Chuyên đề tính tổng dãy số (L6,7)

0 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG  BÁO CÁO KẾT QUẢ CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN MÔN NĂM HỌC 2012 - 2013 KHAI THÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG MỘT DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÓ QUY LUẬT Môn: Toán Tổ chuyên môn: Toán Lí Mã: 38 Người thực hiện: Ngô Quốc Hưng Điện thoại : 0977 715 733 Thanh Lãng, tháng 05 năm 2013 1 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ A . LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ: Bài toán tính tổng của dãy số tự nhiên có quy luật là một trong các dạng toán mà trong chương trình toán trung học cơ sở các em hay gặp, đặc biệt đối với những em học sinh giỏi thì không thể thiếu. Dạng toán này còn có ứng dụng trong một số bài toán khác. Qua giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh, kể cả học sinh khá giỏi có thể vẫn còn lúng túng khi gặp dạng toán này, không có hướng giải nên cứ gặp dạng toán này là các em ngại suy nghĩ. Hoặc có em học sinh làm được một bài cụ thể, khi cho bài toán tương tự thì lại không thể làm được. Năm học 2012 - 2013 tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán lớp 6. Tôi xin mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của mình về khai thác bài toán đó là tính tổng một dãy số tự nhiên có quy luật . - Với những lí do nêu trên tôi xin đưa ra việc khai thác một bài toán tính tổng một dãy số có quy luật với tên gọi: "KHAI THÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG MỘT DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÓ QUY LUẬT " B. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Giúp học sinh tính tổng một dãy số tự nhiên có quy luật dễ dàng và có phương pháp hơn. - Rèn luyện kĩ năng khai thác bài toán tính tổng một dãy số có quy luật. Nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo. - Tự rèn luyện chuyên môn, trau dồi kiến thức cho bản thân. C. ĐỐI TƯỢNG Bài toán tính tổng dãy số tự nhiên có quy luật thuộc chương trình toán 6, toán 7 D. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: I. Nghiên cứu tài liệu: Để thực hiện chuyên đề này, tôi đã tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan đến chủ đề của chuyên đề này, chắt góp những nội dung, ý kiến hay để bổ sung vào ý tưởng của mình, xâu chuỗi lại để lập nên dàn ý của chuyên đề này. II. Nghiên cứu thực tế: - Với những tiết dạy thích hợp, những bài toán cụ thể tôi đã đưa những bài toán cụ thể phù hợp. Ghi chép lại những thành công và thất bại, những ưu điểm và hạn chế để tiết sau thực hiện hoàn chỉnh hơn, hiệu quả hơn. - Nhờ đồng nghiệp dự giờ tiết dạy có tổ chức trò chơi, để tranh thủ những ý kiến hay, những ý kiến có lợi cho chuyên đề. 2 E. GIỚI HẠN KHÔNG GIAN CỦA ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Đối tượng nghiên cứu được áp dụng với đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 6, 7 trường trung học cơ sở Thanh Lãng – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc. G. PHẠM VI VÀ KẾ HOACH NGHIÊN CỨU: Thời gian nghiên cứu được thực hiện từ tháng 9 năm 2012 đến hết tháng 3 năm 2013. PHẦN II. NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÝ LUẬN KHOA HỌC. - Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông,môn toán là môn học quan trọng, là thành phần không thể thiếu của nền văn hóa phổ thông của con người mới. Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy. - Trong quá trình giải toán ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, bài toán tính tổng một dãy số là một bài toán hay và lý thú. - Đứng trước một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc tìm ra một lời giải hợp lý, ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc không dễ thông qua đó mà thu được kết quả nhanh chóng. Việc khai thác bài toán tính tổng dãy số có quy luật có thể đem lại kết qủa nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh. B. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: - Trong quá trình giải bài toán dạng tính tổng của dãy số có quy luật đa số học sinh còn lúng túng về phương pháp giải. Không có hướng suy nghĩ hoặc hướng suy nghĩ sai dẫn tới không tìm ra tổng. Lâu dần hình thành cho các em cảm giác ngại va chạm với loại bài toán này. - Chuyên đề này giúp các em khắc phục các yếu điểm kể trên đồng thời phát huy tính sáng tạo, tự chủ. Giúp các em có phương pháp giải bài toán tính tổng một dãy số có quy luật. Biết khai thác bài toán. C. NỘI DUNG: Để giải các bài toán dạng này thông thường ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đối nhau sau khi thu gọn ta được một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính được hoặc làm xuất hiện các dãy số mà ta dễ dàng tính được. Nhưng biến đổi như thế nào để xuất hiện các hạng tử đối nhau hoặc các dãy số dễ dàng tính được lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải. Đó chính là nội dung của chuyên đề cần giải quyết xuất phát từ bài toán mở đầu sau. 3 I. Bài toán mở đầu và một số dãy số đơn giản : 1) Bài toán 1. Tính : A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 - Ta cần dựa vào quy luật của A để biến đổi A làm xuất hiện các hạng tử đối nhau. - Mỗi hạng tử đều có dạng tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Ta xét các hạng tử thứ 2 trở đi: Hạng tử 2.3 có : Liền trước 2 là 1, liền sau 3 là 4 và 4 -1=3 Hạng tử 3.4 có : Liền trước 3 là 2, liền sau 4 là 5 và 5 -2=3 Hạng tử 4.5 có : Liền trước 4 là 3, liền sau 5 là 6 và 6 -3=3 - Từ suy nghĩ đó có thể làm xuất hiện các hạng tử đối nhau như sau: Giải: 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + 99.100.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + … + 99.100. (101 - 98) = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + … + 99.100.101 - 98.99.100 = 99.100.101  A = 33.100.101 = 333 300 2) Một số dãy số dễ dàng tính được tổng 1 + 2 + 3 + … + n = n.(n + 1):2 a + (a + k) + (a + 2k) + … + (a + nk) = a.(n+1) + k.(1 + 2 + + n) = a.(n+1) + k. n.(n + 1):2 với k là hằng số II. Khai thác bài toán 1 Đối với mỗi bài toán sẽ có nhiều cách khai thác, phát triển khác nhau. Mỗi hướng khai thác lại cho ta một số bài toán có chung cách suy nghĩ tìm lời giải hoặc chung phương pháp giải. Sau đây tôi xin trình bày hai hướng: Khai thác trên tập hợp các số tự nhiên và khai thác trên tập hợp các phân số . 1) Khai thác bài toán trên tập hợp các số tự nhiên Trong bài toán 1: Các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 hay cách nhau 1 đơn vị. Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2. Bài toán 2 . Tính : A = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Giải 6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 4 = 3 + 97.99.101  1 97.33.101 A 2   = 161 651 Trong bài toán 1 ta nhân A với 3 = 3.1 . Trong bài toán 2 ta nhân A với 6 = 3.2 . Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử. 3k n(n + k) = n(n + k)(n + 2k) - (n - k) n (n + k) với k là khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3 Bài toán 3 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 98.99.100 Giải : 4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + … + 98.99.100.4 = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5(6 - 2) + … + 98.99.100(101 - 97) = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + … + 98.99.100.101 - 97.98.99.100 = 98.99.100.101  A = 98.99.25.101 = 24 497 550 Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán: Bài toán 4 : Tính : A = 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 95.97.99 Giải : 8A = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 + … + 95.97.99.8 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) + … + 95.97.99(101 - 93) = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 + … + 95.97.99.101 - 93.95.97.99 = 15 + 95.97.99.101  15 95.97.99.101 A 8   = 11 517 600 Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta nhân A với 8 (bốn lần khoảng cách). Như vậy để giải bài toán dạng n n 1 n(n k)(n 2k)     ta nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách (từ hạng tử thứ hai của tổng). 4kn(n + k)(n + 2k) = n(n + k)(n + 2k)(n + 3k) - (n - k)n(n + k)(n + 2k) Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán: 5 Bài toán 5 : Tính A = 1.2 + 3.4 + 5.6 + … + 99.100 Đặc điểm của các dãy số ở các bài trên : Hai hạng tử liền nhau chỉ có 1 thừa số khác nhau. Dãy số bài này thì không có. Thừa số lớn nhất của hạng tử này nhỏ hơn thừ số bé nhất của hạng tử kia 1 đơn vị. Vậy có thể tách thừa số như thế nàoở mỗi hạng tử để đưa về đặc điểm ở các bài toán trên? Ta làm như sau: Giải A = 1.2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 + … + (98 + 1).100 = 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 + … + 100) = 98.100.102 : 6 + 102.50:2 = 166600 + 2550 = 169150 Cách khác A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + … + 99) = 171650 - 2500 = 169150 Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Làm tương tự với các bài toán: Bài toán 6 : Tính A = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + … + 100 2 Giải : A = 1 + 2(1 + 1) + 3(2 + 1) + 4(3 + 1) + … + 100(99 + 1) = 1 + 1.2 + 2 + 2.3 + 3 + 3.4 + 4 + … + 99.100 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) + ( 1 + 2 + 3 + … + 100) = 333300 + 5050 = 338350 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán: Bài toán 7: Tính A = 1 2 + 3 2 + 5 2 + … + 99 2 Giải : A= 1 + 3(2 + 1) + 5(2 + 3) + 7(2 + 5) + … + 99(2 + 97) = 1 + 2.3 + 1.3 + 2.5 + 3.5 + 2.7 + 5.7 + … + 2.99 + 97.99 = 1 + 2(3 + 5 + 7 + … + 99) + (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99) 6 = 1 + 4998 + 161651 = 166650 Trong bài toán 6 và 7 có thể sử dụng : (n - a).(n + a) = n 2 - a 2  n 2 = (n - a)(n + a) + a 2 a là khoảng cách giữa các cơ số Bài toán 8 Tính A = 1.2.3 + 3.4.5 + 5.6.7 + … + 99.100.101 Giải : A = 1.3.( 5 - 3) + 3.5.( 7 - 3) + 5.7.( 9 -3) + … + 99.101.( 103 - 3) = ( 1.3.5 + 3.5.7 + … + 5.7.9 + … + 99.101.103 ) - ( 1.3.3 + 3.5.3 + … + 99.101.3 ) = ( 15 + 99.101.103.105): 8 - 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +… + 99.101) = 13 517 400 - 3.171 650 = 13 002 450 Thay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán: Bài toán 9 : Tính A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + … + 100 3 Giải Sử dụng : (n - 1)n(n + 1) = n 3 - n  n 3 = n + (n - 1)n(n + 1)  A = 1 + 2 + 1.2.3 + 3 + 2.3.4 + … + 100 + 99.100.101 = (1 + 2 + 3 + … + 100) + (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) = 5050 + 101 989 800 = 101 994 850 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán . Bài toán 10: Tính A = 1 3 + 3 3 + 5 3 + … + 99 3 Giải : Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n 3 - 4n  n 3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n  A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + … + 97.99.101 + 4.99 = 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + … + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + … + 99) = 1 + 12 487 503 + 9996 = 12 497 500 Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = n 3 - a 2 n. Ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7 (Cách tách thừa số). Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có: Bài toán 11: Tính A = 1.2 2 + 2.3 2 + 3.4 2 + … + 99.100 2 Giải : 7 A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) = 25 497 450 - 3 33 300 = 25 164 150 Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy. 2) Khai thác bài toán với phân số Khi giải các bài toán về phân số, ta thường gặp các bài toán tính tổng các phân số mà tử và mẫu của chúng được viết theo quy luật. Việc biến đổi các số hạng làm xuất hiện các cặp số hạng đối nhau là một trong những nguyên tắc quan trọng. Ta thường áp dụng công thức biến đổi sau:   1 1 , ; , 0 ( ) k a k Z a a k a a k a a k          2 1 1 , ; , , 2 0 ( )( 2 ) ( ) ( )( 2 ) k a k Z a a k a k a a k a k a a k a k a k            Bài toán 12 : Tính tổng: 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 A      Giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 2 2 3 3 4 99 100 100 100 A                  Bài toán 13 : Tính tổng: 1 1 1 1 1.3 3.5 5.7 97.99 A      Giải : 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1.3 3.5 5.7 97.99 2 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 98 49 . . 2 1 3 3 5 5 7 97 99 2 1 99 2 99 99 A                                          Bài toán 14 : Tính tổng: 1 1 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 A      Giải : 8 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 98.99 99.100 2 1.2 99.100 1 99.50 1 4949 . 2 99.100 19800 A                                           *Vận dụng cách giải trên giải các bài toán sau: Bài áp dụng 1 : Tính tổng: A = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 B = 1.3 +5.7+9.11+ …+ 99.101 C = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + 7.9.11 + … + 97.99.101 D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 E = 1.99 2 + 2.98 2 + 3.97 2 + … + 49.51 2 Bài áp dụng 2 : Tính tổng: a, A = 18 . 15 6 + 21 . 18 6 + 24 . 21 6 + + 90 . 87 6 b, B = 11 . 8 3 2 + 14 . 11 3 2 + 17 . 14 3 2 + + 200 . 197 3 2 c, C = 27 . 25 1 + 29 . 27 1 + 31 . 29 1 + + 75 . 73 1 d, D = 94 . 90 15 + 98 . 94 15 + 102 . 98 15 + + 150 . 146 15 Bài áp dụng 3: Chứng minh rằng với mọi n  N thì ta luôn có: )65)(15( 1 176 1 66 1 6 1   nn = 6 5 1   n n Bài áp dụng 4: Tìm x  N biết: a, x - 55 . 53 20 17 . 15 20 15 . 13 20 13 . 11 20  = 11 3 b, )1( 2 36 1 28 1 21 1   xx = 9 2 III. Kết quả thực hiện: 9 1. Trước khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh khá giỏi của nhà trường trong việc khai thác cách giải và giải một số bài toán về dãy số tự nhiên viêt theo quy luật qua đề bài sau. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Bài 1: Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100 Bài 2: Tính B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 Bài 3: Tính C = 1.2.3 + 2.3.4 + … + 3.4.5 + … + 98.99.100 *Thống kê kết quả: Lớp 6E Dưới 5 5đ- 6,5đ 7đ - 7,5 đ 8đ - 10đ S ĩ số SL % SL % SL % SL % 30 5 16,7 17 53,3 9 30 0 0 *Nhận xét: Sau khi kiểm tra lớp 6E của trường tôi thấy học sinh còn tồn tại như sau: - Học sinh có nhiều em chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về dãy số dạng như bài kiểm tra, lời giải còn trình bày dài dòng, rắc rối. - Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới. 2. Sau khi triển khai chuyên đề với học sinh khá giỏi của nhà trường tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để kiểm tra sự lĩnh hội của các em về chuyên đề này. Đề bài: (Thời gian làm bài 45phút) Bài 1: Tính A = 1 2 + 4 2 + 7 2 + …. +100 2 . Bài 2: Tính B = 1.3 2 + 3.5 2 + 5.7 2 + … + 97.99 2 . *Thống kê kết quả: Lớp 6E Dưới 5 5đ- 6,5đ 7đ - 7,5 đ 8đ - 10đ Sĩ số SL % SL % SL % SL % 30 1 3,3 5 16,7 15 50 9 30 3. Kết quả chung: Sau khi triển khai đề tài với các lớp học khá, giỏi của trường tôi thấy so với trước khi triển khai chuyên đề học sinh có một số tiến bộ sau: - Học sinh đã biết cách tính tổng của các số viết theo quy luật một cách nhanh hơn . [...]... thác bài toán tính tổng một dãy số tự nhiên có quy luật" Chuyên đề không tránh khỏi những thiếu sót, mong được sự nhận xét chân thành và rút kinh nghiệm cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn! Tháng 3 năm 2013 Người thực hiện 10 Ngô Quốc Hưng TÀI LIỆU THAM KHẢO: Tên tài liệu 1 Một số vấn đề phát triển Toán 6 2 Sách giáo khoa Toán 6 3 Sách bài tập Toán 6 4 Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 6 5 Nâng... hướng vận dụng một số đẳng thức áp dụng vào giải toán một cách nhanh chóng Trên cơ sở các kết quả đã đạt được tôi dự kiến hướng tiếp tục nghiên cứu đề tài như sau: - Tiếp tục tuyển chọn các đề toán liên quan đến dãy số viết theo quy luật, yêu cầu hoc sinh vận dụng kiến thức đã học để luyện tập - Xuất phát từ bài toán trên và các bài tập được vận dụng yêu cầu học sinh sáng tạo các đề toán mới Trên đây...- Học sinh giải có thể tự ra đề bài và nêu được hướng giải bài toàn dạng trên - Học sinh tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo, tăng cường học hỏi bạn khác, tự tìm tòi kiến thức mới IV Bài học kinh nghiệm: Sau khi triển khai kinh nghiệm "Khai thác bài toán tính tổng một dãy số tự nhiên có quy luật" tại nhà trường, tôi đã rút ra một số bài học sau: Để dạy học sinh giỏi có hiệu quả... Thân MỤC LỤC: Nội dung PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ A LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI B MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU C ĐỐI TƯỢNG D PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU I Nghiên cứu tài liệu II.Nghiên cứu thực tế E GIỚI HẠN KHÔNG GIAN CỦA ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU G PHẠM VI VÀ GIỚI HẠN NGHIÊN CỨU PHẦN II NỘI DUNG A CƠ SỞ LÍ LUẬN KHOA HỌC B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU C NỘI DUNG I Bài toán mở đầu và một số dãy số đơn giản II Khai thác bài toán 1 1)... kiến thức đã học vào chứng minh các tính chất hay công thức Toán học khác Từ đó có biện pháp vận dụng và khai thác các tính chất hay công thức vào giải các bài tập cụ thể Cần tăng cường giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiến thức vì đây là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả nhất PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Như đã trình bày đề tài này sau khi được áp dụng trong... SỞ LÍ LUẬN KHOA HỌC B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU C NỘI DUNG I Bài toán mở đầu và một số dãy số đơn giản II Khai thác bài toán 1 1) Khai thác bài toán trên tập hợp các số tự nhiên 2) Khai thác bài toán trên tập hợp các phân số III Kết quả thực hiện VI Bài học kinh nghiệm PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO MỤC LỤC 12 Trang 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5-9 9 - 10 10 -11 12 12 13 14 . thác bài toán tính tổng một dãy số có quy luật. Nâng cao năng lực tư duy, sáng tạo. - Tự rèn luyện chuyên môn, trau dồi kiến thức cho bản thân. C. ĐỐI TƯỢNG Bài toán tính tổng dãy số tự nhiên. thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy. 2) Khai thác bài toán với phân số Khi giải các bài toán về phân số, ta thường gặp các bài toán tính tổng các. với tên gọi: "KHAI THÁC BÀI TOÁN TÍNH TỔNG MỘT DÃY SỐ TỰ NHIÊN CÓ QUY LUẬT " B. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Giúp học sinh tính tổng một dãy số tự nhiên có quy luật dễ dàng và có phương