Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của dãy tỷ số bâừng nhau Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800 Hai góc đối đỉnh Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song A.Kiến thức cơ bả
Trang 1Cộng trừ số hữu tỷ
A.Kiến thức cơ bản
1.Cộng trừ hai số hữu tỷ
Muốn cộnh hai số hữu tỷ x,y ta viết chúng dới dạng các phân số có cùng mẫu dơng rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu
x,y Q x =
m
a
y=
m
b
( a,b,m Z, m>0 ) x+ y =
m
a
+
m
b
=
m
b
a
Muốn trừ số hữu tỷ x cho số hữu tỷ y ta cộng x với số đối của y
x =
m
a
, y=
m
b
x- y = x + (-y) =
m
a
+
m
b
=
m
b
a
2 Các tính chất của phép cộng các số hữu tỷ
Với mọi x,y,z thuộc Q ta có
x + y = y+ x (giao hoán)
(x + y) + z = x + (y + z) ( kết hợp)
x+ 0 = x ( cộng với số 0)
x + ( -x) = 0 ( cộng với số đối)
Các quy tắc về mở dấu ngoặc củng giống nh trong Z
3 Quy tắc chuyển vế
Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phảI đổi dấu số hạng đó
x + y = z x = z – y
B Các bài tập áp dụng
Bài 1: Tính
a,
7
3
+ 2,5 b,
23
21
3 - 2,15
c, 1,441 +
8
3
d, 2,315 -
23 19
Hớng dẫn
a,
7
3
+ 2,5 =
7
3
+
10
25
=
70
175
30
=
14
41 70
205
b, Tơng tự
c, Tơng tự
d, Tơng tự
Bài 2 Thực hiện phép tính
a,
19
5 19
7
b ,
29
7 29
13
c,
8
5 7
3
d
9
8 10
3
Hớng dẫn
a,
19
5 19
7
19
) 5 ( 19
19
2 19
) 5 ( 7
b, Mẫu chung 29
c, Mẫu chung 7.8= 56
d, Mẫu chung 90
Trang 2Bài 3 Tính một cách hợp lí nhất
a,
11
17 29
23 11
5
b,
10
6 1 23
18 5
2
c, -0,60 + 4
5 2
Hớng dẫn
Sử dụng các tính chất giáo hoán và kết hợp của phép cộng các số hữu tỷ ta có
a,
11
17 29
23 11
5
29
23 11
17 11
5
=
29
23 2 29
23 11
17 5
b,
10
6 1 23
18 5
2
13 = 13 +
5
3 1 23
18 5
2
=
23
18 15 23
18 5
3 2 1
c, -5,60 +
5
2 4 6 , 0 5 5
2
=(-5 + 4) +
5
2 5
3
= - 1
5 1
Nhân, chia số hữu tỷ
A.Kiến thức cơ bản
1.Nhân hai số hữu tỷ
Với x,y Q , x=
b
a
, y=
d
c
( a,b,c,d Z, b 0, d 0) x.y =
b
a
d
c
=
d b
c a
.
2 Số nghịch đảo
Với x Q, x 0, x=
b
a
( b 0,a 0) Số nhịch đảo của x là:
a
b
x
1
Ta có : x
x
1
=
b
a
a
b
= 1
3 Chia hai số hữu tỷ
Trang 3Chia số hữu tỷ x cho số hữu tỷ y 0 là nhân x với nghịch đảo của y.
x=
b
a
, y=
d
c
( y 0)
x:y = x.1y b a.d c a b..d c
4 Các tính chất của phép nhân các số hữu tỷ
Với x, y, z Q ta có
x.y = y.x ( giao hoán)
(x.y).z = x.(y.z) ( kết hợp)
x.1 = x ( nhân với 1)
x
x
1
= 1 ( Nhân với nghịch đảo) x.( y+ z) = x.y + x.z ( phân phối của phép nhân đối với phép cộng)
5 Tỷ số của hai số
Thơng trong phép chia x cho y 0 ( x,y Q) đợc gọi là tỷ số của hai số
đó,kí hiệu: x:y = x y
B Các bài tập áp dụng
1.Thực hiện các phép tính
a, A =
8
5 25
84 33
4 12
11
b, B = 3
2
1 5 7
2 3 2
1 12 7
2
Hớng dẫn:
a, Nhận xét rằng tích A gồm các thừa số khác 0 và có một số lẽ các thừa số
âm nên tích A là một số hữu tỷ âm
A = -
30
7 2 5 1 3
1 1 7 1 8 25 12 33
4 5 84 11 8 25 33 12
5 84 4
b,Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, phép trừ ta
đợc
B = 3
2
1 5 7
2 3 2
1 12 7
2
2
1 5 2
1 12 7
2 3
= 7
7
2
3
= 21 + 2 = 23
2 Tính giá trị của biểu thức C = 15(x+y) trong các trờng hợp:
a, x= 2,13 , y = -0,13
b, x= - 2
3
1
, y = 7
5 2
Trang 4Hớng dẫn
a,Nhận xét rằng trong các trờng hợp này thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trớc sẽ tốt hơn Ta có:
x + y = 2,13 + (- 0,13) = 2
C = 15( x + y) = 15.2 , 13 ( 0 , 13 ) = 15.2 = 30
b, ở đây nên sử dụng tính chất phân phối của phép cộng sẽ thuận lợi hơn
C = 15(x + y) = 15
5
2 7 3
1 2
= 15
5
2 7 3
1 2
=15
5
2 3
1
5 = 75 – 5 + 6 = 76
Luỹ thừa của số hữu tỷ
A Cơ sở lí thuyết
1.luỹ thừa của một số hữu tỷ
Cho x Q và n N* luỹ thừa bậc n của x là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng x
Xn = x.x.x… x với x x với xQ, n N*
Chú ý: Ta quy ớc x0 = 1, x Q và x 0.
2.Tích và thơng hai luỹ thừa cùng cơ số
x m x n x mn
x m x n x mn
: với x 0 và m n
3 luỹ thừa của một tích, một thơng,một luỹ thừa
(x.y)nx n y n
n n
n y
x y
x
với y 0
x n m x m.n
Chú ý
Ngời ta xét luỹ thừa với số mũ nguyên âm và quy ớc
X-n = n
x
1
( x 0)
Ngời ta dùng các luỹ thừa nguyên âm của 10 để viết các số nhỏ
Ví dụ: 0,0001 = 4
4 10 10
1 10000
B Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1 Tính giá trị biểu thức A =
2 3 2
2
1 3
Giải
Trang 5Ta có A=
64
81 64
1 81 2
1 3
6 4
Cách khác A =
64
81 8
9 8
1 9
2 2
Ví dụ 2 Tính
a.1 200 , (-1) 1890 , (-1)2003
b Số (-3)2001 là số hữu tỷ âm hay dơng
Giải
Dể thấy 12001 1.1.1… x với x 1= 1 có 2001 thừa số
Tổng quát “ Luỹ thừa của 1 với số mũ tuỳ ý luôn bằng 1”
(-1)1890 12945 1 945 1
(-1)2003 ( 1 ).( 1 ) 2002 ( 1 ). 121001 1
Nhận xét:
Luỹ thừa của (-1) với số mũ chẳn thì bằng 1, với số mũ lẽ thì bằng -1
Câu b Giáo viên hớng dẫn tơng tự
Ví dụ 3 Viết các tich sau dới dạng một luỹ thừa
a, 2 6 6 2 b, 6
2
2 125
1
Giải
a, 2 6 6 2 = (2 3)2 6 2 ( 2 3 6 ) 2 ( 8 6 ) 2= 482
b, Giáo viên HD tơng tự
ví dụ 4
Tìm các giá trị của số mũ n sao cho
a 30 < 2n < 300
b 20 < 6n < 1300
Hớng dẫn
a,Ta có 24=16 < 30, 25 =32 >30
28=256<300, 29 = 512 > 300
Vậy 30 < 2n < 300 nếu n = 5,6,7,8
b,Ta có 6<20
62=36 > 20
64= 1296 < 1300
Vậy 20 < 6n < 1300 nếu n= 2,3,4
Ví dụ 5
a, Cho a,b là các số hữu tỷ dơng Chứng tỏ rằng
Nếu a> b thì a2 > b2 , a3 > b3
b, Chứng minh với n là một số tự nhiên tuỳ ý và a>b>0 thì an > bn
Sử dụng các mệnh đề trên để so sánh các số 2300 và 3200
Hớng dẫn
a, Nếu a > b > 0 thì theo kết quả bài trên ta có
a2 = a.a > a.b
a.b > b.b = b2
Do tính chất bắc cầu của quan hệ thứ tự ta đợc a2 > b2
Tơng tự vì a > 0 , b > 0 nên
Trang 6a3 = a.a2 > a.b2
a.b2 > b.b2= b3 a3 > b3
b,Ta có : 2300 = 23.100 =(23)100 = 8100
3200 = 32.100 =(32)100 = 9100
Từ 9 > 8 ta có 9100 > 8100
Tức là 3200 > 2300
Ví dụ 6
a, So sánh
100
6
7
98
6
7
b, Cho m, n là các số tự nhiên, a là số hữu tỷ Chứng tỏ rằng: nếu a > 1, m > n thì am > an
Hớng dẫn
a, Ta có: 1
6
7
2
6
7
> 1,
98
6
7
> 198 = 1 > 0
Suy ra
98 2
98
6
7 1 6
7 6
7
tức là
98 100
6
7 6
7
b, Nếu m > n thì m – n = k là một số tự nhiên
Vì a > 1 nên an > 0 và ak > 1 Khi đó
ak an > 1 an an+k > an
am > an
Tỷ lệ thức Tính chất của dãy tỷ sô bằng nhau
A Kiến thức cơ bản
1.Tỷ lệ thức
Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số
d
c b a
hoặc a:b = c:d
Trang 7các số a;b;c;ddợc gọi là các số hạng của tỷ lệ thức Các số a và d gọi là ngoại
tỷ, b và c gọi là trung tỷ
2 Tính chất của tỷ lệ thức
TC1: Trong một tỷ lệ thức, tích hai trung tỷ bằng tích hai ngoại tỷ
Nếu
d
c b
a
thì a.d = b.c TC2: Nếu tích của hai thừa số khác 0 bằng một tích hai thừa số khác 0 khác thì
từ đó ta có 4 tỷ lệ thức
a.d = b.c ( a; b ; c ; d 0) thì có:
d
c b
a
;
d
b c
a
c
d a
b
;
b
d a
c
3 Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau
a,
d b
c a d b
c a d
c b
a
(b d; b -d)
b, b a d c e f b a d c e f b a d c e f
( Các mẫu khác 0)
A Các ví dụ giải toán.
Bài tập 1 Cho tập hợp A = 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 Hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của A
Bài tập 2.tìm các số x, y
a, Biết 13x = 7y và x + y = 40
b, Biết
21 19
y x
và x- y = 4
Hớng dẫn.
a Cách 1: Từ 13x = 7y suy ra
13 7
y x
Theo tính chất của dãy tỷ số bằng nhau ta có:
13 7
y x
20
40 13
y x
Từ đó ta đợc x = 7.2 = 14, y = 13.2 = 26
b, Làm tơng tự câu a
Bài tập 3
Cho 4 số hữu tỷ khác nhau a, b , c, d thỏa mãn hệ thức ad = bc
Chứng tỏ rằng từ hệ thức trên ta có các tỷ lệ thức sau:
a
d
d c b
b
b
d
d c b
b
Hớng dẫn
A, Cách 1: Từ điều kiện a, b, c, d, khác nhau và a,d = b.c
Ta suy ra a, b, c, d 0 và
d
c b
a
(1) Cộng vào hai vế của (1) cùng sopó 1 ta đợc:
d
d c b
b a d
c b
Trang 8Cách 2: Theo tính chất của tỷ lệ thức, từ (1) suy ra:
b
b a d
d c d c
b a d
b c
Giải tơng tự câu a ta có:
d
c b
a
d
d c b
b a d
c b
Hoặc theo tính chất của tỷ lệ thức
d
c b
a
d
d c b
b a d c
b a d
b c
Bài tập 4 Tìm x biết:
7
4 1
2
x
x x
x
Bài tập 5 Tìm số đo các góc của tam giác ABC, biết rằng các số ddo này tỷ lệ với 2 , 3 và 4
Hớng dẫn: Sử dụng tính chất của dãy tỷ số bâừng nhau
(Tổng ba góc của một tam giác bằng 1800
Hai góc đối đỉnh Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song
A.Kiến thức cơ bản
1 Hai góc đối đỉnh là hai góc mà trong đó mỗi cạnh của một góc là tia đối của một cạnh của góc kia
Tính chất : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
2.Góc đồng vị, góc so le
Trong hình bên, đờng thẳng c cắt hai
đờng thẳng a và b tạo thành 4 góc
đỉnh A và 4 góc đỉnh B trong hình này
ta gọi
-Các cặp góc A1 và B1, A2 và B2,
A3 và B3, A4 và B4 là các cặp góc
đồng vị
-Các cặp góc A3 và B1, A4 và B2 là
các cặp góc so le trong
-Các cặp góc A1 và B3, A2 và B4 là
các cặp góc so le ngoài
-Các cặp góc A3 và B2, A4 và B1 là
các cặp góc trong cùng phía
-Các cặp góc A1 và B4, A2 và B3 là
các góc ngoài cùng phía
3
Định lí
O
x’
y’
y x
c
b
4
2 1 3
3 41
Trang 9Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng khác mà trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
a Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
b Trong mỗi cạp góc đồng vị hai góc bằng nhau
B Bài tập
Bài tập 1
Cho hai đờng thẳng x’x và y’y cắt đờng thẳng z’z lần lợt tại A và B Xét các góc đỉnh A và B tạo thành bởi các đờng thẳng nói trên
Hãy kể ra:
a Các cặp góc đồng vị
b Các cặp góc so le trong
c Các cặp góc trong cùng phía
d Các cặp góc so le ngoài
Bài tập 2:
Trong các câu trả lời sau câu nào đúng câu nào sai.?
Cho đờng thẳng d và điểm O nằm ngoài đờng thẳng d
a Có vô số đờng thẳng đi qua O và vuông góc với d
b Có hai đờng thẳng đi qua O và vuông góc với d
c Có một đờng thẳng đi qua O và vuông góc với d
Bài tập 3:
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
Hai đờng thẳng song song là hai đờng thẳng:
a Không có điểm chung
b Không cắt nhau
c Phân biệt không cắt nhau
Bài tập 4
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai
Đờng thẳng a song song với đờng thẳng b nếu
a Nếu đờng thẳng a vuông góc với đờng thẳng b, đờng thẳng b lại vuông góc với đờng thẳng c thì đờng thẳng a vuông góc với đờng thẳng c
b Nếu đờng thẳng a song song với đờng thẳng b, đờng thẳng b lại song song với đờng thẳng c thì đờng thẳng a song song với đờng thẳng c
c Nếu đờng thẳng a cắt đờng thẳng b đờng thẳng b lại cắt đờng thẳng c thì
đờng thẳng a cắt đờng thẳng c
Bài tập 5
Cho hình vẽ, biết a song song với b và 0
1 40
a Viết tên một cặp góc đồng vị và nói rõ số đo của mỗi góc
b Viết tên một cặp góc so le trong và nói rõ số đo của mỗi góc
c Viết tên các góc trong cùng phía
d Viết tên các cặp góc ngoài cùng phía
z B
A
x’
y’
b
4
2 1
3 3 41