Chuyên đề Giới hạn liên tục và đạo hàm

2 2 0 ln(cos ) lim (?) ln(cos ) x ax a T bx b → = = lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN SỞ GD & ĐT KHÁNH HÒA TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN Tr ầ n Công Diêu Phan Công Tuân Du Quản Trị Viên Diễn Đàn MS www.forum.mathscope.org Năm học 2008 - 2009  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 1 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN BÀI VI Ế T NÀY DÀNH T Ặ NG TRẦN LÊ PHƯƠNG TRANG 11A1 KHTN THPT TÔ VĂN ƠN CÔ BÉ ĐÁNG YÊU VÀ DỄ THƯƠNG NHẤT!  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 2 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số  Kiến thức cơ bản cần nắm ( không nắm out lun, hehe )  Giới hạn 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → , trong đó ( ); ( )f x g x cùng dần tới 0 khi x dần tới 0 x được gọi là giới hạn dạng 0 0 . Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay! @ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau. Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, bình thường thôi!  Khái niệm giới hạn dãy số: ( ) 1 2 ( ) , , , ; n n a a a a= có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng n a đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu lim n n a a →∞ = Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân cận của đồng bằng sông hồng … ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này  Khái niệm giới hạn hàm số được xây dựng dựa trên khái niệm trên: x a→ thì ( ) ( )f x f a→ hay lim ( ) ( ) x a f x f a → =  Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:  0 sinx lim 1 x x → = ; 0 1 lim 1 x x e x → − =  0 ln(1 ) lim 1 x x x → + = ; 1 0 0 1 lim 1 lim(1 ) x x x x x e x → →   + = + =  ÷    2 2 0 0 sin 1 cos lim 1;lim , , 0 ax 2 x x ax ax a a R a x → → − = = ∈ ≠ ( * )( cái này có được vì sao? ) @ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn  Thí dụ 1. Tìm giới hạn 3 0 2 1 8 lim x x x T x → + − − = ( ĐHQGHN 1997 ) Lời giải. ( bạn đang cười vì : ‘ tôi làm nó quá nhiều ‘ ) Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau 3 0 0 2( 1 1) (2 8 ) lim lim x x x x T x x → → + − − − = + tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 3 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN Đặt 3 1 ; 8u x v x= + = − thì 2 3 1; 8 ; , 2x u x v u v= − = − → . Như vậy chúng ta có thể viết: ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 3 lim lim lim lim 1 8 1 4 2 3 12 4 u v u v u v T u v u v v → → → → − − = + = + = + = − − + + + (cách giải này có cái hay là chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn). Ưu điểm hơn qua bài toán sau:  Thí dụ 2. Tìm giới hạn 5 4 1 2 1 2 lim 1 x x x T x → − + − = − ( ĐHSPHN 1999 ) ĐS: 7 10 T = , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen! Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ). Bạn xem bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: ( ) ( ) lim n m x a f x g x T x a → − = − số bạn cần tìm là: ( ) ( ) n m f a g a= nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khó hơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không.  Thí dụ 3. Tìm giới hạn 2 0 1 cos cos2 lim x x x T x → − = Lời giải. Biến đổi và sử dụng công thức ( * ) 2 2 2 2 0 0 0 1 cos 1 os2 1 cos 1 os2 lim( cos . ) lim limcos . x x x x c x x c x T x x x x x x → → → − − − − = + = + 2 2 1 2 5 2 2 2 = + = Tổng quát: 2 2 2 2 0 1 cos 2 cos 1 2 lim 2 x xco x nx n x → − + + + =  Thí dụ 4. Tìm giới hạn cos os3 2 0 os2 lim x c x x e c x T x − → − = Lời giải. Biến đổi như sau cos os3 2 2 0 1 1 os2 lim( ) x c x x e c x T x x − → − − = + bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đầu nhé! Vậy 1 2 T T T= + với cos os3 cos os3 1 2 cos os3 2 0 0 1 1 cos os3 lim lim . x c x x c x x c x x x e e x c x T x x − − − → →   − − − = =  ÷   cos os3 cos os3 2 2 0 1 1 os3 1 cos lim x c x x c x x e c x x x x − − → − − −   = −  ÷   o ( ) cos os3 cos os3 0 0 1 1 lim lim 1; cos os3 x c x t x c x x t e e t x c x t − − → → − − = = = −  Thí dụ 5. Tính giới hạn 0 ln(sinx cos ) lim x x T x → + = Lời giải. Biến đổi 2 0 0 ln(sinx cos ) ln(1 sin 2 ) sin 2 lim lim( . ) 2 sin 2 2 x x x x x T x x x → → + + = = ( nhớ học công thức nhan các anh em )  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 4 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN o 0 0 ln(1 sin 2 ) ln(1 ) lim lim ; sin 2 sin 2 x t x t t x x t → → + + = = o 0 0 sin 2 sin lim lim ; 2 2 x u x t u x x t → → = = Vậy 1.1 1T = = ( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví như ko được viết 0 sin 2 lim 0 2 x x x → = )  Thí dụ 6. Tìm giới hạn 3 lim 1 x x x T x →+∞ +   =  ÷ +   Lời giải. Thực hiện phép biến đổi 3 2 lim lim 1 1 1 x x x x x T x x →+∞ →+∞ +     = = +  ÷  ÷ + +     Đặt 2 1 1x t = + , ta có 2 1;x t x t= − → +∞ ⇔ → +∞ vì vậy 2 2 1 1 2 1 1 1 lim 1 lim 1 1 t t t t T e t t t − − →+∞ →+∞         = + = + + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷          Thí dụ 7. Tìm giới hạn ( ) 3 3 2 2 lim 3 1 x T x x x x →+∞ = + − − + Lời giải. Thực hiện phép biến đổi đơn giản ( ) 3 3 2 2 lim ( 3 ) ( 1 ) x T x x x x x x →+∞ = + − − − + − (cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó mang đẳng cấp cao hơn rùi) o ( ) ( ) 2 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 3 lim 3 lim 3 3 x x x D x x x x x x x x x →+∞ →+∞ = + − = + + + + 2 3 3 3 lim 1 3 3 1 1 1 x x x →+∞ = =   + + + +  ÷   o 2 2 1 lim ( 1 ) lim 1 x x x Du x x x x x x →+∞ →+∞ − + = − + − = − + + 2 1 1 1 lim 2 1 1 1 1 x x x x →+∞ − + − = = − + = Vậy 3 2 T D Du= − =  Thí dụ 8. Tìm giới hạn T= 0 sin(sinx) lim x x → ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 5 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN Lời giải. 0 0 sin(sinx) sinx sin(sinx) lim lim . 1 sinx x x x x → → = =  Thí dụ 9. Tìm giới hạn ( ) 2 0 1 cos lim 1 1 x x T x → − = − − Lời giải. Ta thực hiện biến đổi sau ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2sin (1 1 ) 2sin (1 1 ) 2 2 lim lim 1 1 1 1 x x x x x x T x x x → → + − + − = = − − + − 2 2 2 0 2sin (1 1 ) 2 lim 1 4 2 x x x x → + − = =    ÷   ( bạn trình bày chỗ này rõ ra nhé! )  Thí dụ 10. Tính giới hạn sau 2 0 1 os 2 lim sin x c x T x x → − = ( ĐN 1997 ) Lời giải. 2 2 2 0 0 2 0 1 os 2 sin 2 sin 2 4 lim lim lim . 4 sinx sin sin 2 x x x c x x x T x x x x x x → → → −   = = = =  ÷      ÷   Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó!  Thí dụ 11. Tìm giới hạn sau 0 1 lim . os x T x c x → = ( ĐH Giao Thông 1997 ) Lời giải. Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen ) Tóm tắt pp: Giả sử ta có : o ( ) ( ) ( );u x f x v x x D≤ ≤ ∀ ∈ ( tập xác định của ba hàm số này ) o lim ( ) lim ( ) ; x a x a u x v x Dieu a D → → = = ∈ Thì lim ( ) ; x a f x Dieu a D → = ∈ ( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đi đêm đã khuya rồi … măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 ) Tiếp nè: ( ) 1 1 1 cos os cos 1x x c x x x x x x x = ≤ ⇒ − ≤ ≤ ( ) ( ) 0 0 0 1 lim lim cos lim 0 x x x x x x x → → →   ⇒ − ≤ ≤ =  ÷   0 1 lim cos 0 x x x →   ⇒ =  ÷    Thí dụ 12. Tìm giới hạn sau 0 1 1 sin 3 lim 1 cos x x T x → − + = − ( ĐHQG HN 1997 ) Lời giải. Biến đổi như sau  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 6 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 0 0 1 1 sin 3 1 1 sin 3 lim lim 1 cos 1 cos x x x x T x x → → − + − − = = − − ( vì 1 sin 3 0x+ ≥ ) 3 2 2 2 0 0 0 4sin 3sin sinx 4sin 3 1 os lim lim lim 4sin 3 1 co s 1 os 1 cos x x x x x x c x x a x c x → → → − − − = = = − − − − 2 0 lim 1 cos 4sin 3 3 2 x x x → = + − =  Thí dụ 13. Tính giới hạn sau sinx lim sinx x x T x →∞ − = + ( ĐHGT 1998 ) Lời giải. Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào sinx sinx 1 1 sinx 1 sinx ; 0 lim 0 x x x x x x x x x →∞ − = ≤ ⇒ < < ∀ ≠ ⇒ = ( các bạn nên thuộc giới hạn này nhé ) Vì vậy sinx sinx 1 1 sinx lim lim lim 1 sinx sinx sinx 1 1 x x x x x x x T x x x x →∞ →∞ →∞   − −  ÷ −   = = = = +   + +  ÷    Thí dụ 14. Tính giới hạn sau 3 2 0 2 1 1 lim sinx x x x T → + − + = ( ĐHQG HN 2000 ) Lời giải. Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không? 3 2 0 ( 2 1 1) ( 1 1) lim sinx x x x T → + − − + − = 3 2 0 0 ( 2 1 1) ( 1 1) lim lim sinx sinx x x x x → → + − + − = − A B= + o ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 1 2 1 1 1 2 lim lim . 1 sinx 2 1 1 sinx 2 1 1 x x x x A x x x → → + − + + = = = + + + + o ( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 2 2 2 3 0 0 3 32 2 2 2 2 2 3 3 1 1 ( 1) 1 1 1 lim lim 0 sinx ( 1) 1 1 sinx ( 1) 1 1 x x x x x x B x x x x x → →   + − + + + +  ÷ = = =  ÷ + + + + + + + +  ÷   o Vậy 1T = . Bạn đang nghĩ “ ôi sao mà biến đổi khéo léo quá vậy trời, liệu tui có làm được như vậy không? Huhu “. Tôi xin nói khẽ với bạn: “ thật đơn giản, chỉ cần bạn luyện tập tốt ( ko cần làm nhiều ), nhưng bạn phải thật sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạn cơ bản  Thí dụ 15. Tính giới hạn 2 2 0 3 cos lim x x x T x → − = ( ĐHSP HN 2000 )  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 7 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN Lời giải. vẫn với câu nói: “ không thử sao biết “ – trừ khi bạn có công lực hàng khủng nhìn thấy ngay, hehe! 2 2 ln3 2 2 0 0 3 cos ( 1) (1 cos ) lim lim x x x x x e x T x x → → − − + − = = ( hehe khá khéo léo nhá ) ( ) 2 2 ln3 2 2 0 0 2sin 1 1 2 lim .ln 3 lim ln 3 .ln 3 2 4 2 x x x x e x x → → − = + = +    ÷   ( chỗ này tôi viết tắt nhé, các bạn phải thông qua một bước tam gọi là đổi cận của giới hạn như đã trình bày ở cái thí dụ trước ) @ wow wow đói bụng quá ăn cơm cái đã, mới đánh ba tiếng mà được nhiêu đây cũng kha khá rồi, hè hè chúng ta chuẩn bị sử dụng vũ khí nguyên tử để tiêu diệt vương quốc giới hạn nha! ( 11h55 am, 29 – 3 – 2009 ). Nhưng thôi chúng ta cùng tiếp tục với những ví dụ khác đã!  Thí dụ 16. Tính giới hạn sau 2 0 1 cos cos 2 cos3 lim x x x x T x → − = Lời giải. Bạn hãy nhìn lại thí dụ 3 xem sao, tôi khẳng định chúng có mối quan hệ với nhau, hehe, còn quan hệ như thế nào bạn tự suy nghĩ nhé! Đs: 7 2 T = ( nếu bí quá bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua tinhbantoan@yahoo.com ) @ Tiếp tục với những bài có ý tưởng thêm bớt nhé! ( khè khè )  Thí dụ 17. ( Một bài toán cực kì quan trọng ) Tính giới hạn sau 0 1 ax 1 lim n x T x → + − = với n nguyên dương Lời giải. Thực hiện phép đổi biến đê: Đặt 1 ax n y = + Khi ấy 0x → thì 1y → vì thế em có : ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 lim lim 1 1 1 n n n y y y y T a a y y y y y − − → → − − = = − − + + + + 1 2 1 1 lim 1 n n y a a y y y n − − → = = + + + + Làm một vài ứng dụng của nó nha! ( Bạn hãy tổng quát kết quả trên với đa thực bậc n: 1 0 ( ) n n p n a x a x a= + + + nhá, có nghĩa là lúc này x được thay bằng p(n) )  Thí dụ 18. Tính giới hạn sau 3 4 0 1 2 1 3 1 4 1 lim x x x x T x → + + + − = Lời giải. Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên tưởng đến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài toán này có chứa tích của tới ba dấu căn khác bậc. Ta sử dụng biến đổi sau đây  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 8 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN 3 4 1 2 1 3 1 4 1x x x+ + + − = 3 1 2 1 2 1 2 1 3x x x x+ − + + + + 3 3 4 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1x x x x x− + + + + + + − Từ đây là ngon ăn quá rồi nha! 3 4 3 0 0 0 1 2 1 1 3 1 1 4 1 lim lim 1 2 lim 1 2 1 3 x x x x x x T x x x x x x → → →   + − + − + − = + + + + +  ÷  ÷   3 4 0 0 0 1 2 1 1 3 1 1 4 1 lim lim lim x x x x x x T x x x → → →   + − + − + − = + +  ÷  ÷   2 3 4 2 3 4 = + + @ Hoàn toàn bạn có thể tạo ra những bài toán như ý muốn của bạn từ những ý tưởng cơ bản, thế mới biết toán học là muôn màu muôn vẻ!  Thí dụ 19. Tính giới hạn sau 4 lim tan 2 .tan( ) 4 x T x x π π → = − ( ĐHSPHN 2000 ) Lời giải. nhẩm nhẩm ta thấy nếu mà thế 4 x π = vào thì T không xác định. Để cho gọn ta đặt 4 a x π = − 2 0 0 0 0 os2 sin os2 1 lim tan 2 .t ana limcot 2 .tan lim lim 4 sin 2 cos 2cos 2 a a a a c a a c a T a a a a a a π → → → →   ⇒ = − = = = =  ÷   Phần 2. Các bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số  Hàm số liên tục tại điểm 0 x x= khi và chỉ khi ( ) 0 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x f x + − → → = =  Đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 x x= là giới hạn hữu hạn ( nếu có ) của 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − , kí hiệu là 0 '( )f x . Chú ý đạo hàm tồn tại khi 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x + − → → − − = − − ( bạn hãy hiểu thật rõ về đạo hàm nhé ) Định lí: Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm tại 0 x thì liên tục tại điểm đó. ( điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng ) @ Sau đây chúng ta cùng giải một số bài toán về : “ tính liên tục và đạo hàm “. Các dạng này chỉ nhằm kiểm tra một tiết, thi học kì dành cho khối 11 hoặc dành cho kì thi tốt nghiêp thời tiền sử (he), nhưng ( tôi đang nhấn mạnh ) nếu người ra đề muốn thì họ có thể biến chuyển thành những bài toán hay, khá khó, thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi. Giải phần này để ta hiểu hơn về lí thuyết từ đó có thể ứng dụng tính liên tục để giải phương trình, cái này mới quan trọng vì thi đại học thường có!  Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm 1x = :  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 9 lim x→∞ CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC – ĐẠO HÀM  TRẦN CÔNG DIÊU ♥ THPT TÔ VĂN ƠN PHAN CÔNG TUẤN DU LỚP 12A1 – KHTN ( ) ( ) 3 2 2 1 ( ) ; 1 1 1 ; 1 2 x x y f x x x m x  − + −  = = ≠ −   =  Lời giải. Trước hết cần hiểu liên tục tại một điểm là như thế nào đã, cái này chúng tôi đã trình bày trong phần lí thuyết tóm tắt của phần này!  Hàm số liên tục tại điểm 0 x x= khi và chỉ khi ( ) 0 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x f x f x f x + − → → → = = = Bài toán chúng ta đang xét ứng với 0 1x = , bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang cần xét là hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi 1x → đồng nghĩa với x chưa bằng 1 hay 1x ≠ . Với nhận xét này chúng ta bắt đầu giải như sau: Xét giới hạn 3 3 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 4 lim ( ) lim lim 1 1 1 3 x x x x x x x f x x x x → → →   − + − − + − − = = + =  ÷  ÷ − − −   (?) với những gì bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ còn là trò trẻ con! Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đúng, hãy đọc lại đề một lần nữa thật kĩ. Người ta yêu cầu “ tìm m “ để hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số này liên tục tại điểm x=1, điều này tương đương với 1 lim ( ) (1) x f x f → = 4 3 m⇔ = . Hãy nhớ đây là bài toán tìm m và đề cho hàm số của chúng ta đã liên tục tại điểm x=1 rồi. Bài toán này khác với bài toán xét tính liên tục của một hàm số!  Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm 3 x π = t anx 3cot 3 ( ) ; 3 ; 3 x x y f x x m x π π π −    − = = ≠   =   Lời giải. Như vậy các bạn chỉ cần trình bày như sau Xét giới hạn 3 3 t anx 3cot lim ( ) lim 3 x x x f x a x π π π → → − = = − ( một kết quả nào đó – các bạn tự tìm ha ) Vì hàm số liên tục tại 3 x π = nên : 3 lim ( ) ( ) 3 x f x f π π → = a m⇔ = ( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới đọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đến lí thuyết hay lém ) @ Hehe, bạn đang tự tin, ui dễ ợt mà có gì không hiểu, ừ nếu như từ những bài giới hạn ban đầu mà chúng tôi đề cập đến bạn có thể tạo ra được những bài liên tục như thế này, thì chắc chắn bạn đã hiểu rồi đấy! Nào chúng ta cùng qua một số bài tính đạo hàm mà phải dùng đến định nghĩa mới mong có solution đẹp!  Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com ……………………… THÁNG 4. 2009 ……………………………  mùa thi 2009  Trang 10 [...]... cho hàm số y = f(x) thoả mãn thêm điều kiện f(b) = f(a) thì có f / (c) = 0 Ta có định lý sau đây có tên gọi là : Định lý Roll k = Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm f / (x) trên (a; b) và có f(a) = f(b) thì tồn tại điểm xo (a , b) sao cho f (xo) = 0 Nh vậy định lý Roll là một trờng hợp riêng của định lý Lagrăng Tuy nhiên có thể chứng minh định lý Roll trực tiếp nh sau: Hàm số f(x) liên. .. là nghiệm bất kỳ của phơng trình (2) Xét hàm số : f(x) = ( x + 1) x , với x > 0, chỳ ý X ny l X ln nhen! Hàm số f(x) xác định và liên tục trên ( 0; + ) và có đạo hàm : 1 f (x) = ( x + 1) - x 1 x x = [ ( x + 1) x ] Từ (2) có f(5) = f(3) Vậy tồn tại c ( 3; 5) sao cho f(c) = 0, hay là : [ (c + 1) 1 c 1 ] = o =o, =1 Thử lại thấy x1 = 0; x2 = 1 đều thoả mãn phơng trình (2) Vậy phơng trình... c là các số thực tuỳ ý thoả mãn hệ thức : CMR phơng trình : a c b + + = 0 (1) n + 2 n +1 n a x 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm trong ( 0; 1) Giải : Xét hàm số: ax n + 2 bx n +1 cx n f(x) = + + n + 2 n +1 n Hàm số f (x) liên tục và có đạo hàm tại x R Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com THNG 4 2009 mựa thi 2009 Trang 15 lim CHUYấN GII HN LIấN TC O HM TRN CễNG DIấU x THPT Tễ VN N PHAN CễNG... toán giải tích lớp 12 có định lý Lagrăng nh sau : ( rt tic chng trỡnh mi nh lớ ny ó c gim ti ) nh lớ : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a; b) thì tồn tại một điểm c (a; b) sao cho: f ( b) f (a ) f / (c) = ba ý nghĩa hình học của định lý nh sau: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x), với toạ độ của điểm A(a; f(a)) , B(b; f(b)) Hệ số góc của cát tuyến AB là: Y1M: tinhbantoan123@yahoo.com... đợc chứng minh ý nghĩa hình học của định lý Roll : Trên cung AB của đồ thị hàm số y = f(x), với A(a; f(a)) , B(b; f(b)) và f(a) = f(b), tồn tại điểm C ( c; f(c) ) mà tiếp tuyến tại C song song với Ox Nhận xét : Từ định lý Roll có thể rút ra một số hệ quả quan trọng nh sau : Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a; b] và có đạo hàm tại x (a; b) Hệ quả 1 : Nều phơng trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt... định lý Roll trực tiếp nh sau: Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] nên đạt các giá trị max, min trên đoạn [a; b] gọi m = min f(x) , M = max f(x) x [ a, b] x [ a, b] Nếu m = M thì f(x) = C là hằng số nên xo (a , b) đều có f(xo ) = 0 Nếu m < M thì ít nhất một trong hai giá trị max, min của hàm số f(x) đạt đợc tại điểm nào đó xo (a; b) Vậy xo phải là điểm tới hạn của f(x) trên khoảng (a; b) f (xo ) = 0 . hàm số chưa biết có liên tục hay không mà tính đạo hàm trời ‘. Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm. bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số  Hàm số liên tục tại điểm 0 x x= khi và chỉ khi ( ) 0 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x f x + − → → = =  Đạo hàm của hàm số ( )y f x= . f x f x x x x x + − → → − − = − − ( bạn hãy hiểu thật rõ về đạo hàm nhé ) Định lí: Nếu hàm số ( )f x có đạo hàm tại 0 x thì liên tục tại điểm đó. ( điều ngược lại không phải lúc nào cũng