Chuyên đề giới hạn dãy số và hàm số

Phân dạng và phương pháp giải các dạng bài toán về giới hạn của dãy số và của hàm số chi tiết có hệ thống từ cơ bản đến nâng cao và tổng quát hóa. Trong chương trình toán THPT các bài toán về giới hạn có ở chương trình lớp 11 và 12. Việc tính giới hạn đòi hỏi phải có kiến thức tổng hợp, khả năng suy xét, phán đoán và một số kỹ năng cần thiết như: kỹ năng sử dụng hằng đẳng thức; phân tích thành nhân tử; thêm bớt; đổi biến; liên hợp... Bài toán về giới hạn có thể có trong các đề thi tuyển sinh; thi chọn học sinh giỏi. Việc giải tốt các bài tập về giới hạn là cơ sở để giải quyết các vấn đề khác của toán học như: xét tính liên tục của hàm số; chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình; tính đạo hàm; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...là cơ sở, nền tảng để học sinh học tốt môn toán giải tích ở chương trình cao đẳng và đại học sau này.

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN

I.MỞ ĐẦU:

A.ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong chương trình toán THPT các bài toán về giới hạn có ở chương trình lớp 11

và 12 Việc tính giới hạn đòi hỏi phải có kiến thức tổng hợp, khả năng suy xét, phán đoán và một số kỹ năng cần thiết như: kỹ năng sử dụng hằng đẳng thức; phântích thành nhân tử; thêm bớt; đổi biến; liên hợp

Bài toán về giới hạn có thể có trong các đề thi tuyển sinh; thi chọn học sinh giỏi.Việc giải tốt các bài tập về giới hạn là cơ sở để giải quyết các vấn đề khác của toánhọc như: xét tính liên tục của hàm số; chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình; tính đạo hàm; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số là cơ sở, nền tảng để học sinh học tốt môn toán giải tích ở chương trình cao đẳng và đại học sau này

B.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu và những kinh nghiệm có được trong quá trình dạy học tôi trình bày vấn đề nêu trên thành một chuyên đề để phục vụ cho việc giảng dạy nhằm truyền đạt cho học sinh một số kinh nghiệm giải các bài toán về giới hạn phục vụ cho việc học tập và thi cử của mình

II.NỘI DUNG:

Chuyên đề giới hạn có hai phần chính đó là giới hạn của dãy số và giới hạn của hàm số.Trong mỗi phần đều có sơ lược kiến thức sử dụng; các ví dụ có sự lựa chọnđiển hình về phương pháp giải từ cơ bản đến nâng cao theo tư duy logic Nhiều ví

dụ giải bằng nhiều phương pháp khác nhau và được tổng quát hóa để từ đó có thể giải hoặc sáng tạo ra các bài tập tương tự

PHẦN I:GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ:

+)Định lý về Các phép toán trên giới hạn

B.Các ví dụ và bài tập:

2 b) 2 1

Ngoài các dạng cơ bản trên ta còn hay gặp giới hạn tổng các số hạng của một dãy số theo qui luật:Cần thực hiện các phếp biến đổi rút gọn trước rồi mới tính giới hạn.

Phương pháp giải: Biến đổi làm triệt tiêu từng cặp :

Phương pháp giải: Dùng định lý kẹp giữa

n

n n

- Bước 1: Chứng minh dãy số có giới hạn.

- Bước 2: Đặt xlimu n dẫn đến giải phương trình ẩn x

Ví dụ 8:Cho dãy số 1

1

22

Vậy dãy đã cho là dãy tăng  1

- Chứng minh dãy bị chặn trên bởi 2 :

Ví dụ 9: Cho dãy  u xác định bởi n

1

1

2

12

n n

u u

PHẦN II.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.

A.Lý thuyết:

+)Các định nghĩa về giới hạn của hàm số

+)Định lý về Các phép toán trên giới hạn

+)Các dạng vô định và phương pháp khử

+)Các phương pháp tính giới hạn của hàm số

B.Các ví dụ và bài tập:

Ví dụ 1 :

Tính

11

.Chú ý việc đưa x k vào căn để thực hiện phép chia cần lưu ý đến dấu

Bài tập tự luyện

1lim

Cách giải.Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp f x ( ) a ta có

2

x

x x



 

 b)

3 1

1lim

1

x

x x

NX: Câu b) còn có thể áp dụng cách giải ở ví dụ 1 bằng phương pháp đổi biến):

Cách giải.Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp3 f x2 ( ) a  3 f x( ) a2 ta được

0

0

3 3

0

3 3

( )lim

x

t t



 

 c) 7



 



Cách giải.Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách thành hai giới hạn của dạng vô

- Để liên hợp bậc cao cần nắm được hằng đẳng thức:

1 ax 1lim

n x

x

TS

x A

3 4

Gặp giới hạn của các hàm số lượng giác ta thường biến đổi và giản ước cả tử

số và mẫu số cho cùng một nhân tử hoặc nắn về dạng có chứa

0

1 coslim

x

c x





HD:a)Viết L=

2

2sin2

22sin os

2 2 0

2sin

1sin

x

c x

Cách 2:Phươ ng pháp đặt ẩn phụ

Đặt y=y 6 cosx  cosx y v3 à cos3 x y2;x  0thìy 1 suy ra

Áp dụng kết quả ví dụ 1d) ta được kết quả L=7

Cách 2:Dùng phương pháp thêm bớt đẩy kéo:

2 0

(1 cos ) cos (1 os2 ) cos cos 2 (1 os3 )

BÀI TẬP:

1)Tính L=

0

1 osxcos2 cos3lim

-Chia cả tử và mẫu cho x2 rồi áp dụng cách 1 hoặc 2

-Ngoài ra ta còn có thể áp dụng phương pháp đổi biến bằng cách:

x L

x a

b x

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

1)Tính C=

2

2 0





1 0

a X





=12 Suy ra C=C1+C2=ln3+1

1lim

2

lim

(1 )ln

Chuyên đề giới hạn đã được triển khai dạy cho học sinh khối 11 và 12 hầu hết

em nắm được một cách có hệ thống các dạng bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số cùng các phương pháp giải Nhiều em đã giải tốt các bài tập về giới hạn trong các đề thi tuyển sinh và thi chọn học sinh giỏi trong một số năm gần đây Nội dung của chuyên đề có thể áp dụng giảng dạy cho nhiều đối tượng học sinh

vì hệ thống các ví dụ và bài tập đi từ cơ bản đến nâng cao; có thể dùng làm tài liệu

tham khảo để giáo viên ra đề kiểm tra, đề thi tùy theo yêu cầu đối với các đối tượng học sinh khác nhau.

Người viết chuyên đề rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các thày

cô giáo trong cùng bộ môn và của các em học sinh để cho nội dung của chuyên đề được hoàn thiện hơn Hi vọng nội dung của chuyên đề sẽ có ích đối với các bạn đồng nghiệp và các em học sinh

Nguyễn Trung Ngạn, ngày 7 tháng 4 năm 2014

Người viết:

Vũ Sỹ Dũng