Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi

TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN - - XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ NHẰM BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN SƢ PHẠM TOÁN HỌC CÁN BỘ HƢỚNG DẪN KHOÁ LUẬN: TS Chu Trọng Thanh Sinh viên thực hiện: Lê Thị Hiền Lớp: 47A Toán Vinh - 2010 Mục lục Trang Mở đầu I Lý chọn đề tài…………………………………………………………………3 II Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………….5 III Nội dung nghiên cứu………………………………………………………… IV Phƣơng pháp nghiên cứu………………………………… .5 V Giả thuyết khoa học……………………………………… VI Đóng góp khố luận…………………………………… VII Cấu trúc đề tài………………………………………… Chƣơng Cơ sở lí luận thực tiễn………………………… Năng lực, lực toán học………………………………… 1.1 Năng lực ………………………………………………… 1.2 Năng lực toán học……………………………………… …8 Cấu trúc lực toán học………………………………… 11 Năng lực giải tập toán học sinh THPT…………… 14 3.1 Bài toán…………………………………………………… 14 3.2 Chức tập toán học…………………………… 16 3.3 Vai trị giải tập tốn……………………………… 18 3.4 Năng lực giải tốn trƣờng phổ thơng…………………… 19 Bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh khá, gỏi……… ….21 4.1 Vấn đề bồi dƣỡng học sinh giỏi…………………………… 21 4.2 Bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi……… 23 Vị trí chủ đề kiến thức dãy số, hàm số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số…… 24 Thực trạng dạy học chủ đề giới hạn trƣờng PT…………… 25 Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống tập nâng cao chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi……………….26 2.1 Giới hạn dãy số…………………………………………… .…26 2.1.1 Một số tập điển hình giới hạn dãy số SGK Đại số giải tích 11… 26 2.1.2 Hệ thống tập nâng cao chủ đề giới hạn dãy số …… 32 2.2 Giới hạn hàm số …………………………………………… 56 Kết luận………………………………………………………… 82 Tài liệu tham khảo .83 MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học có tính trừu tƣợng cao độ tính thực tiễn phổ dụng lớn Nó phát triển nhƣ vũ bão ngày thâm nhập vào lĩnh vực khoa học, cơng nghệ đời sống Vì việc dạy học mơn tốn trƣờng phổ thơng phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nƣớc ta, từ đặc điểm vị trí mơn tốn Trong thƣ gửi bạn trẻ yêu toán tháng 10 năm 1967 thủ tƣớng Phạm Văn Đồng rõ: “Trong môn khoa học kĩ thuật Tốn học giữ vị trí bật Nó có tác dụng lớn nhiều ngành khoa học khác nhau, kĩ thuật, sản xuất chiến đấu Nó mơn thể thao trí tuệ, giúp nhiều việc rèn luyện phƣơng pháp suy nghĩ, phƣơng pháp suy luận, phƣơng pháp học tập, phƣơng pháp giải vấn đề, giúp rèn luyện trí thơng minh, sáng tạo, cịn giúp rèn luyện nhiều đức tính q báu nhƣ: cần cù nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vƣợt khó, u thích xác, ham chuộng chân lí Dù bạn phục vụ ngành nào, cơng tác kiến thức phƣơng pháp toán học cần cho bạn” Luật giáo dục nƣớc ta quy định: “Mục tiêu giáo dục đào tạo ngƣời Việt Nam phát triển tồn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ, nghề nghiệp, trung thành với lí tƣởng độc lập dân tộc chủ nghĩa xã hội, hình thành bồi dƣỡng nhân cách, phẩm chất lực công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng bảo vệ tổ quốc” Mục tiêu giáo dục phổ thơng là giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ kĩ nhằm hình thành nhân cách ngƣời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tƣ cách trách nhiệm công dân chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dựng bảo vệ tổ quốc Do việc dạy học mơn tốn trƣờng phổ thơng có ý nghĩa quan trọng Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học giai đoạn hƣớng vào tổ chức cho ngƣời học học tập hoạt động hoạt động Việc áp dụng phƣơng pháp giáo dục phát huy lực tƣ sáng tạo, lực giải vấn đề cho học sinh, đặc biệt hoạt động bồi dƣỡng học sinh có khiếu tốn cần phải đƣợc quan tâm suốt trình dạy học Trong “Giáo dục học mơn tốn” tác giả Phạm Văn Hồn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc có viết: “Đảm bảo cho học sinh đạt yêu cầu chất lƣợng phổ cập toán học, đồng thời trọng phát bồi dƣỡng đƣợc số học sinh có tài tốn học cần thiết” Nhƣ việc bồi dƣỡng học sinh giỏi việc cần đƣợc quan tâm thƣờng xuyên liên tục cấp học, bậc học Nhất trƣờng phổ thơng, việc “gõ vào trí thông minh” học sinh đƣợc cố thủ tƣớng Phạm Văn Đồng nhiều lần tha thiết kêu gọi: “Phải nhắc lại nghìn lần ý muốn lớn giáo dục đào tạo hệ trẻ thơng minh, sáng tạo” Trong dạy học tốn trƣờng phổ thơng, tập tốn phƣơng tiện có hiệu thay đƣợc việc giúp ngƣời học nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo Bài tập nhằm đánh giá kết dạy học, đánh giá khả độc lập hoạt động tốn học đánh giá trình độ phát triển học sinh.Việc giải tập toán có tầm quan trọng để thực tốt mục tiêu giáo dục tốn học Theo A A Stơliar: “dạy toán dạy hoạt động toán học” Trong dạy toán có nhiều tình điển hình nhƣng xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động tốn học Việc dạy học giải tập tốn khơng có nghĩa giáo viên đơn cung cấp cho học sinh lời giải toán Biết lời giải tốn khơng quan trọng làm để giải đƣợc toán Để tăng hứng thú học tập cho học sinh phát triển tƣ duy, rèn luyện kĩ hoạt động độc lập sáng tạo cho học sinh thầy cần hình thành cho học sinh quy trình chung, phƣơng pháp tìm tịi lời giải tốn Mỗi toán mà học sinh giải cần dạy cho họ kĩ khai thác tình có vấn đề khác nhau, xây dựng toán phù hợp với nhiệm vụ nghề dạy học “Nghề dạy học nghề cao q sáng tạo ngƣời sáng tạo” Vì thực tế có nhiều tài liệu nghiên cứu giải toán chẳng hạn: Sáng tạo toán học, Giải toán nhƣ nào, Tốn học suy luận có lý tác giả G Pôlia, Tâm lý lực toán học học sinh tác giả Krutexki, Chủ đề giới hạn dãy số giới hạn hàm số chủ đề quan trọng tốn học nói chung tốn học phổ thơng nói riêng Chủ đề có nhiều ứng dụng mặt lí thuyết nhƣ thực tiễn Đây chủ đề gây nhiều khó khăn cho học sinh trƣớc nội dung chƣa có nội dung có tính chất trừu tƣợng đến nhƣ định lý lại đƣợc thừa nhận nhiều Tuy nhiên chủ đề có nhiều tiềm bồi dƣỡng tƣ cho học sinh Do dạy học giáo viên quan tâm mức việc trang bị tri thức phƣơng pháp rèn luyện kỹ cho học sinh góp phần phát triển tƣ duy, bồi dƣỡng lực toán học gây hứng thú học tập Vì lí tơi định chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống tập nâng cao chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi” II Mục đích nghiên cứu Mục đích khố luận đƣa hệ thống tập nâng cao dạng giới hạn định hƣớng khai thác số tập hệ thống nhằm bồi dƣỡng lực giải tốn cho học sinh khá, giỏi III Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận gồm vấn đề: Năng lực, lực giải toán, việc bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi thực trạng dạy học chủ đề giới hạn trƣờng phổ thông - Nghiên cứu nội dung chủ đề giới hạn dãy số giới hạn hàm số chƣơng trình mơn tốn trung học phổ thơng - Xây dựng hệ thống tập chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số đề xuất hƣớng khai thác tập vào việc bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi IV Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Các tài liệu có liên quan đến tâm lí học, giáo dục học, lí luận dạy học mơn tốn; nghiên cứu hệ thống tập sách giáo khoa đại số giải tích 11, tài liệu tham khảo, viết chuyên đề giới hạn Nghiên cứu thực tiễn: Phƣơng pháp dự giờ, quan sát việc dạy việc học học sinh Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử tiết lên lớp rút kinh nghiệm V Giả thuyết khoa học Trên sở chƣơng trình sách giáo khoa hành, dạy học giáo viên quan tâm đến việc xây dựng khai thác hệ thống tập giới hạn dãy số giới hạn hàm số cách hợp lí góp phần bồi dƣỡng lƣc toán học phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh, qua góp phần nâng cao hiệu dạy học VI Đóng góp khố luận - Hệ thống hóa đƣợc số kiến thức lí luận dạy học làm tƣ liệu tham khảo chuyên môn - Bƣớc đầu xây dựng đƣợc nguồn tƣ liệu tập tốn phục vụ cơng tác dạy học bồi dƣỡng học sinh giỏi - Tìm tòi số phƣơng pháp giải tập giới hạn, có hƣớng dẫn hợp lí khai thác số tốn điển hình góp phần rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh VII Cấu trúc đề tài PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ ĐỊNH HƢỚNG KHAI THÁC HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN PHẦN TÀI LIỆU THAM KHẢO CHƢƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Năng lực, lực tốn học 1.1 Năng lực Q trình hình thành đến phát triển nhân rộng để khẳng định mơ hình “giáo dục mũi nhọn” chặng đƣờng dài khó khăn Trong văn kiện Đại hội lần thứ VII Đảng Cộng Sản Việt Nam ghi rõ: “Giáo dục đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dƣỡng nhân tài” Đó nhiệm vụ ngành giáo dục thực tiễn xã hội nay: đào tạo ngƣời mới, chủ nhân tƣơng lai đất nƣớc động, sáng tạo góp phần đƣa đất nƣớc lên giàu mạnh, sánh vai với cƣờng quốc năm châu Do việc phát lực ngƣời, nghiên cứu phát triển lực có ý nghĩa quan trọng Có nhiều quan điểm khác lực Định nghĩa 1: Năng lực tổ hợp thuộc tính độc đáo cá nhân phù hợp với yêu cầu hoạt động định, đảm bảo cho hoạt động có hiệu Năng lực gắn liền với tính sáng tạo.[13] Định nghĩa 2: Năng lực phẩm chất tâm lý tạo cho ngƣời hoàn thành loại hoạt động với chất lƣợng cao.[13] Định nghĩa 3: Năng lực tổ hợp đặc điểm tâm lý ngƣời đáp ứng đƣợc yêu cầu hoạt động định điều kiện cần thiết để hồn thành có kết số hoạt động đó.[13] Theo từ điển Tiếng Việt: Năng lực đƣợc hiểu khả năng, điều kiện tự nhiên sẵn có để thực hoạt động Nhƣ dù định nghĩa lực nảy sinh, phát triển quan sát đƣợc hoạt động giải yêu cầu mẻ Năng lực không bẩm sinh mà phát triển đời sống, hoạt động Nó gắn liền với tính sáng tạo, tƣ khác mức độ biểu thị ngƣời qua tiêu chí: tính dễ dàng, linh hoạt, thơng minh Một cơng trình tốn học nghiên cứu đầy đủ lực toán học cơng trình: “Tâm lý lực tốn học học sinh” Crutchetxki Theo ơng vấn đề lực vấn đề khác biệt cá nhân Mỗi cá nhân có lực nhiều mặt tức lực chuyên biệt hoạt động lĩnh vực chuyên biệt chẳng hạn: lực toán học, lực âm nhạc…nhƣng lại có lực mặt khác Khi lực phát triển tới mức cao nhất, biểu thị mức hoàn chỉnh nhất, kiệt xuất ngƣời có lực đƣợc gọi thiên tài Năng lực toán học tồn hoạt động toán học sở phân tích hoạt động tốn học thấy đƣợc biểu lực toán học 1.2 Năng lực toán học Theo V.A.Cruchetxki lực toán học đƣợc hiểu theo hai nghĩa: Một là: theo nghĩa lực học tập tức lực việc học toán, việc nắm giáo trình tốn học phổ thơng, nắm đƣợc cách nhanh chóng có hiệu kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tƣơng ứng Đó trƣờng hợp học sinh giỏi toán mà năm sở giáo dục thƣờng xuyên chọn bồi dƣỡng học sinh giỏi Hai là, theo nghĩa lực sáng tạo hoạt động nghiên cứu toán học với tƣ cách khoa học, ngƣời có lực sáng tạo cơng trình tốn học, tạo kết có giá trị xã hội lồi ngƣời Theo ơng, lực tốn học đƣợc hiểu đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc hết đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động học tập toán học điều kiện vững nhƣ ngun nhân thành cơng việc nắm vững cách sáng tạo toán học 10 với tƣ cách môn học, đặc biệt nắm vững tƣơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực toán học Về chất lực toán học: Năng lực toán học khơng phải thuộc tính tốn học bẩm sinh mà đƣợc hình thành sống, hoạt động, hình thành sở mầm mống xác định Việc rèn luyện phát triển lực toán học học sinh là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng ngƣời thầy giáo vì: - Tốn học có vai trị to lớn nghiệp phát triển khoa học kĩ thuật, nghiệp cách mạng cần phải có đội ngũ ngƣời có lực toán học - Nhà trƣờng nơi cung cấp cho học sinh sở toán học thầy giáo ngƣời vun trồng, vun xới cho mầm mống toán làm thui chột mầm mống Nghiên cứu ông lực toán học cho thấy số vấn đề quan trọng: Về mặt lí luận: - Theo ơng nói đến học sinh có lực tốn học nói đến trí thơng minh việc giải toán - Trong điều kiện dạy - học tốn nhƣ có học sinh tiếp thu nhanh hơn, vận dụng tốt so với số em khác Tuy nhiên khả đƣợc hình thành phát triển thơng qua hoạt động giải tốn chủ yếu Do cần thiết phải nghiên cứu đƣợc chất lực đƣờng hình thành, phát triển lực - Vấn đề lực khác biệt cá nhân nói lực tức giả định có khác biệt mặt cá nhân chẳng hạn nhƣ lực toán học 71 Các giá trị thêm bớt gọi số hạng vắng F(x) với F(x)  Xét toán tổng quát: Tìm lim xx f(x) g(x) Trong f(x) hàm thức chứa số khác Từ ví dụ ta có cách giải tổng qt: Gọi x x ngiệm g(x)=0 Phân tích F(x) = f1 (x)  c f (x)  c + g(x) g(x) (c số thực) Với c thoả mãn điều kiện: f (x )  c  Hoặc  1 f1 (x2 )  c  f (x )  c   f (x2 )  c  Hay c nghiệm hệ phƣơng trình: f1 (x1 )  c   f1 (x )  c   f (x1 )  c  f (x )  c   2 Từ tìm c tìm giới hạn dạng: lim x x f1 (x)  c f (x)  c lim (c đƣợc gọi hạng tử vắng) x x g(x) g(x) Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim x 0  3x   2x x2 Nhận thấy thêm bớt vào tử số nhƣ ví dụ khơng khử đƣợc dạng 0 Để khắc phục điều ta phải thêm bớt đa thức p(x) cho  3x  p(x) x2 p(x)   2x có dạng mà sau nhân liên hợp hệ số tự hệ số x x bị triệt tiêu Nhận thấy p(x) = + x thoả mãn điều kiện 72 lim x 0  3x   2x  3x  (1 x)  (1 x)   2x = lim x 0 x x2 = lim x 0  3x  (1 x) (1 x)   2x + lim x 0 x2 x2 = lim x 0 (1  3x)   3x  3x  x x  2x   2x  + lim x (3 (1  3x)  (1  x)  3x  (1  x) ) x0 (1  x   2x )x = lim x 0 3 x   + □ lim (3 (1  3x)  (1  x)  3x  (1  x) ) x0 (1  x   2x ) f(x)  n g(x) Tổng quát: Để tính giới hạn lim x 0 xp m với f(x) g(x) đa thức thoả mãn m f(0) = n g(0) Ta cần thêm bớt đa thức p(x) thoã mãn p(0)= m f(0) = n g(0) Tức p(x) có dạng: pm (x) = a p x p  a p1x p1  a r x r pn (x) = bp x p  bp1x p1  b k r k Việc tìm p(x) phải dựa vào đoán loại dần quy tắc thử sai làm xác đốn Ví dụ 4: Tìm lim x 0 (x2  2004)7  2x  2004 x Để giải đƣợc toán ta gợi ý biện pháp quy lạ quen Ta biết kết toán: n lim x 0 Ta cần làm xuất biểu thức:  ax  a = n x  2x  x Nhƣ cần thêm bớt đa thức: px   x +2004 vào tử thức Ta có: 73     (x2  2004)7  2x  2004 x  2x  2004  2x  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x x x  4008 Nhƣ ta có phƣơng pháp giải tổng qt dạng tốn n Để tìm lim F(x) phải thêm bớt p(x) vào F(x) làm xuất  ax  hạng tử x vắng p(x) Bài tập đề nghị:  2x2   3x2  24  4x2 Bài 1: Tìm lim x 0 x3  4x  2x2   6x  12x2 Bài 2: Tìm lim x 0 x2 2x   x  Bài 3: Tìm lim x 1 x 1 Bài 4: Tìm lim x 1  x3  x2  x 1 Dạng 7: Phƣơng pháp dựa vào định nghĩa đạo hàm tính giới hạn hàm số Cơ sở vấn đề: hàm số f(x) có đạo hàm x  x f ' (x )  lim x x f(x)  f(x0 ) x  x0 F(x) thơng thƣờng ta biến đổi đƣợc Giả sử cần tính: L  lim x x F(x)  f(x)  f(x0 ) f(x)  f(x0 ) F(x)   G(x) với G(x )  x  x0 x  x0 Xét hàm số f(x)  f(x ) tính f ' (x)  f ' (x0 )  x  x2  Ví dụ 1: Tìm lim x 1 x2 1 Giải: Đặt f(x)= f ' (x)   x  x2   f(1)  1 2x 5   f ' (1)  2 12  x 33 (x  7) 74 lim x 1 f(x)  f(1) 1 5  x  x2  ' lim  f (1)   = = x 1 x 1 x 1 24 x2 1 Trong ví dụ ta tách mẫu thành (x -1)(x +1) để đƣa giới hạn dạng f ' (x)  hồn tồn tính đƣợc x 1 (x  2004)7  2x  2004 x 0 x Ví dụ 2: Quay lại ví dụ vừa xét tìm lim Ta tìm giới hạn nhƣ sau: Đặt f(x) = (x  2004)7  2x  2004  f(0)  f (x)  2x  2x  ' 2(x  2004)  f ' (0)  77 (1  2x)  4008 f(x)  f(0)  4008 (x2  2004)7  2x  2004  f ' (0)  Vậy lim = lim x  x 0 x0 x Nhƣ phƣơng pháp gọi số hạng vắng phƣơng pháp hữu hiệu để tìm giới hạn hàm số n + )Xem lại ví dụ tính giới hạn hàm số có chứa thức bậc cao: lim x 0 Trong trƣờng hợp a =1 ta có lim n x 0  ax  x 1 x 1  x n Có thể tính giới hạn định nghĩa nhƣ sau: Cụ thể: Xét hàm số g(u) = n u hàm số có đạo hàm với u  Cho số gia đối số Δu u=1 ta có Δg  g(1+u) - g(1) = n 1 Δu - Tỉ số Δg n  Δu   Δu Δu n  Δu  1 Δg  Δu   Δu lim  lim  lim n  n  0 Δu  Δu Δu 0 Δu Δu( n (1  Δu)  n (1  Δu)  1) n n Vậy lim x 0  x 1 = n x Bài tập đề nghị: Tìm giới hạn: 75 x  3x  a lim x 1 x 1 3x   x  5x  b lim x 1  2x   sinx x 0 3x   x  c lim Dạng Tính giới hạn quy tắc Lopitan Quy tắc tìm giới hạn Lopitan khơng đƣa vào chƣơng trình tốn phổ thơng nhƣng cách khử dạng nhanh có hiệu quả, thƣờng đƣợc dùng để kiểm tra kết Quy tắc dựa kết Nếu f(x), g(x) khả vi lân cận x0, f(x0)=g(x0)=0 g(x0)  lân cận x0, đồng thời: f ' (x) f(x) lim lim  A A ' x x x x g (x) g(x) 0 xn  an Ví dụ 1: Tìm lim x a x a Giải: Bài tốn giải phƣơng pháp khử x-a tử mẫu Tuy nhiên ta làm ví dụ minh hoạ cho phƣơng pháp xn  an n-1 n 1 n.x  = lim n.a lim x a x a x a 9x3 Ví dụ 2: Tìm: lim x 0 x  sinx Giải: lim x0 54x 54 x3 27x2 lim  lim  54  lim  x  sin x x0  cosx x0 sinx x 0 cosx Ví dụ Tìm lim x 0 x x  1 x 1 1 1 Bài toán chứa bậc 2, bậc 3, bậc nên sử dụng đƣợc phƣơng pháp tìm giới hạn hàm số chứa bậc cao 76   x x 1 1      x x 1  1      x x    = lim Ta có cách 1: lim  x 0 x 0   x  x            x   1 1  3  4  1  x x 1  1         4=   16   hay lim   x 0 36 x        36       2         Cách 2: Sử dụng quy tắc Lôpitan 1   2     x  x x x  1   16 1   3 1  1    3  4    lim lim  x  x 0  1 1 x    x         1  16    36     Chú ý: Các toán sử dụng quy tắc Lopitan để tìm giới hạn làm đƣợc phƣơng pháp khác trình bày Các ví dụ nêu có tính minh hoạ cho phƣơng pháp 2.2.4.2 Dạng   Để tính giới hạn hàm số ta có cách Cách Đƣợc sử dụng cho phân thức đại số Chia tử mẫu cho luỹ thừa bậc cao x có mặt phân thức Cách Sử dụng “ngun lí kẹp” thực theo bƣớc Bƣớc Chọn hai hàm số g(x) h(x) cho: g(x)  f(x)  h(x) g(x)  lim h(x)  L Bƣớc Khẳng định lim x  x  f(x)  L Bƣớc Kết luận lim x  77 Cách Sử dụng quy tắc Lopitan Ví dụ Cho hai đa thức: P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0 ( a n  0) Q(x) = bmxm + am-1xm-1 +…+ a1x + a0 ( b m  0) P(x) x  Q(x) Tìm giới hạn L  lim Giải: Xét trƣờng hợp: Trƣờng hợp 1: n  m Chia tử mẫu cho x n a n 1 a1 a   a     n  n n 1  a x x x L n L  lim  x  b b b bm  b m  m1   m11  m0   x x x  Trƣờng hợp 2: Nếu n  m chia tử mẫu cho x m ta có: a n 1 a0   an     mn x mn 1 xm  L  lim x n  b m1 b0   bm    m   x x  Vì n  m  m  n   L=0 Trƣờng hợp 3: Nếu n  m chia tử mẫu cho x n  L   Kết luận: an b n P(x)  lim  0 x  Q(x)    Nếu degP(x) = degQ(x) Nếu degP(x) < degQ(x) Nếu degP(x) > degQ(x) Ví dụ 2: Tính giới hạn: L  lim x  x  4x   2x  3x  2x   x Giải: Nhận thấy bậc tử, mẫu dẫn đến biến đổi: 78  5 x 1     2x  x    2x   x x  x x  lim L  lim x  x  7  x 3   x x23     x x x x x   Từ ta xét trƣờng hợp: 3(  1) Trƣờng hợp 1: Nếu x   L  Trƣờng hợp 2: Nếu x   L   1 Do giới hạn trái giới hạn phải khác nên không tồn giới gạn hàm số Nhận xét: Khi chia tử mẫu cho x để khử dạng  học sinh thƣờng mắc phải sai lầm:   2 x x x   1 x x 1 x  4x   2x   lim x  3x  2x   x lim x  Phép chia x  x 3 x 4 x Ví dụ 3: Tìm lim x  2x  Giải: lim x  Ví dụ 4: Tìm giới hạn: lim x  Giải: lim x  x (1  x  x ) x x x  lim  lim x  x  2x  x (2  ) x x x x = xlim  x 1 Ví dụ 5: Tính giới hạn: lim x  lnx x9 1 1 4 x x  1 2 x x x x x 1 1 1  1  x x x x3 = lim 1 x  x x  1 1 x x  1 79 Giải: Do bậc tử chƣa xác định chƣa đánh giá đƣợc giá trị tử mẫu nên sử dụng cách cách khó khăn Sử dụng Lopitan ta có lim x  Ví dụ 6: Tìm giới hạn: lim x  lnx  lim  x  9x x x  sinx x  sinx Giải: x thuộc lân cận điểm ta có sinx 1 sinx     với x  x x x x x  1 x  sinx     lim  Vậy lim Mặt khác lim =0  x x x  x   x  sinx x   Bài tập đề nghị: Tính giới hạn sau: x 1 a lim x  x 1 c lim x  (1  x)(1 x )(3  x) b lim x  (2  x)(3  x) (4  x) (x  a) x a (x  b) x b ( a, b cho x  (x  a  b) 2x a  b x  cosx x  sinx d lim trƣớc) 2.2.4.3 Tính giới hạn dạng    Để tính giới hạn ta thực nhân liên hợp đƣa dạng  Ví dụ 1: Tính lim x  x   x x  Giải: lim( x  x   x)  xlim  3 x   lim x   x    x3  x2 1 x3 (x  x  1)  x x  x   x x2 1   1 1       1 x x x x   Ví dụ 2: Tính lim (x  1)2  (x  1)2 x    biết cách tính      (x  1)  (x  1) Giải: lim (x  1)2  (x  1)2  lim   2 x  x  3  (x  1)  (x  1) (x  1)  (x  1)  80  lim x  4x = 0.□   1 1 2 x 3 (1  )  (1  ) (1  )  (1  )  x x x x   sinln(x  1)  sin(lnx) Ví dụ 3: Tìm xlim   1  1    sinln(x  1)  sin(lnx) Giải: xlim = 2.cos (ln(x  1)  lnx) sin (ln(x  1)  lnx)      2  2 1  1 x 1  = 2cos ln(x(x  1))sin ln( ) , x  2  2 x 1  ln1  x   lim sinln(x  1)  sin(lnx) x  x ln Ví dụ 4: P   (x  a)(x  b)(x  c)  (x  m)(x  n)  = 0.□  Hƣớng dẫn giải:  lim (x  a)(x  b)(x  c)  (x  m)(x  n) x   lim x   (x  a)(x  b)(x  c)  x  x  (x  m)(x  n)  Xét giới hạn P1  lim (x  a)(x  b)(x  c)  x x Đặt x     (1  ay)(1  by)(1  cy)  1 P1  lim y0 y y Thực giải toán nhân với biểu thức liên hợp ta có P1  abc Đặt P2  lim(x  (x  m)(x  n) ) Thực giải toán nhân với biểu thức x liên hợp ta có P2  mn abc mn  Vậy P  2 Bài toán tổng quát lim(n (x  a1 )(x  a ) (x  a n )  x) = x  Bài tập đề nghị: Tính giới hạn sau: a  a   a n n 81  a lim (x  1)(x  2)(x  3)  x x  1 1 1   b lim       x 0 x x x x x x      c lim( x  x   x) d lim( x  ax  x  ax ) x  x  e lim(x x  2x  x  x  x) x  2.2.4.4 Tính giới hạn dạng 1 , 0. ,  Để tính giới hạn ta thƣờng sử dụng giới hạn bản: x x lim (1  ) e, x  x lim (1  x)  e ; x 0 ln(1  x) 1 x lim x 0 Trong số tốn ta cịn sử dụng kết quả: u(x) v(x)  eβ β  lim u(x)  1v(x) u(x)  ; lim v(x)   lim Cho lim x x x x x x x x 0 lim (1  sin2x) x 0 Ví dụ 1: Tìm giới hạn: x 1  Giải: Ta biến đổi lim(1  sin2x)x  lim(1  sin2x)sin2x x 0 sin2x x x 0  lim (1  sin2x)sin2x x 0  sin2x 2 2x  e2 x Vậy lim(1  sin2x) = e2 x 0 Ví dụ 2: Tìm lim x (1 2x) x0 Giải: Đặt A  x (1  2x) = (1  2x) x lnA = Sử dụng lim x 0 ln(1  2x) ln(1  2x) = (- 2) x  2x ln(1  x) ln(1  2x)  ta có lim lnA  lim (  2)  2 x 0 x 0 x  2x A  lim x (1 2x) = e 2 Vậy lim x 0 x0 x cos x Ví dụ 3: Tìm lim x 0   Hƣớng dẫn giải: Đặt A= x cos x =  (cos x  1) x đó:      ln  (cos x  1)   ln  (cos x  1) cos x  1 lnA      lnA    x x (cos x  1)     82 Chú ý lim x 0     cos x   ln  (cos x  1)  cos x  1      lim  lim   1  x 0 x 0 x ( x ) cos x       x lnA   suy lim cos x = e Do lim x 0 x 0 Ví dụ 4: Tìm limπ (sinx)tanx x Hƣớng dẫn giải: x Cách 1: Để sử dụng lim(1  x)  e ta có nhận xét sin x   cos x ta x 0 biến đổi nhƣ sau limπ (sinx) tanx x  limπ (sin x) x tan2x  limπ (1  cos x) x cos2 x sinx cosx  e0  Cách 2: Đặt u(x)  sinx, v(x)  tanx lim  u(x)1 v(x) Khi limπ (sin)tanx  limπ u(x) v(x)  e x x x π sin x sinx π cosx x lim lim  e  e π x 2sinxcosx cosx sinx  e0  + Đối với dạng 1 ; 0. ;  ta sử dụng “ngun lí kẹp” cho số tốn 1  xsin Ví dụ 5: Tính giới hạn lim   x 0 x  Giải: Ta có xsin 1  x   lim x   x suy ra:  x  xsin  x lim x 0 x 0 x x 1  Theo nguyên lí kẹp lim xsin  = x 0 x  + Ta tính giới hạn phƣơng pháp đổi biến π  Ví dụ 6: Tìm limπ   x  tanx x   Giải: Đặt t  π π π  x suy x   t x  t  2 π  π  tcott  t.tan  t   lim Vậy limπ   x  tanx  lim t0 t  x  2    Bài tập đề nghị: 83 Tìm giới hạn sau: a lim(1  sin3x) x x 0 c limπ tan( x (sin e lim x  π  x)tan2x 1  cos ) x x x  x2 1  g lim  x   x 2  x 2 b lim   x   x 1  2x 1 (x  1) sin d lim x 1 x 1 f lim(1 x )cotg x x 0 x2 (1  sin x) cotx h lim x 1 84 KẾT LUẬN Khoá luận đƣợc viết với mong muốn đóng góp phần vào nhiệm vụ đổi phƣơng pháp dạy học, đồng thời góp phần bồi dƣỡng cho học sinh lực giải toán Q trình nghiên cứu khố luận thu đƣợc kết chủ yếu sau: - Dựa nghiên cứu lý luận làm sáng tỏ đƣợc khái niệm lực, lực toán học vai trị việc bồi dƣỡng lực giải tốn cho học sinh - Đã nghiên cứu, xây dựng đƣợc hệ thống tập chủ yếu chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số đƣa phƣơng pháp giải, đồng thời đề xuất hƣớng khai thác số tập vào việc bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi - Khoá luận dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán THPT 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hồng Chúng, Phương pháp dạy học Tốn học trường phổ thông trung học sở, NXB giáo dục Phan Văn Danh, Nguyễn Định, Lê Văn Hạp, Nguyễn Hồng, Bài tập tốn cao cấp (tập 2), NXB giáo dục 2000 Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đồn Quỳnh, Ngơ Xn Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lƣu Xn Tình, Bài tập Đại số giải tích 11 Nâng cao, NXB giáo dục Nguyễn Xuân Huy, Dạy học chủ đề dãy số giới hạn theo định hướng dạy học giải vấn đề, Luận văn tốt nghiệp đại học Nguyễn Phụ Hy, Ứng dụng giới hạn để giải toán, NXB giáo dục Phan Huy Khải: “10000 toán sơ cấp dãy số giới hạn”, NXB Hà Nội Nguyễn Bá Kim: “Phương pháp dạy học mơn tốn”, NXB Đại học Sƣ phạm Nguyễn Bá Kim, Vũ Dƣơng Thụy, Phương pháp dạy học mơn tốn, NXB giáo dục 2000 NguyễnVăn Mậu, Một số toán chọn lọc dãy số, NXB giáo dục 10 Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh, Chuyên đề giới hạn dãy số hàm số, NXB giáo dục 11 Mai Xuân Vinh, Góp phần rèn luyện hoạt động toán học cho học sinh khá, giỏi lớp cuối cấp THCS thông qua việc sử dụng khai thác tập toán học, Luận văn thạc sĩ 12 G Polya, Giải toán nào?, NXB giáo dục 1972 13 V.A Cruchetxki, Tâm lí lực toán học học sinh, NXB giáo dục 14 G Polya, Sáng tạo toán học, Nhà xuất Giáo dục 1975 15 Y.Y Liaskơ, A.C.Bơiatruc, Giải tích tốn học ví dụ tốn (tập 1), Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp 1978 16 Trang web: Tailieu.vn ... nâng cao chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi? ??…………….26 2.1 Giới hạn dãy số? ??………………………………………… .…26 2.1.1 Một số tập điển hình giới hạn dãy số. .. toán học gây hứng thú học tập Vì lí tơi định chọn đề tài: ? ?Xây dựng hệ thống tập nâng cao chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi? ?? II Mục đích... sinh khá, giỏi? ??…… 23 Vị trí chủ đề kiến thức dãy số, hàm số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số? ??… 24 Thực trạng dạy học chủ đề giới hạn trƣờng PT…………… 25 Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống tập nâng