Chuyên đề giới hạn dãy số

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TOÁN 11 1D4-1 ĐT:0946798489 GIỚI HẠN DÃY SỐ TRUY CẬP https://diendangiaovientoan.vn/tai-lieu-tham-khao-d8.html ĐỂ ĐƯỢC NHIỀU HƠN Contents PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu Dạng 1.4 Phân thức chứa căn DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 11 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 13 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 13 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO 16 DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT 16 DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC 17 Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu 17 Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu 20 Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu 25 Dạng 1.4 Phân thức chứa căn 26 DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC 26 DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA 31 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG 33 DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 34   PHẦN A. CÂU HỎI  DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT  Câu Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?.  A Nếu  lim un    và  limv n  a   thì  lim  un      u  B Nếu  lim un  a   và  limv n    thì  lim  n       Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 u C Nếu  lim un  a   và  limv n   thì  lim  n         u D Nếu  lim un  a   và  limv n   và    với mọi  n  thì  lim  n  Câu Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vơ hạn tuần hồn  P  2,13131313 ,  A P  Câu        212   99 B P  213   100 C P  211   100 D P  211   99 Khẳng định nào sau đây là đúng? A Ta nói dãy số   un   có giới hạn là số  a  (hay  un  dần tới  a ) khi  n   , nếu  lim  un  a   n  B Ta nói dãy số   un   có giới hạn là  khi  n  dần tới vơ cực, nếu  un  có thể lớn hơn một số dương  tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi C Ta nói dãy số   un   có giới hạn    khi  n    nếu  un  có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể  từ một số hạng nào đó trở đi D Ta nói dãy số   un   có giới hạn    khi  n    nếu  un  có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể  từ một số hạng nào đó trở đi.  Câu Cho các dãy số   un  ,    và  lim un  a, lim    thì  lim A 1.  Câu B   un  bằng  C    D    Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng?  (I)  lim n k    với  k  nguyên dương.  (II)  lim q n    nếu  q    (III)  lim q n    nếu  q  B A Câu Câu C  với mọi  n   *  Khi đó  n3 A lim un  khơng tồn tại.  B lim un    C lim un    D   Cho dãy số   un   thỏa  un   D lim un     (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN 1 - 2018) Phát biểu nào sau đây là sai? A lim un  c  ( un  c là hằng số ).  C lim    n D lim B lim q n   q  1     k  1   nk DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC  Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu    Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu n 1 n3  C L   (THPT Chun Thái Bình - lần 3 - 2019) Tính  L  lim A L  Câu ĐT:0946798489 B L   (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018)  lim A   B   A B    Câu 11  (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018)  lim A   5n    Câu 10  (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018)  lim C        D    bằng 2n  B   B   D  bằng 2n  C .  Câu 12  (THPT QUỐC GIA 2018 - MàĐỀ 102)  lim A D L  C    D  bằng 5n  C .    D    Câu 13  (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Tìm  I  lim A   B    n  2n    3n3  2n  D   C   2n   bằng:  n6  5n5 3 C .  Câu 14  (HỒNG LĨNH - HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)  lim A   B   2018 n  bằng  Câu 15 A    B   D 3   lim D    C   2n  ?   n  n2 D L    Câu 16  (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Tính giới hạn  L  lim A L     B L  2   C L    Câu 17  (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng  ?   2n n2  n  2n  2n u  A un    B u    C .  D u    n n n 5n  3n2 5n  3n 5n  3n 5n  3n Câu 18  (THPT PHAN CHU TRINH - ĐẮC LẮC - 2018) Tính  I  lim A I     B I    C I     Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 2n    2n  3n  D I    CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Câu 19 Tìm  lim un  biết  un  A   ĐT:0946798489 1      1 1 n 1 B .  C   D    1 1     Câu 20  (THPT XN HỊA - VP - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn  lim      1.2 2.3 3.4 n n      A   B   C   D .  Câu 21  (THPT  CHUYÊN  LƯƠNG  VĂN  1 1  L  lim          n  1 1 A L  B L   Câu 22 Với  n   là  số  nguyên  dương,  đặt  Sn  CHÁNH  -  PHÚ  YÊN  -  2018)  Tìm  D L  C L  1      Khi  đó  2 3 n n    n  1 n lim Sn  bằng  A   1 B   1 C   D   22 cos n  sin n   n2  D  Câu 23  (THPT NGUYỄN TẤT THÀNH - YÊN BÁI - 2018) Tính giá trị của  lim A   B   Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu  C    Câu 24  (THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Giá trị của  lim A   B   C 1   D   Câu 25  (THPT THUẬN THÀNH - BẮC NINH - 2018) Kết quả của  lim A   B    C 2   Câu 26  (THPT YÊN LẠC - LẦN 4 - 2018) Tìm giới hạn  I  lim A I     B I    2n  bằng  n 1 n2  bằng:  3n  D   3n    n3 C I    D k     Câu 27  (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN 2 - 2018) Giới hạn  lim A   B   C   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong  2n  bằng?  3n  D    CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 2n  2017   3n  2018 2017 C I    2018 Câu 28  (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Tính giới hạn  I  lim A I    B I    lim Câu 29  (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019)  19 A .  B .  18 18 D I     19n 18n  19  bằng  C    D   19 Câu 30  (THPT Thạch Thành-Thanh Hóa-năm 2017-2018) Dãy số nào sau đây có giới hạn khác  ?  n 1 sin n A .  B .  C .  D .  n n n n  n2 Câu 31  (CHUYÊN HÀ TĨNH - LẦN 1 - 2018)  lim  bằng 2n  1 A   B .  C .  Câu 32  (SGD THANH HĨA - LẦN 1 - 2018) Tính giới hạn  lim A B D    4n  2018   2n  C D 2018 8n5  2n3  Câu 33  (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Tìm  lim 4n  n  A   B   C   D   Câu 34  (CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN 1 - 2018) Tính  lim B   A   Câu 35  (THPT LÊ XOAY - LẦN 3 - 2018)  lim A   11 B   C 2n   được kết quả là  1 n   D 1.  2n  n   bằng  4n  2n  C    D   2n  Câu 36  (Thi thử SGD Cần Thơ mã 121 – 2019) Giá trị của  lim  bằng  2n A  B C 1 D n2  n A  lim 12n   bằng Câu 37 Giá trị  A B 12 lim Câu 38 Tính  C D 24 5n  2n    Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A 1.  ĐT:0946798489 B    C   D     D   D   n  4n  lim 3n  n2   bằng  Câu 39 A   B   C n  3n3 Câu 40 Tính giới hạn  lim   2n  5n  A .  B   Câu 41 Giới hạn của dãy số   un   với  un  A 2   B Câu 42 Tính giới hạn  I  lim A I   10   3 C    2n  , n  *  là:  3 n   C   10n   ta được kết quả:  3n  15 10 B I    C I    10 2n  n   bằng  Câu 43 A   D    D I     lim lim Câu 44 B   C 2   B   C B  C D    3n2  n   bằng:  A   lim Câu 45 Tính    D    8n  3n   5n  n A Câu 46 Cho hai dãy số   un   và     có  un  A B Câu 48 Giá trị của  B  lim 4n  3n   3n  1 u ;    Tính  lim n   n 1 n3 C 8n5  2n3  lim 2n  4n5  2019  bằng  Câu 47 Giới hạn  A 2   B   D    C  D    D    bằng: Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A   ĐT:0946798489 B   D   C   Câu 49  (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ LẠT - 2018) Tính  L  lim A   2018 C    B 3   n3  n    2018  3n3 D    Câu 50  (Thi thử chuyên Hùng Vương Gia Lai lần -2019) Gọi S là tập hợp các tham số nguyên  a  thỏa   3n    a  4a    Tổng các phần tử của  S  bằng mãn  lim   n2  A B C D Câu 51  (Chuyên Lào Cai Lần 3 2017-2018) Cho  a    sao cho giới hạn  lim Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?  A  a    B  a    Câu 52  3n  1  n  Dãy số   un   với  un   4n   A 192   B 68   C 1  a    an  a n   n  1  a2  a  D  a     có giới hạn bằng phân số tối giản  C 32   a  Tính  a.b   b D 128 2n3  n    với  a  là tham số. Khi đó  a  a  bằng  an  2 A 12   B 2   C   Câu 53 Biết  lim Câu 54 Cho dãy số   un   với  un  D 6     n  Mệnh đề nào sau đây đúng?  n2  A lim un      C Dãy số   un   khơng có giới hạn khi  n     B lim un  D lim un    Câu 55  (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Giới hạn  lim trị bằng?  A .  lim Câu 56 A B   C   12  22  32  42   n  có giá  n3  2n  D       2n  3n   bằng    B   C   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong D  CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 57 ĐT:0946798489 n 1 Lim       n   bằng  n n n B   A C Câu 58 Cho dãy số   un   xác định bởi:  un  B    A 0`.  D   2n     với  n   *  Giá trị của  lim un  bằng: n n n C    D 1  n   Câu 59  (THPT HAI BÀ TRƯNG - HUẾ - 2018) Tìm  lim        n  n n 1 A    B .  C .  D   n Câu 60  (THPT  Yên  Lạc-Vĩnh  Phúc-lần    1   lim 1  1   1          n   A B 1-năm  C 2017-2018)  D Tính  giới  hạn:  Câu 61  (CHUYÊN  TRẦN  PHÚ  -  HẢI  PHÒNG  -  LẦN  1  -  2018)  Cho  dãy  số   un    với  un  A 1     Tính  lim un   1.3 3.5 2n 1.2n 1   B   2019 lim   3n   n  1 L  lim 2   B L    Câu 66 Giới hạn  D C L    D L     C   D    2  3n  2n3   3n  B    lim C 81 n3  2n 3n2  n    Câu 65 Tính giới hạn của dãy số  un  A D 2019    là:  B  A L     C 2   A  Câu 64 Tính giới hạn  D 2018 Câu 62 Tính  lim(2n  3n  4) ?  A    B    Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu    Câu 63 C       4n  3 2n   bằng  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A 1.  ĐT:0946798489 B    C   D   Dạng 1.4 Phân thức chứa căn    4n   n   bằng 2n  Câu 67  (THPT HÀ HUY TẬP - LẦN 2 - 2018)  lim   A B 2.  C 1.  Câu 68  (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Cho  I  lim B I  A I  D    4n   n 4n  n  C I  1    Khi đó giá trị của  I  là:  D I    Câu 69  (CỤM  5  TRƯỜNG  CHUYÊN  -  ĐBSH  -  LẦN  1  -  2018)  Tính  giới  hạn 4x2  x   x2  x  x  3x  2 A    B .  3 lim Câu 70 Tìm  lim un  biết  un  A   C n      2n  1 2n  B        C 1.  Câu 71  (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN 1 - 2018) Tính  lim A   B   D  C   D    12  22  33   n   2n  n   6n   D    DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC    lim Câu 72  n  3n   n A 3   bằng C B  D  Câu 73 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng  1?  3n 1  2n 3n  n A lim B .  lim  3n 4n  2n  C lim n  2n  n  D lim    2n  Câu 74 Giới hạn   lim n  n4  n3   bằng  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A   ĐT:0946798489 B      C D     Câu 75 Tính giới hạn  lim n  n  4n   B   A   C   Câu 76 Có bao nhiêu giá trị nguyên của  a  để  lim   n  4n   a  n  ?  B 1.  A   D   C   D Câu 77  (LÊ Q ĐƠN - HẢI PHỊNG - LẦN 1 - 2018) Tính  I  lim  n  A I   B I  C I  1, 499 Câu 78  (LÊ Q ĐƠN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính  lim n L  lim Câu 79 Tính giới hạn   L  lim Câu 80 Tính giới hạn   Câu 81 Tính giới hạn  L  lim  L  lim Câu 82 Tính giới hạn  L  lim A     C    D C    D D          n  n  n   ĐS:    C    n  3n   n  25      B 7   A    Câu 83 Tính giới hạn  4n2  n   9n B 7   A     4n   8n3  n     B 7   A    D I    9n  2n   4n  B   A     n2   n2    D C    B   A      2n   n  4n   53   D C 53   D .   B 7   Câu 84 Tính giới hạn sau  L  lim C 1  n  4    3 n  1      Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 10 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489    L  lim  8n3  3n  2    3 5n   8n3  8n   lim 8n 3  3n     8n3  3n    5n   8n3    5n   8n3  8  lim 8n 2 3 2 25    5                        8      8   n n   n n n  n   2   Câu 86   L  lim   8n3  3n  4   2n     lim   8n3  3n2  4   2n   3 3n  4    lim 8n 3   lim  3n       2n 8n  3n   4n 3 2   n2             2          n n  n n  25           4 Câu 87   L  lim   2n  n3    n   1   lim   n     lim  2n   2n  n3    n   1  lim   2n   n     n  2n  2n3  n  1    1           1    3     n  n  Câu 88   L  lim   n  n3    n     lim   n n  n3  n    lim n    lim    n  n     n  n  n3  n    0        1    3    1   n  n  Câu 89 L  lim     n3  2n    n   1   lim 2     lim  2 1         1      n  n   2 n n3  2n    n     lim    1    n  2n     n  2n3    2n  n 2     3 Câu 90 Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 30 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP   L  lim   ĐT:0946798489 n  n2  n6   lim    lim  2  n  n  n  lim n2  lim n n n    n4  n2  n2   n 1  n   n6   n   n  lim  n2  n4  n  n  n2  lim n  lim  1  n n6   n  n  1  n  n  1  n n   n  lim 6 23 1 0   1 1 n Câu 91 L  lim   n  n   n3  n  lim       n  n   n  n  n3  n    n3   n3  n   n2  n   n2  lim   n  n   n n  n n3  n  n3  n      n 1 n2  lim    n  n   n n  n n3  n              n3  n        1 n 1     n  n   lim        1   1  n   n  n  1 n 1          n  n            1   1 1 n  lim         1    1  1 1 1   1    n n n  n    DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA  Câu 92  Ta có  lim q n   nếu  q    n 5 1  ;    Vậy  lim      Mặt khác   ;   e 3 3 Câu 93  ChỌn  B Câu 94  Chọn A lim q n  ( q  1)   Câu 95  Chọn A Áp dụng  lim q n  ,     q    Câu 96  Chọn A Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 31 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 n Do  0,999   nên  lim  0,999     Câu 97  Chọn B n  99  100    n 1 n 100  3.99  100   100   lim n  lim n 10  2.98n 1  98      100  Câu 98  Chọn B   n  Ta có:  lim     lim     1          Câu 99  Chọn D n n n n Ta có  lim 3.2n 1  2.3n 1  3n 2     lim   n  6   1    3 Câu 100  Chọn A n n    2017       n  2.2017 2018  2018       Ta có  lim  lim n 2016n  2018n  2016    1  2018  Câu 101  Chọn D n 1 1   n 1    1   lim Ta có:  lim   n n 2.2  20 1    2 Câu 102 Chọn B n Ta có  lim 9n  3n1 5n  n  a 1 1 3         a     lim n 3a 2187 3a 37 5 a   9 9 Do  a  nguyên thuộc khoảng   0; 2019  nên  a  7;8; ; 2018   Câu 103  Chọn C  Ta có  T  lim   16n 1  4n  16n 1   lim 4n  3n 16n 1  4n  16n 1  3n Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong   32 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP n  lim ĐT:0946798489 3 1   4 n 3 16.16n  4n  16.16n  3n  lim n n 1 3 16     16    4 4 n  1    44 DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG  u    Câu 104   S   1 q 1 Câu 105 Chọn B 2 Ta có  2; ; ; ; n ; là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội  q   3 3 2 S      n    3 3 1 Câu 106  Chọn B 142   3,15555  3,1   3,1       3,1  10  45  10 10  1 10 Câu 107  Chọn B 1 1 Ta có     n   là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với  u1  1, q    2 1 u Áp dụng công thức được  S  kết quả     n     1 q   Câu 108  Chọn D u  n un 1 1 Ta có      do đó dãy  (u n ), n   *  là một cấp số nhân lùi vơ hạn có  u1  ,  d     un un 5 Suy ra  lim S n  u1     1 q 1 Câu 109  Chọn C Đặt   un  12, n  *   2 Khi đó  1  un 1  12  un   12  (un  12)  , n  *   3 Suy ra dãy số     là cấp số nhân với công bội  q   và số hạng đầu  v1  11   2 Suy ra   11  3 n 1 2 , n    Từ đó  un  11  3 * n 1  12, n  *   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 33 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Vậy  lim un  12   DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC  Câu 110  Chọn A Ta có  un  u1   n  1 d    n  1  3n    lim n n 1  lim  lim    un 3n  3 n Câu 111  Chọn A    n  2018  n  2017 Ta có:  un  n  2018  n  2017  Suy ra:  un 1 n  2018  n  2017    với mọi  n  *   un n  2019  n  2018 Do đó, dãy số   un   giảm.  Vậy Chọn A  Chú ý:     n  2018  n  2017 +  lim un  lim n  n  un1 n  2018  n  2017  lim    n  u n  n  2019  n  2018 n +  lim +   un  1     n  2018  n  2017 n  2017 2018 Câu 112  Chọn C  2 Ta có  f  n    n  n  1    n  1  n  1  1     1  2  1 22  1 32  1 42  1  2n  1  1  4n  1     2 2 2   1  1  1  1  4n  1  2n  1  1   Do đó  un    un   2n  1 1 lim n u  n     lim    n u n  2n  2n  1 2n  2n  1  lim 1   1 2 1  2   n n     Câu 113  Chọn B  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 34 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Ta có  u2  u1  4.1  u3  u2  4.2    un  un 1   n  1  Cộng vế theo vế và rút gọn ta được  un  u1  1    n  1   n  1  n  n  1   n  1  2n  n  , với mọi  n    Suy ra  u2 n   2n   n  u22 n   2 n   2 n    u22018 n   22018 n   22018 n  Và  u4 n   4n   n  u42 n   n   n    u42018 n   42018 n   42018 n  Do đó  lim un  u4 n  u42 n   u42018 n un  u2 n  u22 n   u22018 n   42018 2018 2    2.4         n n n n n n    lim 2018 3    2.22      22018    n n n n n n  2019 2019 2019 1                  2019 22019  1   22   22018  1 2 Vì  2019 2018 a    2019  cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên  b    c   Vậy  S  a  b  c    Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 35 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Câu 114  Chọn A  Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:  2018  2017  n  +) Đáp án A:  lim un  lim 2017 n  2018  n   2017  n  2017  n 2017   lim      n  2018  n    2017   2017   1    2017    lim   1  n    1     2018     n   n   +) Đáp án B:  lim un  lim n  lim   n  2018  n  2016  lim 2n n  2018  n  2016  lim 2018 2016 1  1 n n n  n  2018  n  2016  n  2018  n  2016      +) Đáp án C:  Cách 1: Ta có  un 1   1  un  1  un    un1  1   n 1  u1  1   2 n 2016 1  un  n 1   un  4032       lim un    2 Cách 2:  Bước 1: Ta chứng minh   un   giảm và bị chặn dưới bởi  1.  Thật vậy bằng quy nạp ta có  u1  2017    Giả sử  un   un 1  1  un  1  1  1    2 Vậy  u n  1n   *   Hơn nữa  un 1  un  1  un    nên   un   là dãy giảm  Suy ra   un   có giới hạn  lim un  a   Bước 2: Ta có  a  lim un  lim un 1  lim 1 1  un  1  lim un   a    2 2  a    +) Đáp án D:  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 36 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Ta có  un  ĐT:0946798489 1 1 1 1 1 n             1    1.2 2.3 3.4 n  n  1 2 n n 1 n 1 n 1  lim un  lim n    n 1 Câu 115  Ta có  un 1  n  un 1  un   un 1  n  1  n 2un  un  n 1 n 1 un 1  Khi đó ta có:  n n u2  u1   2 u3  u2   3 …  un  n 1 n 1 un 1   n n Nhân theo vế các đẳng thức trên ta có  un  Câu 116  Ta có  un  n 2 1  n   n2  n 1 n 1 u1  1008  Vậy  lim un  1008   2n n n 1 1        n  n  1 n  n  1  n  n  n  n   2 1 1 1 1 1  Ta có  u1  u2   un                3 7 13 13 21 n  n 1 n  n 1  1  n n    1     n  n   n2  n  1 1 n    Suy ra  lim  u1  u2   un   lim 1 1  2 n n Câu 117     Chứng minh   un   là dãy giảm, tức là chứng minh:  un 1  un , n  *   - Với  n  , ta có:  4u2   4u1    u2  10  u1   - Giả sử mệnh đề đúng với  n  k , tức là:  uk 1  uk , n  *   - Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với  n  k  , tức là chứng minh:  uk   uk 1  Ta có:  4uk    4uk 1    4uk    33 4uk 1   uk   uk 1   - Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra  un 1  un , n  * , tức   un   là dãy giảm.  Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 37 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489   Tương tự, dùng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được   un  , tức dãy   un   bị chặn. Từ đó  suy ra dãy số có giới hạn.    Đặt  x  lim un  Khi  n    thì  un 1  x  và  x   x    36 x   x   16  x   x   x   x  Vậy  lim un      Câu 118  Chọn C Đặt  un   1  , thay vào biểu thức truy hồi ta có     1      3vn1 , n    2  Dễ thấy     là cấp số nhân với  v1  u1  Do đó  un   Vậy  L  lim 1 5  2    , công bội  q  , suy ra    3n1   2 2   3n 1   n  1   2 un    lim    n      n  2.3  Câu 119  Vì dãy các tam giác  A1B1C1 ,  A2 B2C2 ,  A3 B3C3 ,  là các tam giác đều nên bán kính đường tròn  ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh    Với  n   thì tam giác đều  A1 B1C1  có cạnh bằng   nên đường tròn ngoại tiếp tam giác  A1B1C1 có   3 bán kính  R1     S1         Với  n   thì tam giác đều  A2 B2C2  có cạnh bằng   nên đường tròn ngoại tiếp tam giác  A2 B2C2   2  3 có bán kính  R2     S       3   Với  n   thì tam giác đều  A3 B3C3  có cạnh bằng   nên đường tròn ngoại tiếp tam giác  A2 B2C2    3 có bán kính  R3     S3           Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 38 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 1 Như vậy tam giác đều  An BnCn  có cạnh bằng    2 1 có bán kính  Rn    2 n 1 n1  nên đường tròn ngoại tiếp tam giác  An BnCn      n1     Sn          2   Khi đó ta được dãy  S1 ,  S2 ,  Sn  là một cấp số nhân lùi vơ hạn với số hạng đầu  u1  S1  3  và  công bội  q    Do đó tổng  S  S1  S2   Sn   u1  4   1 q Câu 120  + Với phương án A: un  n  n  2018  n  2017  2017 2018 n.n 2017  2018    n + Với phương án B:  un  n    n  2020  4n  2017  n  n  4n  n  n    + Với phương án C:   1  1 1 1  un                   1 2n   3 3 5  2n  2n   + Với phương án D:  un 1  1  un  1  un1    un  1   2 v1  2017  Đặt   un  , ta có     v  v , n   n 1 n Suy ra dãy     là một cấp số nhân có số hạng đầu bằng  2017 , cơng bội bằng  1  2017   2 1 Suy ra  un  2017   2  nên  n 1    n  1   n 1     n  1 , do đó  lim un    Chú ý: Ở phương án D, ta có thể chứng minh  un   với mọi  n   và   un   là dãy giảm nên   un   sẽ có  giới hạn. Gọi  lim un  a   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 39 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Khi đó từ  un 1  ĐT:0946798489 1  un  1 , n   suy ra  a   a  1  a  , do đó  lim un    2 Câu 121  Ta có  n  * , un 1  2 un  a  un21  3a   un2  3a  3 Đặt   un2  3a  thì     là cấp số nhân với  v1   3a  và cơng bội  q  Do đó     3 n 1 1  3a   un2   3a    3 n 1 1  3a   3a n 2 1   n   Suy ra  u12  u22   un2  2n  1  3a     2n  3na  1  3a        n  3a      3    1 2 Vì  lim  u1  u2   un  2n   b  nên       n  3a   a  lim  1  3a  1      n  3a     b    ,   3    b  1  3a  b  3     suy ra  T  ab  2   Câu 122  Ta có  Cn3   n  3 ! n   n  1 n  n  n  1 n     n!    Cn n  n  1 n   3! n  3 !  n  3! Vậy ta có  Sn  Nhận xét  6 6       1.2.3 2.3.4 3.4.5 n  n  1 n   1 1 1   ;   ;…;        1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4  n   n  1 n  n   n  1  n  1 n 1 1 1 1  1 1  n   3n     Sn               3    3  2n n  n 1 n 1 n   1.2 2.3 2.3 3.4 2 n  2n  6   3 n   3n   Vậy  lim Sn  lim        lim   2n      n Câu 123  Do  9n  3n 1 9n  3n 1 9n  3n 1  với   nên    n lim  lim 5n  n  a 5n  n  a 5n  n  a Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 1           lim a n 9a 5 a    9 40 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP n Theo đề bài ta có  lim ĐT:0946798489 n 1 1 3    a   Do  a  là số nguyên thuộc khoảng   a 2187 5n  9n  a 2187  0; 2018 nên có  a 7;8;9; ;2017   có  2011  giá trị của  a   Câu 124 Chọn A  độ cao mà quả bóng đạt trước đó  10 và sau đó lại rơi xuống từ độ cao thứ hai. Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban  đầu cho đến:  Theo đề, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng   Thời điểm chạm đất lần thứ nhất là  d1  55,8 m    Thời điểm chạm đất lần thứ 2 là  d2  55,8  55,8   10  Thời điểm chạm đất lần thứ 3 là  d3  55,8  55,8 55,8  2   10 10  Thời điểm chạm đất lần thứ 4 là  d4  55,8  55,8 55,8 55,8  2    10 10 10 …………………………………….   Thời điểm chạm đất lần thứ  n ,  n  1  là  dn  55,8  55,8 55,8 55,8  2   n 1   10 10 10 Do đó độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm n trên mặt đất  là  d  55,8  55,8 55,8 55,8  2   n 1   (mét).  10 10 10 55,8 55,8 55,8 55,8 ,  2 ,  , …,  n 1 ,…, là một cấp số nhân lùi vô hạn, công bội  q  , nên  10 10 10 10 10 55,8 55,8 55,8 55,8 10  12,4    2   n    ta có  10 10 10 1 10 Vì  Vậy  d  55,8  55,8 55,8 55,8  2   n 1   55,8  12,4  68,2 10 10 10 Câu 125  Chọn A   a   lim un 1  lim  4vn   lim un  a  a  4b  Giả sử   , ta có       b  a  lim  b lim 1  lim  un  1 b   Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 41 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Vậy  lim  un  2vn   a  2b   n  ĐT:0946798489     3 Câu 126  Chọn C Gọi bán kính khối cầu dưới cùng là  R1  50 cm.  Gọi  R2 ,  R3 ,…, Rn  lần lượt là bán kính của các khối cầu  R2 , R3 , , Rn  nằm nằm ngay trên khối cầu  dưới cùng.  R R1 R R R ,  R3   ,….,  Rn  n 1  n 11   2 2 Gọi  hn  là chiều cao của mơ hình gồm có  n  khối cầu chồng lên nhau.  Ta có  R2  Ta có  1 1     1 hn  R1  R2  R3   Rn   R1  R1  R1   n 1 R1   R1      n 1    2        1 Suy ra chiều cao mơ hình là  h  lim hn  lim  R1 1     n 1     n  n     1 1 Xét dãy số  1; ; ; ; n 1 ; n ;  là một cấp số nhân có  u1   và công bội  q   nên là dãy cấp  2 1 1 số nhân lùi vơ hạn. Do đó      n 1  n   2  2 1 Suy ra  h  R1.2  200 cm. Vậy chiều cao mơ hình nhỏ hơn  200 cm.  Câu 127  Chọn C Lần đầu rơi xuống, quảng đường quả bóng đã bay đến lúc chạm đất là  8m   Sau đó quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ 2 thì quảng đường quả bóng đã bay là   2.8 .  Tương tự, khi quả bóng nảy lên và rơi xuống chạm đất lần thứ n thì quảng đường quả bóng đã bay   ( )n 3 n 1   48(1  ( ) n 1 )   là   2.8   2.8.( )   4 1 Quảng đường quả bóng đã bay từ lúc thả đến lúc khơng máy nữa bằng:  lim[8  48(1  ( ) n1 )]   48  56   Câu 128  Chọn C Cách 1: Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 42 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Xét điểm  M  x; y   bất kì nằm trong (tính cả biên) của hình tròn   Cn  :  x  y  n   Mỗi điểm  M  tương ứng với một và chỉ một hình vng đơn vị  S  M   nhận  M  là đỉnh ở góc trái,  phía dưới, có các cạnh lần lượt song song hoặc nằm trên các trục tọa độ.  Ta được  sn  bằng số các hình vng  S  M   và bằng tổng diện tích của  S  M  , với  M   Cn     Nhận xét: các hình vng  S  M  ,  S  M   đều nằm trong hình tròn  Cn     :  x    y  n    Do đó  sn   n    1    Mặt khác, các hình vng  S  M   phủ kín hình tròn  Cn     :  x    y  n    Vì thế  sn   n            Từ  1  và    , suy ra   n   sn   n  ,  n * ,  n      sn 2 2   1    1       n n n       sn 2 2 Mà  lim  1        lim  1     , theo nguyên lí kẹp, ta được  lim n  n  n   Cách 2: Gọi  Dn  là số cặp số nguyên   x; y   thỏa mãn  x  y  n  với  x  y  và  En  là số cặp số  nguyên   x; x    thỏa  mãn  x  y  n   Ta  có  En   là  số  các  số  nguyên  k   sao  cho  2k  n2 ,  từ  k n  n  n  n , ta có  n    và    k   Cho nên  En             Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 43 CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ĐT:0946798489 Tiếp theo, ta đánh giá  Dn   Tổng số cặp số nguyên   x; y   thỏa mãn  x  y  n  với  x  y  là  N n  với  N n  là số các cặp số tự  nhiên   x; y   thỏa mãn  x  y  n  và  x  y  Giả sử   x; y     thỏa mãn  x  y  n , khi đó   x  n ,   y   n2  x        Nên ta có đánh giá với  Dn  là   n    n  x    N n  Dn    n  x      0 x  n 0 x  n   Vì  thế  cho  nên  từ  sn  En  Dn ,  có  4n   Tn  sn   Tn ,  trong  đó  n  2 Tn       n  x      1 xn  sn  n   n2  x    Do đánh giá về phần nguyên   lim      n  n n  n       1 x n  Suy ra  lim n  n 2 2 2 2    n  x ,      n  x      1 x n   1 xn n  n 2 2 2        n  x    2  x  n     1 x n   n2  x2    s 4  x Nên ta được  lim n2  lim  n2  x  lim       n  n n n n  n n 1 x  n 1 x  n Về bản chất, kết quả giới hạn này là giá trị của tích phân xác định  I    x dx     Vậy  lim n  sn     n       Tổng hợp: Nguyễn Bảo Vương: https://www.facebook.com/phong.baovuong 44 ... tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi C Ta nói dãy số  un   có giới hạn   khi  n    nếu  un  có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể  từ một số hạng nào đó trở đi D Ta nói dãy số  un   có giới hạn ...  (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hai dãy số  un  ,    đều tồn tại giới hạn hữu hạn.  Biết rằng  hai dãy số đồng thời thỏa mãn các hệ thức  un 1  4vn  2, 1  un   với mọi  n    Giá trị  của giới hạn lim ...  (LÊ Q ĐƠN - QUẢNG TRỊ - LẦN 1 - 2018) Tính  lim n L  lim Câu 79 Tính giới hạn  L  lim Câu 80 Tính giới hạn  Câu 81 Tính giới hạn L  lim  L  lim Câu 82 Tính giới hạn L  lim A     C    D C    D D