Chuyên đề giới hạn – nguyễn hoàng việt

MỤC LỤC Chương §1 – §2 – §3 – §4 – GIỚI HẠN Giới hạn dãy số A Tóm tắt lí thuyết B Các dạng toán Dạng Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn Dạng Tính giới hạn dãy số dạng phân thức Dạng Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an Dạng Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ 11 Dạng Giới hạn dãy số chứa thức 13 Giới hạn hàm số 24 A Tóm tắt lý thuyết 24 B Các dạng toán 27 Dạng Giới hạn hàm số dạng vô định 27 ∞ Dạng Giới hạn dạng vô định ; ∞ − ∞; · ∞ 45 ∞ Dạng Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức giới hạn bên 50 Hàm số liên tục 57 A Tóm tắt lí thuyết 57 B Các dạng toán 58 Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm 58 Dạng Hàm số liên tục tập hợp 64 Dạng Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn 68 Dạng Chứng minh phương trình có nghiệm 71 Đề Kiểm tra Chương IV 77 A Đề số 1a 77 B Đề số 1b 79 C Đề số 2a 80 D Đề số 2b 82 E Đề số 3a 84 F Đề số 3b 87 G Đề số 4a 90 H Đề số 4b 92 I i/101 Đề số 5a 94 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 ii MỤC LỤC ii/101 Kết nối tri thức với sống J Đề số 5b 96 K Đề số 6a 97 L Đề số 6b 99 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chươ ng GIỚI HẠN HẠN GIỚI HẠN GIỚI BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A – TĨM TẮT LÍ THUYẾT Giới hạn dãy số Ą Định nghĩa 1.1 Dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vơ cực |un | nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = hay lim un = n→+∞ Ą Ví dụ lim n→+∞ n2 = Ą Định nghĩa 1.2 Dãy số (un ) có giới hạn a |un − a| có giới hạn Nghĩa là: lim un = a ⇔ lim (un − a) = n→+∞ n→+∞ 2n + = n→+∞ n + Ą Ví dụ lim Các định lý giới hạn hữu hạn Ą Định lí 1.1 ○ lim 1 = 0; lim k = với k số nguyên dương n n ○ lim qn = |q| < Ą Định lí 1.2 Å un ○ Nếu lim un = a lim = b lim (un ± ) = a ± b, lim (un ) = a.b, lim √ √ ○ Nếu un ≥ với n lim un = a a ≥ lim un = a ã = a (nếu b = 0) b Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Ą Định nghĩa 1.3 Cấp số nhân vơ hạn (un ) có cơng bội q thoả mãn |q| < gọi cấp số nhân lùi vơ hạn 1/101 Th.S Nguyễn Hồng Việt – 0905.193.688 Giới hạn dãy số Kết nối tri thức với sống Ą Định lí 1.3 Cho cấp số nhân lùi vơ hạn (un ), ta có tổng cấp số nhân lùi vơ hạn S = u1 + u2 + u3 + + un + = u1 , (|q| < 1) 1−q Giới hạn vô cực Ą Định nghĩa 1.4 ○ Ta nói dãy số (un ) có giới hạn +∞ n → +∞, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un = +∞ ○ Ta nói dãy số (un ) có giới hạn −∞ n → +∞, lim(−un ) = +∞ Kí hiệu: lim un = −∞ Ą Định lí 1.4 un a) Nếu lim un = a lim = ±∞ lim = un b) Nếu lim un = a > 0, lim = > với n lim = +∞ c) Nếu lim un = +∞ lim = a > lim un = +∞ B – CÁC DẠNG TOÁN Dạng Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn Để chứng minh lim un = L ta chứng minh lim (un − L) = Ą Ví dụ Chứng minh Ç å −n3 a lim = −1 n3 + Ç b lim n2 + 3n + 2n2 + n å = ɓ Lời giải 2/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống Ą Ví dụ Chứng minh Å n ã 3.3 − sin 3n a lim =3 3n b lim Ä√ ä n2 + n − n = ɓ Lời giải BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ą Bài Chứng minh a lim 2n2 + n =2 n2 + c lim 7n − 2.8n = −2 8n + 3n b lim 6n + =6 n+5 d lim 2.3n + 5n = 5n + 3n ɓ Lời giải 3/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Giới hạn dãy số Kết nối tri thức với sống Ą Bài Chứng minh Ä√ ä a lim 4n2 + 4n − 2n = √ n2 + 2n − n =0 c lim n Ä√ ä d lim n3 + 2n − n = √ n + sinn n b lim √ =1 n+1 ɓ Lời giải 4/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống Ą Bài Chứng minh a lim 6n cos 3n + 5n =0 2n + 2.7n b lim 4n sinn 2n + cosn 2n =0 4n2 + 8n ɓ Lời giải Dạng Tính giới hạn dãy số dạng phân thức Tính giới hạn lim f (n) f (n) g (n) đa thức bậc n g (n) ○ Bước 1: Đặt nk , ni với k số mũ cao đa thức f (n) i số mũ cao đa thức g (n) làm nhân tử chung ○ Đơn giản Sau áp dụng kết lim = nk Dạng Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an ○ Bước 1: Đưa biểu thức số mũ n ○ Bước 2: Chia tử mẫu số cho an a số có trị tuyệt đối lớn ○ Bước 3: Áp dụng kết "Nếu |q| < lim qn = 1" Ą Ví dụ Tính lim n2 − 4n3 2n3 + 5n − ɓ Lời giải Ą Ví dụ Tính lim n3 − 7n − 2n2 ɓ Lời giải 5/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Giới hạn dãy số Kết nối tri thức với sống Ą Ví dụ Tính lim n+2 n2 + n + ɓ Lời giải Ą Ví dụ Tính lim 5n+1 − 4n + 2.5n − 6n ɓ Lời giải BÀI TẬP TỰ LUYỆN (Cho dạng) Ą Bài Tính giới hạn a) lim 3n + 2n + b) lim 4n2 − 2n2 + n ɓ Lời giải Ą Bài Tính giới hạn √ n2 + 2n − a) lim n+2 √ n2 + 2n − n − b) lim √ n2 + n + n ɓ Lời giải 6/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống √ 4n4 + 2n − 3n2 Ą Bài Tính giới hạn lim √ n3 + 2n − n ɓ Lời giải Ą Bài Tính giới hạn a) lim 7.5n − 2.7n 5n − 5.7n c) lim 4n+1 + 6n+2 5n + 8n 4.3n + 7n+1 b) lim 2.5n + 7n ɓ Lời giải 7/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 87 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống F – ĐỀ SỐ 3B Ą Bài (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau a) lim n3 + 4n + 2n3 + 3n2 b) lim n2 + 2n + n3 + n2 + n + ɓ Lời giải 87/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 88 Đề Kiểm tra Chương IV Kết nối tri thức với sống Ą Bài (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau xn − nx + n − , với n nguyên dương x→1 (x − 1)2 Ä√ ä b) lim x2 + x − x a) lim x→+∞ ɓ Lời giải Ą Bài (3,0 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số sau liên tục tập xác định √   7x − 10 − x > x−2 a) f (x) =  mx − x ≤  x3 sin x = b) f (x) = x m x = ɓ Lời giải 88/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 89 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống Ą Bài (2, điểm) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a = 0) với 7a + 5b + 4c = Chứng minh rằng, phương trình cho ln có nghiệm đoạn [1; 2] ɓ Lời giải Ą Bài (1 điểm) Cho hai số dương a, b dãy (un ) cho  u1 = a, u2 = b u + un+1 un+2 = n , n = 1, Tìm giới hạn lim un ɓ Lời giải 89/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 90 Đề Kiểm tra Chương IV Kết nối tri thức với sống G – ĐỀ SỐ 4A Ą Bài (2,0 điểm ) Tìm giới hạn sau: a) lim 2n2 + n − n2 + b) lim 3n+2 − 2n + 2.3n + 2n + ɓ Lời giải Ą Bài (3,0 điểm ) Tìm giới hạn sau: x2 − 9x + a) lim x→1 1−x √ 3x − − b) lim x→2 x2 − √ 16x2 + + c) lim x→−∞ x+1 Ä ä √ d) lim 2x − 4x2 + x + x→+∞ ɓ Lời giải 90/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 91 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống   2x − x − Ą Bài (2,0 điểm) Cho hàm số f (x) = x−1  m+1 x = x = Tìm m để hàm số liên tục điểm x = ɓ Lời giải Ą Bài (1,5 điểm) Chứng minh phương trình 2x5 − 7x − = có nghiệm thuộc khoảng (0; 2) ɓ Lời giải 91/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 92 Đề Kiểm tra Chương IV Kết nối tri thức với sống Ą Bài (1,5 điểm) Cho phương trình m(x + 1)(x − 2)11 + 3x − = Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị m ɓ Lời giải H – ĐỀ SỐ 4B Ą Bài (2,0 điểm ) Tìm giới hạn sau: √ 4n2 + 6n + − n b) lim 3n + a) lim(n3 + 3n2 + n − 10) ɓ Lời giải Ą Bài (2,0 điểm ) Tìm giới hạn sau: √ √ x + + − 2x − b) lim x→3 x−3 x2 − a) lim x→1+ (x − 1)2 ɓ Lời giải 92/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 93 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống  x + mx − m −     x−1 Ą Bài (2,5 điểm) Cho hàm số f (x) = 2x + m    2m + 3m − điểm x = x > x < Tìm m để hàm số liên tục x = ɓ Lời giải Ą Bài (2,0 điểm) Chứng minh phương trình 5x4 + x2 − 10 = có nghiệm ɓ Lời giải Ą Bài 10 (1,5 điểm) Cho số thực a, b, c với a = thỏa mãn 5a + 3b + 2c = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln có nghiệm ɓ Lời giải 93/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 94 Đề Kiểm tra Chương IV Kết nối tri thức với sống I – ĐỀ SỐ 5A Ą Bài (2 điểm) Tìm giới hạn dãy số sau: 3n − 4n+1 − a) (un ) có un = n − 4n + √ b) (vn ) có = 3n2 + n + ɓ Lời giải Ą Bài (3 điểm) Tính giới hạn hàm số sau: ã Å 1 2x − − · a) M = lim x→2 x x−2 √ x2 + − b) N = lim x→−1 x+1 ä Ä√ x2 + − x c) P = lim x→+∞ ɓ Lời giải 94/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 95 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống Ą Bài (2 điểm) Tính giới hạn bên sau: a) lim x→4+ b) x+2 x−4 x2 + x→(−1)− x + lim ɓ Lời giải  Nếu x ≤ 3x − a, Ą Bài (2 điểm) Cho hàm số y = f (x) = −x + x +  , Nếu x > x−2 Tìm a để hàm số liên tục tập xác định ɓ Lời giải 95/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 96 Đề Kiểm tra Chương IV Kết nối tri thức với sống Ą Bài (1 điểm) Chứng minh phương trình: 3x5 + 2x − = có nghiệm khoảng (0; 1) ɓ Lời giải J – ĐỀ SỐ 5B ɓ Lời giải ! Ą Bài (2 điểm) Tính giới hạn bên sau: x+2 x→1+ x − a) lim b) x2 + x→−2− x + lim ɓ Lời giải 96/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 97 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống  x = x − a Ą Bài (2 điểm) Cho hàm số y = f (x) = −x + x +  x = x−2 Tìm a để hàm số liên tục tập xác định ɓ Lời giải Ą Bài (1 điểm) Chứng minh phương trình: x3 + 2x − = có nghiệm khoảng (0; 1) ɓ Lời giải K – ĐỀ SỐ 6A Ą Bài (4 điểm) Tính giới hạn sau √ a) lim −n2 + n n + b) lim Å ã 1 c) lim −1 x→0− x x + √ x2 + − d) lim x→−2 x+2 Ä√ ä √ n2 + n − n2 − ɓ Lời giải 97/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 98 Đề Kiểm tra Chương IV Kết nối tri thức với sống   x − 2x − x = Ą Bài (2 điểm) Xét tính liên tục hàm số f (x) = tập xác định x−3  x = ɓ Lời giải √  7x − 10 − , x > Tìm m để hàm số liên tục x = Ą Bài (2 điểm) Cho hàm số f (x) = x−2  mx + 3, x ≤ ɓ Lời giải 98/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 99 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống Ą Bài (2 điểm) Chứng minh phương trình: a) x5 + x3 − = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) b) cos x + m cos 2x = ln có nghiệm với m ɓ Lời giải L – ĐỀ SỐ 6B Ą Bài (1.5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định u1 = √ un+1 = + un với n ≥ Biết (un ) có giới hạn hữu hạn n → +∞, tính giới hạn ɓ Lời giải √ 1 Ą Bài (1.5 điểm) Tính tổng S = − + − √ + − 2 ɓ Lời giải Ą Bài (4 điểm) Tính giới hạn sau: 99/101 Th.S Nguyễn Hồng Việt – 0905.193.688 100 Đề Kiểm tra Chương IV Kết nối tri thức với sống x+1 x→3− x − 4x c) lim √ x→0 + x − √ √ 1−x− 8−x d) lim x→0 x a) lim x2 + 2x − x→1 2x2 − x − b) lim ɓ Lời giải   x − 4x + Ą Bài (1.5 điểm) Tìm m để hàm số f (x) = x−3  2mx + m + x < liên tục R x ≥ ɓ Lời giải 100/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 101 Chương GIỚI HẠN Kết nối tri thức với sống Ą Bài (1.5 điểm) Với a, b, c ∈ R, chứng minh phương trình a(x − b)(x − c) + b(x − c)(x − a) + c(x − a)(x − b) = có nghiệm ɓ Lời giải 101/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 ... Hoàng Việt – 0905.193.688 Chươ ng GIỚI HẠN HẠN GIỚI HẠN GIỚI BÀI GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A – TĨM TẮT LÍ THUYẾT Giới hạn dãy số Ą Định nghĩa 1.1 Dãy số (un ) có giới hạn n dần tới dương vơ cực |un |... Tính giới hạn lim ɓ Lời giải √ 2x − x − √ Ą Ví dụ 10 Tính giới hạn lim x→5 − x + ɓ Lời giải 28/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 29 Chương GIỚI HẠN... Tính giới hạn lim x→1 x−1 ɓ Lời giải √ √ √ + 2x + 3x + 4x − Ą Bài 32 Tính giới hạn lim x→0 x ɓ Lời giải 41/101 Th.S Nguyễn Hoàng Việt – 0905.193.688 42 Giới hạn hàm