Chuyên đề giới hạn dãy số và hàm số

Phân dạng và phương pháp giải các dạng bài toán về giới hạn của dãy số và của hàm số chi tiết có hệ thống từ cơ bản đến nâng cao và tổng quát hóa. Trong chương trình toán THPT các bài toán về giới hạn có ở chương trình lớp 11 và 12. Việc tính giới hạn đòi hỏi phải có kiến thức tổng hợp, khả năng suy xét, phán đoán và một số kỹ năng cần thiết như: kỹ năng sử dụng hằng đẳng thức; phân tích thành nhân tử; thêm bớt; đổi biến; liên hợp... Bài toán về giới hạn có thể có trong các đề thi tuyển sinh; thi chọn học sinh giỏi. Việc giải tốt các bài tập về giới hạn là cơ sở để giải quyết các vấn đề khác của toán học như: xét tính liên tục của hàm số; chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình; tính đạo hàm; khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số...là cơ sở, nền tảng để học sinh học tốt môn toán giải tích ở chương trình cao đẳng và đại học sau này.

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN I.MỞ ĐẦU: A.ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong chương trình toán THPT toán giới hạn có chương trình lớp 11 12 Việc tính giới hạn đòi hỏi phải có kiến thức tổng hợp, khả suy xét, phán đoán số kỹ cần thiết như: kỹ sử dụng đẳng thức; phân tích thành nhân tử; thêm bớt; đổi biến; liên hợp Bài toán giới hạn có đề thi tuyển sinh; thi chọn học sinh giỏi Việc giải tốt tập giới hạn sở để giải vấn đề khác toán học như: xét tính liên tục hàm số; chứng minh tồn nghiệm phương trình; tính đạo hàm; khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sở, tảng để học sinh học tốt môn toán giải tích chương trình cao đẳng đại học sau B.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Xuất phát từ trình tự học, tự nghiên cứu kinh nghiệm có trình dạy học trình bày vấn đề nêu thành chuyên đề để phục vụ cho việc giảng dạy nhằm truyền đạt cho học sinh số kinh nghiệm giải toán giới hạn phục vụ cho việc học tập thi cử II.NỘI DUNG: Chuyên đề giới hạn có hai phần giới hạn dãy số giới hạn hàm số.Trong phần có sơ lược kiến thức sử dụng; ví dụ có lựa chọn điển hình phương pháp giải từ đến nâng cao theo tư logic Nhiều ví dụ giải nhiều phương pháp khác tổng quát hóa để từ giải sáng tạo tập tương tự PHẦN I:GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ: A.Lý thuyết: +)Các định nghĩa dãy số có giới hạn 0,giới hạn hữu hạn L,giới hạn vô cực +)Định lý tồn giới hạn +)Định lý tính giới hạn +)Định lý Nguyên lý kẹp +)Định lý Các phép toán giới hạn B.Các ví dụ và bài tập: ∞ -Dạng : ∞ Phương pháp giải:Chia tử số mẫu số cho n k với k số mũ cao n Ví dụ 1: Tính a) lim Đáp số : a) n3 − n + 2n + n b) 2n + − n + n +1 b) − 1 c)Tính: lim a0 n m + a1n m−1 + + am−1n + am b0 n p + b1n p −1 + + bp −1 + b p HD:Xét khả : m>p Kết quả:+ ∞ ao.bo f - ∞ ao.bo p a0 m=p Kết quả: bo m p p Kết - Dạng ∞ − ∞ : Phương pháp giải: Nhân chia biểu thức cho với biểu thức liên hợp cúa ∞ đưa dạng : ∞ Ví dụ 2: Tính a) lim ( n + n − n + ) b) lim( n3 − 2n − n − n) Đáp số : a) b) −2 Ngoài các dạng ta hay gặp giới hạn tổng các số hạng dãy số theo qui luật:Cần thực hiện các phếp biến đổi rút gọn trước rồi tính giới hạn 2.12 + 3.22 + + (n + 1).n Ví dụ3: Tính L=lim n4 Phương pháp giải: Biến đổi làm xuất hiện các tổng quen thuộc: (1 + 1)12 + (2 + 1).22 + + ( n + 1).n L= lim n4 (13 + 23 + 33 + + n3 ) + (12 + 22 + + n ) L = lim n4 n (n + 1)2 n( n + 1)(2n + 1) + L = lim n n ( n + 1)2 n(n + 1)(2n + 1) + lim =lim 4n 6n 1 = +0= 4 Ví dụ 4: Tính 1 1 ) L=lim ( + + + 2 12 n −n Phương pháp giải: Biến đổi làm triệt tiêu cặp : 1 1 1 1 + + + ) =lim (1 − + − + + − ) L=lim ( 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) 2 n −1 n lim (1 − ) = n Chú ý số đẳng thức quen thuộc sau: 1 = − n(n + 1) n n + 1 1 = ( − ) (2n − 1)(2n + 1) 2n − 2n + 1 1 = [ − n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) (n + 1)(n + 2) ] 1 1 = [ − n(n + 1)(n + 2)( n + 3) n(n + 1)( n + 2) (n + 1)( n + 2)(n + 3) 1 1 = ( − ) 1.2.3 n n − 1.2.3 (n − 1) 2.3 n 1 1 = [ − (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) ] ] 2n + 1 = 2− n ( n + 1) n ( n + 1) 2 (n + 1) = + n + 2n n(n + 2) + (n + 1)(n + 2) = n + 3n n( n + 3) n 10.1+3+5+….(2n-1)=n hay ( ∑ (2i − 1) = i ) - Cấp số cộng i =1 11 2+10+24+….n(3n-1)= 3(12 + 22 + + n ) − (1 + + + + n) hay n n n (∑ i (3i − 1) = 3∑ i − ∑ i) ) i =1 i =1 i =1 n n n n i =1 i =1 i =1 i =1 2 12 ∑ (3i − 1) = 9∑ i + 6∑ i + ∑1 … Từ đẳng thức ta sáng tạo nhiều tập Chẳng hạn:  23 + 53 + 83 + + ( 3n − 1)   +) Tính L=lim  n4   Lời giải: : Ta có : 23=27.13-27.12+9.1-1 53=27.23-27.22+9.2-1 83=27.33-27.32+9.3-1 …… (3n-1) =27.n3-27.n2+9.n-1 Suy 23 + 53 + 83 + + ( 3n − 1) = =27 (13 + 23 + 33 + + n3 ) -27 (12 + 22 + 32 + + n2 ) +9(1+2+3+…+n)-n n ( n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) = 27 − 27 +9 −n  n (n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) n  27 − 27 + − 4= L=lim  27 4n 6n 2n n   1  1 + + +) Tính L=lim  + (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) ÷  15 105 315  Bài giải : 11  Ta có : =  − ÷ 15  15  1 1  =  − ÷ 105  15 35  1 1  =  − ÷ 315  35 63  …  1 1 − =  (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3)  (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2 n + 3) ÷  Từ suy L= lim 1  1 −  (2n + 1)(2n + 3) ÷=   12 2 2   ) Ví dụ Tính L=lim  (1 + )(1 + )(1 + ) (1 + 10 18 n + 3n   (n + 1)(n + 2) 1+ = Giải :Viết Ta có: n + 3n n(n + 3)  2.3 3.4 4.5 n.(n + 1) ( n + 1)( n + 2)  3(n + 1) )  =lim =3 L= lim  n+3  1.4 2.5 3.6 (n − 1)(n + 2) n( n + 3)  Một số bài ta phải sử dụng định lý kẹp : 1 + + + Ví dụ 6: Tính L=lim ( ) n +1 n2 + n2 + n Phương pháp giải: Dùng định lý kẹp Ta có : n + < n + < < n + n 1 n n + + + p u p u Đặt = n n n2 + n2 + n2 + n n2 + n n2 + n n = lim = ⇒ lim un = Mặt khác : lim n2 + n2 + n −1) cos n ( Ví dụ 7: Tính lim n2 n ( −1) cos n HD: − ≤ ≤ Kết quả: n n2 n Bài tập đề nghị:   1 1 lim + + + Tính ĐS:   n(n + 1) ( n + )  1.2.3 2.3.4 3.4.5 3 2n +  + + 2 Tính L = lim  + n (n + 1)   36 Hướng dẫn: L = 1 1  1   lim  − + − + + − = lim − =1   2 n ( n + 1)  1 2  ( n + 1)     2   Tính L = lim 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ 1 + ÷   10  18   n + 3n   Hướng dẫn: Viết + ( n + 1) ( n + ) = n + 3n n ( n + 3) Kết quả: L = 1.2 + 2.5 + 3.8 + + n ( 3n − 1) n3 Hướng dẫn: Viết ( 12 + 22 + + n ) − ( + + + n ) n ( 3n − 1) = 3n − n ⇒ L = lim = = Tính n3 + + 25 + + ( 2n − 1) L = lim n3 Tính L = lim n Hướng dẫn: ∑ ( 2i − 1) i =1  Tính L = lim 1 − n n n i =1 i =1 = ∑ i − ∑ i + ∑1 i =1   1   ÷1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷   16   n      1 + + + + Tính L = lim   1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n ( n + 1) n + n + ( ) ( )   -Tìm giới hạn nhờ giải phương trình: Phương pháp - Bước 1: Chứng minh dãy số có giới hạn - Bước 2: Đặt x = lim un dẫn đến giải phương trình ẩn x u1 = Ví dụ 8:Cho dãy số  Tìm lim un u = + u  n+1 n Giải: - Ta chứng minh dãy un tăng : Ta có : + > ⇒ u2 > u1 Giả sử un < un +1 ⇒ un + < un+1 + ⇒ un + < un+1 + hay un+1 < un+ Vậy dãy cho dãy tăng ( 1) - Chứng minh dãy bị chặn : Ta có : u1 = < Giả sử un < ⇒ + un < ⇒ + un < ⇒ un+1 < Vậy un < với n ∈ ¥ ∗ ( ) Từ ( 1) ( ) suy dãy cho có giới hạn - Đặt x = lim un Ta có x > ⇔ x = x = lim un+1 ⇔ x = lim + un ⇔ x = + x ⇔  x = x +  u1 =  Ví dụ 9: Cho dãy ( un ) xác định  un−1 + Tìm lim un u =  n Hướng dẫn : Ta chứng minh dãy giảm bị chặn qui nạp u +1 x +1 ⇔x= ⇔ x =1 - Gọi x = lim un ⇒ x = lim n−1 2 Cách : Tính vài số hạng đầu, dự đoán công thức số hạng tổng quát theo n rồi chứng minh lại qui nạp : Ta có u1 = = + u2 = = + 2 u3 = = + 4 u4 = = + … un = + n−1 ( ∗) Ta chứng minh ( ∗) qui nạp n = ⇒ ( ∗) Giả sử ( ∗) với n = k Khi uk = + k −1 Ta chứng minh ( ∗) với n = k + nghĩa chứng minh : uk +1 = + k 1 + k −1 + 1 Thật : u = uk + = =1+ k k +1 2 Từ suy lim un = u0 = u1 u { } Bài tập đề nghị: Cho dãy n thỏa mãn điều kiện :  un+1 = un + un−1 ; n = 1,2, Chứng minh dãy cho có giới hạn tìm giới hạn PHẦN II.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A.Lý thuyết: +)Các định nghĩa giới hạn hàm số +)Định lý Các phép toán giới hạn +)Các dạng vô định phương pháp khử +)Các phương pháp tính giới hạn hàm số B.Các ví dụ và bài tập: ∞ I.GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH ∞ ∞ Cách giải Để khử dạng vô định ta thường chia tử mẫu thức cho lũy thừa bậc ∞ k cao biến (có mặt tử mẫu), áp dụng lim x→±∞ n = , k x số khác 0, n số thực dương Ví dụ : 1+ x+ x x = lim x→+∞ = (chia tử mẫu cho x ) Tính lim x→+∞ x +1 1+ x Ví dụ : x + 2x + = lim x →+∞ x x +1 Tính lim x→+∞ + x x = +∞ (chia tử mẫu cho x ) 1 + x x 1+ Ví dụ :Tìm giới hạn : x + x2 + Tính lim x→−∞ x ∞ HD: Khử Dạng :Bằng cách chia tử và mẫu cho x k với k là số mũ cao ∞ x ĐS:0 Chú ý việc đưa xk vào để thực hiện phép chia cần lưu ý đến dấu củaxk.Trong ví dụ x → +∞ kết Bài tập tự luyện Tìm giới hạn : x +1 x+3x+4x lim Tính a) x→+∞ b) lim x→+∞ x x+ x 2x + II.GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH ∞ − ∞ Ví dụ :Tìm giới hạn : lim ( x + x + x − x ) x →+∞ HD: Khử Dạng ∞ − ∞ :Bằng chia nhân và chia cho biểu thức liên hợp đưa ∞ dạng ĐS: ∞ III.GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH Dạng1 Dạng 0 hàm phân thức đại số f ( x) Tìm lim x → x g ( x) tro ng f ( x), g ( x) hàm đa thức nhận x0 nghiệm f ( x) ( x − x0 ) f ( x) f ( x) f ( x) f k ( x0 ) = lim = lim = = lim k = Cách giải.Ta có lim x →1 g ( x ) x→1 ( x − x ) g ( x ) x →1 g ( x ) x →1 g ( x ) g k ( x0 ) k Trong f k ( x) + g k ( x) ≠ Ví dụ :Tìm giới hạn : x − 1) ( x + x + 2) x3 + x − ( x2 + x + = lim = lim = Tính a) lim x →1 x − x + x + x − x →1 ( x − 1) ( x + x + 2) x →1 x + x + Ví dụ :Tìm giới hạn : x2 − x x4 − lim Tính a) lim b) x →1 x →1 x + x − x −1 HD :Khử dạng Bằng cách Giản ước tử mẫu cho nhân tử.(sử dụng HĐT để phân tích thành nhân tử) Đ S: a) b)3 Bài tập tự luyện Tìm giới hạn : 8x3 − x − x3 + 3x + x − lim lim Tính a) b) x →1 x − x + x →1 3x − x3 + x − x3 − (4 + 1) x + (4 + 2) x − b) lim x → x − (2 + 1) x + (2 + 2) x − Dạng2 Dạng hàm phân thức chứa thức bậc hai 0 Tìm lim x → x f ( x) − a tro ng g ( x) f ( x) = a g ( x0 ) = Cách giải.Thực phép nhân biểu thức liên hợp f ( x) + a ta có f ( x) − a f ( x) − a ( x − x0 ) f1 ( x) f1 ( x) lim = lim = lim = lim x → x0 x →1 ( g ( x) f ( x) + a) g ( x ) x→x0 ( f ( x) + a)( x − x0 ) g1 ( x) x→1 ( f ( x) + a) g1 ( x) Chú ý Việc tìm giới hạn vô định xlim →x f1 ( x) − f ( x) g1 ( x) − g ( x) xlim → x0 f ( x) − a ; lim g ( x) − b x→ x0 f1 ( x) − f ( x) g ( x) hoàn toàn tương tự x +8 −3 = x →2 x + x − x −1 1 lim = lim = x →2 ( x + + 3)( x − 1)( x + 3) x →2 ( x + + 3)( x + 3) 24 ví dụ : lim x + x −1 −1 lim x2 − x →1 ví dụ : = lim( x →1 = lim x →1 x −1 x − 1.( x + 1) + x −1+ x −1 x2 − = lim( x →1 x −1 x2 − + x −1 ) = lim( + x →1 x +1 x + 1.( x + 1) x −1 x2 − ) 1 )= x +1 Bài tập tự luyện Tìm giới hạn : x −1 x + − 2x Tính a) lim b) lim x →1 x →2 x + + x3 − 3x x −1 − − x x − + x − 3x3 + c) lim x →2 2x − x −1 x2 + − Tính a) lim b) lim x →1 x →2 x −1 x−2 HD :Khử dạng :Bằng cách nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp 2 Đ S: a) b) 3 NX: Câu b) áp dụng cách giải ví dụ phương pháp đổi biến): Đặt x = t Dạng3 Dạng hàm phân thức chứa thức bậc ba Tìm lim x → x f ( x) − a g ( x) f ( x) = a g ( x0 ) = 10 Cách giải.Thực phép nhân biểu thức liên hợp f ( x) + a f ( x) + a ta lim x → x0 = lim x → x0 = lim x →1 f ( x) − a f ( x) − a = lim x →1 g ( x) ( f ( x) + a f ( x) + a ) g ( x) ( x − x0 ) f1 ( x) ( f ( x) + a f ( x) + a )( x − x0 ) g1 ( x) f1 ( x) ( f ( x) + a f ( x) + a ) g1 ( x) = f1 ( x0 ) 3a g1 ( x0 ) f12 ( x0 ) + g12 ( x0 ) ≠ 0 Chú ý Việc tìm giới hạn vô định lim x → x0 lim x → x0 f ( x) + a lim x → x0 g ( x) 3 f ( x) ± a ; g ( x) ± b f ( x) − f ( x) f ( x) ± f ( x) f1 ( x) ± f ( x) 2 lim ; xlim ; → x0 x → x0 g ( x ) − g ( x ) g1 ( x) − g ( x) g ( x) hoàn toàn tương tự ví dụ 4x − 4x − lim = lim = lim = x →2 x →2 x −1 ( x ) + x + ( x − ) ( (4 x)2 + x + ví dụ x + x2 + x + lim x →−1 x +1 Hướng dẫn Phân tích x + x2 + x + x + x2 + x = + x +1 x +1 x +1 Bài tập tự luyện Tìm giới hạn : 2x − − x x − + x − 3x + Tính a) lim b) lim x →2 x →1 x −1 x − + x2 − x + Dạng4 Dạng hàm phân thức chứa thức bậc cao Dạng thường gặp.Tìm lim x →0 n + ax − x Cách giải.Thực phép nhân chia cho biểu thức liên hợp Đặt n lim x →0 n t n −1 , x → t → a a (t − 1) a a = = lim x →0 n −1 n −2 n t −1 t + t + + n + ax = t ⇒ t n = + ax ⇒ x= + ax − = lim x →0 x 11 Ví dụ: Tìm lim x →0 + 5x − x t5 −1 , x → t → 5 5(t − 1) + 5x − = = lim x →0 = lim x →0 t −1 t + t + t + t+1 x Lời giải Đặt + x = t ⇒ t = + 5x ⇒ x= Vì lim x →0 Bài tập tự luyện Tìm giới hạn : 4 2x + − 4x − −1 Tính a) lim b) lim x →0 x →1 x x −1 − x −1 c) lim x →1 x −1 Dạng4 Dạng hàm phân thức chứa không bậc Cách giải.Thêm bớt số hạng thích hợp, tách thành hai giới hạn dạng vô định 1− x − − x x →0 x Ví dụ :Tính a) L= lim 2( − x − 1) − ( − x − 2) x →0 x 11 KQ: − 12 HD: Sử dụng phương pháp thêm bớt :Viết L= lim 1− x −1 − x − = 2.lim( − ) x →0 x x Đặt vấn đề :Ta có thể gặp bậc cao + 5x − + 6x Ví dụ :Tính L= lim x →0 x 1 + 5x − + x − HD: Viết L = lim( KQ: − ) x →0 20 x x Chú ý: - Để liên hợp bậc cao cần nắm đẳng thức: a n − b n = (a − b)(a n−1 + a n−2b + + ab n−2 + b n−1 ) -Để tránh việc liên hợp cồng kềnh ta đặt + x = u; + x = v tính giới hạn -Tổng quát ta chứng minh bổ đề : 12 lim x →0 n + ax − a = (*) x n (Bài toán bản) áp dụng bổ đề ta L = − = 20 -Đề xuất bài toán tổng quát : Tính L= lim x →0 n + ax − m + bx có kết quả: x a b − n m ( x + 1998) − x − 1998 x →0 x ( x + 1998) − x − L= lim [ + x ] (Thêm bớt x + 1998) x →0 x Ví dụ 7:Tính HD:Viết L= lim Kết quả: L= −1998 (1 + x)(1 + x)(1 + x)(1 + x) − x →0 x HD:Sử dụng phương pháp thêm bớt đẩy kéo: Ví dụ 8:Tính Viết L= lim x→0 L= lim (1 + x)(1 + x)(1 + 3x) − (1 + x)(1 + x) + (1 + x)(1 + x) − (1 + x) + (1 + x) − x (1 + x)(1 + x)(1 + x − 1) − (1 + x)(1 + x − 1) + (1 + x − 1) x →0 x = lim = lim [ (1 + x)(1 + x).3 + (1 + x).2 + 1] = + + = x →0 Tổng quát: lim x →0 ( + x ) ( + x ) ( + 3x ) ( + nx ) − = n ( n + 1) Ví dụ 9: Tính L = lim x →0 x + 3x − x − x HD: Sử dụng phương pháp thêm bớt đẩy kéo −4 = KQ:L= + + ax m + bx − a b Tổng quát: lim = + x →0 x n m n 13 1+ x 1+ Ví dụ 10:Tính x4 x 1+ − 1− x lim L= x→0 + x − − x − 1+ x HD:Tử số = 1+ x 1+ x4 x x x x x x x 1+ − 1+ 1+ + 1+ 1+ − 1+ + 1+ −1− 1− x +1 3 3 = x4 x x x x + ( + x − 1) + + ( + − 1) + ( + − 1) − ( − x − 1) 3 TS 1 −1 → lim = + + − ( ) =1 x →0 x 12 x x x x Mẫu số = + − − − + x = 3( + − 1) − 2( − − 1) − ( + x − 1) 8 MS −1 → lim = − 2.( ) − = x →0 x 24 25 TS lim 24 x →0 x → A= = MS lim x →0 x 1+ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tính giới hạn sau: − x − x2 + 1) lim HD:Thêm bớt x →1 x2 − x3 − 3x − 2) lim ĐS: x →1 x −1 3 x + − x + 20 x + − x + x + − − 2x 3) lim 4) 5) lim lim x →7 x →2 x →0 x+9 −2 x − 3x + x2 + x + 4x − + 6x 2x − − x − 6) lim 7) lim x →0 x →0 x2 x −1 ( x + 2004) − x − 2004 ( x + 2001) − x − 2001 5) lim 5) lim x →0 x →0 x x ( ( x + 1)( x − 2)( x + 4) − x) HD:Đặt x = 4) xlim →+∞ dùng pp thêm bớt,đẩy kéo y 14 Tổng quát:1) lim ( n ( x + a1 )( x + a2 ) ( x + an ) − x) = x →+∞ a1 + a2 + + an n 2) lim  n ( x + a1 )( x + a2 ) ( x + an ) − m ( x + b1 )( x + b2 ) ( x + bm )  x →+∞  a + a + + an b1 + b2 + + bm = − n m (Thêm bớt x đưa dạng TQ 1)) ( x3 + 3x − x − x ) 5) xlim →+∞ HD :Đặt x = sử dụng phương pháp thêm bớt y x3 + x + x + − x + 27 x + 27 x →0 x3 x3 + ( x + 3)2 − x − ( x + 3)3 HD:Viết A= lim x →0 x3 6)A= lim (x+3))  x3 + ( x + 3) − ( x + 3) ( x + 3) − x3 − ( x + 3)3  +   (Thêm bớt = lim 3 x →0 x x   37 = 27 27 m f ( x ) − n g ( x) Tổng quát :A= lim có dạng vô định ta viết A= x →a ( x − a)  m f ( x ) + h m ( x ) − h( x ) n f ( x ) + h n ( x ) − h( x )   (thêm bớt h(x)) lim  − x →a ( x − a) ( x − a)   Kết quả:A= + Gặp giới hạn các hàm số lượng giác ta thường biến đổi và giản ước tử sin X = để số và mẫu số cho nhân tử nắn dạng có chứa lim X →0 X khử dạng vô định − cosx sin( x − 1) Ví dụ 10:Tính a) L= lim b) L= lim x →0 x →1 x − x + sinx − cosax − cos x c) L= lim d) L= lim x →0 x →0 − cos x x2 15 2sin HD:a)Viết L= lim x →0 x = lim tan x =0 x x x →0 2sin cos 2 −1  sin( x − 1)  ( )=− b) Viết L= lim =1   x →1 2  x −1 x − 3 c) Viết L= lim x→0 − cos x = llim x →0 − cos x x   sin  = lim  x →0 x      sin x − cos x = lim x →0 x x 2sin (1 + cos x ) 2sin (1 + cos x ) 2     x   = 12.12.0 =  sin x  + x   d)Kết lim x →0 Ví dụ 11:Tính − cosax a = x2 (Bài toán bản) − x + + sinx x →0 3x + -2-x L= lim HD:Viết L= −2 x sinx −2 sinx − x + sinx + + + x x x x = lim + x + 1x lim x→0 = lim + x + x → x → 3x + − (2 + x) −(1 + x) 3x + -(2+x)  3x + +(2+x) x  x x  3x + +(2+x) x    −1 + =0 = − cos x − cos x Ví dụ 12:Tính L= lim x →0 sin x HD:Cách 1(Thêm,bớt ;liên hợp để khử căn): cos x − + − cos x cos x − 1 − cos x Viết L= lim = lim( + ) x →0 x →0 − cos x sin x − cos x 16 cos x − 1 − cos x Tính lim( ) lim( ) cách liên hợp ta kết L= x →0 − cos x x →0 − cos x −1 12 Cách 2:Phươ ng pháp đặt ẩn phụ Đặt y= y = cos x → cos x = y 3và cos x = y ; x → y → suy y3 − y y ( y − 1) −1 = lim = = L= lim y →1 − y12 y →1 − y12 12 + ax − a = (*) cách viết : x →0 x n 2 4 cos x − cos x − sin x − − sin x − −1 + = −1 lim L= x→0 = lim( − )= x →0 12 sin x sin x sin x Cách : Áp dụng bổ đề lim n NX :Ta có thể chứng minh bài toán tổng quát : cos ax − n cos bx b2 a2 L= lim = ( + ) ;với m,n ∈ N ; m, n ≥ c ≠ x →0 sin cx 2c n m m − cosxcos2 x cos3 x x →0 x2 HD: Cách 1:Biến đổi tích thành tổng: 1 1 − (cos4x+cos2 x)cos x − cos4xcos2 x − cos 2 x 2 L = lim = lim 2 x →0 x → x x 1 1 − cos6x- cos2 x − + sin 2 x − cos6 x − cos x sin 2 x 4 2 = lim = lim( + + ) x →0 x →0 x2 x2 x2 2x2 Áp dụng kết ví dụ 1d) ta kết L=7 Ví dụ 13:Tính a) L= lim Cách 2:Dùng phương pháp thêm bớt đẩy kéo: (1 − cos x) + cos x(1 − cos2 x) + cos x cos x(1 − cos3 x) L = lim x →0 x2 − cos x − cos x − cos3 x 12 2 32 = lim + lim + lim = + + =7 x →0 x →0 x →0 x2 x2 x2 2 Tổng quát : L= − cosxcos2 x cos3 x cos nx 12 + 22 + 32 + n n( n + 1)(2n + 1) lim x→0 = = x2 12 17 BÀI TẬP: 1)Tính − cosxcos2 x cos3 x x →0 − cos x L= lim HD: -Chia tử mẫu cho x áp dụng cách -Ngoài ta có thể áp dụng phương pháp đổi biến cách: Đặt cosx=t ,khi x → t → 1 − t (2t − 1)(4t − 3t ) − 8t + 10t − 3t L = lim = lim t →1 t →1 1− t 1− t (t − 1)( −8t − 8t + 2t + 2t − t − 1) = lim = 14 t →1 1− t 2) Tính 3) Tính − 2x2 + HD:Chia tử mẫu cho x ĐS:-2 x →0 − cos x cos x − sin x − L= lim ĐS:-4 x →0 x2 L= lim Giới hạn dạng e : Gặp giới hạn có dạng f ( x ) g ( x) ta thường nắn dạng có chứa lim (1 + X →∞ X ) = e X X lim(1 + X ) = e (gọi là giới hạn dạng e) để tính X →0 Ví dụ 14: Tính: L = lim( x →∞ x + 2 x +1 ) x +1 x +1 x +1 x +1 lim x →∞ x +1 HD:Viết L = lim (1 + ) x +1  =e = e2  x →∞  x +1   Ví dụ 15: ( x + a ) x + a ( x + b) x +b Tính: L = lim x →∞ ( x + a + b ) x + a + b x + b x+b   x + a x+a L = lim ( ) ( )  x →∞ HD:Viết : x+a+b  x+a+b  18 x+a  x+a  lim  ÷ x →∞ x + a + b   = Xét L1= x+a  x+a+b lim  ÷ x →∞  x+a  x +b  x+b  Tương tự L2= lim  ÷ x →∞ x + a + b   = ea = x+a   b      ÷   lim 1 + x →∞  x+a ÷  ÷   b     Do L=L1.L2= a +b e Ở lớp 12 ta gặp hai giới hạn đặc biệt : b = eb ln(1 + X ) eX −1 =1 = và lim X →0 X →0 X X lim e ax − ebx Ví dụ 16: Tính A= lim với a,b ≠ ( Dạng ) x →0 x ax bx  e −1 e −1  a − b ÷ = 1.a − 1.b = a − b Bài giải: Ta có: A= lim  x →0 bx  ax  Ví dụ 17 : Tính B= lim x→π (sin x) tan x ( Dạng 1∞ ) Bài giải : π nên sinx f Ta có : ln B = ln lim π (sin x) tan x = lim Do x → x→ Đặt x= π x→ ln(sin x) tan x = lim x→ π tan x.ln(sin x) π − y π   π  ln B = lim tan  − y ÷.ln sin  − y ÷ = lim [ cot any.ln(cos y ) ] y →0 2   2   y →0 = lim cos y y →0 ln [ + (cos y − 1) ] (cos y − 1) sin y cos y − y ln [ + (cos y − 1) ] (cos y − 1) (cos y − 1) = 1.1.1.lim y →0 y →0 sin y cos y − y y y sin (sin y ) = −1.0 = = − lim y →0 y 2 Vậy lnB=0 suy B=e0=1 = lim cos y 19 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 3x − cos x 1)Tính C= lim x →0 x2 2) Tính D= lim(cos x) x2 x →0 HD: 2 3x − + − cos x 3x − 1 − cos x 1) C= lim x→0 = lim x→0 + lim x→0 2 x x x2 3x − x2 x2 Xét C1= lim x→0 Đặt − = y ⇒ = y + ⇒ x = log ( y + 1) x y y = lim y→0 ln = 1.ln C1= lim y →0 log ( y + 1) ln( y + 1) TQ: Để tính giới hạn dạng lim X →0 − cos x = x →0 x2 aX −1 Ta đặt aX-1=y X C2= lim Suy C=C1+C2=ln3+ 2) Ta có: Suy D= e ln cos x ln(1 + cos x − 1) cos x − 1 = lim = 1.( − ) = − 2 x →0 x →0 x cos x − x 2 lnD=lim lim − = e e −2 x − + x 3) Tính E= lim x →0 ln(1 + x ) e −2 x − + x − − x x2 HD:Viết E= lim x →0 (1 + x ) ln x2 KQ : E= áp dụng dạng giới hạn quen thuộc −7 III KẾT LUẬN: Chuyên đề giới hạn triển khai dạy cho học sinh khối 11 12 hầu hết em nắm cách có hệ thống dạng tập giới hạn dãy số hàm số phương pháp giải Nhiều em giải tốt tập giới hạn đề thi tuyển sinh thi chọn học sinh giỏi số năm gần Nội dung chuyên đề áp dụng giảng dạy cho nhiều đối tượng học sinh hệ thống ví dụ tập từ đến nâng cao; dùng làm tài liệu tham khảo để giáo viên đề kiểm tra, đề thi tùy theo yêu cầu đối tượng học sinh khác Người viết chuyên đề mong quan tâm đóng góp ý kiến thày cô giáo môn em học sinh nội dung chuyên đề hoàn thiện Hi vọng nội dung chuyên đề có ích bạn đồng nghiệp em học sinh Nguyễn Trung Ngạn, ngày tháng năm 2014 Người viết: Vũ Sỹ Dũng [...]... áp dụng các dạng giới hạn quen thuộc ở −7 3 III KẾT LUẬN: Chuyên đề giới hạn đã được triển khai dạy cho học sinh khối 11 và 12 hầu hết em nắm được một cách có hệ thống các dạng bài tập về giới hạn của dãy số và hàm số cùng các phương pháp giải Nhiều em đã giải tốt các bài tập về giới hạn trong các đề thi tuyển sinh và thi chọn học sinh giỏi trong một số năm gần đây Nội dung của chuyên đề có thể áp dụng... thống các ví dụ và bài tập đi từ cơ bản đến nâng cao; có thể dùng làm tài liệu 2 0 tham khảo để giáo viên ra đề kiểm tra, đề thi tùy theo yêu cầu đối với các đối tượng học sinh khác nhau Người viết chuyên đề rất mong được sự quan tâm đóng góp ý kiến của các thày cô giáo trong cùng bộ môn và của các em học sinh để cho nội dung của chuyên đề được hoàn thiện hơn Hi vọng nội dung của chuyên đề sẽ có ích đối... t5 −1 , và khi x → 0 thì t → 1 5 5 5(t − 1) 5 1 + 5x − 1 = 5 = lim x →0 5 = lim x →0 4 3 2 t −1 t + t + t + t+1 x Lời giải Đặt 5 1 + 5 x = t ⇒ t 5 = 1 + 5x ⇒ x= Vì vậy lim x →0 Bài tập tự luyện Tìm các giới hạn : 4 4 2x + 1 − 1 4x − 3 −1 Tính a) lim b) lim x →0 x →1 x x −1 7 2 − x −1 c) lim x →1 x −1 0 Dạng4 Dạng của hàm phân thức chứa căn không cùng bậc 0 Cách giải.Thêm và bớt một số hạng thích... Tính 3) Tính 1 − 2x2 + 1 HD:Chia cả tử và mẫu cho x 2 ĐS:-2 x →0 1 − cos x cos 4 x − sin 4 x − 1 L= lim ĐS:-4 x →0 x2 L= lim Giới hạn dạng e : Gặp giới hạn có dạng f ( x ) g ( x) ta thường nắn về dạng có chứa lim (1 + X →∞ 1 X ) = e hoặc X 1 X lim(1 + X ) = e (gọi là giới hạn dạng e) để tính X →0 Ví dụ 14: Tính: L = lim( x →∞ x + 2 2 x +1 ) x +1 2 x +1 2 x +1 x +1 lim x →∞ x +1 HD:Viết L = lim... ( x − a)  m f ( x ) + h m ( x ) − h( x ) n f ( x ) + h n ( x ) − h( x )   (thêm bớt h(x)) lim  1 − 1 x →a ( x − a) ( x − a)   Kết quả:A= + Gặp giới hạn của các hàm số lượng giác ta thường biến đổi và giản ước cả tử sin X = 1 để số và mẫu số cho cùng một nhân tử hoặc nắn về dạng có chứa lim X →0 X khử dạng vô định 1 − cosx sin( x − 1) Ví dụ 10:Tính a) L= lim b) L= lim 2 x →0 x →1 x − 4... n−1 + a n−2b + + ab n−2 + b n−1 ) 4 -Để tránh việc liên hợp cồng kềnh ta có thể đặt 4 1 + 5 x = u; 5 1 + 6 x = v rồi mới tính giới hạn -Tổng quát hơn ta chứng minh bổ đề : 12 lim x →0 n 1 + ax − 1 a = (*) x n (Bài toán cơ bản) rồi áp dụng bổ đề ta được L = 5 6 1 − = 4 5 20 -Đề xuất bài toán tổng quát : Tính L= lim x →0 n 1 + ax − m 1 + bx có kết quả: x a b − n m ( x 2 + 1998) 7 1 − 2 x − 1998... x2 + x = + x +1 x +1 x +1 Bài tập tự luyện Tìm các giới hạn : 3 2x − 1 − 3 x 2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 Tính a) lim b) lim 3 x →2 x →1 x −1 x − 2 + x2 − x + 1 0 Dạng4 Dạng của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao 0 Dạng thường gặp.Tìm lim x →0 n 1 + ax − 1 x Cách giải.Thực hiện phép nhân và chia cho biểu thức liên hợp Đặt n lim x →0 n t n −1 , và khi x → 0 thì t → 1 a a (t − 1) a a = = lim x →0 n... x) + a 3 f ( x) + a 2 ) g1 ( x) = f1 ( x0 ) 3a 2 g1 ( x0 ) f12 ( x0 ) + g12 ( x0 ) ≠ 0 0 Chú ý Việc tìm các giới hạn vô định của lim x → x0 0 lim 3 x → x0 3 f ( x) + a lim x → x0 g ( x) 3 3 f ( x) ± a ; g ( x) ± b 3 f ( x) − 3 f ( x) 3 f ( x) ± 3 f ( x) f1 ( x) ± 3 f 2 ( x) 1 2 2 lim 1 ; xlim ; và → x0 x → x0 3 g ( x ) − 3 g ( x ) g1 ( x) − g 2 ( x) g ( x) 1 2 hoàn toàn tương tự ví dụ 1 3 4x − 2 4x −... ra B=e0=1 = lim cos y 19 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: 2 3x − cos x 1)Tính C= lim x →0 x2 1 2) Tính D= lim(cos x) x2 x →0 HD: 2 2 3x − 1 + 1 − cos x 3x − 1 1 − cos x 1) C= lim x→0 = lim x→0 + lim x→0 2 2 x x x2 2 3x − 1 x2 x2 Xét C1= lim x→0 Đặt 3 − 1 = y ⇒ 3 = y + 1 ⇒ x 2 = log 3 ( y + 1) 2 x y y = lim y→0 ln 3 = 1.ln 3 C1= lim y →0 log 3 ( y + 1) ln( y + 1) TQ: Để tính giới hạn dạng lim X →0 1 − cos x 1 = x... 2 1 + − 2 3 1 − − 4 1 + x = 3( 1 + − 1) − 2( 3 1 − − 1) − ( 4 1 + x − 1) 2 4 8 4 8 MS 1 −1 1 5 → lim = 3 − 2.( ) − = x →0 x 8 24 4 25 TS lim 24 x →0 x → A= = MS 5 lim x →0 x 3 1+ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Tính các giới hạn sau: 5 − x − 3 x2 + 7 1) lim HD:Thêm bớt 2 x →1 x2 − 1 3 x3 − 3x − 2 2) lim ĐS: x →1 2 x −1 3 2 3 2 x + 2 − 3 x + 20 x + 1 − x + 7 x + 1 − 4 1 − 2x 3) lim 4) 5) lim lim 4 x →7 x →2 x →0