Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi đề cập nhiều!. Tôi xin nói khẽ vớ
Trang 12 2 0
x
T
SỞ GD & ĐT KHÁNH HÒA TRƯỜNG THPT TÔ VĂN ƠN
Trần Công Diêu
Phan Công Tuân Du
Quản Trị Viên Diễn Đàn MS
www.forum.mathscope.org
Năm học 2008 - 2009
Trang 2BÀI VIẾT NÀY DÀNH TẶNG
TRẦN LÊ PHƯƠNG TRANG
11A1 KHTN THPT TÔ VĂN ƠN
CÔ BÉ ĐÁNG YÊU VÀ DỄ THƯƠNG NHẤT!
Trang 3Phần 1 Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số
Kiến thức cơ bản cần nắm ( không nắm out lun, hehe )
Giới hạn
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
, trong đó ( ); ( )f x g x cùng dần tới 0 khi x dần tới x0 được gọi là giới hạn dạng 0
0 Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay!
@ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi
đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, bình thường thôi!
Khái niệm giới hạn dãy số: ( )a n a a1, , , ; 2 a n có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ
số nào đó, mọi số hạng a n đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận hoặc chỉ có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy Kí hiệu limn a n a
Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân cận của đồng bằng sông hồng … ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này
Khái niệm giới hạn hàm số được xây dựng dựa trên khái niệm trên: x a thì ( )f x f a( ) hay lim ( )x a f x f a( )
Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:
0
sinx
0
1
x
x
e x
0
ln(1 )
x
x x
1
x
x
x
2 2
a R a x
@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn
0
lim
x
T
x
Lời giải ( bạn đang cười vì : ‘ tôi làm nó quá nhiều ‘ )
Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau
3
T
tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ) Bạn chú ý nhá:
Đặt u 1x v; 38 x thì x u 21;x 8 v u v3; , 2 Như vậy chúng ta có thể viết:
T
chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi ‘cận’ của giới hạn) Ưu điểm hơn qua bài toán sau:
Trang 4 Thí dụ 2. Tìm giới hạn 4 5
1
lim
1
x
T
x
10
T , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen!
Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số ‘2’ ấy ) Bạn xem bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: limn ( ) m ( )
x a
T
x a
số bạn cần tìm là:
n f a m g a nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đối mặt với một bài toán khó hơn! Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không
0
1 cos cos 2 lim
x
T
x
Lời giải Biến đổi và sử dụng công thức ( * )
0
1 cos 2 cos 1 2
lim
2
x
x
Thí dụ 4 Tìm giới hạn
cos os3
2 0
os2 lim
x c x
x
T
x
Lời giải Biến đổi như sau
cos os3
0
1 1 os2
x c x
x
T
Vậy T T T 1 2 với
x c x
T
cos os3
0
1 1 os3 1 cos lim
x c x
x c x x
cos os3
cos os3
x c x
t
Thí dụ 5 Tính giới hạn
0
ln(sinx cos ) lim
x
x T
x
ln(sinx cos ) ln(1 sin 2 ) sin 2
T
các anh em )
o
ln(1 sin 2 ) ln(1 )
sin 2
o
2
Vậy T 1.1 1 ( chú ý phải trình bày cẩn thận các phép đổi cận thì giang hồ mới chấp nhận ví như ko được viết
0
sin 2
2
x
x x
Trang 5 Thí dụ 6 Tìm giới hạn lim 3
1
x
x
x T
x
Lời giải Thực hiện phép biến đổi lim 3 lim 1 2
x T
Đặt 2 1
1
x t , ta có x2 1;t x t vì vậy
2
2
Thí dụ 7 Tìm giới hạn lim3 3 3 2 2 1
x
Lời giải Thực hiện phép biến đổi đơn giản
x
(cái này gợi cho ta sự thêm bớt đúng hem, nhưng nó mang đẳng cấp cao hơn rùi)
2
3
3
3
x
2
3
x
1
x
2
1
lim
2
x
x
2
T D Du
Thí dụ 8 Tìm giới hạn T=
0
sin(sinx) lim
x x ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp Lời giải
sin(sinx) sinx sin(sinx)
sinx
Thí dụ 9 Tìm giới hạn
0
1 cos lim
x
x T
x
Lời giải Ta thực hiện biến đổi sau
Trang 6
T
x
2 0
2
4 2
x
x
x x
( bạn trình bày chỗ này rõ ra nhé! )
Thí dụ 10 Tính giới hạn sau
2
0
1 os 2 lim
sin
x
T
Lời giải
2
sinx
T
x
Chỉ là những phép biến đổi khéo léo ở bạn đó!
Thí dụ 11 Tìm giới hạn sau
0
1 lim os
x
x
( ĐH Giao Thông 1997 ) Lời giải Bài này phải dùng pp đánh giá nói đúng hơn là nguyên lí kẹp của vaiơstrat ( hic sách giáo khoa 11 cho nhỏ bên cạnh nhà mượn rùi, ghi nhầm có gì bà con bỏ qua nhen )
Tóm tắt pp: Giả sử ta có :
o u x( )f x( )v x( ); x D ( tập xác định của ba hàm số này )
o lim ( ) lim ( )x a u x x a v x Dieu a D;
Thì lim ( )x af x Dieu a D;
( ui khuya quá rồi, nhớ cô bé đáng yêu ghê, ngày mai viết tiếp, bé ơi ngủ đi đêm đã khuya rồi … măm măm, tối thứ bảy, 29-3-2009 )
Tiếp nè: xcos1 x cos1 x x xcos1 x 1
x
0
1
x
Thí dụ 12 Tìm giới hạn sau
0
1 1 sin 3 lim
1 cos
x
x T
x
( ĐHQG HN 1997 ) Lời giải Biến đổi như sau
1 1 sin 3 1 1 sin 3
T
2
1 co s
x
a x
2 0
lim 1 cos 4sin 3 3 2
Thí dụ 13 Tính giới hạn sau lim sinx
sinx
x
x T
x
( ĐHGT 1998 )
Trang 7Lời giải Tiếp tục ý tưởng với nguyên lí kẹp của vaiơstrat, bắt đầu nào
sinx
x
x
nhé )
Vì vậy
sinx
sinx sinx
x
T
x x
0
lim
sinx
x
T
Lời giải Các bạn nhớ lại ý tưởng thêm bớt nhé, chúng ta thử mới biết là có giải được hay không?
3 2
0
lim
sinx
x
T
3 2
sinx
A
x
o
sinx
B
x
Bạn đang nghĩ “ ôi sao mà biến đổi khéo léo quá vậy trời, liệu tui có làm được như vậy không? Huhu “ Tôi xin nói khẽ với bạn: “ thật đơn giản, chỉ cần bạn luyện tập tốt ( ko cần làm
nhiều ), nhưng bạn phải thật sự hiểu ý nghĩa và hình thức của các giới hạn cơ bản
Thí dụ 15 Tính giới hạn
2 2 0
lim
x
x
x T
x
Lời giải vẫn với câu nói: “ không thử sao biết “ – trừ khi bạn có công lực hàng khủng nhìn thấy ngay, hehe!
T
2 2
2sin
2
4 2
x
x e
( chỗ này tôi viết tắt nhé, các bạn phải thông qua một bước tam gọi là đổi cận của giới hạn như đã trình bày ở cái thí dụ trước )
Trang 8@ wow wow đói bụng quá ăn cơm cái đã, mới đánh ba tiếng mà được nhiêu đây cũng kha khá rồi, hè hè chúng ta chuẩn bị sử dụng vũ khí nguyên tử để tiêu diệt vương quốc giới hạn nha! ( 11h55 am, 29 – 3 – 2009 ).
Nhưng thôi chúng ta cùng tiếp tục với những ví dụ khác đã!
0
1 cos cos 2 cos3 lim
x
T
x
Lời giải Bạn hãy nhìn lại thí dụ 3 xem sao, tôi khẳng định chúng có mối quan hệ với nhau, hehe, còn quan hệ như thế nào bạn tự suy nghĩ nhé!
Đs: 7
2
T ( nếu bí quá bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua tinhbantoan@yahoo.com )
@ Tiếp tục với những bài có ý tưởng thêm bớt nhé! ( khè khè )
Thí dụ 17 ( Một bài toán cực kì quan trọng )
Tính giới hạn sau
0
1 ax 1 lim
n
x
T
x
Lời giải Thực hiện phép đổi biến đê:
Đặt y n1 ax Khi ấy x 0 thì y 1 vì thế em có :
1 lim
y
a a
Làm một vài ứng dụng của nó nha! ( Bạn hãy tổng quát kết quả trên với đa thực bậc n:
( ) n
n
p n a x a x a nhá, có nghĩa là lúc này x được thay bằng p(n) )
0
lim
x
T
x
Lời giải Trước hết bài toán này khá hay và khó, với những căn thức như vậy chúng ta sẽ liên tưởng đến kết quả mà chúng ta đã có trong thí dụ 17, vậy phải làm sao khi mà bài toán này có chứa tích của tới ba dấu căn khác bậc
Ta sử dụng biến đổi sau đây
1 2 x 1 3 x 1 4 x1= 1 2 x 1 2 x 1 2 x31 3 x
1 2x 1 3x 1 2x 1 3x 1 4x 1
Từ đây là ngon ăn quá rồi nha!
3
T
2 3 4
2 3 4
Trang 9@ Hoàn toàn bạn có thể tạo ra những bài toán như ý muốn của bạn từ những ý tưởng cơ bản, thế mới biết toán học là muôn màu muôn vẻ!
Thí dụ 19 Tính giới hạn sau
4
lim tan 2 tan( )
4
x
Lời giải nhẩm nhẩm ta thấy nếu mà thế
4
x vào thì T không xác định Để cho gọn ta đặt 4
Phần 2 Các bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số
Hàm số liên tục tại điểm x x 0 khi và chỉ khi
0
lim ( ) lim ( )
Đạo hàm của hàm số yf x( ) tại điểm x x 0 là giới hạn hữu hạn ( nếu có ) của
0
0 0
( ) ( ) lim
x x
f x f x
x x
, kí hiệu là f x'( )0 Chú ý đạo hàm tồn tại khi
đạo hàm nhé )
Định lí: Nếu hàm số ( ) f x có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại điểm đó ( điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng )
@ Sau đây chúng ta cùng giải một số bài toán về : “ tính liên tục và đạo hàm “ Các dạng này chỉ nhằm kiểm tra một tiết, thi học kì dành cho khối 11 hoặc dành cho kì thi tốt nghiêp thời tiền
sử (he), nhưng ( tôi đang nhấn mạnh ) nếu người ra đề muốn thì họ có thể biến chuyển thành những bài toán hay, khá khó, thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi Giải phần này để ta hiểu hơn về lí thuyết từ đó có thể ứng dụng tính liên tục để giải phương trình, cái này mới quan trọng vì thi đại học thường có!
; 1 2
m x
Lời giải Trước hết cần hiểu liên tục tại một điểm là như thế nào đã, cái này chúng tôi đã trình bày trong phần lí thuyết tóm tắt của phần này!
Hàm số liên tục tại điểm x x 0 khi và chỉ khi
0
0 lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x
Trang 10Bài toán chúng ta đang xét ứng với x 0 1, bạn cũng nên biết rằng hàm số của chúng ta đang cần xét là hàm hai quy tắc, một điều rất quan trọng nữa là khi x 1 đồng nghĩa với x chưa bằng 1 hay x 1 Với nhận xét này chúng ta bắt đầu giải như sau:
Xét giới hạn
f x
bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ còn là trò trẻ con!
Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đúng, hãy đọc lại đề một lần nữa thật kĩ Người ta yêu cầu “ tìm m “ để hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số này liên tục tại điểm x=1, điều này tương đương với
1
lim ( ) (1)
3
m
Hãy nhớ đây là bài toán tìm m và đề cho hàm số của chúng ta đã liên tục tại điểm x=1 rồi Bài toán này khác với bài toán xét tính liên tục của một hàm số!
Thí dụ 21 Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm
3
x
t anx 3cot 3
3
; 3
x x
m x
Lời giải Như vậy các bạn chỉ cần trình bày như sau
Xét giới hạn
t anx 3cot lim ( ) lim
3
x
x
( một kết quả nào đó – các bạn tự tìm ha )
Vì hàm số liên tục tại
3
x nên :
3
lim ( ) ( )
3
x
a m ( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới đọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đến lí thuyết hay lém )
@ Hehe, bạn đang tự tin, ui dễ ợt mà có gì không hiểu, ừ nếu như từ những bài giới hạn ban đầu
mà chúng tôi đề cập đến bạn có thể tạo ra được những bài liên tục như thế này, thì chắc chắn bạn
đã hiểu rồi đấy! Nào chúng ta cùng qua một số bài tính đạo hàm mà phải dùng đến định nghĩa mới mong có solution đẹp!
Thí dụ 22 Tính đạo hàm hàm số sau tại điểm x 0
t anx sinx 2
1
0; 0
e
x
Lời giải Bạn có thật sự hiểu mình cần làm gì không?
Trang 11Xét giới hạn
t anx sinx t anx sinx
T
cận giới hạn nha, khuya quá rồi đang làm biến, thông cảm, các bạn làm cho ra kết quả như trên nghen )
Vậy '(0) 1
2
@ Liệu có ai trong các bạn đặt ra câu hỏi này : ‘ ủa sao hàm số chưa biết có liên tục hay không
mà tính đạo hàm trời ‘ Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm tại điểm đó ( làm ơn nhớ dùm ).
Thí dụ 23 Tính đạo các hàm số sau
sin ; 0
x
f x
x
tại điểm x=0
b
( ) 1 cos
x
x x
tại điểm x=0
Lời giải a
0
f x f
Vì sao giới hạn này bằng không chúng ta hãy dùng nguyên lí kẹp nhá, xem lại ví dụ 11
b thí dụ này các bạn làm tương tự
@ Các bạn có đặt ra câu hỏi là vì sao chúng tôi lại đặt phần này sau phần giới hạn không, uhm,
vì khi thành thạo giới hạn rồi việc tính các giới hạn hệ quả như trên mới dễ dàng được Chúc các bạn may mắn, đi ngủ đây ( 30-31/3/2009), hôm nay khuya quá rồi, ngày mới lại đến!
Thí dụ 24 Tìm a, b để hàm số :
2
( )
bx
f x
Lời giải Giả sử ( )f x có đạo hàm tại x thì ( )0 0 f x liên tục tại x 0 0
lim ( ) lim ( ) (0)
lim (ax 1) lim ( ) bx
‘ 0 ’ thì hàm số theo quy tắc (1) và x dần tới phía phải ‘ 0’ thì hàm số theo quy tắc (2), ai mong lun về khái niệm hàm số thì nên ôn lại nhen )
1 a a
1 a thay vào hàm số ban đầu ta được ( ) 2 1 ; 0
1; 0
bx
f x
Điều kiện cần và đủ để ( )f x có đạo hàm tại x 0 0( xem lại phần lí thuyết ) :
2
1 1
bx
x bx
bạn tính ra nghen ) 1
2
b
Trang 12Vậy 1; 1
2
a b
@ Hãy nhớ lúc này các bạn đã có công lực kha khá về giới hạn rồi nhe, nên việc tính ở trên xin
dành cho các bạn Như vậy để giải bài toán dạng này ta căn cứ vào 2 điều kiện: thứ nhất có đạo hàm thì phải liên tục, điều kiện thứ hai là điều kiện tồn tại của đạo hàm ( xin nhắc lại rằng bạn cần phải hiểu lí thuyết một cách thật cặn kẽ )
Thí dụ 25 Tìm a, b để hàm số
a)
2
2
( )
f x
có đạo hàm tại x 0 1
b) ( ) ;2 1
x x
f x
ax b x
có đạo hàm tại x 0 1 Gợi ý Với hai bài toán này cách giải hoàn toàn tương tự, toán học đòi hỏi chúng ta phải suy nghĩ thật nhiều, tôi hi vọng các bạn chỉ qua một ít bài tập mà sẽ tiếp thu được dạng toán này! Sau đây xin nêu lên đáp số cho các bạn kiểm tra giúp
a a3;b3
a b
@ Sao chúng ta không tự tạo ra những bài toán có hệ số là năm sinh của mình hay là của người
yêu người thân của mình nhĩ? Chúc các bạn may mắn và thật hài lòng với những bài toán mình tạo ra!
Thí dụ 26 Chứng minh rằng hàm số
1
x y x
liên tục tại x 0 0 nhưng không có đạo hàm tại x 0 1
Lời giải Trước tiên chúng ta chứng minh hàm số này liên tục tại x 0 0
0 0
1
x x
x
x
Vậy limf ( )x0x f 0 nên đại ca này liên tục tại x 0 0
Bây giờ chúng ta chứng minh hàm số này không có đạo hàm tại x 0 0
0
x
x
x
Vậy rõ ràng hàm số này không có đạo hàm tại x 0 0
Trang 13Thớ dụ 27 Cho hàm số
( ) 0; 0
f x
x
Tỡm đạo hàm của hàm số tại x 0 (HSG Tỉnh Bảng A Nghệ An 2008 – 2009 )
f
2
sin '(0) lim
x
f
2
x
f
Nhận xột về bài toỏn này: tuy là đề thi hsg nhưng rất mềm, khụng quỏ khú khăn!
Thớ dụ 28 Cho hàm số
( ) 0; 0
x
tớnh đạo hàm của hàm số tại x 0 ( Huế
2003 – 2004 )
Lời giải Cũng khụng khú khăn gỡ
0
f x f
Phần 3 Ứng dụng định lớ lagrange trong việc giải phương trỡnh
( Dành cho cỏc bạn học cỏc lớp bồi dưỡng )
1.Trong chơng trình toán giải tích lớp 12 có định lý Lagrăng nh sau : ( rất tiếc chương
trỡnh mới định lớ này đó được giảm tải )
một điểm c (a; b) sao cho:
f/(c) =
a b
) a ( f ) b ( f
của điểm A(a; f(a)) , B(b; f(b))
Hệ số góc của cát tuyến AB là:
k =
a b
) a ( f ) b ( f
Đẳng thức : f/(c) =
a b
) a ( f ) b ( f
nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm C(c; f(c)) của cung AB bằng hệ số góc của đ ờng thẳng AB Vậy nếu các điều kiện của định lý Lagrăng đợc thoả mãn thì tồn tại một điểm C của cung AB, sao cho tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến AB.
Trang 14Ta có định lý sau đây có tên gọi là : Định lý Roll.
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm f/ (x) trên (a; b) và có
f(a) = f(b) thì tồn tại điểm xo ( a , b )sao cho f’ (xo) = 0
Nh vậy định lý Roll là một trờng hợp riêng của định lý Lagrăng Tuy nhiên có thể chứng minh
định lý Roll trực tiếp nh sau:
Hàm số f(x) liên tục trên [a; b] nên đạt các giá trị max, min trên đoạn [a; b]
gọi m = min f(x) , M = max f(x)
x [a,b] x [a,b]
Nếu m = M thì f(x) = C là hằng số nên xo ( a , b ) đều có f’(xo ) = 0
Nếu m < M thì ít nhất một trong hai giá trị max, min của hàm số f(x) đạt đợc tại điểm nào đó
xo (a; b).
Vậy xo phải là điểm tới hạn của f(x) trên khoảng (a; b) f’ (xo ) = 0.
Định lý đợc chứng minh
ý nghĩa hình học của định lý Roll : Trên cung AB của đồ thị hàm số
y = f(x), với A(a; f(a)) , B(b; f(b)) và f(a) = f(b), tồn tại điểm C ( c; f(c) ) mà tiếp tuyến tại C song song với Ox.
Nhận xét : Từ định lý Roll có thể rút ra một số hệ quả quan trọng nh sau :
Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a; b] và có đạo hàm tại x ( a ; b ).
Hệ quả 1 : Nều phơng trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì:
phơng trình f’ (x) = 0 có ít nhất n – 1 nghiệm phân biệt
phơng trình f( k )(x) = 0 có ít nhất n – k nghiệm phân biệt, với k = 2, 3, 4 …
Hệ quả 2 : Nếu phơng trình f(x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì phơng
trình : f(x) + f’ (x) = 0 có ít nhất n-1 nghiệm phân biệt , với R
mà 0.
Thớ dụ 29. Chứng minh rằng với mọi số thực , ,a b c thỡ phương trỡnh
cos3 cos 2 cos sinx 0
a x b x c x (1) luụn cú nghiệm trong khoảng 0; 2
Lời giải Lần đầu tiờn tụi gặp bài toỏn này vào năm lớp 10, thật sự lời giải làm cho tụi thớch nhất của bài toỏn này là dựng định lớ lagrange
Xột hàm số f x( ) 3 a sin 3 1 x 2 1bsin 2x csinx cosx
xỏc định và liờn tục trờn [0; 2 ] , cú đạo hàm tại mọi điểm thuộc 0; 2 Ngoài ra
f f Theo định lớ lagrange, tồn tại d0; 2 sao cho
2 0 1 ( 1)
acos 3d b cos 2d c cosdsind 0 điều này cú nghĩa d là một nghiệm của phương trỡnh (1) suy ra đpcm ( chỳ ý bài toỏn này cũn cú cỏch giải khỏc )
Thớ dụ 30. Giải phương trỡnh cos cos
1 cos 2 4 x 3.4 x
x