = 3x0 +6x0+3 =3(x0 +2x0+1) = 3(x0+1) ≥ ∀ x0, dấu ‘‘ = ’’ x0 = -1 ⇔ M ≡ I ⇒ ñpcm Tổng quát : Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ ) *) Nếu a > tiếp tuyến ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ *) Nếu a < tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn b Giả sử A, B hai ñiểm ∈ (C) cho tiếp tuyến hai điểm vng góc với hồnh ñộ tương ứng x1; x2 ⇒ f’(x1).f’(x2)=-1 ⇔ (3x12+6x1+3)(3x22+6x2+3)=-1 ⇔ 9(x1+1)2(x2+1)2=-1 (vơ lí) ⇒ đpcm c Giả sử M0(x0 ;y0) điểm nằm đồ thị phương trình tiếp tuyến điểm M0(x0 ;y0) có dạng y = f’(x0)(x-x0)+y0 Để tiếp tuyến điểm M0 vng góc với ñường thẳng (d) : y = kx ⇔ (3x02+6x0+3)k = -1 ⇔ 3(x02+2x0+1)k = -1 ⇔ 3(x0+1)2k = -1 ⇔ k < Vậy với k < tiếp tuyến M0 vng góc với đường thẳng (d) Tổng qt: Phương trình tiếp tuyến ( ∆ ) đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0(x0 ;y0) có dạng : y = f’(x0)(x-x0)+y0 - Trang - *) Nếu ∆ ⊥ d ⇔ k∆ kd = −1 *) Nếu ∆ // d ⇔ k∆ = kd Bài Cho hàm số y = −3x + mx+4 Tìm m để tiếp tuyến đồ thị 4x+m điểm có hồnh độ x = vng góc với ñường tiệm cận Giải Gọi M(0;y0) ñiểm nằm ñồ thị hàm số ⇒ y0 = m m Tiếp tuyến điểm M(0; ) có dạng : y = y’(0)(x – 0) + Ta có y’ = (∆) m −12x − 6mx+m − 16 m2 − 16 ⇒ ' = y (0) (4x+m) m2 uur m − 16 ; −1) m2 Vậy véc tơ pháp tuyến tiếp tuyến ( ∆ ) : n∆ ( *) Mặt khác lim y = ∞ ⇒ phương trình đường tiệm cận đứng m x → − 4 x=- ± uur m (d1) Vậy véc tơ pháp tuyến tiếp tuyến (d1) ⇒ nd (1;0) ; 17 lim y − (− x + m) = ⇒ x →±∞ 16 phương trình đường tiệm cận xiên y = 17 x + m (d2) 16 Để tiếp tuyến ( ∆ ) vng góc với đường tiệm cận ñứng uur uur m2 − 16 ⇔ n∆ nd1 = ⇔ = ⇔ m = ±4 m2 Để tiếp tuyến ( ∆ ) vng góc với đường tiệm cận xiên m2 − 16 ⇔ − = −1 ⇒ m2 Vậy tiếp tuyến ñiểm x0 = vng góc với đường tiệm cận đứng m = ±4 Bài Cho hàm số y = 2x+1 x-1 - Trang - a Lập phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số giao ñiểm ñồ thị với trục ox b Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung ñộ c Chứng minh tiếp tuyến ñồ thị hàm số ñều lập với hai ñường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi d Tìm tất điểm M nằm đồ thị hàm số cho tiếp tuyến M tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Giải a Tọa ñộ giao ñiểm ñồ thị hàm số với trục ox nghiệm hệ : 2x+1 y = x = − x-1 ⇔ ⇒ M (− ; 0) y = y = Tiếp tuyến ñiểm M( − ; có dạng : y = y’( − )(x + ) 2 1 Ta có y’ = −3 ⇒ y’( − ) = ( x − 1) Do phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = − (x + ) b Gọi M(x0 ;3) ñiểm thuộc ñồ thị hàm số ⇒ x0 = ⇒ M(4 ;3) Tiếp tuyến ñiểm M(4;3) có dạng : y = y’(4)(x – 4) + Ta có y’ = −3 ⇒ y’(4) = ( x − 1) 3 Do phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = − (x – 4) + c Ta có y’ = −3 ( x − 1)2 Tiệm cận ñứng x = lim y = ∞ , tiệm cận ngang y = lim y=2 x →∞ x →1 Tọa ñộ giao ñiểm I hai ñường tiệm cận I(1;2) - Trang - M ñiểm tùy ý thuộc ñồ thị, giả sử M có hồnh độ a, M(a,y(a)) phương trình tiếp tuyến M có dạng : y = y’(a)(x – a) + y(a) ⇔ y = −3 2a+1 ( x − a) + (a − 1) a-1 Tọa ñộ giao ñiểm A tiếp tuyến M tiệm cận đứng nghiệm hệ phương trình x = x = 2a+4 ) 2a+1 ⇔ −3 2a+4 ⇔ A(1; a-1 y = (a − 1)2 ( x − a ) + a-1 y = a-1 Tọa ñộ giao ñiểm B tiếp tuyến M tiệm cận ngang nghiệm y = y = ⇔ B (2a-1; 2) hệ phương trình: −3 2a+1 ⇔ x = 2a-1 y = (a − 1)2 ( x − a ) + a-1 Diện tích tam giác IAB xác định bởi: S = Trong IA = Vậy S = IA.IB 2a+4 ; IB = 2a-1-1 = a − −2 = a-1 a −1 a − = không phụ thuộc vào a a −1 d Ta có AB2 = IA2 + IB2 ≥ 2IA.IB = a − = 12 ⇒ AB ≥ a −1 IA + IB ≥ IA.IB = 12 = Suy ra, chu vi tam giác IAB ñược cho bởi: P = AB + IA + IB ≥ + = Vậy ∆ IAB có chu vi nhỏ đặt ñược IA = IB ⇔ = a −1 ⇔ a = ± a −1 Kết luận: Tồn hai ñiểm M1 (1 + 3; + ) , M2 (1 − 3; − ) thỏa mãn ñiều kiện ñầu Tổng quát: - Trang 10 - thuộc ñồ thị hàm số ñều: a) Lập với hai ñường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi b) Lập với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ IA = IB (I giao ñiểm hai ñường tiệm cận, A B giao ñiểm tiếp tuyến với hai ñường tiệm cận.) x2 + x + Bài Cho hàm số y = x +1 a M điểm đồ thị có hồnh độ xM = a Viết phương trình tiếp tuyến ( ∆ ) đồ thị ñiểm M b Xác ñinh a ñể tiếp tuyến ( ∆ ) ñi qua ñiểm (1;0) Chứng tỏ có hai giá trị a thỏa mãn điều kiện toán hai tiếp tuyến tương ứng vng góc với c Gọi I tâm ñối xứng ñồ thị, M ñiểm nằm ñồ thị.Tiếp tuyến ñiểm M ñồ thị cắt hai ñường tiệm cận ñứng xiên hai ñiểm A B Chứng tỏ M trung điểm AB, tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc M Giải Phương trình tiếp tuyến điểm M có hồnh độ xM = a có a dạng: y = y’(a)(x – a) + y(a) ( ∆ ) Ta có y( a ) = a + 2a+2 x + 2x a + 2a ; y’ = ⇒ y’ = (a) a +1 (x+1) (a+1) Do phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y= a + 2a a + 2a+2 a + 2a a + 4a+2 (x – a) + ⇔ y = x + (a+1) a +1 (a+1) (a + 1)2 a + 2a a + 4a+2 + =0 b Tiếp tuyến ( ∆ ) ñi qua ñiểm (1;0) : (a+1) (a + 1)2 ⇔ a + 3a + = ⇔ a1,2 = −3 ± theo Viét ta có: a1 + a2 = - ; a1.a2 = Vậy có hai giá trị a thỏa mãn điều kiện toán - Trang 11 - Các tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng là: k1 = Ta có k1.k2 = a12 + 2a1 a22 + 2a ; k = (a1 +1) (a +1) a12 + 2a1 a22 + 2a a12 a22 + 2a1a2 (a1 + a2 ) + 4a1a2 = = −1 Chứng (a1 +1) (a +1) (a1a2 + a1 + a2 + 1) tỏ hai tiếp tuyến vng góc với c Ta cã y’ = x + 2x ; ( x + 1) Tiệm cận ñứng x = - lim y = ∞ x →−1 Tiệm cận xiªn y = x+1 lim [ y − ( x + 1)] = x →∞ M(a;y(a)) vµ phơng trình tiếp tuyến M có dạng: 2 y = y’(a)(x-a)+y(a) ⇔ y = a + 2a ( x − a) + a + 2a + 2 a +1 (a + 1) () Toạ độ giao điểm A ( ) với tiệm cận đứng nghiệm hệ phơng trình : x = x = −1 2 a a a a 2 + + + ⇔ A(−1; ⇔ ) y = ( x − a) + y= a + a +1 (a + 1) a +1 Toạ độ giao điểm B ( ) tiệm cận xiên nghiệm hệ phơng trình: y = x +1 x = 2a + 2 ⇔ B(2a + 1;2a + 2) y = a + a ( x − a ) + a + 2a + ⇔ 2 y a = + a +1 (a + 1) Ta thấy xA+ xB=2a=2xM M trung điểm AB Diện tích tamg giác IAB đợc xác định c«ng thøc: S= 1 2a + = ∉ vµo a y A − y I xB − xI = 2 a +1 Tổng quát: Tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = ax +bx+c (ad ≠ 0) ñiểm M thuộc dx+e ñồ thị hàm số ñều: a) Cắt hai ñường tiệm cận hai ñiểm A B cho M trung ñiểm ñoạn thẳng AB - Trang 12 - b) Diện tích tam giác tạo hai đường tiệm cận tiếp tuyến M khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài 6: Cho hàm số y = x+1+ (C ) x −1 Tìm điểm đồ thị hàm số có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến điểm tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Giải Ta có y’ = 1- ; ( x − 1) Tiệm cận đứng x = lim y = ∞ x →1 Tiệm cận xiªn y = x+1 lim [ y − ( x + 1)] = Toạ ñộ tâm ñối xứng x →∞ ñồ thị hàm số I(1;2) M(a;y(a)) ∈ (C ) với a>1, phương trình tiếp tuyến (C) M có dạng: y=y’(a)(x-a)+y(a) ⇔ y = a − 2a a2 (d) x a ( − ) + a −1 (a − 1) *)Toạ ñộ giao ñiểm A tiếp tuyến (d) với tiệm cận ñứng nghiệm x =1 x =1 2a 2 ) hệ y = a − 2a ( x − a) + a ⇔ y = 2a ⇔ A(1; a − a −1 (a − 1) a −1 *) Toạ ñộ giao ñiểm B tiếp tuyến (d) tiệm cận xiên nghiệm y = x +1 x = 2a − a a2 ⇔ − 2a hệ: y = ⇔ B(2a − 1;2a ) ( x − a) + y = 2a a −1 (a − 1) Ta có: AI= x A − x I = ; a −1 BI= 2 a − ⇒ AI BI = ⇒ AB = AI + BI − AI BI cos Chu vi ∆ ABI AI+BI+AB=AI+BI+ π AI + BI − AI BI ≥ AI BI + AI BI − AI BI = 4 + 2( − 1) - Trang 13 - Vậy CVmin = 4 + 2( − 1) AI=BI ⇔ a = 1+ ⇒ M( + ;2 + + ) Tổng quát : Tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = ax +bx+c (ad ≠ 0) ñiểm M thuộc dx+e ñồ thị hàm số lập với hai ñường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ IA = IB (I giao ñiểm hai ñường tiệm cận, A B giao ñiểm tiếp tuyến với hai ñường tiệm cận.) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết hệ số góc k Phương pháp chung: Ta lựa chọn hai cách: *) Cách 1: Xác định hồnh độ tiếp điểm qua phương trình f’(x) = k từ đưa dạng *) Cách 2: Phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k có dạng (d): y = kx + b Tham số b ñược suy từ ñiều kiện (d) tiếp xúc với ñồ thị hàm số Bài 7: Cho y = x3 –2x2 +3x - Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C) biết hệ số góc tiếp tuyến Giải *) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) tiếp ñiểm tiếp tuyến ∆ với (C) Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0 8 x0 = y =− y = 3x − ⇒ 4⇒ 3 x0 = y =4 y = 3x Theo gt ta có 3x02-4x0+3=3 ⇒ *) Cách 2: Gọi (∆) đường thẳng cần tìm, phương trình ñường thẳng có dạng: y = 3x+b Đường thẳng (∆) tiếp tuyến (C) - Trang 14 - 8 b=− y = 3x − x − x + 3x − = 3x + b ⇔ 3⇒ 3x − x + = b = y = x Bài Cho hàm số y = x3 – 3x2 + Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) : 3x – 5y – = Giải *) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) tiếp ñiểm tiếp tuyến ∆ với (C) Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0 46 29 x0 = y0 = − y = − x+ 3 27 27 Theo gt ta có (3x02 - 6x0) = -1 ⇒ ⇒ ⇒ x = y = 46 y = − x + 61 27 27 *) Cách 2: Gọi (∆) đường thẳng cần tìm, phương trình đường thẳng có dạng: y = − x+b Đường thẳng (∆) tiếp tuyến (C) x − x + = − x + b b = ⇔ b = 3x − x = − B i (Đề 95): Cho y= 29 29 y = − x+ 27 27 ⇒ 61 61 y = − x+ 27 27 x + 3x + x+2 a, Lập phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có phương trình x-3y-6=0 b, Lập phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y =-2x+6 Giải: Ta có y= x + 3x + = x+1+ x+2 x+2 a) *) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) tiếp ñiểm tiếp tuyến ∆ với (C) Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0 - Trang 15 - Vì ∆ vng góc với ñường thẳng (d) : y = x−2 1 ⇒ f’(x0) = −1 ⇔ f’(x0) = -3 ⇔ − = −3 ⇔ ( x0 + 2) 3 x0 = − y0 = y = −3 x − 2 ⇔ ⇒ ( x0 + 2) = ⇔ y = −3x-11 x = − y = − 2 *) Cách 2: Gọi (∆) ñường thẳng cần tìm, ( ∆ ) vng góc với đường thẳng (d) nên phương trình đường thẳng ( ∆ ) có dạng: y = −3 x+b Đường thẳng (∆) tiếp tuyến (C) x + + x + = −3 x + b b=2 y = −3 x − ⇔ ⇒ y = −3 x − 11 b = − 1− = −3 ( 2) x + b) (d1): y = −2( x − (d2): y = −2( x + −6 4−9 )+ 3 6+ 6+ )+ 12 − Bài 10 Cho hàm số y = x − 2mx+m (C) x+m a Chứng minh ñồ thị (C) cắt Ox x = x0 hệ số góc tiếp tuyến k = 2x − 2m x0 + m b Tìm tất giá trị tham số m ñể ñồ thị hàm số cắt Ox hai ñiểm hai tiếp tuyến hai điểm vng góc với Gi¶i a, Ta có y = x – 3m + 3m + m Để (Cm) có tiếp tuyến x+m - Trang 16 - m ≠ (1) ⇔ 3m + m ≠ ⇔ m≠− Khi đó: x0 + 2mx0 − 2m − m 3m + m 3m + m ⇒ k ( x0 ) = − = y’=1( x + m) ( x + m) ( x + m) 2 ( 2) Nếu y(x0) =0 ⇔ 2 x02 − 2mx +m x − 2mx + m = x = 2mx + m =0 ⇔ (3) ⇔ x0 + m x0 + m ≠ x0 + m ≠ 2mx0 − m + 2mx0 − 2m − m x0 − 2m 2 x0 − 2m = = Từ (2), (3) ⇒ k = x0 + m ( x + m) ( x + m) 2 x − 2mx + m = (1) có hai nghiệm phân 3m + m ≠ b, Theo yêu cầu ta có m > biệt ⇔ m < m ≠ − ⇒ y ' ( x1 ) = ⇔ 2( x1 − m) ; x1 + m gọi A(x1 ;y(x1)), B(x2 ;y(x2)) hai giao ñiểm y' ( x2 ) = 2( x − m) ⇒ y ' ( x1 ) y ' ( x ) = −1 x2 + m 4( x1 − m)( x − m) = −1 ⇔ x1 x − 3m( x1 + x ) + 5m = (*) Vì x1; x2 ( x1 + m)( x + m) x + x = 2m m = nghiệm phương trình (1) ⇔ ⇒ (*) ⇔ so m = x1 x = m sánh với điều kiện m=5 u ( x) cắt trục hồnh điểm x =x0 v ( x) u ' ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến ñiểm x0 k = v( x0 ) Nếu ñồ thị hàm số y = f(x) = Viết phương trình tiếp tuyến qua A(xA;yA) Phương pháp chung : *) Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm x0 phơng trình tiếp tuyến điểm M có dạng y=f (x0)(x-x0)+y0.(d) - Trang 17 - Tìm x0; y0: Vì A nằm đờng thẳng (d) ta có yA=f (x0)(xA-x0)+y0 *) Cách 2: +) Phơng trình đờng thẳng (d) qua A víi hƯ sè gãc k cã d¹ng y = k(x-xA)+yA +) Tìm k: Để (d) tiếp tuyến cđa ®−êng cong (C) k ( x − x A ) + y A = f ( x ) cã nghiÖm f ' ( x) = k Bài 11(Đ61) Cho hàm số y = x3-3x2+2 Lập phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua A( 23 ; − 2) Giải Cách Gọi M(x0 ;y0) điểm nằm đồ thị, phương trình tiếp tuyến điểm M có dạng : y=f (x0)(x-x0)+y0 ⇔ y = (3x 02 - 6x0)(x – x0) + x 30 - 3x 02 + (d) Vì A nằm (d), ta có -2 = (3x 02 - 6x0)( 23 – x0) + x 30 - 3x 02 + x0 = y0 = ⇔ (x0 – 2)(3x 02 - 10x0 + 3) = ⇔ x0 = ⇔ y0 = −2 x0 = y0 = 3 Với x0 = ⇒ f’(x0) = ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = 9x-25 Với x0 = -2 ⇒ f’(x0) = ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = -2 Với x0 = 5 61 ⇒ f’(x0) = − ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = − x + 3 27 Cách Phương trình đường thẳng (d) qua điểm A với hệ số góc k có dạng y = k(x-xA)+yA Để (d) tiếp tuyến ñường cong y = −2 x = k =0 x − 3x + = k ( x − ) − ⇒ x = ⇒ k = ⇒ y = x − 25 3x − x = k x = k = − y = − x + 61 3 27 ax + bx + c *) Chú ý:Cho hàm số y = dx + e (bd ≠ 0) ñiều kiện ñể ñường thẳng - Trang 18 - (d): y=kx+m tiếp tuyến ñường cong (C) Viết lại (C): y= αx + β + γ dx + e Điều kiện ñể (d) tiếp tuyến (C) γ αx + β + dx + e = kx + m (1) Viết (1) dạng γd k = ( ) α− (dx + e) γ k ke αx+ β + = (dx + e) − + m (3) dx + e d d k Thay (2) vào (3) (lưu ý thay (dx + e)) , ñược d αx + β + γ dx + e = ke αe γd ke 1 (dx + e) α − − +m ⇒ = (− + + m − β ) ( 4) γ + d dx e d d d ( ) dx e + Thay (4) vào (2) ta ñược f(k)=Ak2+Bk+C=0 (5) Khi ñó theo yêu cầu cụ thể ñưa giải biện luận điều kiện cho phương trình Bài 12 : Cho y = x+2+ x +1 a, Lập phương trình tiếp tuyến qua A(0;1- ) b, Chứng minh qua A kẻ hai tiếp tuyến vng góc với Giải a, Phương trình tiếp tuyến qua A có dạng y=kx+1- (d) Để (d) tiếp tuyến (C) : 1 x + + x + = kx + − x + + x + = k ( x + 1) − k + − ⇔ 1 1− 1− =k =k ( x + 1) ( x + 1)2 k− k− = = x +1 2 x +1 ⇔ ⇔ 1 − = k k − 3k + − =k ( x + 1) (*) (*) ⇔ k + 2(2 − 3)k − = k = − − 2 − y = ( − − 2 − )x +1− ⇔ ⇒ y = ( − − 2 − )x +1− k2 = − + 2 − - Trang 19 - b, Vì hệ số góc hai tiếp tuyến nghiệm phương trình (*) ⇒ k1.k2=-1 Bài 13: Cho y = x − mx + m x a, Khi m=1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị qua M(2;-1) Chứng minh tiếp tuyến vng góc với b, Xác định m để từ M kẻ hai tiếp tuyến vng góc với Giải a, Phương trình đường thẳng qua M có dạng y=k(x-2)-1 (d) Để x − + x = kx − 2k − ñường thẳng (d) tiếp tuyến (C) 1− = k x 1− 1− −1+ k = y = x = 3− ⇒ 3− ⇒ ⇒ 1+ 1+ x = − − k= y= 3+ 3+ 5 5 ( x − 2) − ( x − 2) − b, Để ñường thẳng tiếp tuyến (Cm) m x − m + x = k ( x − 2) − m = ⇒ m m = 1− = k x Bài 14: Cho hàm số y= x2 + x +1 x +1 a, Lập phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua A(1; ) b, Tìm đường thẳng y = -1 điểm mà từ kẻ hai tiếp tuyến vng góc với Giải a, Phương trình ñường thẳng y = k(x-1)+ - Trang 20 - (d) Để ñường thẳng ( ∆ ) tiếp tuyến ñường cong x = x + x + = k ( x − 1) + 3 ⇒ k = ⇒ y = ( x − 1) + =k 1− ( x + 1) b, Gọi M(a;-1) ñiểm mà đường thẳng qua ⇒ phương trình đường thẳng ∆ : y=k(x-a)-1 Để ∆ tiếp tuyến (C) x2 + x +1 = k ( x + 1) − k − ka − (1) x+ = k ( x − a) − x +1 ⇔ x +1 ⇔ 1 = k ( 2) 1− 1− =k ( x + 1) ( x + 1) Thay (2) vào (1) ta có 1 1 = (1 − )( x + 1) − k − ka − ⇔ x + = x +1− − k − ka − x +1 ( x + 1) x +1 x +1 k + ak ⇔ =− (3) x +1 x+ Thay (3) vào (2) ta có − (− k + ka ) = k ⇔ (1 + a ) k + 4k − = (*) Để qua M kẻ hai tiếp tuyến hai tiếp tuyến vng góc với phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 4 + 4(1 + a ) > a =1 ∀a ∆>0 ⇔ ⇔ ⇔ =1 a = −3 1 + a = ±2 k1 k = −1 (1 + a ) Bài 15 Cho hàm số y = x4 – x2 + Tìm trục tung điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số Giải Gọi A(0 ;y0) ñiểm nằm trục tung Phương trình ñường thẳng (d) ñi qua A với hệ số góc k có dạng y = kx + y0 Để ñường thẳng (d) tiếp xúc với ñồ thị (C) hàm số x − x + = kx+y có nghiệm ⇔ 4x − 2x=k Khử k ta ñược phương trình: 3x4 – x2 + y0 – = (1) - Trang 21 - 3t − t + y0 − = (2) Đặt t = x ta có t ≥ Để phương trình (1) có ba nghiệm phương trình (2) phải có nghiệm t = nghiệm t > y0 = y0 − = t=0 ⇔ ⇔ 3t − t = t = Với t = ⇒ x = ⇒ k = Với t = 1 3 ⇒ x2 = ⇒ x = ± ⇒k =± Vậy trục tung có 3 điểm A(0 ;1) mà qua A kẻ ñược ba tiếp tuyến với ñồ thị (C) - Trang 22 - Phần KẾT LUẬN Đề tài ñã ñược thân ñồng nghiệp đơn vị thí điểm em có nhu cầu ôn thi tốt nghiệp ôn thi Đại học – Cao ñẳng Kết thu ñược khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt thành tích tốt qua ñợt thi tốt nghiệp ñợt thi Đại học – Cao ñẳng Tuy nhiên với phương pháp người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, ln khơng ngừng tìm tịi, tham khảo tài liệu, tham khảo ñồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại cho học sinh tập ñịnh hướng ñể em học tập, tìm hiểu Đối tượng học sinh ơn thi tốt nghiệp ôn thi Đại học – Cao đẳng, ln tin tưởng thầy, có điều kiện học tập, nghiên cứu Trong trình giảng dạy, nghiên cứu thân tơi với giúp đỡ ñồng nghiệp ñã ñúc rút ñược số kinh nghiệm ; Thơng qua đề tài mong hội đồng khoa học đồng nghiệp kiểm định góp ý để đề tài ngày hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh Xin chân thành cảm ơn! Lào Cai, ngày 04 tháng 05 năm 2011 Người viết Lê Thị Hiền - Trang 23 - Phần DANH MỤC TƯ LIỆU THAM KHẢO Khi chuẩn bị chun đề tơi ñã sử dụng tài liệu tham khảo sau: SGK Đại số 11 – Nâng cao, SGK Đại số 11 - Cơ SBT Đại số 11 – Nâng cao, SBT Đại số 11 – Cơ SGV Đại số 12 – Nâng cao, SGV Đại số 12 – Cơ Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa Tài liệu ơn thi Đại học - Cao đẳng theo chun ñề nhà xuất Hà Nội Các giảng luyện thi mơn Tốn – nhà xuất Giáo dục - Trang 24 - ... tốn ? ?Tiếp tuyến đường cong y = f(x)? ?? phương pháp giải mà tơi sử dụng ñể hướng dẫn học sinh thực thời gian qua Đề tài: KINH NGHIỆM GIẢNG D? ?Y CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Y = F(x) VÀ BÀI... - Đề tài: KINH NGHIỆM GIẢNG D? ?Y CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Y = F(x) VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phần MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trang bị tri thức, phương pháp phát triển tư duy, trí tuệ... số góc tiếp tuyến Giải *) Cách 1: Gọi M0(x0 ;y0 ) tiếp ñiểm tiếp tuyến ∆ với (C) Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y= f’(x0)(x-x0) +y0 8 x0 = y =? ?? y = 3x − ⇒ 4⇒ 3 x0 = y =4 y = 3x